天津市河西区2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
天津市河西区2019-2020学年 高二数学上学期期末考试试题(含解析)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若向量(2,0,1)a =-,向量(0,1,2)b =-,则2a b -=( ) A. (4,1,0)-
B. (4,1,4)--
C. (4,1,0)-
D.
(4,1,4)--
【答案】C 【解析】 【分析】
由111(,,)m x y z =,222(,,)n x y z =,则122212(,,)m n x x x y z z -=---,代入运算即可得
解.
【详解】解:因为向量(2,0,1)a =-,向量(0,1,2)b =-, 则2(4,0,2)a
=-,
则2a b -=(4,1,0)-, 故选:C.
【点睛】本题考查了向量减法的坐标运算,属基础题.
2.设P 是椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>上的一动点,则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为
( ) A. 2b B. 2a C. b
D. a
【答案】B 【解析】 【分析】
由椭圆的定义122PF PF a +=即可得解.
【详解】解:设椭圆的两个焦点为12,F F ,点P 为椭圆上的点, 由椭圆的定义有:122PF PF a +=,
故选:B.
【点睛】本题考查了椭圆的定义,属基础题.
3.抛物线2
14x y =的准线方程是( ) A. 116x = B. 1
16
x =-
C. 2x =-
D. 1x =-
【答案】D 【解析】 【
分析】
先将抛物线方程化为标准方程,再求抛物线的准线方程即可. 【详解】解:由抛物线的方程为2
14
x y =, 化为标准式可得2
4y x =,
即抛物线2
4y x =的准线方程是:1x =-,
故选:D.
【点睛】本题考查了抛物线的标准方程,重点考查了抛物线的准线方程,属基础题. 4.中心在坐标原心、焦点在x 轴,且长轴长为18、焦距为12的椭圆的标准方程为( )
A. 22x y 18172+=
B. 22x y 1819+=
C. 22x y 18145
+=
D.
22
x y 18136
+= 【答案】A 【解析】 【分析】
根据条件,求得a 、b 、c 的值,进而可得椭圆的标准方程. 【详解】由题可得218a =,26c =,故281a =,272b =,
又焦点在x 轴上,所以所求椭圆的标准方程为2218172
x y
+=,
故选A .
【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法,注意焦点的位置,属于基础题.
5.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,M 为11A C 的中点,若1,,AB a AA c BC b ===,则BM 可表示为( )
A. 11
22a b c -++ B.
11
22a b c ++ C. 11
22
a b c --+
D. 11
22
a b c -+
【答案】A 【解析】
111111
()()2222
BM BB B M c BA BC c a b a b c =+=++=+-+=-++,故本题正确答案
为.A
6.已知双曲线1C :22221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为2.若抛物线2
2:2(0)C x py p =>的
焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2,则抛物线2C 的方程为 A. 2833
x y =
B. 23
3
x y =
C. 2
8x y =
D.
216x y =
【答案】D 【解析】
由e=c a =2得4=22c a =1+2
2b a
,
∴2
2b a
=3. ∴双曲线的渐近线方程为
x,抛物线x 2=2py 的焦点是(0,
2
p
), 它到直线
x 的距离d=2=22
p
±
=4p
,
∴p=8.
∴抛物线方程为x 2
=16y. 故选D.
7.若两个向量()()1,2,3,3,2,1AB AC ==,则平面ABC 的一个法向量为( ) A. ()1,2,1-- B. ()1,2,1
C. ()1,2,1-
D. ()1,2,1-
【答案】A 【解析】 【分析】
设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =,根据数量积等于0,列出方程组,即可求解. 【详解】设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =,
则00
n AB n AC ??=??=?,即230320x y z x y z ++=??++=?,令1x =-,则2,1y z ==-,
即平面ABC 的一个法向量为(1,2,1)n =--,故选A.
【点睛】本题主要考查了平面的法向量的求解,其中解答中根据法向量与平面内的两个不共线的向量垂直,列出关于,,x y z 的方程组求解是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.
8.已知抛物线2
:8C x y =的焦点为F ,O 为原点,点P 是抛物线C 的准线上的一动点,点A 在抛物线C 上,且4AF =,则PA PO +的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】
求出A 点坐标,作O 关于准线的对称点M ,利用连点之间相对最短得出AM 为PA PO +的最小值.
【详解】解:抛物线的准线方程为2y =-,
∵4AF =,∴A 到准线的距离为4,故A 点纵坐标为2, 把2y =代入抛物线方程可得4x =±. 不妨设A 在第一象限,则()4,2A ,
点O 关于准线2y =-的对称点为()0,4M -,连接AM , 则PO PM =,于是PA PO PA PM AM +=+≥ 故PA PO +的最小值为2246213AM =
+=.
故选B .
【点睛】本题考查了抛物线的简单性质,属于基础题.
9.设12F F 、分别为双曲线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>的左、右焦点,A 为双曲线的左顶点,
12F F 、为直径的圆交双曲线某条渐近线于M N 、两点,且满足120MAN ?∠=,则双曲线的
离心率为( ) A.
3
3
21 C.
23
D.
103
【解析】 【分析】
先求出双曲线的
渐近线方程,然后求出(,),(,)M a b N a b --,再利用向量数量积运算即可得解.
【详解】解:由双曲线方程为22
221x y a b
-=,
则其渐近线方程为b
y x a
=±
, 联立2222
22
x y c b y x a c a b
?+
=?
?
=??=+??,解得x a y b =??=?或x a y b =-??=-?,
即(,),(,)M a b N a b --, 又(,0)A a -,
则(2,)AM a b =,(0,)AN b =-, 则2
1
()2
AM AN b ?=-=-,
解得2234b a =,
即2
2
2
3()4c a a -=, 即2237c a =, 即3
c e a =
=
, 故选:B.
【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法,重点考查了双曲线的离心率,属中档题. 二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,多空题只答对一空得3分,共30分. 10.若向量(,1,3)a x =-,向量(2,,6)b y =,且//a b ,则x =_____,y =_____. 【答案】 (1). 1 (2). -2 【解析】 【分析】
由题意可得13
26
x y -=
=,再求解即可. 【详解】解:由向量(,1,3)a x =-,向量(2,,6)b y =,且//a b ,
则13
26
x y -=
=, 解得:x 1,y 2==-, 故答案为:1,-2.
【点睛】本题考查了空间向量共线的坐标运算,属基础题.
11.若双曲线22
1916
x y -=上一点P 到左焦点的距离为4,则点P 到右焦点的距离是 .
【答案】10 【解析】
试题分析:由双曲线方程可知2
93,26a a a =∴==,由定义122PF PF a -=得210PF =
考点:双曲线定义
点评:双曲线上的
点到两焦点距离之差的绝对值等于2a
12.若方程22
151
x y m m +=--表示焦点在y 轴的椭圆,则实数m 的取值范围是_____.
【答案】(3,5) 【解析】 【分析】
由椭圆的几何性质可得501015m m m m ->??
->??->-?
,再解不等式组即可得解.
【详解】解:由方程22
151
x y m m +=--表示焦点在y 轴的椭圆,
则501015m m m m
->??->??->-?
,解得:513m m m ?>??>?,即35m <<,
故答案为:(3,5).
【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,属基础题.
13.在空间直角坐标系O xyz -中,(1,2,1)A -,(1,1,1)B ,(0,1,2)C ,则异面直线OA 与BC 所成角的余弦值为______.
【解析】 【分析】
先求出向量OA 与BC 所成角的余弦值,再求异面直线OA 与BC 所成角的余弦值即可. 【详解】解:由(1,2,1)A -,(1,1,1)B ,(0,1,2)C , 则(1,2,1)OA =-,(1,0,1)BC
=-,
则向量OA 与BC
所成角的余弦值为
3
6OA BC OA BC
?=
=-
, 则异面直线
OA 与BC 故答案为:
3
. 【点睛】本题考查了空间向量的
坐标运算,重点考查了空间向量的应用,属基础题. 14.已知过点M (1,0)的直线AB 与抛物线y 2=2x 交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若OA ,OB 的斜率之和为1,则直线AB 方程为______. 【答案】2x +y -2=0 【解析】 【分析】
设直线AB 的方程并代入抛物线方程,根据韦达定理以及斜率公式,可得t 的值,进而得到直线的方程.
【详解】依题意可设直线AB 的方程为:x=ty+1,代入y 2=2x 得2
220y ty --=, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1y 2=-2,y 1+y 2=2t , 所以12121212122()22422OA OB y y y y t
k k t x x y y y y ++=
+=+===--,∴21t -=,解得12
t =-,
∴直线AB 的方程为:x=1
2
y -+1,即2x+y-2=0. 故答案为2x+y-2=0.
【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用,以及直线方程的求解,其中设出直线的方程,代入抛物线的方程,利用韦达定理以及斜率公式求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于中档试题.
15.在空间直角坐标系O xyz -中,(2,2,2)a x y =--,(3,2,3)b x y x =-,且12a b ?=,则
222m x y x =++的最小值是________,最大值是__________.
【答案】 (1). 0 (2). 8 【解析】 【分析】
先利用空间向量数量积运算可得22
143
x y +=,再利用椭圆的参数方程求最值即可得解.
【详解】解:因为(2,2,2)a x y =--,(3,2,3)b x y x =-,且12a b ?=, 所以2
223(2)(2)
(2)(3)3412x x y x x y -++-?-=+=,
即22
143
x y +=,
设2cos ,x y θθ==,
则
22222224cos 3sin 4cos cos 4cos 3(cos 2)1m x y x θθθθθθ=++=++=++=+-
,
又[]cos 1,1θ∈-, 则min
0m =,max 8m =
故答案为:0,8.
【点睛】本题考查了空间向量数量积运算,重点考查了椭圆的参数方程,属中档题. 三.解答题:本大题共3小题,共34分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>与双曲线22142
-=y x 有相同的渐近线,且经过点
M.
(1)求双曲线C的方程;
(2)求双曲线C的实轴长,离心率,焦点到渐近线的距离.
【答案】(1)
2
21
2
y
x-=;(2)实轴长2
【解析】
【分析】
(1)由共渐近线双曲线方程的求法求解即可;(2)由双曲线方程及点到直线
的距离求解即可. 【详解】解:(1)解:在双曲线22142-=y x中,2a'=,b'=,则渐近线方程为
a
y
x
b
'
'
=±=,
∵双曲线
22
22
:1
x y
C
a b
-
=与双曲线
22
1
42
-=
y x
有相同的渐近线,
b
a
∴=
,
∴方程可化为
22
22
1
2
x y
a a
-=,
又双曲线C经过点M,代入方程,
22
22
1
2
a a
∴-=,解得1
a=,b=
∴双曲线C的方程为
2
21
2
y
x-=.
(2)解;由(1)知双曲线
2
2
:1
2
y
C x-=中,
1
a=,b=c=,
∴实轴长22
a=,离心率为==
c
e
a
,
设双曲线C的一个焦点为(,一条渐近线方程为y=,
|32|
221
d -?∴=
=+,
即焦点到渐近线的距离为2.
【点睛】本题考查了共渐近线双曲线方程的求法,重点考查了点到直线的距离,属基础题. 17.如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD DC =,
E 是PC 的中点.
(1)证明://PA 平面BDE ; (2)求二面角B DE C --的余弦值;
(3)若点F 在线段PB (不包含端点)上,且直线PB ⊥平面DEF ,求线段DF 的长. 【答案】(1)证明见解析(23
3)263
【解析】 【分析】
(1)建立以D 为坐标原点,分别以DA DC DP 、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系,再标出点的坐标,利用空间向量的应用即可得证;
(2)求出平面BDE 的一个法向量,平面DEC 的一个法向量,再利用数量积公式求解即可; (3)假设棱PB 上存在点F ,使PB ⊥平面DEF ,由0PB DF ?=求解即可.
【详解】证明:(1)以D 为坐标原点,分别以DA DC DP 、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,
设2PD DC ==,则(2,0,0)A ,(0,0,2)P ,(2,2,0)B , 则(2,0,2)PA =-,(0,1,1)DE =,(2,2,0)DB =,
设1(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量, 则由1100
n DE n DB ??=?
?
?=??,得0220y z x y +=??+=?,取1y =-,得1(1,1,1)n =-.
1220PA n ?=-=,1PA n ∴⊥,
又PA ?平面BDE ,
//PA ∴平面BDE .
(2)解:由(1)知1(1,1,1)n =-是平面BDE 的一个法向量, 又2(2,0,0)n DA ==是平面DEC 的一个法向量.
设二面角B DE C --的平面角为θ,由图可知12,n n θ=<>,
112
2123
cos cos ,3
n n n n n n θ
?∴=<>=
=
?, 故二面角B DE C --(3)假设棱PB 上存在点F ,使PB ⊥平面DEF , 设(01)PF PB λλ=<<,(,,)F x y z 则(,,2)(2,2,2)x y z λ-=-,
(2,2,22)F λλλ∴-,(2,2,22)DF λλλ=-,(2,2,2)PB =-,
由0PB DF ?=得442(22)0λλλ+--=, 解得13
λ=
,
224,,333F ??∴ ???
,
则2||3DF ?== .
【点睛】本题考查了空间向量的综合应用,重点考查了运算能力,属中档题.
18.已知点A(0,-2),椭圆E:
22
22
1
x y
a b
+= (a>b>0)的离心率为
3
2
,F是椭圆E的右焦点,
直线AF的斜率为
3
3
,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
【答案】(1)
2
21
4
x
y
+=(2)
7
2
y x
=-
【解析】
试题分析:设出F,由直线AF的斜率为23
3
求得c,结合离心率求得a,再由隐含条件求
得b,即可求椭圆方程;(2)点l x
⊥轴时,不合题意;当直线l斜率存在时,设直线:2
l y kx
=-,联立直线方程和椭圆方程,由判别式大于零求得k的范围,再由弦长公式求得PQ,由点到直线的距离公式求得O到l的距离,代入三角形面积公式,化简后换元,利用基本不等式求得最值,进一步求出k值,则直线方程可求.
试题解析:(1)设(),0F c ,因为直线AF
()0,2A -
所以
23
c =
,c =
又
2222
c b a c a ==- 解得2,1a b ==,
所以椭圆E 的方程为2214
x y +=.
(2)解:设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为:2y kx =-,
联立2
21{42,
x y y kx +==-,消去y 得()22
1416120k x kx +-+=,
当(
)
2
16430k ?=->,所以2
34k >
,即k <
或k > 1212
22
1612
,1414k x x x x k k +=
=++. 所以
PQ =
=
=点O 到直线
l 的距离d =
所以12OPQ
S d PQ ?==
0t =>,则2243k t =+,
2441
44OPQ t S t t t
?=
=≤=++,
当且仅当2t =2=,
解得k =时取等号, 满足2
34
k >
所以OPQ ?的面积最大时直线l 的方程为:2y x =
-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法,本题(2)就是用的这种思路,利用均值不等式法求三角形最值的.
高二数学上学期期末考试试题 理(A卷)
延安市实验中学大学区校际联盟2016—2017学年度第一学期期末考 试试题高二数学(理)(A ) 说明:卷面考查分(3分)由教学处单独组织考评,计入总分。 考试时间:100分钟 满分:100分 第Ⅰ卷(共40分) 一.选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在等差数列{a n }中,若a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 2.过点P (-2,3)的抛物线的标准方程是( ) A .y 2=-92x 或x 2=43y B .y 2=92x 或x 2=43 y C .y 2=92x 或x 2=-43y D .y 2=-92x 或x 2=-43 y 3.设命题p :?x ∈R ,x 2+1>0,则﹁p 为( ) A .?x 0∈R ,x 20+1>0 B .?x 0∈R ,x 2 0+1≤0 C .?x 0∈R ,x 20+1<0 D .?x ∈R ,x 2+1≤0 4.命题甲:动点P 到两定点A ,B 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0为常数);命题乙:P 点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.不等式x 2-x -6x -1 >0的解集为( ) A.{}x |x <-2或x >3 B.{}x |x <-2或1 高二数学期末考试试卷 出题人:冯亚如 一.选择题(40分) 1.由数列1,10,100,1000,……猜测该数列的第n 项是( ) A.10n+1 B.10n C.10n-1 D. 10n 2.空间中垂直于同一条直线的两条直线( ) A.互相平行 B.互相垂直 C.异面或相交 D.平行或相交或异面 3.在正方体1111D C B A ABCD 中与直线1AC 异面的棱有( ) A.4条 B.6条 C.8条 D.10条 4.某中职学校一年级二年级各有12名女排运动员,要从中选出6人调查学习负担情况,调查应采取的抽样方法是( ) A.随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D.无法确定 5.已知点A(-3,-2),B(2,3)则直线AB 的倾斜角为( ) A.450 B.600 C.900 D.1350 6.已知12件同类产品中,有10件是正品,2件是次品,从中任意抽取3件的必然事件是 ( ) A .3件都是正品 B.至少有一件是正品 C.3件都是次品 D.至少有一件是次品 7.判断直线L 1:x+3y-4=0与L 2:3x-y+1=0的位置关系( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.重合 D.垂直 8.在100张奖券中,有4张中奖卷,从中任取1张,中奖的概率是 ( ) A. 201 B. 101 C. 251 D. 30 1 9.侧棱长时2的正三棱锥,其底面边长是1,则棱锥的高是 ( ) A. 311 B. 313 C. 339 D. 333 10.直线5x+12y-8=0与圆(x-1)2+(y+3)2=9的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.直线过圆心 二.填空题(20分) 11.直线x-3y+6=0在X 、Y 轴截距分别为_______、________; 12.圆x 2+y 2+4x-2y+1=0的圆心为_______________; 13.一条直线l 与平面α平行,直线m 在面α内,则l 与m 的位置关系是_______________; 14.正三棱锥的底面边长是4cm ,高是33cm ,则此棱锥的体积为________________; 15.已知球的半径r=3,则球的表面积和体积分别为_________、___ __。 三.解答题(60分) 16.光线从点M(-2, 3)出发,射到P(1, 0),求反射直线的方程并判断点N(4,3)是否在反射光线上。(10分)职业高中高二期末考试数学试卷
高二数学期末试卷(理科)