中职数学(基础模块上册 语文版)教学分析：第十单元 概率与统计初步

第十单元概率与统计初步

一教学要求

1．掌握分类计数原理和分步计数原理．

2．理解随机事件，频率和概率的概念．

3．理解概率的简单性质．

4．了解直方图与频率分布的概念．

5．了解总体与样本的概念．

6．了解样本的抽样方法．

7．理解均值标准差的概念；会用样本均值、标准差估计总体均值、标准差．

8．了解相关关系及一元线性回归分析．

9．培养学生的计算工具使用技能，数据处理技能和分析与解决问题能力．

二教材分析和教学建议

（一）编写思路

1．由浅入深，强调基础

概率与统计这部分知识，对于中职的学生来讲，无论是在概念、公式的含义上，还是在解题的思路上，都有一定难度，由于他们的数学基础水平低，学习起来困难会多一些．但是概率统计作为应用知识的一部分，更是一种重要的思想方法，一种思维方式，是他们应该学习和了解的．因此，本单元概率与统计初步在编写中，遵照大纲精神，选择了概率统计中最基础最重要的知识，由浅入深，多讲实例，淡化理论，强调理解与应用．在概率部分，只介绍了随机事件和频率的概念；给出了概率的统计定义和概率的简单性质；在统计方面，则在复习初中学过的简单统计知识的基础上，只介绍了样本的概念与抽样方法，用样本估计总体的方法．

2．多讲实例，淡化理论

为了降低难度，便于学生理解与掌握，教材中的概念大多是通过实例引入的，对于一些公式，则略去了推导与证明，只是作了一些必要的说明，如互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的乘法公式等．在这里，教材都通过例题讲解了公式的使用方法，强调了对公式的直接应用．

3．加强计算器及计算机相关软件的使用

本单元中，样本的抽取，总体的频率分布，均值与标准差，用样本估计总体的均值与标

准差，回归分析等部分由于涉及的一些计算比较复杂，都需要使用计算器或计算机相关软件，从而培养学生的计算工具的使用技能，数据表格处理技能及分析，解决问题能力．教材在各相应部分安排了应用计算器和计算机相关软件解题的内容．

4．重点与难点

本单元的重点概念是：随机事件，频率，概率，总体，个体，样本，频率分布，均值，标准差等．重要方法是：简单随机抽样的方法，用样本估计总体的方法，回归分析的方法．重要思想是：随机思想、统计思想．

本单元的难点是：概率的概念，样本对总体的估计，回归分析，用概率统计知识解决实际问题．

（二）课时分配

本单元教学约需16课时，分配如下（仅供参考）：

10．1计数原理约2课时

10．2随机事件与概率约2课时

10．3概率的简单性质约2课时

10．4直方图与频率分布约2课时

10．5总体与样本约1课时

10．6抽样方法约1课时

10．7均值与标准差约2课时

10．8用样本估计总体约1课时

10．9一元性回归约1课时

归纳与总结约2课时

（三）内容分析与教学建议

10．1计数原理

1．教材通过对两个具体实例进行分析，引进了分类计数的加法原理和分类计数的乘法原理．实际上这两个原理本身就是人们通过大量实践经验归纳抽象出来的，因此称为“基本原理”．在本单元中，它们是概率统计计算的依据．

2．教学时，在给出原理之前，一定要使学生获得必要的感性认识，对引例要讲得清晰明确．

（1）叙述和讲解例题时，要准确使用分类及分步等术语；

（2）将分类及分步的具体内容列举出来；

（3）讲过加法原理之后，在讲乘法原理的引例的时候，一定要和加法原理的引例加以比较，突出它们的区别；

（4）让学生直接参与基本原理的引入，除了解答教材中提出的问题外，还可以让学生自己举出一些类似实例，以使学生由被动接受变为主动思考，然后由师生一起归纳出基本原理．

3．两个原理都讨论“做一件事”，确定“完成这件事所有的不同方法的种数”但这里所指的“做一件事”是一个比较抽象的概念，它不同于学生在小学、初中解应用题时遇到的“做一件工作”、“完成一项工程”等，其含义比这要广泛得多，讲解例题时，要着重说明该题的“做一件事”究竟指的是什么．例如：

（1）从甲地到乙地；

（2）从甲地经乙地到丙地；

（3）从三个班中任选一名三好学生；

（4）从三个班中各选一名三好学生；

（5）由5个数字组成没有重复数字的两位偶数．

这些都是原理中所说的“做一件事”．明确了什么叫“做一件事”，才能去分析完成这件事可以采取什么方法，是分类还是分步，从而确定该题是使用分类计数的加法原理还是分类计数的乘法原理．

4．教材明确指出了两个基本原理的区别，这在教学中要结合实例加以阐述和强调，同时要注意：

（1）“做一件事，完成它可以有n类方式”，这里是对完成这件事的所有方式的一个分类．分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在这个确定的标准下进行分类．标准不同，分类的结果就不同．其次，分类应满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法都是不同的方法，只有满足这些条件，才能正确使用分类计数的加法原理．

（2）“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这里是指完成这件事的任何一种方法，都要分成n步执行．和分类计数的加法原理一样，分步时，首先要根据问题的特点确定一个分步的标准，然后在这个确定的标准下进行分步．标准不同，分成的步骤数也可以不同．一个合理的分步还必须满足两个要求：第一，完成这件事必须而且只需连续完成这n步．这就是说，分别选自这n个步骤的n个方法，对应了完成这件事的一种做法；第二，做每一个步骤时，选用的方法和做上一个步骤时选用的方法是无关的，并且每一个步骤的完成方法种数正好是完成这个步骤所有方法的种数．只有满足这些条件，才能正确使用分步计数的乘法原理．

5．例题的教学，要紧密联系基本原理，有意识地培养学生从两个基本原理出发思考问

题的习惯．简单的问题，可以单独使用分类计数的加法原理或分类计数的乘法原理，有些问题常常同时要用到两个基本原理或可以分别用两个原理去做．稍复杂一些的问题，在具体“分类”和“分步”时，学生常常感到困难，因此需要多多练习，不断积累经验，逐步做到恰当分类，合理分步．

10．2随机事件与概率

1．本节内容包括随机现象，随机试验，随机事件，频率等基本概念及概率的统计定义．2．通过观察几个例子，教材接连给出了随机现象，随机试验，随机事件这三个概念，它们之间虽然没有概念的种属关系，但彼此是有关联的，都是在前一个概念的基础上，定义后面的概念，接下来与事件有关的概念也是这样给的，这种给出的形式密度虽显稍大，但是学生并不难理解，反而会感到前后关联，容易接受．为了便于学生理清层次，可给出下面的链式：

现象→随机现象→随机试验→随机事件（含必然事件和不可能事件）→基本事件→复合事件．

为了使学生更好地理解这些概念，教师可根据实际，多举一些例子．其中搞清基本事件的个数是个难点，教学中应注意培养学生这方面的能力．

3．研究随机现象的规律性是通过随机试验进行的．关于随机试验，有如下严格的定义：（1）试验在相同条件下，可以重复进行；

（2）每次试验的结果不止一个，而且所有可能结果事先都是明确的；

（3）每次试验在其最终结果揭晓前，无法预言会发生哪一个结果．

4．随机事件在一次试验中是否发生，不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生会呈现出一定的规律性，怎样观察和发现这种规律性呢？这种规律性是通过什么体现出来呢？通过观察事件在大量重复试验中所发生的频率，可以发现这种规律．频率是这样一个量，即该事件发生的次数与试验总次数的比值，频率随试验次数的不同而不同．这一点通过教材中的例子可以清楚地反映出来．

5．频率具有稳定性．这种稳定性把随机事件发生的可能性大小客观地反映出来，利用这种稳定性，教材给出了概率的统计定义．可以认为概率是频率在理论上的期望值．例如，对一批零件进行抽查计算，得出这批零件合格品的概率是98%，那么，如果将这批零件全部装箱，其中每箱装1000个，那么可以估计平均每箱含有合格品980个，这是箱中含有合格品数的理论上的期望值．但在实际情况中，每箱的合格品数可能略多于980个也可能略少于980个．

6．对于必然事件，因为每次试验中它一定发生，试验重复进行n次，它也发生n次，因此它的频率总是1；对于不可能事件，因为每次试验中它一定不发生，试验重复进行n次，

它发生的次数应是0，因此它的频率总是0.

7．概率的统计定义实质是给出了概率的近似值，用抛掷硬币这个传统，经典的试验，说明一个事件的频率稳定在它的概率左右，是多数教科书的编者所采取的方法，这个试验简单，做起来方便，不需要什么成本，任何人随时随地都可以做，所以教学中教师也不妨让学生做一做，亲自试验体验一下．

8．事件的频率和事件的概率是两个不同的概念，随机事件的频率与试验次数有关的一个相对数量，是随着试验的不同而不同．而事件的概率反映的是随机事件的某种本质属性，是与试验次数无关而客观存在的一个确定的数．频率是概率的表现形式，概率决定着频率的变化趋势，概率才是随机现象的本质属性．

9．本节教学内容的重点是随机事件等有关概念和概率的统计定义，频率的计算，概率的确定．难点是搞清基本事件的个数，确定某事件的概率及分析概率问题的思想方法，解题思路．概率问题的思考方法，学生接受起来比较困难，为此，应加强概念教学，加强对容易混淆的概念的区别与比较，来加深学生对有关概念的理解．

10．3概率的简单性质

1．本节内容包括概率的四个简单性质：

（1）必然事件的概率等于1，不可能事件的概率等于0；

（2）对于任何事件A，有0≤P（A）≤1；

（3）如果A，B是互斥事件，那么P（A＋B）＝P（A）＋P（B）；

（4）如果A，B是相互独立事件，那么P（A·B）＝P（A）·P（B）．

2．由于必然事件的频率总是1，所以它的概率等于1，由于不可能事件的频率总是0，所以它的概率等于0；根据，0≤W（A）≤1，不难得到0≤P（A）≤1，这里的事件A显然是随机事件、必然事件、不可能事件三者的统称．

3．性质（3）是互斥事件的概率加法公式．

互斥事件是指在一次随机试验中，不可能同时发生的两个事件，在众多事件中，辨认、识别互斥事件，举出互斥事件和非互斥事件的例子，是使学生理解并掌握这一概念的方法．教师可以学生熟悉的实例，让学生多做一些这样的练习．

所谓“A＋B”事件，是指在同一试验中，A或B中有一个发生它就发生的事件．教材中提到的“A或B中至少有一个发生”的事件就是指“A＋B”事件．实际上，对于“A＋B”事件，不论A与B是不是互斥事件，总是存在的．互斥事件的概率加法公式，教材是直接给出的，没有加以证明，教材主要是要求学生能理解其含义，掌握其使用条件，会用来计算即可．例1是互斥事件的概率加法公式的直接应用．

4．对立事件是互斥事件的一部分，即其中必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事

件．这就告诉我们，对立事件首先是互斥事件，但互斥事件不都是对立事件，只有那些必有一个发生的两个互斥事件才叫做对立事件．教材给出了对立事件计算公式的一个简单证明，只需学生了解即可，例2是对立事件计算公式的直接应用．

5．教材借助于实例给出了相互独立事件的描述性定义，要确切地表示它，需要涉及条件概率的概念，但是本教材没有出现条件概率的概念，因此，为了让学生能正确理解两个事件的相互独立关系，可以让学生自己举一些相互独立事件的例子，共同分析相互独立的两个事件中“一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响”这一特征．同时要将“相互独立”与“互斥”两个概念加以区别，让他们在对比中理解和掌握相互独立这一概念．6．如果事件A与B是相互独立的，那么事件A与B，A与B，A与B也相互独立．这一性质很重要，例4，例5就应用了这个性质，从而使计算得到了简化．讲解时应加以强调，以引起学生重视．

7．本节教材重点是互斥、对立及相互独立事件的概念及有关计算，难点是三种事件关系的区别．

10．4直方图与频率分布

1．本节的内容是直方图与频率分布及学习用样本频率分布来估计总体频率分布的方法、步骤．

2．在获取了样本资料以后，要对样本数据进行整理．先根据样本资料列频率分布表，再画频率分布直方图，这是由样本估计总体分布的基本方法．这从理论上讲并不难，只是具体操作起来比较麻烦，教学中应结合例题把列频率分布表和画频率分布直方图的步骤、要领讲清，要让学生自己动手，通过实际操作掌握方法，要让学生知道，对样本数据的整理是统计工作的基本功，尽管麻烦但很重要，因此要多加练习，培养自己认真细致的实战作风，从而提高计算能力，提高工作能力．

3．频率分布表可以清楚地反映样本数据的分布规律，列这个表需要四个步骤，即：（1）计算极差；

（2）决定组距与组数；

（3）确定各组分点；

（4）列频率分布表．

前三步是对数据的整理，决定组距与组数需要根据具体情况灵活处理，第四步列频率分布表时，需要依次计算各个频率，计算量大些，要仔细耐心，算完之后可以将所有的频率相加看是否得1，以进行检验．完成这四步之后，可以利用其结果，画频率分布直方图．4．频率分布直方图可以将频率分布表中反映出来的规律直观形象地表示出来．

画频率分布直方图之前需要建立一个坐标系，横轴表示数据，将各组数据的分点标在横

轴上；纵轴表示频率与组距的比值．各个小长方形的面积等于相应各组的频率，这样频率分布直方图就以图形的面积形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．在频率分布直方图中，由于各小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于1，因此各小长方形的面积的和等于1.

5．利用Excel表格做直方图，培养学生数据处理能力是大纲明确提出的要求，为了便于学生掌握，教材给出了具体步骤，可让学生按照步骤来操作．

6．本节教学的重点是频率分布表，频率分布直方图的绘制；难点是样本数据的整理．

10．5总体与样本

1．本节的内容是复习总体与样本的概念．

2．关于总体与个体，不是笼统地指总体与个体本身，而是指总体与个体的某一数量指标，例如：灯泡的使用寿命，玉米的产量，学生的身高等．因此总体可以看做是某些数据的集合．

3．样本是总体这个集合的一个子集．它由总体中的一部分个体组成，这部分个体的数量叫做样本的容量．

4．本节教学的重点是掌握总体与样本的概念，理解二者之间的关系．

10．6抽样方法

1．本节的内容是样本抽取的三种方法：简单随机抽样法，系统抽样法，分层抽样法．2．在讲解每一种抽样方法时，应结合具体问题进行演示与讲解，首先要讲清简单随机抽样，系统抽样，分层抽样三种抽样方法的原理与步骤，并通过对具体问题的解决让学生进

3. 统计的基本思想方法是用样本估计总体，即用局部推断整体，这就要求样本应具有良好的代表性，而这完全取决于抽样方法的客观合理性．可见，抽样是选取样本的基础，样本的选取是否恰当，对于研究总体是十分关键的．因此在教学中，要提高对抽样方法重要性的认识．

4．本节只讲了具体的抽取方法，关于如何确定样本容量的内容，由于大纲没有涉及，所以本教材也没有做定量的介绍，样本容量的大小，一般取决于下面几个因素：（1）总体中每个个体的差异较大，样本容量就要大些；

（2）抽样调查的力量大（人员多，财力强，时间长等），则应要求较小的误差，反之则可允许较大的误差，而误差的大小决定或影响着样本容量的大小；

（3）对抽样调查结果愿意承担较小的风险，则应加大样本容量，反之则可适当减少样本容量；

（4）在其他条件相似的条件下，不同的抽样方法也可影响到样本容量的大小．

5．还应该提出的是，完全随机的样本，在现实中是很少的，因为每一次抽取总是要直接或间接地通过人的判断来执行．也就是说，随机抽样只是一种理想的情况，况且在实际问题中，有时考虑到一些具体因素（例如抽样的代价），也可能有意识的不采用随机抽样的方法．由样本推断总体必然会有误差，但是这种误差是我们可以掌握的，我们可以通过概率论和数理统计的理论和方法，对这些误差进行估计和适当的控制．

6．本节教学的重点和难点是对三种抽样方法的掌握．

10．7 均值与标准差

1．本节的内容是均值与标准差的意义及计算方法．

2．上一节给出了用样本频率分布来估计总体频率分布的方法，可以使我们对总体的统计规律有一个直观，完整的了解，但在很多情况下，我们并不需要知道总体的分布状况，而只需要知道它的某些特征就够了，例如，在测量某零件的长度时，由于种种偶然因素的影响，零件长度的测量值每次测量不尽相同，是一个随机变量，一般我们只关心这一零件的平均测量长度及测量结果的精确度，即要求知道测量长度的平均值与离散程度．又如，对一个射手的射击技术的评定，除了根据他多次射击的平均命中环数之外，还要看他各次射击命中的环数与平均命中环数的偏差（也就是射击的散布程度）大不大，偏差越大，表明射击命中点越分散，射击的技术越不稳定．由这些例子可以看出，我们引进一些用来表示平均值和衡量离散程度的量，这些量能够刻画随机变量的主要性质，我们称之为随机变量的数字特征，其中最重要的是均值与标准差．数字特征及其运算在概率统计中起着重要作用，利用它们可以使许多问题的解决大大简化．

3．对于均值的计算，教材给出了两种情况及两个计算公式，它们是：

x ＝1n （x 1＋x 2＋…＋x n ）＝1n ∑i ＝1

n x i ； x ＝x 1·f 1n ＋x 2·f 2n ＋…＋x k ·f k n ＝∑i ＝1k x i ·f i n

. 教学中，要让学生能根据不同情况选择不同的公式．

4．对于标准差的概念，本节只是明确了它的意义，即“它可以用来衡量一组数据的波动大小，标准差越大，说明这组数据波动越大”．因此本节主要强调标准差的计算及两组标准差大小的比较．

5．本节教学的重点和难点是均值与标准差的计算．

10．8 用样本估计总体

1．本节内容是对总体均值与标准差的估计．

2．用样本的均值x 估计总体均值和用样本的标准差估计总体标准差都属于无偏估计． 所谓“无偏估计”就是使估计量符合下面三个标准：

（1）无偏性．设θ^

（x 1，x 2，…，x n ）是总体中某参数θ的估计量，若E （θ^）＝θ，则

称θ^是θ的无偏估计量．

我们用x ＝1n ∑i ＝1n x i 去估计总体均值E （x ）＝m ，因为 E （x ）＝E ? ??

???1n ∑i ＝1n x i ＝1n ∑i ＝1n E （x i ）＝1n ·n ·m ＝m . 所以估计量x 是满足无偏性的．

同样用样本标准差S 去估计总体标准差也具有无偏性．

（2）有效性．设θ^1与θ^2都是θ的无偏估计量，若D （θ^1）＜D （θ^

2），则称θ1比θ2更有效．用x 和S 来估计总体的均值和标准差比其他估计量更有效．

（3）一致性．我们希望，当n 越来越大，n →∞时，估计量θ^

对θ的估计越精确，越一致．如果P （||θ^ (n)－θ＜ε＝1，则称θ^

（n ）是θ的一致估计量，可以证明，样本均值x 是总体均值的一致估计量，S 也是总体标准差的一致估计量．关于无偏估计的概念不必告诉学生．

3．计算均值与标准差可以利用计算器和计算软件，这样可以使繁杂的计算变得简单．

4．本节教学内容的重点和难点是对总体均值与标准差的无偏估计． 10．9 一元线性回归

1．本节内容是一元线性回归方程的建立．

2．变量之间的关系，有一种是确定性关系，如正方形的面积S 与边长x 之间的关系S ＝x 2就是确定性关系； 圆的周长C 与圆的半径r 之间的关系C ＝2πr 也是确定性关系．变量之间除了具有确定性关系之外，还存在一种非确定性关系——相关关系．例如施肥量与亩产量之间虽然不能确定出准确的函数关系式，但它们之间却具有相关性；又如，高中毕业生毕业考试成绩与高考成绩，虽然不具有确定性关系，即二者之间不可能建立精确的函数表达式，但它们的关系也非常密切，一般来说，毕业成绩好的学生高考成绩也比较好．具有相关关系的变量之间，存在着一定的统计规律性，线性回归就是研究这种规律的手段之一．

3．观察散点图是求回归直线方程前非常重要的步骤．如果所有的散点大体上散布在某一条直线附近，就可以认为y 对x 的回归函数类型为直线型．通过观察散点图，可以画出不止一条直线，那么，其中哪一条直线最能代表变量y 与x 的关系呢？为了不涉及更多的线性

相关的知识，可以认为在整体上与这几个点最接近的一条直线，就是所求的直线，并设为y ^

＝a ＋bx ，此处应提醒学生这个解析式不同于一次函数解析式的表示方法．

4．再由y ^＝a ＋bx 得到y ^＝a ^＋b ^x 时，教材没有给出a ^，b ^

的求解过程，只是说“利用微积

分的知识可以算得，当a ^

，b ^为下列值时，所得回归直线最好” ，然后就是结论：

a ^＝y －

b ^x ，

b ^＝S xy S xx

， 其中，x ＝1n ∑i ＝1n x i ，y ＝1n ∑i ＝1

n y i ， S xy ＝∑i ＝1

n

x i y i －n xy ，

S xy ＝∑i ＝1

n x 2i －n x 2.

这里，只要求学生会用这些公式计算，求出a ^，b ^即可．对于这些较复杂的计算，还是训练学生使用计算器和计算软件计算为好．

5．教学中应告诉学生，回归方程y ^＝a ^＋b ^

x 与具有函数关系的直线方程y ＝a ＋bx 不同．满足函数关系y ＝a ＋bx 的任意一点（x i ，y i ）一定落在直线y ＝a ＋bx 上，而有相关关系的两个

变量的任一观测点（x i ，y i ）都不能保证严格地落在直线y ^＝a ^＋b ^

x 上．

6. 本节教学内容的重点是一元线性回归方程的建立，难点是方程系数a ^，b ^

的计算．

（四）复习建议

1．学完全单元之后，学生需要对全章知识要点有一个清楚的了解，教材以填空题的形式对全单元内容作了归纳与总结，目的是让学生参加归纳与总结的过程，以达到复习的效果．

2．本单元从知识结构上分为三部分：计数原理、概率与统计．

计数原理部分分别介绍了分类计数的加法原理和分步计数的乘法原理；

概率部分在介绍了随机事件，随机试验，基本事件，频率等基本概念之后给出了概率的统计定义，并安排了概率的简单性质等内容；

统计部分在复习了总体，个体，样本等概念之后，介绍了抽取样本的三种方法，在用样本推断总体方面，给出了用样本频率分布推断总体频率分布的频率分布直方图，用样本均值推断总体均值，用样本标准差推断总体标准差的估计，最后简单介绍了相关关系及回归分析．

3．在本单元的复习中，应结合专业，加强实践，做到理论能联系实际．例如：关于抽取样本的内容比较繁琐，实际操作上有许多程序，写下来颇费纸张，这部分复习时，就应以实践为主，可以找一个学生熟悉的例子，用适当的方法搞一次抽样调查，在实践中，教师和学生共同总结这部分内容．

4．在本单元的复习中，应加强计算器和计算软件的使用教学，在“归纳与总结”中，特意安排了一个计算器和计算软件使用的例题，目的是希望教师能在复习中集中指导 一下计算器和计算软件的使用，提高学生使用计算工具和数据处理的能力．

5．本单元教材的重点是随机事件，频率，概率，总体，个体，样本，频率分布，均值，标准差等概念．简单随机抽样，用样本估计总体，回归分析等方法．

6．本单元教材的难点是概率的概念，样本对总体的估计，回归分析，用概率统计知识解决实际问题．