(易错题精选)初中数学方程与不等式之一元二次方程难题汇编附答案(1)

（易错题精选）初中数学方程与不等式之一元二次方程难题汇编附答案(1)

一、选择题

1．聪聪、明明、伶伶、俐俐四人共同探究代数式2235x x -+的值的情况他们做了如下分工，聪聪负责找值为0时x 的值，明明负责找值为4时x 的值，伶伶负责找最小值，俐俐负责找最大值，几分钟，各自通报探究的结论，其中正确的是（ ）

（1）聪聪认为找不到实数x ，使2235x x -+的值为0；

（2）明明认为只有当1x =时，2235x x -+的值为4；

（3）伶伶发现2235x x -+有最小值；（4）俐俐发现2235x x -+有最大值 A ．（1）（2）

B ．（1）（3）

C ．（1）（4）

D ．（1）（2）（4） 【答案】B

【解析】

【分析】

解一元二次方程，根据判别式即可判断（1）（2），将式子2x 2﹣3x +5配方为2（x ﹣34）2+

318

，根据平方的非负性即可判断（3）（4）． 【详解】 解：（1）2x 2﹣3x +5＝0，△＝32﹣4×2×5＜0，方程无实数根，故聪聪找不到实数x ，使2x 2﹣3x +5的值为0正确，符合题意，

（2）2x 2﹣3x +5＝4，解得x 1＝1，x 2＝

12

，方程有两个不相等的实数根，故明明认为只有当x ＝1时，2x 2﹣3x +5的值为4错误，不符合题意， （3）∵2x 2﹣3x +5＝2（x ﹣

34）2+318， 又∵（x ﹣

34）2≥0， ∴2（x ﹣34

）2+318≥318， ∴2x 2﹣3x +5有最小值，故伶伶发现2x 2﹣3x +5有最小值正确，符合题意，

（4）由（3）可知2x 2﹣3x +5没有最大值，故俐俐发现2x 2﹣3x +5有最大值错误，不符合题意，

故选：B ．

【点睛】

本题考查解一元二次方程和配方法的应用，掌握一元二次方程求根公式和配方法是解决本题的关键．

2．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a %后售价为128元，下面所列方程中正确的是( )

A ．168(1＋a %)2＝128

B ．168(1－a %)2＝128

C ．168(1－2a %)＝128

D ．168(1－a 2%)＝128

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】 解：第一次降价a%后的售价是168（1-a%)元，

第二次降价a%后的售价是168（1-a%)(1-a%)=168(1-a%)2；

故选B.

3．对于一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），下列说法：

①若b ＝ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根；

②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则方程x 2﹣bx +ac ＝0也一定有两个不等的实数根；

③若c 是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，则一定有ac +b +1＝0成立；

④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2，其中正确的（ ）

A ．只有①②③

B ．只有①②④

C ．①②③④

D ．只有③④

【答案】B

【解析】

【分析】

判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=-24b ac 的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示0x ．

【详解】

解：①若b =，方程两边平方得b 2＝4ac ，即b 2﹣4ac ＝0，所以方程ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根；

②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则b 2﹣4ac ＞0

方程x 2﹣bx +ac ＝0中根的判别式也是b 2﹣4ac ＞0，所以也一定有两个不等的实数根； ③若c 是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，则一定有ac 2+bc +c ＝0成立，

当c ≠0时ac +b +1＝0成立；当c ＝0时ac +b +1＝0不成立；

④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根，可得0x ， 把x 0的值代入（2ax 0+b ）2，可得b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2，

综上所述其中正确的①②④．

故选：B ．

【点睛】

此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示0x ，整体代入求2204(2)b ac ax b -=+．

总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△0>?方程有两个不相等的实数根；

（2）△0=?方程有两个相等的实数根；

（3）△0

4．某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，设平均每次增长的百分数为x ，那么x 应满足的方程是（ ）

A ．40%10%2x +=

B ．100(140%)(110%)(1)x ++=+

C ．2(140%)(110%)(1)x ++=+

D ．2(10040%)(10010%)100(1)x ++=+ 【答案】C

【解析】

【分析】

设平均每次增长的百分数为x ，根据“某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%”，得到商品现在的价格，根据“某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x ”，得到商品现在关于x 的价格，整理后即可得到答案．

【详解】

解：设平均每次增长的百分数为x ，

∵某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%， ∴商品现在的价格为：100(140%)(110%)++，

∵某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x ，

∴商品现在的价格为：2

(1)x +，

∴2100(140%)(110%)100(1)++=+x ，

整理得：2(140%)(110%)(1)x ++=+，

故选：C ．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．

5．若a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，则22a 3ab 8b 2a ++-的值为（ ） A ．-41

B ．-35

C ．39

D ．45

【答案】C

【解析】

【分析】

根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a 2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，把22a 3ab 8b 2a ++-变形为2(a 2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案．

【详解】

∵a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，

∴a 2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，

∴22a 3ab 8b 2a ++-

=2(a 2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2

=2×0+3×（-1）+8×5+2

=39．

故选：C ．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x 2，则x 1+x 2=b a -

，x 1·x 2=c a

；熟练掌握韦达定理是解题关键．

6．已知一元二次方程12()( )0a x x x x --=（a≠0，x 1≠x 2）与一元一次方程 0dx e +=有一

个公共解x=x 1，若一元二次方程()12()()

0a x x x x dx e --++=有两个相等的实数根，则（ ）

A ．()12a x x d -=

B ．()21a x x d -=

C ．()212a x x d -=

D ．()2

21a x x d -= 【答案】B

【解析】

【分析】 由x=x 1是方程12()( )0a x x x x --=（a≠0，x 1≠x 2）与 0dx e +=的一个公共解可得x=x 1是

方程()12()()

0a x x x x dx e --++=的一个解，根据一元二次方程根与系数的关系可得x 1+x 1=12()ax ax d a

-+--

，整理后即可得答案． 【详解】 ∵12()( )0a x x x x --=（a≠0，x 1≠x 2）与 0dx e +=有一个公共解x=x 1，

∴x=x 1是方程()12()()

0a x x x x dx e --++=的一个解， ()2121212 ()0()()a x x x x dx e ax ax ax d x ax x e --++=-+-++=，

∵一元二次方程()12()()

0a x x x x dx e --++=有两个相等的实数根， ∴x 1+x 1=12()ax ax d a

-+--

， ∴a(x 2-x 1)=d ，

故选：B ．

【点睛】 本题考查一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系，若方程的两个根为x 1、x 2，那么

x 1+x 2=b a -，x 1·x 2=c a

；熟练掌握韦达定理是解题关键．

7．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ）

A ．原数与对应新数的差不可能等于零

B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大

C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30

D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大

【答案】D

【解析】

【分析】

设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．

【详解】

解：设原数为m ，则新数为

21100

m ， 设新数与原数的差为y 则2211100100

y m m m m =-

=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵10100

-< 当1m 50122100b a ﹣﹣﹣===??? ???

时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，21100

m m -+＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．

故答案选：D ．

【点睛】

本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．

8．关于x 的方程x 2+2kx+k ﹣1=0的根的情况描述正确的是（ ）

A ．k 为任何实数，方程都没有实数根

B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数拫

C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根

D ．根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种

【答案】B

【解析】

∵关于x 的方程x 2+2kx+k ﹣1=0中

△=（2k ）2﹣4×（k ﹣1）=4k 2﹣4k+4=（2k ﹣1）2+3＞0

∴k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根故选B ．

9．下列各式的变形中，正确的是（ ）

A ．2810x x --=配方变为2(4)1x -=

B ．21()1x x x x

÷+=+ C ．221090x x ++=配方变为2(25)16x += D ．22()()x y x y x y ---+=-

【答案】D

【解析】

【分析】

A 、C 选项，利用配方法的步骤进行计算即可，

B 、D 选项为根据整式的除法和乘法即可判断.

【详解】

A 选项，x 2-8x-1=0利用配方法得，x 2-8x+16-16=1整理得（x-4）2=17，选项错误

B 选项，整式的除法，()221(1)1

x x x x x x x x x x ÷+===+++，选项错误 C 选项，2x 2+10x+9=0 将x 2系数化为1得，29502x x ++

=，利用配方法得2252595442x x ++-=-，整理得，2

5724x ??-= ??

?，故该选项错误； D 选项，易观察到两多项式中存在相同项及互为相反数项，满足平方差公式，其中相同项为-x ，y 与-y 互为相反数，即有（-x-y ）（-x+y ）=x 2-y 2，正确

故选：D ．

【点睛】

此题主要考查一元二次方程中配方法的运算及整式除法，平方差公式，掌握整式混合运算的法则及配方法的步骤是解题的关键．此题为基础题型，比较简单．

10．已知1x 、2x 是一元二次方程220x x -=的两个实数根，下列结论错误．．

的是( ) A ．12x x ≠

B ．21120x x -=

C ．122x x +=

D ．122x x ?=

【答案】D

【解析】

【分析】

根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可.

【详解】

x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x=0的两个实数根，

这里a=1，b=-2，c=0，

b 2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，

所以方程有两个不相等的实数根，即12x x ≠，故A 选项正确，不符合题意；

21120x x -=，故B 选项正确，不符合题意；

12221b x x a -+=-

=-=，故C 选项正确，不符合题意； 120c x x a

?=

=，故D 选项错误，符合题意， 故选D.

【点睛】 本题考查了一元二次方程的根的判别式，根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握相关知识是解题的关键.

11．关于x 的一元二次方程220x ax --=的根的情况（ ）

A ．有两个实数根

B ．有两个不相等的实数根

C ．没有实数根

D ．由a 的取值确定 【答案】B

【解析】

【分析】

计算出方程的判别式为△=a 2+8，可知其大于0，可判断出方程根的情况．

【详解】

方程220x ax --=的判别式为280a ?=+>，所以该方程有两个不相等的实数根， 故选：B ．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程根的情况是解题的关键．

12．关于x 的一元二次方程ax 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么a 的取值范围是( ) A ．a ＞1

B ．a=1

C ．a ＜1

D ．a<1且a≠0

【答案】D

【解析】

【分析】

由于原方程是一元二次方程，首先应该确定的是a≠0；然后再根据原方程根的情况，利用根的判别式建立关于a 的不等式，求出a 的取值范围．

【详解】

解：由于原方程是二次方程，所以a≠0；

∵原方程有两个不相等的实数根，

∴△=b 2-4ac=4-4a ＞0，解得a ＜1；

综上，可得a≠0，且a＜1；

故选D．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

(1)△＞0?方程有两个不相等的实数根；

(2)△=0?方程有两个相等的实数根；

(3)△＜0?方程没有实数根．

13．某新建火车站站前广场绿化工程中有一块长为20米，宽为12米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为112米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，问人行通道的宽度是( )

A．2米B．32

3

米C．2米或

32

3

米D．3米

【答案】A

【解析】

【分析】

根据矩形面积的相关知识进行作答.

【详解】

设宽度为x，将大矩形空地划分为两个相等的小矩形绿地和两个相等的细长矩形和三个相等的小细长矩形，运用大矩形空地面积等于划分的几个矩形面积之和建立方程式，即20121123122x220x

?=+?-+?，解出x=2，所以，选A.

【点睛】

本题考查了矩形面积的相关知识，熟练掌握矩形面积的相关知识是本题解题关

14．代数式245

x x

++的最小值是（）

A．5 B．1 C．4 D．没有最小值

【答案】B

【解析】

【分析】

此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．

【详解】

∵x2+4x+5=x2+4x+4-4+5=（x+2）2+1

∵（x+2）2≥0，

∴（x+2）2+1≥1，

∴当x=-2时，代数式x2+4x+5的最小值为1．

故选：B ．

【点睛】

此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．

15．已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的根为2和3，则关于x 的一元二次方程20ax bx c --=的根为（ ）.

A ．2,3--

B ．6,1-

C ．2,3-

D ．1,6-

【答案】B

【解析】

【分析】

由2，3是一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个实数根，可以得到如下四个等式： 2+3=-b a =-5，2×3=c a =6；再根据问题的需要，灵活变形． 【详解】 因为2和3是方程ax 2+bx+c=0的根，所以2+3=-

b a ，2×3=

c a ； 故一元二次方程ax 2-bx-c=0的根满足x 1x 2=-c a =-6①，x 1+x 2=-b =a b a -=5②； 将A 、B 、C 、D 的值代入①②式中，只有B 项满足.

故答案选B.

16．如图，有一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 18 米），另三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为 35 米，与墙平行的边留有 1 米宽的门（门用其它材料做成），若鸡场的面积为 160 平方米，则鸡场与墙垂直的边长为（ ）

A ．7.5 米

B ．8米

C ．10米

D ．10米或8米

【答案】C

【解析】

【分析】 设长为x ，则根据图可知一共有三面用到了篱笆，长用的篱笆为（x?1）米，与2倍的宽长的总和为篱笆的长35米，长×宽＝面积160平方米，根据这两个式子可解出长和宽的值．

【详解】

解：设鸡场的长为x ，因为篱笆总长为35米，由图可知宽为：35(1)2

x --米，

则根据题意列方程为：

35(1)

160

2

x

x

--

=

g，

解得：x1＝16，x2＝20（大于墙长，舍去），

宽为：35(161)

2

--

=10（米），

所以鸡场的长为16米，宽为10米，

即鸡场与墙垂直的边长为10米．

故选：C．

【点睛】

本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，正确的列方程，牢记长方形的面积=长×宽，一元二次方程的求解是本题的关键与重点．

17．方程x2﹣9x+14＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）

A．11 B．16 C．11或16 D．不能确定

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用因式分解法解方程求出x的值，再分情况讨论求解可得．

【详解】

∵x2﹣9x+14＝0，

∴（x﹣2）（x﹣7）＝0，

则x﹣2＝0或x﹣7＝0，

解得x＝2或x＝7，

当等腰三角形的腰长为2，底边长为7，此时2+2＜7，不能构成三角形，舍去；

当等腰三角形的腰长为7，底边长为2，此时周长为7+7+2＝16，

故选：B．

【点睛】

此题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

18．关于x的方程(2-a)x2+5x-3=0有实数解,则整数a的最大值是()

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】

【分析】

由于关于x的方程（2-a）x2+5x-3=0有实数根，分情况讨论：

①当2-a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；

②当2-a≠0即a≠2时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一

个非负数，由此可以确定整数a 的最大值．

【详解】

解：∵关于x 的方程(2?a)x 2+5x?3=0有实数根，

∴①当2?a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；

②当2?a≠0即a≠2时，此时方程为一元二次方程，

如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，

∴△=25+12(2?a)≥0，

解之得a≤4912

， ∴整数a 的最大值是4.

故选D.

【点睛】

本题考查了一元二次方程与根的判别式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的性质与根的判别式.

19．我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为x ，则根据题意列出的方程是( )

A ．70(1+x )2＝220

B ．70(1+x )+70(1+x )2＝220

C ．70(1﹣x )2＝220

D ．70+70(1+x )+70(1+x )2＝220

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，找出等量关系，列出方程即可.

【详解】

三月份借出图书70本

四月份共借出图书量为70×(1+x )

五月份共借出图书量为70×(1+x )2

则70(1+x )+70(1+x )2＝220．

故选：B ．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，分析题干，列出方程是解题关键.

20．下列方程中，有实数根的方程是（ ）

A ．x 4+16＝0

B ．x 2+2x +3＝0

C ．2402x x -=-

D 0=

【答案】C

【解析】

【分析】

利用在实数范围内，一个数的偶数次幂不能为负数对A进行判断；利用判别式的意义对B 进行判断；利用分子为0且分母不为0对C进行判断；利用非负数的性质对D进行判断．【详解】

解：A、因为x4＝﹣16＜0，所以原方程没有实数解，所以A选项错误；

B、因为△＝22﹣4×3＝﹣8＜0，所以原方程没有实数解，所以B选项错误；

C、x2﹣4＝0且x﹣2≠0，解得x＝﹣2，所以C选项正确；

D、由于x＝0且x﹣1＝0，所以原方程无解，所以D选项错误．

故选：C．

【点睛】

此题考查判别式的意义，分式有意义的条件，二次根式，解题关键在于掌握运算法则