高中数学必修五第一章测试题含答案 精校打印版 名校用过

第一章测试

一、选择题

1．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．非钝角三角形 2．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么A ，B ，C 的大小关系为( ) A ．A >B >C B ．B >A >C C ．C >B >A D ．C >A >B 3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )

A ．4 2

B ．4 3

C ．4 6 D.32

3

4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BA →·BC →

的值为( ) A ．5 B ．－5 C ．15 D ．－15

5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( )

A ．1：2：3

B ．1：3：2

C ．1：2： 3 D.2：3：2 6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( ) A ．无解 B ．一解 C ．两解

D ．解的个数不确定

7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B (其中a ，b 分别为A ，B 的对边)，那么角C 的大小为( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2

B －sin A sin B ＝sin 2

C A ．1 B ．2 C. 2 D. 3

9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B

sin C

的值为( A.85 B.58 C.53 D.35

10.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC A .2π3 B .5π6 C .3π4 D .π3

11．有一长为1 km 的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为A ．0.5 km B ．1 km C ．1.5 km D .3

2

km

12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ) A ．2 B

．4＋2 3 C ．4－2 3 D .6－ 2

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共2013．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________． 14．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________. 15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝________，AB ＝________. 16．在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sin A ：sin B ：sin C ＝________. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)．

(1)求证：A ＝2B ；

(2)若a ＝3b ，试判断△ABC 的形状． a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满足2sin (A ＋

19．(12分)如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 6 nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 3 nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：

(1)A处与D处的距离；

(2)灯塔C与D处的距离．

20．(12分)已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．

(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；

(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝

π

3，求△ABC的面积．

21．(12分)在△ABC中，已知内角A＝

π

3，边BC＝23，设内角B＝x，周长为y.

(1)求函数y＝f(x)的解析式和定义域；

(2)求y的最大值．

22．(12分)△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan C＝

sin A＋sin B

cos A＋cos B

，sin(B－A)＝cos C.

(1)求A，C；

(2)若S△ABC＝3＋3，求a，c.

第一章测试答案

一、选择题

1．C 解析 最大边AC 所对角为B ，则cos B ＝52＋62－822×5×6＝－3

20<0，∴B 为钝角．

2.C 解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝3

2.

∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C >B >A .

3．C 解析 由A ＋B ＋C ＝180°，可求得A ＝45°，由正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝8×sin60°

sin45°＝8×

3

22

2＝

4 6.

4．A 解析 在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝1

7.

∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →

|cos B ＝5×7×1

7

＝5.

5．A 解析 设三边长分别为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则.

设最小角为B ，则cos B ＝(2a )2

＋(3a )2

－a 2

2·2a ·3a ＝3

2，

∴B ＝30°，∴C ＝60°. 因此三角之比为1：2：3.

6．A 解析 由b sin B ＝a sin A ，得sin B ＝b sin A

a ＝9×

226＝3 24>1.

∴此三角形无解．

7．B 解析 根据正弦定理，原式可化为2R ????a 2

4R 2－c 2

4R 2＝(2a －b )·b

2R

， ∴a 2

－c 2

＝(2a －b )b ，∴a 2

＋b 2

－c 2

＝2ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2

2

，∴C ＝45°.

8．D 解析 由a sin A ＝b sin B ＝c

sin C

＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，

可得a 2

＋b 2

－ab ＝c 2

. ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sin C ＝3

2

.

∴S △ABC ＝1

2

ab sin C ＝ 3.

9．D 解析 由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 2

2AB ·AC ，解得AC ＝3.

＝AB 2＋AC 2－BC 22AB·AC ＝52＋32－722×5×3＝－1

2

，

sin 20°，BC ＝AB·cos 20°＝cos 20°，DC ＝AC

tan 10°＝2cos 210°，∴DB

12．A 解析 在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bc cos A ＝b 2

－2b(6＋2)cos 75°，而cos 75°＝cos (30°＋45°)＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°＝

22????32－12＝1

4

(6－2)，

∴b 2－2b(6＋2)cos 75°＝b 2－2b(6＋2)·1

4(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选

A .

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．解析 由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝b sin C sin B ＝4sin 45°

sin 75°＝

4(3－1)．

14．解析 由B ＝A ＋60°，得sin B ＝sin (A ＋60°)＝12sin A ＋3

2cos A.

又由b ＝2a ，知sin B ＝2sin A. ∴2sin A ＝12sin A ＋3

2

cos A.

即32sin A ＝32cos A. ∵cos A ≠0，∴tan A ＝3

3.∵0°

∴10 3＝1

2AB ×5×sin 60°，∴AB ＝8.

16．解析 设????

?

b ＋

c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，

a ＋

b ＝10k ，

可得a ：b ：c ＝11：9：7.∴sin A ：sin B ：sin C ＝11：9：7.

三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)． (1)求证：A ＝2B ；

(2)若a ＝3b ，试判断△ABC 的形状．

解 (1)证明：在△ABC 中，∵a 2

＝b·(b ＋c)＝b 2

＋bc ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ＋c 2

2ac

＝

b ＋

c 2a ＝a 2b ＝sin A

2sin B

， ∴sin A ＝2sin B cos B ＝sin 2B. 则A ＝2B 或A ＋2B ＝π.

若A ＋2B ＝π，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝C.这与已知相矛盾，故A ＝2B. (2)∵a ＝3b ，由a 2＝b(b ＋c)，得3b 2＝b 2＋bc ，∴c ＝2b. 又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2. 故△ABC 为直角三角形．

18．(12分)锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满足2sin (A ＋B)－3＝0.求：

(1)角C 的度数；

(2)边c 的长度及△ABC 的面积．

解 (1)由2sin (A ＋B)－3＝0，得sin (A ＋B)＝

3

2

. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°. (2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，

∴a ＋b ＝23，ab ＝2.

∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b)2－3ab ＝12－6＝6. ∴c ＝ 6.

S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×32＝3

2

.

19．(12分)如右图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 nmile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 nmile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°，求：

(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．

解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°，AB ＝12 6，由正弦定理，得AD ＝

AB sin B

sin ∠ADB

＝

126×

22

32

＝24(nmile )．

(2)在△ADC 中，由余弦定理，得 CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD·AC·cos 30°. 解得CD ＝83(nmile )．

∴A 处与D 处的距离为24 nmile ，灯塔C 与D 处的距离为8 3 nmile .

20．(12分)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，

p ＝(b －2，a －2)．

(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；

(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π

3，求△ABC 的面积．

解 (1)证明：∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B . 由正弦定得知，sin A ＝

a 2R ，sin B ＝

b 2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入上式，得a ·a 2R ＝b ·b 2R

，∴a ＝b .故△ABC 为等腰三角形．

(2)∵m ⊥p ，∴m ·p ＝0，∴a (b －2)＋b (a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab . 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得 4＝(a ＋b )2

－3ab ，即(ab )2

－3ab －4＝0. 解得ab ＝4，ab ＝－1(舍去)．

∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×4×sin π

3

＝ 3.

21．(12分)在△ABC 中，已知内角A ＝π

3，边BC ＝23，设内角B ＝x ，周长为y .

(1)求函数y ＝f (x )的解析式和定义域； (2)求y 的最大值．

解 (1)△ABC 的内角和A ＋B ＋C ＝π，由A ＝π3，B >0，C >0AC ＝BC sin A ·sin B ＝23

sin π

3·sin x ＝4sin x .

AB ＝BC

sin A sin C ＝4sin ????2π3－x . ∵y ＝AB ＋BC ＋CA ，

∴y ＝4sin x ＋4sin ????2π3－x ＋23????0

3. (2)y ＝4(sin x ＋

32cos x ＋1

2

sin x )＋2 3 ＝43sin(x ＋π

6

)＋2 3.

∵π6

6

， ∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π

3

时，y 取得最大值6 3.

22．(12分)△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin B

cos A ＋cos B ，sin(B －A )＝cos C .

＋cos C sin B ，

sin C cos B ，得sin(C －A )＝sin(B －C )． B －C )(不成立)， ＝2π

3.

又因为sin(B －A )＝cos C ＝1

2，

则B －A ＝π6，或B －A ＝5π

6(舍去)．

得A ＝π4，B ＝5π

12.

所以A ＝π4，C ＝π3

.

(2)S △ABC ＝1

2ac sin B ＝6＋28ac ＝3＋3，

又

a sin A ＝c sin C ，即a 22＝c 3

2

. 得a ＝22，c ＝2 3.