高等数学极限习题集500道汇总

．

求证：存在，且，＝时，设当βα

=β+βα+αβ

α

β=βαα→→→→000

lim lim lim )()(1

1110x x x x x x o o x x

答（ ）

．．　．　．　．是等价无穷小，则与时，若当2

32123211cos )(1)

1()(03

1

2--=

-=β-+=α→D C B A a x x ax x x

（ ）

答 阶的是时，下述无穷小中最高当x

x D x C x B x A x sin 11cos 1022----→

[]之值．

求)12ln()12ln(lim --+∞

→n n n n ．求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞

→n n n n ．求极限)1

1ln()21(lim n

n n ++∞

→ _____________sin 1lim 32

02

=--→的值x

x x e x x

．

及求证：，，设有数列n n n n n n n n

n n a a a y a a a a b b a a a ∞

→+∞

→∞

→++-=+=≠==lim )(lim lim 2)( 11221

．

及，求记：，

　．，设n n n n n

n n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=

+=>>==lim lim 112)0(1

1

1

221

求极限之值．lim ()cos sin x x x x

x

→+-0212

设，；且试证明：．

lim ()lim ()lim ()

()

x x x x x x v x B

u x A A v x B

u x A →→→=>==0

[] 答（ ）

． ． ． ．2

ln 01)1ln(lim 2)1(1

1

D C B A x x x ∞=

+-→

答（ ）

． ． ． ．2

1)

21(lim 2sin 0

D e C e B A x x

x x =

+→

[]的结果．

之值，并讨论及求：设1

)(1)(lim )(lim 11)(lim )( .1

sin

1)(0012----=+=→→→x u x u f x u u u f u u f x

x x u x x u

_____________6

9lim 223的值等于---→x x x x

．不存在 ． ． ．D C B A e e e e x

x x

x x 123

1

234lim =++--∞→

答：（ ）

lim ()()()

....x x x x A B C D →∞-+-=-?236111

23

35853

不存在

答：（ ）

____________)61()31()21(lim 15220

10=+++∞→x x x x ____________lim 0的值等于x x x e e x -→- ．求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值．lim ()

x x x

x x →+--+03

416125

已知：，问？为什么？

lim ()lim ()()lim ()x x x x x x u x u x v x A v x →→→=∞=≠=0

关于极限结论是：

不存在 答（ ）

lim

x x

e

A B C D →+0

1

535305

4

答（ ） ，则极限式成立的是

，设 )(lim .)()(lim .)

()(lim .0

)

()

(lim

.)(lim )(lim )(0

000

∞

=∞=∞==∞==→→→→→→x g x x x x x x x x x x x x x f D x g x f C x f x g B x g x f A x g A x f

是不是无穷大量．时，，问当)(cos )(x f x x e x f x +∞→=

答（ ） 不存在 2

.2.

..0.1

arctan

tan lim 0

π-π=?→D C B A x

x x

答（ ） 2

.

1..0.)arctan(lim 2π

∞=∞→D C B A x

x x

答（ ）

不存在

.2.2.2.3

1

2lim

2

D C B A x x x ±-=

++∞

→

___________)0(23)(1=-+=

f e

x f x

，则设

答（ ） 不存在 2

.

...0.1cot

arc lim 0

π

π=→D C B A x

x

lim

cos ln ....x a x

x

a A B C D →--==

0100123，则其中

答（ ）π

____________cos 13lim 20的值等于x

x

e e x x x ----→

lim

(cos )

.....x x x

A B C D →-=

-0212220

不存在 答：（

）

设，其中、为常数．

问：、各取何值时，；

、各取何值时，；

、各取何值时，．

f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞

→∞

→25

5

5

112031

求极限．lim ()()()()x n n n n x x x x →∞+--++-2222222211 求极限．lim ()()x x x →∞++322323

32

[]

之值．

、、试确定已知C B A x x c x B A x x 0)1()1()1(3lim

2

2

41

=--+-+-+→

之值．，，，试确定常数．，，满足已知d c b a x f x f x x d

cx bx ax x f x x 0)(lim )2(1)(lim )1(2

)(1223==-++++=→∞→ 之值．，，试确定已知b a x x b x b a x 43

13)(lim

1

=+-+++→

为什么？

＂上述说法是否正确？，则＂若∞=α=α→→)

(1

lim

0)(lim 0

x x x x x x

当时，是无穷大，且，

证明：当时，也为无穷大．

x x f x g x A x x f x g x x x →=→+→000

()lim ()()()

．用无穷大定义证明：+∞=-+→11

2lim

1

x x x ．用无穷大定义证明：-∞=+

→x x ln lim 0 +∞=-π

→x x tan lim 0

2

用无穷大定义证明： ．用无穷大定义证明：+∞=-+→1

1

lim

1x x

＂当时，是无穷小＂是＂＂的：

充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件

既非充分条件，亦非必要条件 答（ ）

x x f x A f x A A B C D x x →-=→00

()lim ()()()()()

若，，但．

证明：的充分必要条件是

．

lim ()lim ()()lim

()

()

lim ()()

()x x x x x x x x f x g x g x f x g x b f x b g x g x →→→→==≠=-?=0

000000

．

其中，：用数列极限的定义证明)10(0lim <<=∞

→a a n

n ．

：用数列极限的定义证明)10(1lim 1

<<=∞

→a a n

n ．：用数列极限的定义证明2152)2(lim 2=++∞→n n n n ___________)

1ln(2)cos(sin 1lim 2

0的值等于x x x +-→

[]之值．

求极限3

sin 0

1

)

(cos lim

x x x

x -→

设，试证明：对任意给定的，必存在正数，使得对适

含不等式；的一切

、，都有成立。lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<0

00010201221εδδδε

．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim 0)(lim 00

{}{}{}是否也必发散？同发散，试问数列与若数列n n n n y x y x + 求的表达式f x x x x n n n ()lim =-+→∞+2121

设　其中、为常数，，

求的表达式；

确定，之值，使，．f x x x a bx x a b a f x a b f x f f x f n n n x x ()lim sin cos()()()()()lim ()()lim ()()=+++<<==-→∞-→→-2121121

021211ππ

．求极限应用等阶无穷小性质，x x x x )1arctan()1arctan(lim 0--+→ 求极限．lim x x x x x

→+--+0215132 求极限．lim ()()x x x x →--+012131416 求极限　为自然数．．lim ()()x n ax x

n a →+-≠01110 求极限．lim

()x x x x →-+--31

35223

设当时，与是等价无穷小，

且，，证明：．x x x x f x x a f x x g x A f x x g x A x x x x x x →=≠-=-=→→→00001αβααβ()()lim ()()lim ()()()

lim ()()()

设当时，，是无穷小

且证明：．x x x x x x e e x x x x →-≠--00

αβαβαβαβ()()()()~()()()()

若当时，与是等价无穷小，是比高阶的无穷小．

则当时，与是

否也是等价无穷小？为什么？

x x x x x x x x x x x x →→--0101ααβααβαβ()()()()()()()()

[][]

设当时，、是无穷小，

且证明： 与是等价无穷小．

x x x x x x x x x x →-≠+-+-0011αβαβαβαβ()()()().

ln ()ln ()()()

设当时，是比高阶的无穷小．证明：当时，与是等价无穷小．x x f x g x x x f x g x g x →→+00()()()()()

吗？为什么？也是等价无穷小

与无穷小。试判定：

等价

是同阶无穷小，但不是与是等价无穷小，

与时，若)()()()()()()()(110x x x x x x x x x x β-αβ-αβααα→

lim sin ()()()()x x x

A B C D →∞=∞10 不存在但不是无穷大 答（ ）

lim sin ()()()()x x x

A B C D →∞===∞110之值 不存在但不是无穷大 答（ ） 已知　其中、、、是非常数则它们之间的关系为

答（ ）

lim tan (cos )ln()()()

()()()()x x A x B x C x D e A B C D A B D B B D C A C C A C

→-+--+-===-==-011211022222 )1()1)(1)(1(lim 1242n

x x x x x n ++++<∞→Λ计算极限设 设及存在，试证明：．lim lim n n n n n x x x a a →∞→∞+==≤011 求lim(sin cos )x x x x →∞+2

212 计算极限　lim ()()x a x a x a x a a →-++-≠322210 计算极限lim x x x x x x →-+---23223322 计算极限lim ln()cos x x x x

e e x x →-?+021 ??????∞→→)2cos 2cos 2(cos lim lim 20n n x x x

x Λ计算极限

{}．，试证明及满足设有数列0lim )10( lim

01

=<≤=>∞→+∞

→n n n

n n n n a r r a a a a

{}，试按极限定义证明：，且满足设有数列)10( lim 0<≤=>∞

→r r a a a n n n n n ．0lim =∞

→n n a

．语言证明，试用　设A x f A A x f x x x x =δ-ε>=→→)(lim

"")0()(lim 0

试问：当时，，是不是无穷小？x x x x

→=

01

2α()sin

的某去心邻域，使得

试证明：必存在，且，设0,)(lim )(lim 0

x B A B x g A x f x x x x >==→→．在该邻域为)()(x g x f >

设，试研究极限f x x x

f x x ()sin lim ()=→110 计算极限．lim ln()arcsin()x x x x →+---232312344

[]

　答（ ）

大无界变量，但不是无穷小有界变量，但不是无穷无穷小量

无穷大量是时，则当，

设数列的通项为)()()()()1(12

D C B A x n n

n n x n n n ∞→--+=

以下极限式正确的是

答（ ）

()lim()()lim()()lim()()lim()A x e B x

e C x e D x

x x x x x x x x →+→+-→∞-→∞-+=-=-=+=001

11111

1111

设，　，，，求．x x x n x n n n n 1110612==+=+→∞

()lim Λ

a

b A a D a A b a C b A b a B A b a A A b a A

x f x b x x e x f x ax ======??

?

??=≠-=→可取任意实数且可取任意实数，，可取任意实数，，可取任意实数，，之间的关系为，，则，且， 当，当设)()()(1)()(lim 001

)(0

答：( )

a

A A b a D A

b a a C b A b a B a A b a A A b a A x f x b x x

ax d x f x ln )()()()()(lim 0 0)

1ln()(0

======??

?

??=≠+=→仅取可取任意实数，而，可取任意实数且可取任意实数，，可取任意实数，，之间的关系为，，则，，且当 ，　，当设

答：（

）

答（ ）

可取任意实数可取任意实数可取任意实数，可取任意实数，间正确的关系是，，则，且当， ，当设2

)(2)(2)(2)()(lim 0 0

cos 1)(2

2

2

a A

b a D a

A b a C a A b a

B a

A b a A A b a A x f x b x x ax x f x =

==

==

==??

?

??=≠-=→

[][]设有，，且在的某去心邻域

内复合函数有意义。试判定是否

成立。若判定成立请给出证明；若判定不成立，请举出例子，并指明应如何加强已知条件可使极限式成立。

lim ()lim ()()lim ()x x u a

x x x a f A x f x f x A →→→===0

0????

设，当， 当　适合则以下结果正确的是仅当，，仅当，，可取任意实数，，可取任意实数，，都可能取任意实数

答（ ）

f x x x b

x x a x f x A

A a b A

B a A b

C b A a

D a b A x ()lim ()()()()()=++-≠=???

??===-====-=→21

21114344434

设　当 当　且，则，，，可取任意实数，可取任意实数

答（ ）

f x bx x x a x f x A b a B b a C b a D b a x ()lim ()()()()()=+-≠=???

??=======→11

0033363

360

值。，试求时，且当，设a x x x e e x ax x x )(~)(0)(1)

1()(cos 3

12βα→-=β-+=α 求．lim x x x

x x

e e e e →∞---+234

．，则设____________8)2(lim ==-+∞→a a

x a x x x ．____________)31(lim sin 2

0=+→x x x

当时，在下列无穷小中与不等价的是 答（ ）

x x A x B x C x x D e e

x

x

→-++--+--0121112

222

2

()cos ()ln ()()

当时，下列无穷小量中，最高阶的无穷小是 答（ ）

x A x x B x C x x D e e

x

x

→++---+--01112

22()ln()()()tan sin ()

计算极限lim

cos x x

x e x →---0

2112

_____________________4sin 3

553lim 2

=?++∞→x x x x

1

lim 211--++++-→x n x x x x n n x Λ计算极限 131)1()1()1)(1(lim -→----n n x x x x x Λ计算极限 ．计算极限x

x x π

+→)(cos lim 0

讨论极限的存在性。limarctan x x →-1

1

1 的存在性。研究极限x

x 1cot arc lim 0→

研究极限．lim x x x x →∞++-223

1

　）

答（ 穷大的是时，下列变量中，为无当x D x C x B x

x A x 1

cot

arc )(1arctan )(ln )(sin )

(0+→ ________________1

ln 1

lim

1

=-→x x 。

时，恒有

，使当存在一正整数，试判定下述结论，且设N n N a a n n n >=>∞

→"0lim 0是否成立？"1n n a a <+

若试讨论是否存在？lim lim n n n n a A a →∞

→∞

=

{}存在的

极限，试判定能否由此得出满足设有数列n n n n n n a a a a ∞

→+∞

→=-lim 0)(lim 1结论。

{}0lim 1001=<<≤>∞→+n n n

n n n a r r a a

a a ，试证明，；满足设有数列

是否必存在？

存在，则存在，设)(lim )(lim )

()

(lim

000

x f x g x g x f x x x x x x →→→ ．

，则是否必有，若0)(lim 0)

()

(lim

0)(lim 00

=≠==→→→x g A x g x f x f x x x x x x

答（ ）

小量的是时，下列变量中为无穷当1

)

1)((ln 1)

()1ln()(1

sin 1)(012

2-+-+→x

x D x C x B x x A x

．

是常数），试证明，时，设0)()

(lim

()()(0

0=→∞→→→x f x g A A x g x f x x x x

若，且在的某去心邻域内，，则必等于，为什么？

lim ()()lim

()

()lim ()x x x x x x g x x g x f x g x A f x →→→=≠=0

0000

若，不存在，则是否必不存在？若肯定不存在，请予证明，若不能肯定，请举例说明，并指出为何加强假设条件，使可肯定的极限时必不存在。

lim ()lim ()lim ()()

()()()x x x x x x f x A g x f x g x f x g x x x →→→=??→0

lim ()()()()n n n n n

e e e

e A B e C e D e →∞

-??=

1212

1Λ 答（ ）

．

____))1(2121(lim =-+++-+++∞

→n n n ΛΛ

答（ ）

不存在，但不是无穷大为无穷大　等于　等于 .

)( ;)(;

2)( ; 0)(2

cos

lim 2

D C B A x x x +→

.

)(0)2(; )10()()1(sin 1)(是否成为无穷大时，当，内是否有界，在，试判断：设x f x x f x

x x f +→π

=

[

)设，试判断：在，上是否有界当时，是否成为无穷大

f x x x f x x f x ()cos ()()()()=+∞→+∞102

（ ）

答 高阶的无穷小是比高阶的无穷小是比是等价无穷小与等价无穷小是同阶无穷小，但不是与时（ ），则当，设.

)()()(; )()()(; )()()(; )()()(133)(11)(3x x D x x C x x B x x A x x x x

x

x αββαβαβα→-=β+-=

α

答（ ）

，　，，　，，则必有设. 104)( ; 64)(; 104)( ; 52)(14lim 231=-=-==-=====-+--→A a D A a C A a B A a A A x x ax x x

）

答（ 不存在但不是无穷大 为等于 等于的极限

时，当. )( ; )(;

0)( ; 2)(1

1)(11

1

2D C B A e

x x x f x x ∞--=→-

的值。．试确定满足和，设当a x x x x ax x x )(~)(cos 1)(1)

1()(02

3

2

βα-=β-+=α→

求，使a b x x ax b x lim()→∞++-+=321

12 之值。，试确定设b a b ax x x x , 0)743(lim 2=--+++∞→ n n n n x n x x x ∞

→+=+==lim )21(32111，求，，，设Λ

设，　，，，求．x x x n x n n n n 1142312==+=+→+∞

()lim ΛΛ

)(lim x x x x x --++∞

→计算极限 x

x x

x x x tan 2cos sin 1lim

-+→计算极限

计算极限lim

tan sin tan sin x x x

x x e e →+-+-0

44

研究极限的存在性。lim cos ()x ax

x a →->0220 {}．收敛，并求极限，试证数列

，，．，，设n n n n n n x x n x x x x ∞

→+=-=∈lim )21(2)20(2

11ΛΛ 设，，，，试研究极限．x x x x n x n n n n n 112

0212<=-=+→∞

()lim ΛΛ

．

，试研究极限，，，设n n n n n x n x x x x ∞

→+=-=>lim )21(222

11ΛΛ

n

n n n n b

n n n n

n n n n n b a b a n b a b b a a b a ∞

→∞

→→∞

→++==+==lim lim lim lim )21( 21111存在，且存在，试证明：，，，，是两个函数，令，设Λ

cos 20e e lim x x x

→-计算极限 x x x x

x x x ???

??+-+++∞→lim 计算极限 x x x x )121(lim 2

+-∞→计算极限

至少有一

及，则能否得出＂，，且若0lim 0lim 000lim ==≠≠=∞

→∞

→∞

→n n n n n n n n n y x y x y x 式成立＂的结论。

{}{}{}反例。

，如否定结论则需举出如肯定结论请给出证明是否也必是无界数列。试判定：

，

都是无界数列，，设数列n n n n n n z y x z y x =

计算极限lim sinln()sinln()x x x x →∞+-+?

?

????1311

极限．；　． ．；　．． 答（ ）

lim(cos )x x x A B C D e →-

=

1

12

2

01

极限的值为（ ）

．；　．；　．；　．． 答（ ）

lim ()x x x

e e x x A B C D →--+0210123

答（ ）

．．；　．；　．；　．的值为（ ）

极限2

3

326103sin 3cos 1lim

0D C B A x

x x

x -→

下列极限中不正确的是

．；　．；．；．．

答（ ）

A x x

B x

x C x x D x

x x x x x lim tan sin lim cos

lim sin()lim arctan →→-→→∞=+=---==011232322121120π

π

极限．；　．；　．；　．． 答（ ）

lim ln()ln()x x x x x x A B C D →+++-+=

0222

110123

极限．；　．；　．；　．． 答（ ）

lim(cos )x x

x A B e C D e →-

=

112

12

01

答（ ）

．

．；．；．；　．为等价无穷小量的是时，与当 )sin ( 11)1ln( 2sin 0x x x D x x C x B x A x x +--+-→

）

答（ ．低阶无穷小量．

．高阶无穷小量；量；

．同阶但非等价无穷小．等价无穷小量；的是无穷小量－时，无穷小量

当D C B A x x

x

x 12111-+→

为常数，则数组，等价，其中与时，无穷小量当n m mx x x x n 2sin sin 20-→的值为，）中，（n m n m

　答（ ）

．

，．；　，．；　，．；　，．)13()31()23()32(D C B A

已知，则的值为

．；　．；　．；　．． 答（ ）

lim()

x x

kx e k A B C D →+=-0

1

1111

2

2

极限的值为

．；　．；　．；　． 答（ ）

lim()x x

x

A e

B e

C e

D e

→∞---11

221

4

1

4

下列等式成立的是

．；　．；

．；．．

答（ ）

A x e

B x

e C x e D x

e x x x x x x x x lim()lim()lim()lim()→∞→∞→∞+→∞++=+=+=+=1211

1111

22222212

答（ ）

．．；　．；　．；　．极限2210

1

)

21(lim e D e C e

B e A x x

x -→=

-

极限的值为（　）

．；　．；　．；　．．

答（ ）

lim(

)x x x x A e B e C e D e →∞+---+11

4

2244

极限的值是

．；　．；　．；　．． 答（ ）

lim x x x x A B e C e D e →∞----+?? ?

?

?2121121

1

2

2

下列极限中存在的是

．；　．；．；　． 答（ ）

A x x

B e

C x x

D x x x x x x lim lim lim sin lim →∞→→∞→++-201011111

21

极限的值为．；．　．　．． 答（ ）lim

tan sin x x x

x

A B b C D →-∞03011

2

极限．；　．；　．；　．．

答（ ）

lim

sin x x

x A B C D →-=

-∞ππ

101

已知，则的值为

．；　．；　．；　．．

答（ ）

lim

cos sin x a x x x a A B C D →-=-01

2

0121

已知，则的值为

．；　．；　．；　．． 答（ ）lim

sin ()

x kx

x x k A B C D →+=----02333

2

66

答（ ）

．，．；　，．；　，．；　，．为，的值所组成的数组，，则常数设)11()11()10()01()(0)11

(lim 2-=--++∞→D C B A b a b a b ax x x x

答（ ）

，．；　，．；　，．；　，．）可表示为

，的值，用数组（，，则

，若设)

44()44()44()44(0)(lim 1

34)(2----=++-+=∞→D C B A b a b a x f b ax x x x f x