第一章集合与函数的概念

1.1.1集合的含义与表示

1、集合的概念

（1）集合：某些指定的对象组成的整体叫做集合（简称集）。

（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。

例题：1）、设a,b 是非零实数，那么

b b a a +可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__ 2、常用数集及记法

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N +

{} ,3,2,1*=N

（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z

（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,

{}整数与分数=Q

（5）实数集：全体实数的集合记作R

{}数数轴上所有点所对应的=R

插入概念记忆复习

3、元素对于集合的隶属关系

（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A

（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ?

4、集合中元素的特性

（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里， 或者不在，不能模棱两可

（2）互异性：集合中的元素没有重复

（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）

5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……

元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……

⑵“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写

例如：下列各组对象能确定一个集合吗？

（1）好心的人 （不确定）

（2）1，2，2，3，4，5．（有重复）

（二）集合的表示方法

1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合

例如，1）由方程012

=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}

注：（1）有些集合亦可如下表示：

从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53， (100)

所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}

（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只 有一个元素 2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条 件写在大括号内表示集合的方法

格式：{x ∈A| P （x ）}

含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合

例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：{ x ∈R| x>5}

所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x

注：（1）在不致混淆的情况下，可以x ∈R 或者x ∈Z 可以省略，只写其元素x 或者Z ； 如上式可表达为{ x | x>5}

3、何时用列举法？何时用描述法？ ⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法

如：集合},5,23,{2

232y x x y x x +-+

⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出 来，常用描述法 如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数}

例题：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？ 答：不是}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12

+=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12

+=x y 的所有函数值构成的数集。

（三） 有限集与无限集

1、 有限集：含有有限个元素的集合

2、 无限集：含有无限个元素的集合

3、 空集：不含任何元素的集合}01|{2

=+∈x R x 例题:

1、重难点手册P6，易错误区：例13、例14、例15

2、重难点手册P8 高考真题分类：例3

3、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____ 时，解集是无限集。

由ax+b=0得ax=-b ；

当a≠0时方程的解为x=-b/a ，解集为有限集；

当a=0,b≠0时方程无解，即解集为空集；

当a=0且b=0时方程的解集为全体实数，即解集为无限集。

1.1.2集合间的基本关系

（一） 集合与集合之间的“包含”关系；

A={1，2，3}，B={1，2，3，4}

集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；

如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含

关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。

记作：)(A B B A ??或

读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A

用

)(A B B A ??或

（二）集合与集合之间的 “相等”关系；

A B B A ??且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =

即 ??????=A

B B A B A （三）真子集的概念

若集合B A ?，存在元素A x B x ?∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。

记作： A B （或B A ）

读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）

举例（由学生举例，共同辨析）例如： {0,1}____N

（四）空集定义：

不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：?

规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

（五）几个重要的结论：

（1） 空集是任何集合的子集；

（2） 空集是任何非空集合的真子集；

（3） 任何一个集合是它本身的子集；

（4） 对于集合A ，B ，C ，如果，B A ?，且C B ?，那么C A ?。

说明:

1． 注意集合与元素是"属于""不属于"的关系，集合与集合是"包含于""不 包含于"的关系；

2． 在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。

例题：

写出集合{a ，b ， c}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。

（六）小结

1．概念：子集、集合相等、真子集

2. 用Venn 图表达集合间的关系

3. 元素与子集 、属于与包含之间的区别

4. 几个重要的结论

例题：重难点手册P14：例11、例12、例13、例14、例15

1.1.3集合的基本运算

1. 并集

一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ）

记作：A ∪B 读作：“A 并B ”

即： A ∪B={x | x ∈A ，或x ∈B}

Venn

说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。 A ∪B B A ?

例题（P8-9 例4、例5及教辅资料重难点手册P18 例2)

说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。

问题：在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与B 的交集。

2. 交集

一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。

记作：A ∩B 读作：“A 交B ”

即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B}

交集的Venn 图表示

说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。

例题（P9-10 例6、例7及教辅资料重难点手册P19例5）

拓展：求下列各图中集合A 与B

说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集

3.

全集与补集

全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。

补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集。

即：C U A={x | x ∈U 且x ∈A}

补集的Venn 图表示

A

说明：补集的概念必须要有全集的限制

例题（P11例8、例9及教辅资料重难点手册P20 例8）

4.求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交

集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

5.集合基本运算的一些结论：着重分析，课画图说明

A∩B?A，A∩B?B，A∩A=A，A∩?=?,A∩B=B∩A

A?A∪B，B?A∪B，A∪A=A，A∪?=A,A∪B=B∪A

（C

U A）∪A=U，（C

U

A）∩A=?

若A∩B=A，则A?B，反之也成立

若A∪B=B，则A?B，反之也成立

若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B

若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B

例题：教辅资料重难点手册P25易错误区：例19、例20、例21

P28高考真题：例10

§1.2.1函数的概念

教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；

教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；

（一）函数的有关概念

1．函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．

记作：y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意：

○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：

定义域、对应关系和值域

3．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

（2）无穷区间；

（3）区间的数轴表示。

4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论

（由学生完成，师生共同分析讲评）

（二）典型例题

1．求函数定义域

课本P17例1

解：（略）

说明：

○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；

○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；

○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式。

巩固练习：课本P19第1题

2．判断两个函数是否为同一函数

课本P18例2

解：（略）

说明：

○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

○2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

巩固练习：

○1课本P19第2题

○2判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？

（1）f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1

（2）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2

（4）f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x

3. 映射

复习初中已经遇到过的对应：

○1对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；

○2对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；

○3某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；

（1）什么叫做映射？

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．

记作“f：A→B”

说明：

1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．

2）“都有唯一”什么意思？

包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

例题：重难点手册：P41 例5

重难点手册：P33

求值域的5种常用方法：

1.观察法

2.配方法

3.判别式法

4.换元法

5.分离常数法

例题：重难点手册P35：例13、例14

课题：§1.2.2函数的表示法

．

教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．

教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．

一、引入课题

1.复习：函数的概念；

2.常用的函数表示法：

（1）解析法；

（2）图象法；

（3）列表法．

二、新课教学

（一）典型例题

例3．某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．

分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．

解：（略）

注意：

○1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；

○2解析法：必须注明函数的定义域；

○3图象法：是否连线；

○4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．

巩固练习：

课本P23练习第1题

例4．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：

第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟98 87 91 92 88 95

张城90 76 88 75 86 80

赵磊68 65 73 72 75 82

班平均分88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．

分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？

解：（略）

注意：

○

1 本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点；

巩固练习：

课本P 23练习第2题

例5．画出函数y = | x | ．

解：（略）

巩固练习：课本P 23练习第3题

例6．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：

（1） 5公里以内（含5公里），票价2元；

（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．

分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．

解：设票价为y 元，里程为x 公里，由题意可知，自变量x 的取值范围是（0，20] 由票价制定的规定，可得到以下函数解析式：

???????=5432y 20

1515

1010550≤<≤<≤<≤

根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：

注意：

○

1 本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义； 说明：像上面两例中的函数，称为分段函数．

注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．

三、归纳小结，强化思想

理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法．

求解析式的常用方法：本块内容需分别展开详细介绍

1.代入法

2.待定系数法

3.拼凑法

4.换元法

5.方程组法

6.赋值法

例题：重难点手册：P42 例7