()()ol O O U r R r R r r
==
，则（6.2-3）式化为：22
0012
0l d U U dr
α+=，得满足01(0)0U =的解为：
010()sin U r B r αα=??
?=
??
（6.3-2） 当r>a 时，记22()()()o O O U r R r R r r ==，则（6.2-3）式化为：22
02022
0d U k U dr
+=，得：
020()sin()
o U r A kr K δ=+??
?=
??
（6.3-3） 当r α→时，将
2()
o U r r
与（6.2-6）式比较可知，上式中的0δ就是S 分波的相移。对于球方势阱，0δ不可能为负值。U O （r ）在r=a 点的连续性条件为：
00sin sin()
cos cos()o o o
o B a A ka B a A k ka αδααδ=+??
=+? （6.3-4） 由22sin ()cos ()1o o ka ka δδ+++=可得：
2
20
01cos o A U a B E α??=+ ?
??
（6.3-5） 上式是2
0o A B ?? ???随E 变化的关系式，2
0o A B ??
???
有多个极值。在（6.3-4）式中，B 0与A 0有非零解的
条件为：
00sin sin()0cos cos()
a
ka a
k ka αδααδ-+=-+，得：
0k
arctg tg a ka δαα??
=- ???
（6.3-6）
当E →∞时，k α→，则00O δ→。一般说来，若U （r ）处处有限，则当E α→时，总有
00O δ→。l δ是E 的函数，所以可记为()l E δ，()l E δ应是E 的连续函数。当E →0时，K →0，
0K α→=
K 0a 不是
2π的奇数倍，则当K →0时，k
tg a αα的值很小，则由00arctgxx x n π→+ 得：
00
00010,1,2k tg a ka n a n n αδπαδπ→???
≈-+ ?????
????
→??=???
（6.3-7） 通常所说的低能散射是指满足1ka <<的散射，这时只要考虑S 分波即可。低能散射应包含
0E →的情况，但并不要求E 一定要趋近于零，所以在考虑低能散射时，0δ应由上式中的第一式表
示。若0K a 是
2π的奇数倍，则在（6.3-6）式中，2k
Ktg a ctgxa
α=在0K →时化为00型，应用洛
华达法则可得：
002
k n π
δπ→???→+
（6.3-8）
在（6.3-7）式与（6.3-8）式中尚有n 0未确定，若能作出0E δ-曲线便应能确定n 0的值。计算散射截面时与的取值无关。
2、莱文森（Levinsen ）定理简介
当粒子在有心力场[势能为U （r ）]中运动时，莱文森定理为：
211
(1)(0)sin (0)2
l l l n δδπ-=- （6.3-9）
上式的证明从略[莱文森定理与§4.3“3”中所说的状态数守恒有关。参看：倪光炯，高能物理与核物理3，449（1979）]。其中l n 是角量子数为l 时的束缚态能级数目，(0)l δ是0E →时第l 个分波的相移。可以证明（其证明从略），l n 为有限值的条件为：
22211()()()22l r r h U r V r l r μ??
?
>=-+??
当足够小和足够大时都有: （6.3-10）
当l=0时，（6.3-9）式化为：
2001
1
(0)sin ()2
o n o δδπ
=
-
对于球方势阱，当l=0时，由求解束缚态的化径向方程可得：若2
o K a π
<，则无束缚态即00n =，
对应()0o o δ=；若2
o K a π
=
，则体系处在无束缚态与有一个束缚态边界点上，称为半束缚态，这
时也有00n =，但对应()2
o o π
δ=，若
032
2k a π
π<<
，则01n =，对应()o o δπ=；若032
k a π
<，则也有01n =，对应3()2
o o π
δ=
；……。可见应用莱文森定理来确定0n 的值，其物理意义更明显。 3、球方势垒对低能粒子的散射 设球方势垒为：
()0
o U r a U r r a
>
>? （6.3-11）
上式相当于将（6.3-1）式中的U O 改为-U ，对于E ≥U o 时的S 分波，可以仿照上面对球方势阱的计算进行讨论，，只要将球方势阱中的U o 改为-U o 并注意到E ≥U o 即可。对于低能散射，应考虑E
0100200()()sin()
U r B sh r r a U r A kr r a K βδβ?
?=
=+>??
?==??
（6.3-12） 根据()o U r 在r=a 点的连续性条件可得S 分波的相移0δ为：
0k arctg th a ka δββ??
=-????
（6.3-13）
上式中，
1th a
a
ββ<，所以0δ不可能为正值。在球方势垒中也不能存在束缚态。当K 很小时： 1th a ka a βδβ??
≈-
???
（6.3-14） 对于刚性球，,o U β=∞=∞，则得：
o ka δ=- （6.3-15）
对于刚性球，在（6.3-12）式中应有01()0U r =，则要求02()0U a =[在r=a 点不要求0()U r 的导数连续]，故同样可得到上式。对于低能散射，注意到(cos )1o P θ=，则（6.2-16）式化为：
221
()sin o q k
θδ≈
（6.3-16） （6.2-18）式化为：
2
024sin o Q Q k
πδ≈=
（6.3-17） 对于低能粒子被刚性球的散射，注意到
22
1()m ka
ka α≈，则得：
24Q a π≈ （6.3-18）
根据U （r ）求散射数据的问题称为散射问题，根据实验中一套完整的散射数据求U （r ）的问题称为反散射问题（其讨论从略）。散射问题[通常U （r ）作为假设形式出现，然后将计算结果与实验对比]以及反散射问题都是研究粒子之间相互作用的常用方法。
6.4平面波玻恩（Born ）近似
当粒子被势场U （r
）散射时，设哈密顿算符为'o H H H ∧∧∧=+，在玻恩近似下，'H ∧被视为微扰。
玻恩近似可分为平面波近似与扭曲波近似两种。在平面波玻恩近似下，22
02h H μ
∧
=-?仅为动能算符，
而
'()H U r ∧
=
为势能算符。 1、自由格林（Green ）函数
设222o h H μ∧
=-?，222h k E μ=，则222()2o h H E K μ∧--=-?+。考虑下面的方程：
2
2
'()()K G r r δ?+=-
（6.4-1）
上式中，'
r 为常矢量，G 称为线性算符（22k ?+）的格林函数。因（22k ?+）与U （r ）无
关，所以G 被称为自由格林函数。还应注意，G 中不含上式对应齐次方程的通解成分，即算符（2
2
k ?+）
相地于G 存在逆'
22
1()G r r K
δ=-?+ 。将上方程变换到动量表象（'K 表象）：
'
22'2
'2''3/2
,221()(2)ik r
h h k iK G g
r r e μμδπ-?-?→?→???
→???-→??
（6.4-2） 则（6.4-1）式变为：'
''2
2
3/2
1()(2)ik r
K K g e
π-?-= ，即 '
''223/2
11(2)
ik r
g e K K π-?=- （6.4-3） 得位置表象中的格林函数为：
'''''()
3/23'22
111(2)(2)ik r ik r r G q e dk e dk k k ππ--==-??
令'
1r r r =- （6.4-4）
则得：
12'cos '2'3
'22
11
sin (2)ik r G e k dk d d k k
ππ
θθθ?π∞-=
-???
'
''12'22
011sin 2k k r dk r k k
π∞-=-? 上式的被积函数是K ’的偶函数，则
'''
12'22
11sin 4k G k rdk r k k π∞-∞-=-? 1'''
2'22
14ik r i
K e dk r k k
π∞
-∞=-? 将上式中的K 改为（K+i δ），o δ→，则得：
1lim
'''
21014(')(')
ik r k G e dk
r k k i k k i δπδδ∞-∞→-=--++? 上式可视为复平面上沿实轴的积分，即把'K 视为复数§的实部，则在复平面上，上式中的被积函数为：
1()()()
i r f e k i k i ξξ
ξξδξδ=
--++
引进δ的目的是使()f ξ的奇点偏离实轴。当0δ>时，()f ξ在上半平面内的奇点为：
k i ξδ=+，注意到10r >，且：
0()()
k i k i ξξ
ξδξδ→∞
???→--++
则根据柯西（Cauchy ）留数定理和约当（Jordan ）引理得：
1'''
''()()
ik r k e dk k k i k k i δδ∞
-∞--++? 2i π= [()f ξ在上半平面内各奇点的留数和]
[]1()lim 1
()()()2
i k i r es R f k i k i f e k i δδξδξξδ++=
-+=→+，则得：
1
'
11144'
ik r r ikr e e
G r r r ππ-=-
=--
（6.4-5）
当0δ<时得：
'
14'
ik r r e
G r r π-=-
-
（6.4-6） G 具有出射球面玻的形式，G 具有会聚球面波的形式，考虑散射波时将只用到G ，所以在K 京戏
为（k i δ+）后应取o O δ+→因22
2h k E μ
=，则当K 变为（k i δ+）时应有E 变为（E iE +），其中
2o h k
E O δμ+=→。将（6.4-1）式两边乘以
2
2h μ
-后得： 2'0()()2h H E iE G r r δμ
∧
---=- ，即
2'01
()2h G r r H E iE
δμ∧
-=--- （6.4-7） 2、玻恩展开
()H H U r ∧
∧
=+
对应的定态薛定谔方程可写为：
0()()()()H E iE r U r r ψψ∧
--=-
，E O +→ （6.4-8）
设r α→时，()U r 比1
r
更快地趋向零，则可令()r ψ 为：
()()()k r r u r ψψ=+
（6.4-9）
其中()ik r
r r e ψ?= ，注意到0()()0r H E iE r ψ∧--= ，则得：
0()()()()H E iE U r U r r ψ∧
--=-
()k r ψ 相当于
（6.4-8）式对应齐次方程的通解，所以算符0()H E iE ∧--相对于()k r ψ
不存在逆，但()U r 应为不含通解成分的特解，所以算符0()H E iE ∧--相对于()U r
存在逆，则得：
01()()()U r U r r H E iE
ψ∧
=-
--
（6.4-10）
（6.4-9）式化为；
01()()()()k r r U r r H E iE
ψψψ∧
=-
--
（6.4-11）
上式也称为李普曼——史温格（Lippmann-Schwinger ）方程。当()U r
可视为微扰时，用迭代法
求解上方程得：
(0)(1)0(1)00()()1()()()()1()(1)()()k
k k n
n N k n r r r r U r r H E iE r U r r H E iE ψψψψψψψ∧∧
=?=???=-?--??
???????=-????--???
??∑
（6.4-12） 当取()
()()N r r ψψ≈ 时，便称为N 极玻恩近似。
3、一般玻恩近似
在一级玻恩近似下，（6.4-10）式中的()r ψ 可近似地用ik r
e ? 代替，则
(1)0()()()1()()ik r ik r r r e u r U r U r e H E iE ψψ??∧?≈=+??=-?
--?
（6.4-13）
'''
01()()ik r U r r r e d r H E iE
δ?∧
=-
---?
上式中含变量r
的算符
01H E iE
∧
--可作用在'
()r r δ- 上，将（6.4-7）式与（6.4-5）式代入上
式得：
'
'''2'()()2ik r r
ik r e U r U r e dr h r r
μπ-=--? （6.4-14） 将（6.4-13）式与（6.1-6）式比较可知：
()(,)ikr r e U r f r
θ?→∞???→ （6.4-15）
入射粒子的波矢k 沿Z 轴正方向。当r α→时，散射粒子应沿r
方向运动。设散射粒子的波矢
为k ，对弹性散射，'K K K == ，则r 方向上的单位矢量可表示为'k n k
=
，如下图：
当r α→时，
'r r -== ''
'(1)r n
k r r r r k
?≈-=-?
'''01111
(1)m
m r n r r r r n r r r r
∞
=??? ?=
=≈ ??-??-∑ （舍去二级以上小量） 将上两式代入（6.4-14）式得：
''''()2()()2ikr r i k k r
e U r U r e dr h r
μπ→∞-????→-? 将止式与（6.4-15）式比较得：
'
'
''()2(,)()2ikr i k k r e f U r e dr h r
μθ?π-?=-? （6.4-16） 则微分散射截面为：
2
(,)(,)q f θ?θ?=
'
'
22''()24()4i k k r
U r e dr h
μπ-?=? （6.4-17） 如果在（5.7-11）式中令(,)dn Nq d θ?=Ω，根据入射波
3/21ikz
e L
可求得几率流密度的大小即入射粒子流强度为3V N L =（若L 3
=1，则N=V ，但N 的量纲应与3V L
的量纲相同），则同样可得到上式。
为了计算（6.4-16）式中的积分，则同样可得到上式。为了计算（6.4-16）式中的积分，选择新的
Z 1轴平行于（'
k k - ）方向较为方便。设新坐标系中的三个幺正矢量为（111,,i j k ），在上面的图中已标出了Z 1轴与Y 1轴，X 1轴应沿111i j k =? 方向。根据上图易得（111,,i j k ）与（,,i j k
）的关系为：
111(,,)(,,)sin sin cos cos cos 22cos sin sin cos sin 220cos sin 22i j k i j k T T θθ???θθ???θθ?=?
???- ??? ?? ?=--? ?? ?
? ? ?????
（6.4-18）
在新坐标系下将''''
(,,)r r θ? 记为1111
(,,)r r θ? ，则'''
(,,)r θ?与111(,,)r θ?之间的关系为： '1''
11''1111sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos r r T θ?θ?θ?θ?θθ?=???
???? ?
?=? ? ?
? ???????
（6.4-19） 在新坐标系中，（6.4-16）式化为：
1
1
cos 112(,)()2ikr f U r e d r h
θμ
θ?π=-? （6.4-20） 其中'
k k k =- ，根据上图可知，
2sin 2
k θ
κ= （6.4-21） 对于有心力场，11()()U r U r =
，则（6.4-20）式地111sin d d θθ?积分后得：
11112
2()()sin()f ru r kr dr kh μ
θ∞
=-
?
（6.4-22）
微分散射截面为2
()()q f θθ=。
4、一级玻恩近似的适用条件
在（6.4-13）式中，若()1ikz
u r e <<= ，则只取一级玻恩近似就已足够精确。作为估计，可将
下式作为一级玻恩近似的适用条件：
(0)1u << （6.4-23） 当0r =
时，（6.4-14）式化为：
'
'''2'
()()2ikr ik r e u o U r e dr h r
μπ=-? 对于有心力场，11()()U r U r = ，则上式对'''
sin d d θθ?积分后得：
'
'2'20
()()1ikr U o U r e dr h ki α
μ
??=
-??
? （6.4-24）
玻恩近似适用性判据较详细的讨论可参看：A 、梅西亚（A.Messiah ），量子力学，第十九章，I “7”，其中（19.44）式与上式一致。一般说来，当入射粒子的动能很大而势场可视为微扰时，一级玻恩近似的结果较好。
6.5 质心坐标系与实验室坐标系
对两体散射的理论计算通常采用质心坐标系，但实际测量总是在实验室坐标系中进行的，所以有必要弄清两种坐标中散射截面之间的关系。
设两个粒子的弹性碰撞过程发生在XZ 平面内。在实验室坐标系中，设其中一个粒子的m ，在碰
撞前以速度1U 沿Z 轴正方向运动，即11U U k = ；另一个粒子的质量为m 2，在碰撞前以速度2U
逆Z 轴方向运动，即22U U k = ，通常2U
=0。下面考虑粒子m 1的散射。这两个粒子质心的速度为：
112211221212
c m U m U m U m U U k m m m m +-==++
（6.5-1）
在质心坐标系中，坐标原点位于质心，Z 轴方向以及X 轴方向都与实验室坐标系相同（对应的坐标轴平行）。则在质心坐标系中，两个粒子在碰撞前的速度分别为：
'212
1112
'2122212()()c c m U U U U U k m m m U U U U U k m m +?=-=?+??+?=-=?+?
（6.5-2） 在碰撞后，两个粒子在质心坐标系中的速度分别变为'1U 与'2U ，即''
11U U → ，''22U U →
。根
据能量守恒和动量守恒可证：''11U V = ，''
22U V =
，且'1u 与'2u 的方向相反。'1u 与'2u 之间的夹角Q 即为质心坐标系中的散射角。'1u 在垂直于'1v 方向上的投影为'1sin v θ ，在平行于'
1v 方向上的投影为'
1s v co θ ，则在实验室坐标系中粒子m 1在碰撞后的速度为：
'''
1111sin cos c c U U U V i V k v θθ=+=++
212212
11221212
12()()sin cos m v v m v v m v m v i k m m m m m m θθ??++-=++ ?+++?? （6.5-3）
设在实验室坐标系中的散射角为o Q ，则
21212
02121122
1212()
sin s m v v m m tg co m m m m θ
θθ++=+
++，即
0sin cos tg f θ
θθ
=
+ （6.5-4）
1122
212()
m v m v f m v v -=
+ （6.5-5）
（6.5-4）式就是质心坐标系中的散射角Q 与实验室坐标系中的散射角Q O 之间的关系。 在（6.1-1）式中，
dn
N
在两个坐标系中应该是相同的，所以得： (,)sin (,)sin o o o o q d d q d d θ?θθ?θ?θθ?=
d ?与o d ?也是相等的，则得：
(,)sin (,)sin o o o o q d q d θ?θθθ?θθ= （6.5-6）
由（6.5-4）式得：
cos o θ=
将上式微分得：
23/2
1cos sin sin (12cos )o o f d d f f θ
θθθθθ+=
++ （6.5-7）
将上式代入（6.5-6）式得：
量子力学导论第6章答案
第六章 中心力场 6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式 相对动量 ()21121p m p m M r p -==? μ （1） 总动量 1p p R M P +==? （2） 总轨迹角动量p r P R p r p r L L L ?+?=?+?=+=221121 （3） 总动能 μ 22222 22 221 21p M P m p m p T + =+= （4） 反之，有 ,11r m R r μ+ = r m R r 2 2μ-= （5） p P m p +=2 1μ ，p P m p -= 1 2μ （6） 以上各式中，()212121 ,m m m m m m M +=+=μ 证： 2 12 211m m r m r m R ++= ， （17） 21r r r -=， （18） 相对动量 ()211221212 11p m p m M r r m m m m r p -=??? ? ??-+= =? ?? μ （1’） 总动量 ()212 1221121p p m m r m r m m m R M P +=+++==? ?? （2’） 总轨迹角动量 221121p r p r L L L ?+?=+= )5(2211p r m u R p r m u R ???? ? ??-+????? ?? += () () 2112 211p m p m M r p p R -? ++?= ) 2)(1(p r P R ?+?= 由（17）、(18)可解出21,r r ，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。 总动能()22 11 2 262221212222m p P m m p P m m p m p T ??? ? ??-+ ? ?? ? ??+=+= μμ 2 12 2 2 2 2 122 11 2 2 2 2 12 2222m m p P u m p P m m u m m p P u m p P m m u ?- + + ?+ + =
喀兴林高等量子力学习题6、7、8
练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i a 展开的（6.1）式中，证明若ψ 是归一化的，则 1=∑*i i i c c ，即A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟） 证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。根据(6.1)式 ∑=i i i c a ψ, ψi i a c = 可得 1===∑∑* ψψψψ i i i i i i a a c c 即A 取各值的概率是归一化的。 # 练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变. (2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美） (1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则 ()t E i i i i t η -=ψ 所以 i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η η ψψ. 即所有物理量的平均值不随时间变化. (2)两个定态的叠加不一定是定态.例如 ()()()t E i t E i e x v e x u t x 21,η η --+=ψ 当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. # 6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立： ) (]),([)()](,[X f X i P X f P f P i P f X ?? =?? =ηη （解答：玉辉 核对：项朋） 证明：（1）
) ()()()()()()()()](,[P f P i P i P f P i P f P f P i P i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??-??=-=ηηηηηηψψ ψψψ ψψ ψψ 所以 )()](,[P f P i P f X ?? =η （2） ) () ()())(())(()()())(()()(]),([X f X i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=?? --??--??-=?? --??-=-=ηηηηηηψψψψψ ψψ ψψ 所以 )(]),([X f X i P X f ?? =η # 练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f P i P X f X ?? =η 解：不正确。 因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 # 练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=?=?L X ,L P （2）[]0=?P X L, （3）()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22 2 2 证明： （1）∑∑∑∑=== ?ijk k j i ijk k j jk ijk i i i i i P X P P X P L P εε L P
高等量子力学复习题
上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解 粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函 数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6） 阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称 偶宇称 （7） 阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ， 将这条件用于式（7），即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π （9） 即2 22202π n a mV = （10） 这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果 2 2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。如果22202π = a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。如() 222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为 其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。 当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π （12） 也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。
量子力学课后答案第一二章
量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1、1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b(常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ, (1) 以及 λνc =, (2) ||λνρρλd d v =, (3) 有 (),1 18)(| )(|| 5 2-?=?===kT hc v v e hc c d c d d dv λνλλ πλλρλ λλρλ ρρ 这里的λρ的物理意义就是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的就是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的就是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值就是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就就是要求的,具体如下: 01151186=??? ? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc d d λλλλλ πλρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这就是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解就是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4、97,经过验证,此解正就是所要求的,这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??≈-3109.2λ 这便就是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。
高等量子力学习题汇总(可编辑修改word版)
2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2
高等量子力学习题.
高等量子力学习题 1、 对于一维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作用是() ()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x e i p a a D -=?? ? ??= ?exp 。 2、 当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。 3、 若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。 4、 给定算符B A ,，证明[][][]....,,! 21 ,++ +=-B A A B A B Be e A A ξξ。 5、 给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。证明Glauber 公式C A B C B A B A e e e e e e e 2 12 1 ==-+。 6、 设U 为幺正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满足 122=+B A 和[]0,=B A 。试找出A 和B ，并证明U 可以表示为iH e U =，H 为厄密 算符。 7、 已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系：02 =A ，1=+++AA A A ，A A B + =。试证明 B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。 8、 对于一维谐振子，求湮灭算符a ?的本征态，将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。已知1?-=n n n a 。 9、 从谐振子对易关系[ ]1,=+ a a 出发，证明a e ae e a a a a λλλ--=+ +。 10、 证明谐振子相干态可以表示为 0*a a e ααα-+=。 11、 谐振子的产生和湮灭算符用a 和+ a 表示，经线性变换得+ +=va ua b 和 ++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满足关系122=-v u 。试证明：对于算符b 的任 何一个本征态，2 =???p x 。 12、 某量子体系的哈密顿量为，() 223 2 35++++= a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡++ + a a aa a a 。试求该体系的能量本征值。 13、 用+ a ?和a ?表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式
量子力学第一章习题答案
第一章 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律： 能量密度极大值所对应的波长λm 与温度T 成反 比，即λm T = b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到两位有效数字。 解：黑体辐射的普朗克公式为：) 1(833 -=kT h e c h ν νν πρ ∵ v=c/λ ∴ dv/dλ= -c/λ2 又 ∵ ρv dv= -ρλdλ ∴ ρλ=-ρv dv/dλ=8πhc/[λ5(e hc/λkT -1)] 令x=hc/λkT ,则 ρλ=8πhc(kT/hc)5x 5/(e x -1) 求ρλ极大值，即令dρλ(x)/dx=0，得： 5(e x -1)=xe x 可得： x≈4.965 ∴ b=λm T=hc/kx ≈6.626 *10-34*3*108/(4.965*1.381*10-23) ≈2.9*10-3（m K ） 1.2√. 在0 K 附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布罗意波长。 解： h = 6.626×10-34 J ·s , m e = 9.1×10-31 Kg,， 1 eV = 1.6×10-19 J 故其德布罗意波长为： 07.0727A λ=== 或λ= h/2mE = 6.626×10-34/(2×9.1×10-31×3×1.6×10-19)1/2 ≈ 7.08 ? 1.3 √.氦原子的动能是E= 32 KT （K B 为波尔兹曼常数），求T=1 K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：h = 6.626×10-34 J ·s , 氦原子的质量约为=-26-2711.993104=6.641012 kg ???? , 波尔兹曼常数K B =1.381×10-23 J/K 故其德布罗意波长为： λ = 6.626×10-34/ (2×-276.6410?×1.5×1.381×10-23×1)1/2 ≈0 1.2706A 或λ= 而KT E 23 =601.270610A λ-==? 1.4利用玻尔-索末菲量子化条件，求： a ） 一维谐振子的能量： b ） 在均匀磁场作圆周运动的电子轨道的可能半径。 解： a ）解法一：设一维谐振子的质量为m ，广义坐标为 q=Acos(ωt+φ) 根据玻尔—索末菲量子化条件 ∮pdq = nh 得：∮m(dq/dt)dq = m ωA 2∮sin 2θd θ=m ωA 2π=nh ∴ A 2 =nh/(πm ω)=2nh/m ω (其中h=h/2π) 又 ∵ 一维谐振子的周期 T =2π(m/k)0.5
量子力学 第二版 第六章__散射 习题答案 周世勋
第六章 散射 1．粒子受到势能为 2 )(r a r U = 的场的散射，求S 分波的微分散射截面。 [解] 为了应用分波法，求微分散射截面，首先必须找出相角位移。注意到第l 个分波的相角位移l δ是表示在辏力场中的矢径波函数l R 和在没有散射势时的矢径波函数l j 在∞→r 时的位相差。因此要找出相角位移，必须从矢径的波动方程出发。 矢径的波动方程是： 0))1()((12 2 22=+--+??? ??l l R r l l r V k dr dR r dr d r 其中l R 是波函数的径向部分，而 E k r U r V 2 2 2 2),(2)( μμ= = 令 r r x R l l )(= ，不难把矢径波动方程化为 02)1(222 2=??? ??-+-+''l l x r r l l k x μα 再作变换 )(r f r x l =，得 0)(221)(1)(22 2 2 =???? ??? ? ?+??? ? ? +- +'+''r f r e k r f r r f μα 这是一个贝塞尔方程，它的解是 ) ()()(kr BN kr AJ r f p p += 其中 2 2 2 221 μα+??? ?? +=l p 注意到 ) (kr N p 在0→r 时发散，因而当0→r 时波函数 ∞ →= r N R p l ，不符合波函数的标准条件。所以必须有0=B 故 ) (1kr J r A R p l = 现在考虑波函数l R 在∞→r 处的渐近行为，以便和l j 在∞→r 时的渐近行为比较，而求
得相角位移l δ，由于： ) 2 sin(1)4 2 sin(1)(l l kr r p kr r r R δππ π+- = + - → ∞→ ????????????? ? ? +-+??? ?? +-=++-=∴ 2122122422 2l d l l p l μππ ππδ 当l δ很小时，即α较小时，把上式展开，略去高次项得到 ??????? ?? ?+ -=2122 l l μα πδ 又因 l i i e l δδ212=- 故 ∑∞ =-+= 2) (c o s )1)(12(21)(l l i P e l ik f l θθδ ∑∞ =?? ???? ??+-+=02) (cos 122)12(21l l P l i l ik θμαπ ∑∞ =- =0 2 ) (cos l l P k θπμα 注意到 ?????? ?≤???? ??≥???? ??=-+=∑∑∞=∞=02 121202 1121212 22112 )(cos 1)(cos 1cos 21 1 l l l l l l r r P r r r r r P r r r r r r r r 当当θθθ 如果取单位半径的球面上的两点来看 则 121==r r ，即有 ∑∞ == = -0 2sin 21)(cos ) cos 1(21l l P θθθ 故 2s i n 21)(2 θ πμα θ k f - = 微分散射截面为
吉林大学高等量子力学习题答案共11页word资料
高等量子力学习题和解答 ? 量子力学中的对称性 1、 试证明：若体系在线性变换Q ?下保持不变，则必有0]?,?[=Q H 。这里H ?为 体系的哈密顿算符，变换Q ?不显含时间，且存在逆变换1?-Q 。进一步证明，若Q ?为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。 解：设有线性变换Q ?，与时间无关；存在逆变换1?-Q 。在变换 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ?''?t t i H i H ?ψ=ψ?ψ=ψ h h 进而有 2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R z e ρ的矩阵表示。 解： 'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z z θθθθθ -=+=-+=考虑坐标系绕轴转角 用矩阵表示 '10'10'00 1x d x y d y z z θθ?????? ? ???=- ? ??? ? ?????? ??? 还可表示为 '()z e r R d r θ=r 3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n ρ 转θ d 角， 在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψρ =。试导出转动算符),(θd n U ρ 的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U ρ 下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。 解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符
()z e U d θr 利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψr r 可得 ()1z e z i U d d L θθ=-r h 通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符 绕任意轴n 转θ角的转动算符为 1U U U -+=? 为幺正算符 若 (')()()z e r U d r θψ=ψr r r 则必有 1 (')()()()()[,] z z e e z H r U d H r U d i H r d H L θθθ-==+r r r r r h 若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒 4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋 1=S 。 解：矢量函数在旋转变换下 后式代入前式 '(')(')[](')[](')x x y y x y z z r r e d e r d e e r e θθψ=ψ++ψ-++ψr r r r r r r r r r 又 '(')'(')'(')'(')x x y y z z r r e r e r e ψ=ψ+ψ+ψr r r r r r r r 比较得 '(')(')(') ?[1]()[1]()[1]()() x x y z x z y z x y r r d r i i d L r d d L r i d L r d r θθ θθθθψ=ψ-ψ=-ψ--ψ=-ψ-ψr r r r r h h r r h 类似可得 ?'(')()[1]()?'(')[1]()y x z y z z z i r d r d L r i r d L r θθθψ=ψ+-ψψ=-ψr r r h r r h
高等量子力学习题汇总
第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求证： 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2
量子力学思考题及解答
量子力学思考题 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 （2）如按这种理解 ),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+=
高等量子力学第一章习题
?k ijk j i S i S S ε=],[2322212S S S S ++=> >=+0|)(!1 |n b n n ∫=++?x x x x e e d ****2φφφφπ φ高等量子力学第一章习题： 1、两个态矢量|+＞和|－＞形成完全集。在它们所构成的Hilbert 空间中定义如下三个算符： 试证明它们满足如下对易和反对易关系： 并求出两个态矢量|+＞和|－＞之间的翻转变换算符及算符的表 达式 2、二能级系统的哈密顿算符一般可表达为： H ＝a|1><1|+b|2><2|+c|1><2|+d|2><1| 其中|1>和|2>分别表示二能级的状态，形成正交归一集。 问：H 的厄密性对系数a,b,c,d 有何限制?求该系统的能量本征值及相应的本征态矢量(表示为|1>和|2>的线性叠加)。 3、已知一线性谐振子在其哈密顿表象中的本征态矢量为 其中，基态|0>满足b|0>=0,并且b 和b +与其坐标和动量算符的关系为 试求态矢量|n>转换到坐标表象表达式。 4、设某系统的哈密顿算符为:H(t)=a 1(t)J ++a 2(t)J 0+a 3(t)J － 其中a i (t),i=1,2,3为任意时间t 的函数，J +,J 0,J －为SU(1,1)群的生成元，其满足下述对易 关系:[J +,J －]=－2J 0,[J 0,J ±]=±J ± 试证明该系统的时间演化算符可表示为: U(t,0)=exp[C 1(t)J +]exp[C 2(t)J 0]exp[C 3(t)J －],并导出确定C i (t)的方程.。 5、已知算符b 和b +的对易关系为[b ,b +]=1,在b +b 对角表象的本征态矢量为 且基态满足b|0>=0,引入算符b 的本征态b|z>=z|z> 试求归一化态矢量|z>在b +b 对角表象的表示式,由基矢量组|z>构成的表象称作为相干态表象，试求态矢量|n>在相干态表象的波函数 6、题的已知条件与题5相同，并可利用题5的结果，试证明： （i ）相干态表象的基矢量不具有正交性，并说明其原因。(ii)相干态表象的基矢组是完备的，完备性条件由下式给出式中，积分元由z=x+iy d 2z=dxdy 给出，证明过程中可以利用的公式有: (iii)不存在算符b +的本征右矢量。）（||||2 1+><+=?S ）（||||2 3?><+=?S ）（||||22?><+?+> >=+0|)(!1 |n b n n )(2b b x +=+μω?)(2 b b i p ?=+?μω∫=><1 ||2z z z d π
量子力学第六章散射
第六章 散射 6.1 两体碰撞和散射截面 两个粒子的碰撞可以分为弹性散射，非弹性散射和反应三种类型。如果两个粒子的内部状态在碰撞前后都保持不变，则称为弹性散射。弹性散射也就是弹性碰撞，下面将只讨论弹性散射问题。如果粒子的内部状态在碰撞后有变化（例如激发或电离），则称为非弹性散射。如果碰撞后有新粒子出现，则称为反应。非弹性散射与反应有时并不能严格区分开来。单粒子的衰变也可属于反应。粒子之间的碰撞与能级跃迁中的频谱（能谱）一样对许多实际问题的研究具有很重要的意义。例如，贞瑟福（Rutherford ）由对X 粒子被原子散射的研究中发现原子中心有一个重核。又如，电子与原子碰撞的夫兰克——赫兹（Franck-Herty ）实验证明了原子中有定态。 两个粒子的碰撞可以在外场中进行，下面也只讨认没有外场的情况，这时，两个粒子体系 的势能仅由相互作用能()U r 决定。由§2.7“5”可知，两体问题可以化为一个具有折合质量为μ的粒子在一个固定于质心位置的势场()U r 中运动。这个静止不动的质心位置被称为散射中心，也称为 靶心。这时，两个粒子的散射便化为粒子被势场的散射。这个粒子的能量E 是连续谱，在弹性散射 中，能量E 在散射过程中保持不变。为了简单，设耙心质量比位于r 处的粒子质量大得多，则这个 具有折合质量的粒子便化为一个真实粒子，而相对运动能量E 便化为这个真实粒子的能量。 考虑一束粒子沿Z 轴正方向向散射中心C 射束，如下图： 在入射粒子未进入势场之前，即当入射粒子距离散射中心很远时，可近似地用平面波描写，所以穿过垂直于Z 轴平面的λ射粒子是均匀分布的。单位时间内穿过垂直于入射方向单位面积的粒子数N 称为入射粒子流强度。粒子被散射后的运动方向与入射方向之间的夹角称为散射角。设以C 点为球心以r 为半径的球面上的面积元ds 对C 点张开的立体角为d Ω，则单位时间内散射到d Ω内的粒子数dn 应与d Ω成正比，也与N 成正比： (,)dn q Nd θ?=Ω （6.1-1） 其中(,)q θ?为比例系数。(,)q θ?通常是,θ?的函数，它的值与入射粒子的能量E 以及势场 ()U r 有关，但应与N 无关。因2dS dn r =，则上式可化为： 2(,)dn q ds r θ?= （6.1-2）
量子力学习题答案.
2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论（一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数
（二）的情形 令 ,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为 由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数
2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞ ∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 ∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成 由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得
当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其中 其解为 由在右边波函数的有界性得为零 ∴ 再由连续性条件，即由 得 则 得 得 除以得 再由公式 ,注意到 令 ,
量子力学考试题
量子力学考试题 （共五题，每题20分） 1、扼要说明： （a ）束缚定态的主要性质。 （b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。 2、设力学量算符（厄米算符）∧ F ，∧ G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧ F ），试证明： （a ）∧ K 的本征值是实数。 （b ）对于∧ F 的任何本征态ψ，∧ K 的平均值为0。 （c ）在任何态中2F +2 G ≥K 3、自旋 /2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为 S H ??ω= ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S （ω，ν>0，ω?ν） （a ）求能级的精确值。 （b ）视ν∧ x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。 4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0间改变。 （b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’） 选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e → r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分 （a ）∧ K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。 （b ）∧ F ψ＝λψ，ψ∧ F ＝λψ K ＝ψ∧ K ψ＝i ψ∧F ∧ G -∧ G ∧F ψ ＝i λ｛ ψ∧ G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧ F 2 +∧ G 2-∧ K ψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧ F -i ∧ G )ψ︱2≥0 ∴<∧ F 2 +∧ G 2 -∧ K >≥0，即2F +2 G ≥K 3、(a)，(b)各10分 (a) ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2 ［ων ν ω -］ ∧ H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2 λ，则 ［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λων ν λω---︱ ＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2 2 2νω+，E 2＝2 22νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+2 22ων）＝ω+ων22 E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2 ［ω+ων22］ （b ）∧ H ＝ω∧z S +ν∧ x S ＝∧H 0+∧H ’ ，∧ H 0＝ω∧ z S ，∧ H ’ ＝ν∧ x S ∧ H 0本征值为ω 21± ，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0） ＝ω 21 相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ] 则∧ H ’之矩阵元（S z 表象）为 '11H =0，'22H =0，'12H ＝' 21H ＝ν 21
高等量子力学
研究生课程教学大纲 高等量子力学 一、课程编码：21-070200-B01-17 课内学时： 64 学分： 4 二、适用学科专业：理学，工学 三、先修课程：数理方法，理论力学，电动力学，量子力学，热力学统计物理 四、教学目标 通过本课程的学习，使研究生掌握希尔伯特空间，量子力学基本理论框架，了解狄拉克 方程，量子力学中的对称性与守恒定律，二次量子化等理论知识，提升在微观体系中运用量 子力学的基本能力。 五、教学方式：课堂讲授 六、主要内容及学时分配 1 希尔伯特空间10学时 1.1 矢量空间 1.2 算符 1.3 本征矢量和本征值 1.4 表象理论 1.5 矢量空间的直和与直积 2 量子力学基本理论框架20学时 2.1 量子力学基本原理 2.2 位置表象和动量表象 2.3 角动量算符和角动量表象 2.4 运动方程 2.5 谐振子的相干态 2.6 密度算符 3 狄拉克方程 6学时 4 量子力学中的对称性 5学时 5 角动量理论简介 5学时 6 二次量子化方法16学时 6.1 二次量子化 6.2 费米子 6.3 玻色子 复习 2学时七、考核与成绩评定：以百分制衡量。 成绩评定依据: 平时作业成绩占30%，期末笔试成绩占70%。 八、参考书及学生必读参考资料 1. 喀兴林，《高等量子力学》，.[M]北京：高等教育出版社，2001 2. Franz Schwabl,《Advanced Quantum Mechanics》，.[M]北京：世界图书出版公司：2012 3. 曾谨言，《量子力学》，.[M]北京：科学出版社：第五版2014或第四版2007 4. https://www.360docs.net/doc/7616010161.html,ndau, M.E.Lifshitz，《Quantum Mechanics (Non-reativistic Theory)》，.[M]北京：世界 图书出版公司：1999 5. 倪光炯，《高等量子力学》，. [M]上海：复旦大学出版社：2005 九、大纲撰写人：曾天海
量子力学习题与及解答
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量） ； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86' =???? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 011 5=-?+--kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有
xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ nm m m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.12296 6 2=?=????= ==--μμ 在这里，利用了 m eV hc ??=-61024.1 以及 eV c e 621051.0?=μ 最后，对 E c hc e 2 2μλ= 作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。 1．3 氦原子的动能是kT E 2 3 = （k 为玻耳兹曼常数），求T=1K 时，氦原子的德布罗意波
量子力学曾谨言第六章第七章习题详解
第六章：中心力场 ［1］质量分别为m, ,m 2的两个粒子组成的体系，质心座标R及相对座标r为: m" m zD “、 R = 一一⑴ m, m2 rr 二O -「1 ⑵ 试求总动量P = p,亠p2及总角动量L = h亠丨2在R，r表象中的 算符表示。 1.［解］(a)合动量算符p = P1 ? P2。根据假设可以解出r i，r2 - - m2 令 m 三m ,亠口2: 「=R_ ----- r (3) m 1 m1 r2= R ? r (4) m2 设各个矢量的分量是r1(x1, y1, z1) , r2 (x2, y 2, z2), r(x, y,z)和R(X,Y,Z)。为了计算动量的变换式先求对x , X2等的偏导数: L、L、# L、r L、L、L、 X x m1 ' ' ' '' 1(5) :x1；:x1；:X ；:x1；:x m ；:X ；：x jx2cX cx2 L、rx x ;X ；x2 a m2 e jx m ；X :x (6) 关于 L、L、 d d-可以写出与( 5) (6) 类似的式子，因而-71 -7 2 .z1.z2 A A A A A d e P - (P1 ■P2)x 二P 1x p2x -( - -) i ；x1；x2 L、L、*-?.L、
m1m2 =_(」2): i m ;X :x m ;:X ;:x i ;X --h d P 二i ' i _:X r d j i ；: Y -h k —
A " ■ ■ /t ■ ■ (b)总角动量 L = l i ?丨2 =— (「1 ：：甘 1 ?「2 ：：詁 2) i L x — (「i J j J)x i m 2 -(Z -z)(- m cY ^(yi--z) i Z -(y 2- i :z 利用(3), (4), ( 5), (6): L x {(丫一匹 i m m-:: y)(- m cZ m —-—) :-y m 1 (Y -y)( m m 2 m ；Z -) m i _(Z ? — z)( m m E -—)} ：-y -f Z i m ；Z c c )-(丫 一 -Z —) ；z .y m 1m 2 (y 「 z jz m 2 —(Y m -(Y - 'z -Z mm m 2 .L 、 ,l~. G C (y z ) :z :丫 (y — :z -z ：)} ：y h d =— c c -Z ) (y — Y 'z -z^)} -y h - = (—R I R i h _ ■ -r J)x i
