十字相乘法专项讲解
十字相乘法专项讲解
【知识要点】
1.))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++
方法特征是“拆常数项，凑一次项”
当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
2.对于c bx ax ++2
(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221，则 c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=
方法特征是“拆两头，凑中间”
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；
常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；
常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同.
注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．
【例题精讲】
例1.把下列各式分解因式：
(1)1522
--x x ； (2)2265y xy x +-．
例2. 把下列各式分解因式：
(1)3522--x x ； (2)3832
-+x x ．
【随堂操练】
一．选择题
1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b )
2．如果305)(22--=+++?x x b x b a x ，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．6
3．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－2
4．不能用十字相乘法分解的是 ( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+-
C ．242++x x
D ．22865y xy x --
5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( ) A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x
C ．20)(13)(22++++y x y x
D ．20)(9)(22++-+y x y x
6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( ) ①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ；
④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
二．填空题
1．=-+1032x x __________．
2．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )，则a ＝__________，b ＝__________．
3．=--3522x x (x －3)(__________)．
4．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．
5．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．
6．若x －y ＝6，3617
=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________．
三．解答题
1．把下列各式分解因式.
（1）6724+-x x （2）36524--x x
（3）422416654y y x x +- （4）633687b b a a --
（5）234456a a a -- （6）422469374b a b a a +-
2．把下列各式分解因式.
（1）2224)3(x x -- （2）9)2(22--x x
（3）2222)332()123(++-++x x x x （4）60)(17)(222++-+x x x x
（5）8)2(7)2(222-+-+x x x x （6）48)2(14)2(2++-+b a b a
3．把下列各式分解因式：
（1）b a ax x b a +++-2)(2 （2）))(()(222q p q p pq x q p x -+++-
（3）81023222-++--y x y xy x （4）120)127)(23(22-++++x x x x
4．已知60197223+--x x x 有因式2x －5，把它分解因式．
5．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．
十字相乘法练习题及答案
十字相乘法因式分解练习题及答案 1、=++232x x 2、=+-672x x 3、=--2142x x 4、=-+1522x x 9、=++342x x 10、=++1072a a 11、=+-1272y y 12、=+-862q q 13、=-+202x x 14、=-+1872m m 15、=--3652p p 16、=--822t t 23、=++101132x x 24、=+-3722x x 25、=--5762x x 27、=++71522x x 28、=+-4832a a 29、=-+6752x x 33、=-+15442n n 34、=-+3562l l 答案：1、)2)(1(++x x 2、)6)(1(--x x 3、)7)(3(-+x x 4、)5)(3(+-x x 5、)2)(4(22++x x 6、)3)(1(-+-+b a b a 7、)2)((y x y x -- 8、)7)(4(2-+x x x 9、)3)(1(++x x 10、)5)(2(++a a 11、)4)(3(--y y 12、)4)(2(--q q 13、)5)(4(+-x x 14、)9)(2(+-m m 15、)9)(4(-+p p 16、)4)(2(-+t t 17、)5)(4(2 2-+x x 18、)8)(1(+-ax ax 19、)7)(2(b a b a -- 20、)9)(2(y x y x ++21、)6)(1(2-+y y x 22、)6)(2(+--a a a 23、)53)(2(++x x 24、)12)(3(--x x 25、)53)(12(-+x x 26、)45)(2(y x y x -+27、)7)(12(++x x 28、)23)(2(--a a 29、)35)(2(-+x x 30、)5)(25(+-ab ab 31、)5)(23(xy ab xy ab -- 32、)32)(32)(1(22-++x x x y 33、)52)(32(n m n m +- 34、)73)(52(-+l l
因式分解--十字相乘法练习题
十字相乘法分解因式练习题 1. 如果))((2b x a x q px x ，那么p 等于() A.ab B.a ＋b C.－ab D.－(a ＋b) 2. 如果 305)(22x x b x b a x ，则b 为() A.5 B.－6 C.－5 D.6 3. 多项式a x x 32可分解为(x －5)(x －b)，则a ，b 的值分别为( ) A.10和－2 B.－10和2 C.10和2 D.－10和－2 4. 不能用十字相乘法分解的是 () A.22x x B.x x x 310322C.242x x D.2 2865y xy x [5. 分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 () A. 20)(13)(22y x y x B.20)(13)22(2y x y x C.20)(13)(22y x y x D.20)(9)(22y x y x 6. 将下述多项式分解后，有相同因式 x －1的多项式有( ) ①672x x ；②1232x x ；③652x x ；④9542x x ；⑤823152x x ；⑥12 1124x x A.2个 B.3个 C.4个 D.5个7.10 32x x .8.6 52m m (m ＋a)(m ＋b).a ＝_____，b ＝__________. 9.3522x x (x －3)(). 10.2x ____22y (x －y)(__________). 11.1522x x =______________. 12. 当k ＝______时，多项式k x x 732有一个因式为__________. 13. 若x －y ＝6，3617 xy ，则代数式3 2232xy y x y x 的值为__________. 14. 把下列各式分解因式：
十字相乘法专项训练
十字相乘法专项训练 一、基础概念： 1．二次三项式： 多项式2ax bx c ++，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项． 例如，223x x --和256x x ++都是关于x 的二次三项式． 在多项式2268x xy y -+中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式22273a b ab -+中，把ab 看作一个整体，即22()7()3ab ab -+，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式2()7()12x y x y ++++，把x y +看作一个整体，就是关于x y +的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容： 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用()()ax b cx d ＋＋竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2 ，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式： ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2 (a ，b ，c 都是整数且0a ≠)来说，如果存在四个整数1a ，2a ，3a ，4a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221，则可用十字相乘法进行因式分解． 3．因式分解一般要遵循的步骤： 先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 二、经典例题： 【例1】把下列各式分解因式： （1）2215x x -- ；（2）2256x xy y -+．
因式分解之十字相乘法专项练习题
因式分解之十字相乘法专项练习题1 (1) a2－7a+6；(2)8x2+6x－35；(3)18x2－21x+5；(4) 20－9y－20y2； (5)2x2+3x+1；(6)2y2+y－6；(7)6x2－13x+6；(8)3a2－7a－6；(9)6x2－11x+3；(10)4m2+8m+3；(11)10x2－21x+2；(12)8m2－22m+15； (13)4n2+4n－15；(14)6a2+a－35；(15)5x2－8x－13；(16)4x2+15x+9；
因式分解之十字相乘法专项练习题2 1、=++232x x 2、=+-672x x 3、=--2142x x 4、=-+1522x x 5、=++8624x x 6、=++-+3)(4)(2b a b a 7、=+-2223y xy x 8、=--234283x x x 9、=++342x x 10、=++1072a a 11、=+-1272y y 12、=+-862q q 13、=-+202x x 14、=-+1872m m 15、=--3652p p 16、=--822t t
17、=--2024x x 18、=-+8722ax x a 19、=+-22149b ab a 20、=++2 21811y xy x 21、=--222265x y x y x 22、=+--a a a 12423 1. 解方程 11322x x x -=--- 2. 关于x 的方程 12144a x x x -+=--有增根， 3. 解关于x 的方程 15 m x =-下列说法正确的是（ ） A.方程的解为5x m =+ B.当5m >-时，方程的解为正数 C.当5m <-时，方程的解为负数 D.无法确定 4.若分式方程1x a a x +=-无解，则a 的值为---------- 5. 若分式方程 =11 m x x +-有增根，则m 的值为----------- 6.分式方程121m x x =-+有增根，则增根为-----------
十字相乘法因式分解练习题#精选、
因式分解详解——注意中间项的符号！最后的符号同十字相乘列式的符号~ 定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 有()()()b x a x ab x b a x+ + = + + + 2 注意：这里常数项是2，只有1×2。当常数项不是质数时，要通过多次拆分的尝试，直到符合要求为止。通常是拆分常数项，验证一次项 例1 把2x2-7x+3分解因式。 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）： 2=1×2=2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 1 3 1 -1 1 -3 2 × 3 2 × 1 2 × -3 2 × -1 1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1） 1×（-1）+2×（-3） =5 =7 =-5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。 解 2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之 积，即a=a 1a 2 ，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c 1 c 2 ，把a 1 ，a 2 ，c 1 ，c 2 排列如下： a 1 c 1 a 2× c 2 a 1c 2 + a 2 c 1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a 1c 2 +a 2 c 1 ，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系 数b，即a 1c 2 +a 2 c 1 =b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a 1 x+c 1 与a 2 x+c 2 之积，即 ax2+bx+c=（a 1x+c 1 ）（a 2 x+c 2 ）。 像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 例2把6x2-7x-5分解因式。 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1 3 × -5 2×（-5）+3×1=-7 是正确的，因此原多项式可以用直字相乘法分解因式。 解 6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）。 指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二镒项系数不是1的二次三贡式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。 对于二次项系数是1的二次三贡式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数。例如把x2+2x-15分解因式，十字相乘法是 1 -3 1 × 5 1×5+1×（-3）=2 所以x2+2x-15=（x-3）（x+5）。 例3把5x2+6xy-8y2分解因式。 分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 5 × -4 1×（-4）+5×2=6 解 5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）。 指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。 例4把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式。 分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。 问：两个乘积的历式有什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便？ 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2（x-y），它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用址字相乘法分解因式了。 解（x-y）（2x-2y-3）-2 =（x-y）［2（x-y）-3］-2 1 -2 =2（x-y）2-3（x-y）-2 2 × +1 =［（x-y）-2］［2（x-y）+1］ 1×1+2×（-2）=-3 =（x-y-2）（2x-2y+1）。 指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法。
(完整版)因式分解之十字相乘法专项练习题
十字相乘法进行因式分解 1．二次三项式 多项式ax2 bx c ，称为字母x的二次三项式，其中ax 2称为二次项，bx为一次项， c 为常数项．例如，x2 2x 3和x2 5x 6都是关于x的二次三项式． 在多项式x2 6xy 8 y2中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式2a2b2 7ab 3 中，把ab 看作一个整体，即2(ab)2 7(ab) 3，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式(x y)2 7(x y) 12 ，把x＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是： (1)对于二次项系数为1 的二次三项式x2 px q ，如果能把常数项q 分解成两个因数a， b 的积，并且a＋b 为一次项系数p，那么它就可以运用公式 2 x (a b)x ab (x a)( x b) 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项” ．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． (2)对于二次项系数不是 1 的二次三项式ax2 bx c(a，b，c 都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数a1,a2,c1,c2，使a1 a2 a，c1 c2 c，且a1c2 a2c1 b， 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一
解一元二次方程之十字相乘法专项练习题
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 解一元二次方程十字相乘法专项练习题 (1) a2－7a+6=0；(2)8x2+6x－35=0； (3)18x2－21x+5=0；(4) 20－9y－20y2=0； (5)2x2+3x+1=0；(6)2y2+y－6=0； (7)6x2－13x+6=0；(8)3a2－7a－6=0； (9)6x2－11x+3=0；(10)4m2+8m+3=0； (11)10x2－21x+2=0；(12)8m2－22m+15=0；(13)4n2+4n－15=0；(14)6a2+a－35=0； (15)5x2－8x－13=0；(16)4x2+15x+9=0；
(17)15x2+x－2=0；(18)6y2+19y+10=0； (19) 2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b) 2=0；(20)7(x－1) 2+4(x－1)－20=0
参考答案： (1)(a-6)(a-1)， (2)(2x+5)(4x-7) (3)(3x-1)(6x-5)， (4)-(4y-5)(5y+4) (5)(x+1)(2x+1)， (6)(y+2)(2y-3) (7)(2x-3)(3x-2)， (8)(a-3)(3a+2) (9)(2x-3)(3x-1)， (10)(2m+1)(2m+3) (11)(x-2)(10x-1)， (12)(2m-3)(4m-5) (13)(2n+5)(2n-3)， (14)(2a+5)(3a-7) (15)(x+1)(5x-13)， (16)(x+3)(4x+3) (17)(3x-1)(5x=2)， (18)(2y+5)(3y+2) (19)(3a-b)(5b-a)， (20)(x+1)(7x-17) 解一元二次方程十字相乘法专项练习题 9.21 一、十字相乘分解因式： 分解因式：232++x x 232+-x x 322-+x x 322--x x 652++x x 652+-x x 652-+x x 652--x x 22-+x x 1242--x x 6322-+x x 1582+-x x 32 122++x x 9 102++x x 1032--x x 1522--x x 分解因式： 2522++x x 3522--x x 20322--x x 7522-+x x
因式分解之十字相乘法专项练习题
十字相乘法进行因式分解 【基础知识精讲】 【重点难点解析】 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2 ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652 ++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式3722 2+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 【典型热点考题】 例1 把下列各式分解因式： （1）1522 --x x ； （2）2 265y xy x +-． 例2 把下列各式分解因式： （1）3522 --x x ；（2）3832 -+x x ．
例3 把下列各式分解因式： （1）9102 4 +-x x ； （2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+； （3）120)8(22)8(222++++a a a a ． 点悟：（1）把2 x 看作一整体，从而转化为关于2 x 的二次三项式； （2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式； （3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式． 因式分解之十字相乘法专项练习题 (1) a 2－7a+6； (2)8x 2+6x －35；
专题02 十字相乘法与增根全解(试题解析)
专题02 十字相乘法与增根全解 解题核心 一、十字相乘法因式分解（形如ax2+bx+c） 1. 二次项系数为1时 x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b） 方法特点：拆常数项，凑一次项. 当常数项为正数时，分解成同号的因数，符号与一次项符号相同； 当常数项为负数时，分解成异号的因数，绝对值较大数的符号与一次项符号相同；例：x2+4x+3 → x2+4x+3=（x+1）（x+3） x2－5x－6 → x2－5x－6=（x+1）（x－6） 2. 二次项系数不为1时
ax2+bx+c=a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2=（a1x+c1）（a2x+c2） 此类特点：拆两头，凑中间 1. 当二次项系数为负数时，提取符号，将其转变为正数 2. 二次项系数只分解成两个正数的乘积 3. 常数项分解参考上一类 4. 分解后横向写结果. 例：2x2－3x－5 → 2x2－3x－5=（x+1）（2x－5） 3. 多字母 例：4x2－3xy－y2 → 4x2－3xy－y2=（x－y）（4x+y） 二、分式方程的增根与无解 1. 增根意义： （1）增根是所给分式方程去分母后整式方程的根； （2）（1）中的根使分式方程分母为0. 2. 分式方程无解与增根 无解：分式方程化成整式方程后，（1）整式方程无解；（2）整式方程的所有的解均为增根. 增根：①是分式方程转化为整式方程后的解；②该解使得原分式方程分母为0. *分式方程无解≠分式方程有增根； 分式方程有增根≠分式方程无解. 若分式方程无解，且分式方程转化整式方程后有解，则该解必为增根.
释义： 1. 分式方程 1 0x = 去分母得：1=0× x ，此方程无解； 2. 分式方程2 0x x = 去分母得：x 2=0，解得x=0，此时分母为0，无意义，故x=0是分式方程的增根，此方程无解； 3. 分式方程 () 10x x x -= 去分母得：x （x －1）=0，解得x=0或x=1，x=0是分式方程的增根，分式方程的解为x=1. 4. 若分式方程 21 x m x -=+无解，求m 值. 去分母得：x －m=2x+2，x=－m －2， 原方程无解，则x=－1，即－m －2=－1，m=－1. 5. 若分式方程 21 x m x -=+m 无解，求m 值. 去分母得：x －m=2mx+2m ， (1-2m)x=3m ， 因为原方程无解，则：1-2m=0或3112m m =--，即m=0.5或m=-1. ★ 解分式方程时一定要“检验”！ 【题型一】十字相乘 【例1－1】 （1）x 2+14x+24； （2）a 2－15a+36； （3）x 2+4x －5 【答案】 （1）原式= (x+2)(x+12) （2）原式= (a-3)(a-12) （3）原式= (x+5)(x-1)
解一元二次方程(十字相乘法)专项训练
解一元二次方程（十字相乘法）专项训练 一、一元二次方程的解法归类： 1.直接开平方法：适合)0()(2≥=+k k h x 的形式。 如：07)5(2=--x 解：57,57,75,7)5(212+-=+= ±=-=-x x x x 2.配方法：→万能方法（比较适合二次项系数等于1，而且一次项系数是偶数的方程） 关键步骤：方程两边都加上一次项系数一半的平方。 如：1562 =+x x 解：362,362,623,24)3(,915962122--=-=±=+=++=++x x x x x x 注：代数式的配方，应先提取二次项系数，将二次项系数变成1，再进行配方。因为代数式没有两边，无法进行两边都加上一次项系数一半的平方，所以必须加多少再减多少，而且配方与常数项无关，所以常数项必须放到括号以外。如： 4 55)23(37427)23(37)49493(37)3(379322222+--=++--=+-+ --=+--=++-x x x x x x x x 3.公式法：→万能方法（系数比较大的方程不太适合） 如：0122 =-+x x 解：∵,1,1,2-===c b a ∴,9)1(24142=-??-=-ac b ∴4 3 1±-= x 4.因式分解法：①提公因式法：如1)2)(1(+=-+x x x 解：3,1,0)3)(1(,0)12)(1(,0)1()2)(1(21=-==-+=--+=+--+x x x x x x x x x ②运用平方差公式：))((2 2b a b a b a -+=- 如0)12(22=--x x 解：1,3 1 ,0)1)(13(,0)12)(12(21===--=--+-x x x x x x x x ③运用完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++， 2 22)(2b a b ab a -=+- 如：016)1(8)1(2=++-+x x 解：3,0)3(,0)41(212 2===-=-+x x x x ④十字相乘法：如：0652 =++x x 解：3,2,0)3)(2(21-=-==++x x x x x 2 x 3 x x x 523=+ 0)3)(2(=++x x 又如：035682 =-+x x 解：4 7,25,0)74)(52(21=- ==-+x x x x x 2 5 x 4 7- x x x 62014=+- 0)74)(52(=-+x x
(完整版)十字相乘法练习题
十字相乘法习题 1.232++x x 2.562++x x 3.11122++x x 4.17182++x x 5.342++x x 6.342+-x x 7.322-+x x 8.322--x x 9.672+-x x 10.652--x x 11.62-+x x 12.62--x x 13.22625a a +- 14.2024--x x 15.8624++x x 16. 42718x x +- 17.2223y xy x +- 18. 22149b ab a +- 19.8722--ax x a 20.10322-+mn n m 21. 223613b yb y +- 22. 9102+--a a 23. a a a 12423+-- 24. 222265x y x y x -- 25. 3)(4)(2++-+x b a b a 26. 10)2(3)2(2-+++y x y x 27. 12)4(7)4(222++++x x x x 28.2224)3(x x -- 29.6)25)(35(22--+++x x x x 30.24)4)(3)(2)(1(++-+-x x x x
31. 223x x -- 32. 2257x x +- 33. 2321a a -- 34. 23145b b +- 35.22157x x ++ 36. 2384a a -+ 37. 2576x x +- 38. 261110y y -- 39.313122+-x x 40.272442++x x 41.8652-+x x 42.1322++x x 43.61362+-y y 44.6732--a a 45.15442-+n n 46.3562-+x x 47.13852--x x 48. 2152-+x x 49.220920y y -- 50.2252310a b ab +- 51. 222231710a b abxy x y -+ 52. 53251520x x y xy -- 53. 22122+-）（x x 54. 108)2(39)2(324+---y x y x 55.8306251022++-+-y x y xy x 54. 222210173b a abxy y x +- 55. 2222)332()123(++-++x x x x
因式分解十字相乘法练习题含答案
十字相乘法因式分解练习题 1、=++232 x x 2、=+-672 x x 3、=--2142 x x 4、=-+1522 x x 9、=++342 x x 10、=++1072 a a 11、=+-1272 y y 12、=+-862 q q 13、=-+202 x x 14、=-+1872m m 15、=--3652p p 16、=--822t t 23、=++101132 x x 24、=+-3722 x x 25、=--5762x x 27、=++71522 x x 28、=+-4832a a 29、=-+6752 x x 33、=-+15442 n n 34、=-+3562l l 答案：1、)2)(1(++x x 2、)6)(1(--x x 3、)7)(3(-+x x 4、)5)(3(+-x x 5、)2)(4(2 2 ++x x 6、)3)(1(-+-+b a b a 7、)2)((y x y x -- 8、)7)(4(2-+x x x 9、)3)(1(++x x 10、)5)(2(++a a 11、)4)(3(--y y 12、)4)(2(--q q 13、)5)(4(+-x x 14、)9)(2(+-m m 15、)9)(4(-+p p 16、)4)(2(-+t t 17、)5)(4(2 2 -+x x 18、)8)(1(+-ax ax 19、)7)(2(b a b a -- 20、)9)(2(y x y x ++21、)6)(1(2-+y y x 22、)6)(2(+--a a a
23、)53)(2(++x x 24、)12)(3(--x x 25、)53)(12(-+x x 26、)45)(2(y x y x -+27、)7)(12(++x x 28、)23)(2(--a a 29、)35)(2(-+x x 30、)5)(25(+-ab ab 31、)5)(23(xy ab xy ab -- 32、)32)(32)(1(2 2 -++x x x y 33、)52)(32(n m n m +-34、)73)(52(-+l l 35、)2)(10(y x y x --36、)54)(32(n m n m -- 37、)35)(4)(1(2 -+++x x x x 38、)8)(2)(3(2 -++-x x x x
十字相乘法分解因式专项练习30题(有答案)ok
十字相乘法分解因式专项练习30题（有答案）1．x3+5x2+6x． 2．（x2+x）2﹣8（x2+x）+12． 3． （1）a2﹣4a+3； （2）2m4﹣16m2+32． 4．3x2﹣5x﹣2． 5．x（x﹣5）﹣6． 6．x2﹣5x+6． 7．x3+5x2y﹣24xy2． 8．﹣2x2+10x﹣12． 9．16﹣8（x2﹣3x）+（x2﹣3x）2． 10．2ax2﹣10ax﹣100a． 11．x2﹣x﹣12． 12．（x2+2x）2﹣11（x2+2x）+24． 13．x4﹣2x2﹣8． 14．（x2﹣2x）2﹣11（x2﹣2x）+24． 15．ax8﹣5ax4﹣36a． 16．x2﹣x﹣6． 17．x2﹣x4+12． 18．x4﹣13x2+36． 19．（a2﹣a）2﹣14（a2﹣a）+24． 20．﹣a4+13a2﹣36． 21．3ax2﹣18ax+15a． 22．x2﹣3x﹣10． 十字相乘法分解因式----- 1
23．（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15． 24．（a2+a）2﹣8（a2+a）+12． 25．2ab4+2ab2﹣4a． 26．x2﹣11x﹣26 27．阅读下面因式分解的过程： a2+10a+9=a2+2?a?5+52﹣52+9=（a+5）2﹣16=（a+5）2﹣42=（a+5+4）（a+5﹣4）=（a+9）（a+1） 请仿照上面的方法，分解下列多项式： （1）x2﹣6x﹣27 （2）a2﹣3a﹣28． 28．在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn=（x+m）（x+n）．例如：x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3= （x+2）（x+3）．你能运用上述方法分解多项式x2﹣5x﹣6吗？ 29．根据多项式的乘法与因式分解的关系，可得x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3），右边的两个一次两项式的系数有关系 11× ﹣3 2，左边上、下角两数积是原式左边二次项的系数，右边两数积是原式左边常数项，交叉相乘积之和是原式左 边一次项的系数．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题．（1）填空： ①分解因数：6x2﹣x﹣2=_________． ②解方程：3x2+x﹣2=0，左边分解因式得（_____）（_____）=0，∴x1=______，x2=_______．（2）解方程． 30．我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab， 即x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单． 如：（1）x2+5x+6=x2+（3+2）x+3×2=（x+2）（x+3）； （2）x2﹣5x﹣6=x2+（﹣6+1）x+（﹣6）×1=（x﹣6）（x+1）． 请你仿照上述方法，把下列多项式分解因式： （1）x2﹣8x+7； （2）x2+7x﹣18． 十字相乘法分解因式--- 2
因式分解之十字相乘法专项练习题
十字相乘法进行因式分解 1. 二次三项式 多项式cix2 +bx + c ,称为字母“的二次三项式，其中ax'称为二次项，&为一次项，c 为常数项.例如，x2 -2x-3和疋+5尤+ 6都是关于x的二次三项式. 在多项式X2-6A>-+8V2中，如果把y看作常数，就是关于“的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y的二次三项式. 在多项式2a2b2-lab+3中，把訪看作一个整体,即2(“尸-7(ab) + 3，就是关于訪的二次三项式.同样，多项式(x+)y+7(x+y) + 12 ,把x+y看作一个整体，就是关于x +卩的二次三项式. 2. 十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(?+ ? (cx+小竖式乘法法则.它的一般规律是： (1) 对于二次项系数为1的二次三项式x2+px + q f如果能把常数项g分解成两个因数曰，6的积，并 且a+b为一次项系数。那么它就可以运用公式 [ x' + {a + b)x + ab = (x + a){x + b) 分解因式.这种方法的特征是''拆常数项，凑一次项”.公式中的"可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同. (2) 对于二次项系数不是1的二次三项式a^+bx + c (a, b, c都是整数且mfO)来说，如果存在四个整数a v a19c v c2,使a〕?a2=a f c{*c2=c ,且a{c2 + a2c} = b , 3. 因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘 法，最后考虑分组分解法.对于一个还能継续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行.以上步骤
十字相乘法专题 强势总结
十字相乘法解数学题 首先声明不是本人的原创就是觉得好所以借用一下感谢王萧乔! 十字相乘法用来解决一些比例问题特别方便。但是，如果使用不对，就会犯错。 （一）原理介绍 通过一个例题来说明原理。 某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。求该班男生和女生的比例。 方法一：搞笑（也是高效）的方法。男生一人，女生一人，总分160分，平均分80分。男生和女生的比例是1：1。 方法二：假设男生有A，女生有B。 （A*75+B85）/（A+B）=80 整理后A=B，因此男生和女生的比例是1：1。 方法三： 男生：75 5 80 女生：85 5 男生：女生=1：1。 一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设A有X，B有（1-X）。 AX+B（1-X）=C X=（C-B）/（A-B） 1-X=（A-C）/A-B 因此：X：（1-X）=（C-B）：（A-C）
上面的计算过程可以抽象为： A C-B C B A-C 这就是所谓的十字相乘法。 十字相乘法使用时要注意几点： 第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。 第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。 第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。 1．（2006年江苏省考）某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是 A．2：5 B．1：3 C．1：4 D．1：5 答案：C 分析： 男教练：90% 2% 82% 男运动员：80% 8% 男教练：男运动员=2%：8%=1：4 2.（2006年江苏省考）某公司职员25人，每季度共发放劳保费用15000元，已知每个男职必每季度发580元，每个女职员比每个男职员每季度多发50元，该公司男女职员之比是多少 A．2∶1 B．3∶2 C. 2∶3 D．1∶2 答案：B
解一元二次方程之十字相乘法专项练习题
解一元二次方程十字相乘法专项练习题 (1) a2－7a+6=0；(2)8x2+6x－35=0；(3)18x2－21x+5=0；(4) 20－9y－20y2=0； (5)2x2+3x+1=0；(6)2y2+y－6=0；(7)6x2－13x+6=0；(8)3a2－7a－6=0； (9)6x2－11x+3=0；(10)4m2+8m+3=0；
(11)10x2－21x+2=0；(12)8m2－22m+15=0； (13)4n2+4n－15=0；(14)6a2+a－35=0； (15)5x2－8x－13=0；(16)4x2+15x+9=0； (17)15x2+x－2=0；(18)6y2+19y+10=0； (19) 2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b) 2=0； (20)7(x－1) 2+4(x－1)－20=0
参考答案： (1)(a-6)(a-1)，(2)(2x+5)(4x-7) (3)(3x-1)(6x-5)，(4)-(4y-5)(5y+4) (5)(x+1)(2x+1)，(6)(y+2)(2y-3) (7)(2x-3)(3x-2)，(8)(a-3)(3a+2) (9)(2x-3)(3x-1)，(10)(2m+1)(2m+3) (11)(x-2)(10x-1)，(12)(2m-3)(4m-5) (13)(2n+5)(2n-3)，(14)(2a+5)(3a-7) (15)(x+1)(5x-13)，(16)(x+3)(4x+3) (17)(3x-1)(5x=2)，(18)(2y+5)(3y+2) (19)(3a-b)(5b-a)，(20)(x+1)(7x-17)
(完整版)十字相乘法因式分解练习题
十字相乘法因式分解练习题 1、=++232 x x 2、=+-672 x x 3、=--2142 x x 4、=-+1522 x x 5 、 =++8624x x 6、=++-+3)(4)(2 b a b a 7、=+-22 23y xy x 9、=++342 x x 10、 =++1072a a 11、 =+-1272y y 12 =+-862q q 13、=-+202 x x 14 =-+1872m m 15、=--3652p p 16、=--822 t t 17、=--2024 x x 18、=-+8722 ax x a 19、=+-22 149b ab a 20、=++22 1811y xy x 21、=--2222 65x y x y x 22、=+--a a a 12423 23、=++101132 x x 24、=+-3722 x x 25、=--5762x x 26、=-+22 865y xy x 27、=++71522 x x 28、=+-4832 a a 29、=-+6752x x 30、=-+1023522 ab b a 31、=+-2222 10173y x abxy b a 32、=--22224 954y y x y x 33、=-+15442 n n 34、=-+3562 l l 35、=+-22 22110y xy x 36、=+-22 15228n mn m 一元二次方程的解法 1、()()513+=-x x x x 2、x x 5322=- 3、 2260x y -+= 4、01072=+-x x 5、 ()()623=+-x x 6、()()03342 =-+-x x x
因式分解之十字相乘法分组分解专项练习题
因式分解-----十字相乘法 1．认识二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次 三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2 ，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2 (a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注
双十字相乘法专题-培优题
口曹立方教肓 源于名校，成就所托 双十字相乘法 教学目标： 1、理解什么是双十字相乘法 2、会用双十字相乘法分解形如ax2 bxy cy2 dx ey f的二次六项式。 教学内容： 知识精要 概念： 分解形如ax2 bxy cy2 dx ey f的二次六项式在草稿纸上，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果 mq np b, pk qj e, mk nj d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式=(mx py j)( nx qy k)。在这个过程中实际用了两次十字相乘法，如果把这两个步 骤中的十字相乘图合并在一起，可得到如下图m p j Tfc J J F # jr n q k 例如，分解因式2x2 7xy 22y2 5x 35y 3 .我们将它按x降幕排列，并把y 当作常数，于是因式可变形为2x2(5 7y)x (22y235y 3)可以看作是关于x的二次 三项式?对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为 2 22y 35y 3 (2y 3)( 11y 1)。再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解 原式[x (2y 3)][2x ( 11y 1)] (x 2y 3)(2x 11y 1) 上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法?如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在 一起，就是如下图：1 2 -3 2 -11 1 很快可得到原式(X 2y 3)(2x 11y 1)。这就是所谓的双十字相乘法。
用双十字相乘法对多项式ax2 bxy cy2 dx ey f进行因式分解的步骤是：