必修2第1章空间几何体
X#学习目标
1.感受空间实物及模型，增强学生的直观感知；
2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类；
3.理解多面体的有关概念；
4.会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
心学习过程
一、课前准备
（预习教材P2~ P4,找出疑惑之处）
引入：小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等，现实生活中，我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体，它们占据着空间的一部分，比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和大小，那么由这些物体抽
象出来的空间图形叫做空间几何体.它们具有千姿百态的形状，有着不同的几何特征，现在就让我们来研究它们吧！
二、新课导学
探探索新知
探究1：多面体的相关概念
问题：观察下面的物体，注意它们每个面的特点，以及面与面之间的关系.你能说出它们相同点吗？平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱（prism）. 棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.（两底面之间的距离叫棱柱的高）
试试1:你能指出探究3中的几何体它们各自的底、
侧面、侧棱和顶点吗？你能试着按照某种标准将探
究3中的棱柱分类吗？
新知4：①按底面多边形的边数来分，底面是三角形、四边形、五边形…的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…
②按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱（不垂直）和直棱柱（垂直）.
试试2：探究3中有几个直棱柱？几个斜棱柱？棱柱怎么表示呢？
新知5:我们用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如图（1）中这个棱柱表示为棱柱ABCD —ABCD .
探究4：棱锥的结构特征
问题：探究1中的埃及金字塔是人类建筑的奇迹之
一，它具有什么样的几何特征呢？
新知6：有一个面是多边形，其余各个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥（pyramid）.这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.顶点到底面的距离叫做棱锥的高；棱锥也可以按照底面的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥…等等，棱锥可以用顶点和底面各顶点的字母表示，如下图中的棱锥S-ABCDE.
轴
问题：你能归纳下列图形共同的几何特征吗
有两个面互相平行，其余各面都
是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相
新知1：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD ;相邻两个面的公共边叫多面体的棱，如棱AB；棱与棱的公共点叫多面体的顶点，如顶点A.具体如下图所示：
探究2：旋转体的相关概念
问题：仔细观察下列物体的相同点是什么?
§.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构
特征
新知2：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的圭寸闭几何体叫旋转体，这条定直线叫旋转体的轴.如下图的旋转体：
探究5:棱台的结构特征
问题：假设用一把大刀能把金字塔的上部分平行地 切掉,则切掉的部分是什么形状 ？剩余的部分呢？ 新知7:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥， 底面与截面之间的部分形成的几何体叫做 棱台 （frustum of a pyramid ）.原棱锥的底面和截面分别叫 做棱台的下底面和上底面.其余各面是棱台的 侧面， 相邻侧面的公共边叫 侧棱，侧面与两底面的公共点 叫顶点.两底面间的距离叫 棱台的高.棱台可以用 上、下底面的字母表示，分类类似于棱锥 . 试试3:请在下图中标出棱台的底面、侧面、侧棱、 顶点,并指出其类型和用字母表示出来 .
探自我评价你完成本节导学案的情况为 （
）
.
A.很好
B.较好
C. 一般
D.较差
探 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平
移一段距离可以形成（ ）. A .棱锥 B .棱柱 C .平面 D .长方体 2. 棱台不具有的性质是（ ）. A. 两底面相似 B.侧面都是梯形 C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点
3. 已知集合 A=｛正方体｝, B=｛长方体｝, C=｛正四 棱柱｝ , D=｛直四棱柱｝ , E=｛棱柱｝, F=｛直平行六 面体｝，则（ ）.
A. A - B - C - D - F - E
B. A - C - B - F 三 D 三 E
C. C 』A 』B 三D ± F 』E
D. 它们之间不都存在包含关系
4. 长方体三条棱长分别是 AA =1 AB =2, AD = 4 , 则从A 点出发，沿长方体的表面到 C '的最短矩离 是 .
5. 若棱台的上、下底面积分别是25和81,高为4, 则截得这棱台的原棱锥的高为 _____________ .
反思：根据结构特征，从变化的角度想一想，棱柱、
棱台、棱锥三者之间有什么关系？ 探典型例题
例由棱柱的定义你能得到棱柱下列的几何性质 吗？①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个 底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不 相邻的两条侧棱的
截面是平行四边形
.仿照棱柱,棱
锥、棱台有哪些几何性质呢？
―空―课后作业
1.已知正三棱锥 S-ABC 的高SO=h,斜高（侧面三角 形的高）SM=n ,求经过 SO 的中点且平行于底面的 截面△ A1B1C1的面积.
2.在边长a 为正方形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、 BC 的中点，现在沿 DE 、DF 及EF 把厶ADE 、△
CDF 和厶BEF 折起，使 A 、B 、C 三点重合，重合 后的点记为P .
问折起后的图形是个什么几何体？
探学习小结
1. 多面体、旋转体的有关概念；
2. 棱柱、棱锥、棱台的结构特征及简单的几何性质
探知识拓展
1. 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱；
2. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
3. 正棱锥：底面是正多边形并且顶点在底面的射影 是
底面正多边形中心的棱锥；
4. 正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台
.
D
C
1
F
A
E
B
它每个面的面积是多少?
二、总结提升 学习评价
§.1.2圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征
"学习目标
-- —LL」r—LLLL* ] 1 ] * I」_ ] 1 I
-- L f^rFiLFr'iLL'
1.感受空间实物及模型，增强学生的直观感知；
2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类；
3.能概述圆柱、圆锥、圆台台体、球的结构特征；
4.能描述一些简单组合体的结构.
“ 学习过程
一、课前准备
(预习教材P5~ P7,找出疑惑之处)
复习：①_________________________________ 叫多面体，___________________________________ ___________ 叫旋转体.
②______________________ 棱柱的几何性质：
___________________________ 是对应边平行的全等
多边形，侧面都是_________ ，侧棱_____ 且___ ，平行于底面的截面是与______ 全等的多边形；棱锥的
几何性质：侧面都是_______ ，平行于底面的截面与
底面_____ ，其相似比等于 ____________ .
引入：上节我们讨论了多面体的结构特征，今天我们来探究旋转体的结构特征.
二、新课导学
探探索新知
探究1：圆柱的结构特征
问题：观察下面的旋转体，你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗？探究2：圆锥的结构特征
问题：下图的实物是一个圆锥，与圆柱一样也是平面
图形旋转而成的.仿照圆柱的有关定义，你能定义什么是圆锥以及圆锥的轴、底面、侧面、母线吗? 试在旁边的图中标出来.
新知2：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥.圆锥也用表示它的轴的字母表示.棱锥与圆锥统称为锥体.
探究3：圆台的结构特征
问题：下图中的物体叫做圆台，也是旋转体.它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢？除了旋转得到以外，对比棱台，圆台还可以怎样得到呢？
新知3；直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆台(frustum of a cone).
新知1；以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体，叫做圆柱(circular cylinder)，旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线，如图所示：圆柱用表示它的轴的字母表示，图中的圆柱可表示为00 '.圆柱和棱柱统称为柱体.
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分也是圆台.圆台和圆柱、圆锥一样，也有轴、底面、侧面、母线，请你在上图中标出它们，并把圆台用字母表示出来.棱台与圆台统称为台体.
反思：结合结构特征，从变化的角度思考，圆台、圆柱、圆锥三者之间有什么关系？
探究4：球的结构特征
问题：球也是旋转体，怎么得到的？
新知4:以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体（solid sphere ）,
简称球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做
球的半径，半圆的直径叫做球的直径；球通常用表示球心的字母o表示，如球0.
探究5：简单组合体的结构特征
问题：矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？
新知5：由具有柱、锥、台、球等简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体.现实生活中的物体大多是简单组合体.简单组合体的构成有两种方式：由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成.
探典型例题
例将下列几何体按结构特征分类填空：⑴集装箱⑵运油车的油罐⑶排球⑷羽毛球⑸魔方⑹金字塔⑺三棱镜⑻滤纸卷成的漏斗⑼量筒⑽量杯（11）地球（12）—桶方便面（13）—个四棱锥形的建筑物被飓风挂走了一个顶，剩下的上底面与地面平行；
①棱柱结构特征的有________________________ ；
②棱锥结构特征的有_________________________ ；
③圆柱结构特征的有_________________________ ；
④圆锥结构特征的有_________________________ ；
⑤棱台结构特征的有_________________________ ；
⑥圆台结构特征的有_________________________ ；
⑦球的结构特征的有________________________ ；
⑧简单组合体________________________________ .
%动手试试
练.如图，长方体被截去一部分，其中EH || AD , 剩下的几何体是什么？截去的几何体是什么？是矩形，圆锥的轴截面是三角形.
「学习评价
%自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好
B.较好
C. 一般
D.较差
%当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1.Rt ABC三边长分别为3、4、5，绕着其中一边
旋转得到圆锥，对所有可能描述不对的是（）.
A.是底面半径3的圆锥
B.是底面半径为4的圆锥
C.是底面半径5的圆锥
D.是母线长为5的圆锥
2.下列命题中正确的是（）.
A.直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是旋转体
C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线
3.一个球内有一内接长方体，其长、宽、高分别为5、
4.3,则球的直径为（）.
A. 5 2
B.2 5
C. 5
D. - 2
2
4.已知，ABCD为等腰梯形，两底边为AB,CD.且AB>CD，绕AB所在的直线旋转一周所得的几何体中是由_______________ 、 _________ 、_________ 的几何体
构成的组合体.
5.圆锥母线长为R，侧面展开图圆心角的正弦值为
也，则高等于_____________ .
2
:…课后作业
1._____________________ 如图,是由等腰梯形、矩形、半圆、倒形三角对接形成的轴对称平面图
形，若将它绕轴旋转180°后形成一个组合
体，下面说法不正确的是____
A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两
个球体
B.该组合体仍然关于轴I对称
.
c.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点￡
上
D.该组合体中的球和半球只有一个公共点
2.用一个平面截半径为25cm
的球，截面面积是
49二cm2,则球心到截面的距离为多少？
三、总结提升
%学习小结
1.圆柱、圆锥、圆台、球的几何特征及有关概念;
2.简单组合体的结构特征.
%知识拓展
圆柱、圆锥的轴截面：过圆柱或圆锥轴的平面与圆
柱或圆锥相交得到的平面形状，通常圆柱的轴截面
§121中心投影与平行投影
§1.2.2空间几何体的三视图
"学习目标
1.了解中心投影与平行投影的区别；
2.能画出简单空间图形的三视图；
3.能识别三视图所表示的空间几何体;
心学习过程
--- *_-== - _ ___ ——— - _ - - _ —,
一、课前准备
（预习教材Pii~ P14,找出疑惑之处）
复习1：圆柱、圆锥、圆台、球分别是_________ 绕着、绕着、绕着、绕着旋转得到的.
二、新课导学
探探索新知
探究1：中心投影和平行投影的有关概念问题：中午在
太阳的直射下，地上会有我们的影子；晚上我们走在路
灯旁身后也会留下长长的影子，你知道这是什么现象
吗？为什么影子有长有短？
新知1由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以
留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.
其中光线叫投影线，留下物体影子的屏幕叫投影面. 光
由一点向外散射形成的投影叫做中心投影，中心投影
的投影线交于一点.在一束平行光照射下形成的投影叫
做平行投影，平行投影的投影线是平行的. 在平行投影
中，投影线正对着投影面时叫正投影,
否则叫斜投影.
思考：中午太阳的直射是什么投影？路灯、蜡烛的照射
是什么投影？试试：在下图中，分别作出圆在中心投影
和平行投影中正投影的影子.
探究2:柱、锥、台、球的三视图
问题：我们学过的几何体（柱、锥、台、球）,为了研
究的需要，常常要在纸上把它们表示出来，该怎么画
呢？能否用平行投影的方法呢？
新知2:为了能较好把握几何体的形状和大小，通常对几
何体作三个角度的正投影.一种是光线从几
何体的前面向后面正投影得到投影图，这种投影图叫几
何体的正视图；一种是光线从几何体的左面向右面正
投影得到投影图，这种投影图叫几何体的侧
视图；第三种是光线从几何体的上面向下面正投影得到
投影图，这种投影图叫几何体的俯视图.几何体的正视
图、侧视图和俯视图称为几何体的三视图.
一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下
边.三视图中，能看见的轮廓线和棱用实线表示不能看
见的轮廓线和棱用虚线表示.下图是一个长
方体的三视图.
思考：仔细观察上图长方体和下图圆柱的三视图你能得
出同一几何体的三视图在形状、大小方面的关系吗？能
归纳三视图的画法吗？
小结：
1.正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映的是长度
和宽度，侧视图反映的是宽度和高度；
2.正视图和俯视图高度相同，俯视图和正视图长度相
同，侧视图和俯视图宽度相同；
3.三视图的画法规则：①正视图、侧视图齐高，正视
图、俯视图长对正，俯视图、侧视图宽相等，即
“长对正”、“高平齐”、“宽相等”；②正、侧、俯
三个视图之间必须互相对齐，不能错位.
探究3：简单组合体的三视图
问题：下图是个组合体，你能画出它的三视图吗
复习2：简单组合体构成的方式：__________________
和________________________________________ .
结论：中心投影其投影的大小随物体与投影中心间
距离的变化而变化；平行投影其投影的大小与这个
平面图形的形状和大小是完全相同的.
小结：画简单组合体的三视图，要先观察它的结构,
口
侧视图
是由哪几个基本几何体生成的，然后画出对应几何 体的三视图，最后组合在一起 ?注意线的虚实? 探典型例题 例1画出下列物体的三视图：
实线画出；确定正视、俯视、侧视的方向，同一物 体放置的方向不同，所画的三视图可能不同 ?
探自我评价你完成本节导学案的情况为 （ ）.
A.很好
B.较好
C. 一般
探 当堂检测（时量：5分钟 满分:
1. 下列哪种光源的照射是平行投影
（ A.蜡烛 B.正午太阳 C.路灯
2. 左边是一个几何体的三视图，则这 个几何体是（ ）. A.四棱锥B.圆锥C.三棱锥D.三棱台
3. 如图是个六棱柱,其三视图为（
课后作业
1.
画出下面几何体的三视图 .（箭头的方向为正前
方）
三、总结提升 探学习小结
1. 平行投影与中心投影的区别；
2. 三视图的定义及简单几何体画法： 正视图（前往
后）、侧视图（左往右）、俯视图（上往下）；画时 注意长对正、高平齐、宽相等；
3. 简单组合体画法：观察结构，各个击破 探知识拓展
画三视图时若相邻两物体表面相交
，则交线要用
2. 一个正方体的五个面展开如图所示 ，请你在图中 合适的位置补出第六个面来.（画出所有可能的情况）
§123空间几何体的直观图
空艺学习目标
1. 掌握斜二测画法及其步骤；
2. 能用斜二测画法画空间几何体的直观图
.
J 学习过程
A.
例2说出下列三视图表示的几何体:
rr~n n I i i
4.画出下面螺母的三视图
5.下图依次是一个几何体的正、俯、侧视图,
D.较差 10分）计分： ）? 探动手试试
练作出下图中两个物体的三视图
m
I I I ，则它的立体图为 ___________
一、课前准备
（预习教材Pi6~ P19,找出疑惑之处）复习1：中心投影的投影线_________________________ ；平行投影的
投影线_______ .平行投影又分―投影和投影.
复习2：物体在正投影下的三视图是、、；画三视图的要点是、、.
引入：空间几何体除了用三视图表示外，更多的是用直观图来表示.用来表示空间图形的平面图叫空间图形的直观图.要画空间几何体的直观图，先要学会水平放置的平面图形的画法.我们将学习用斜二测画法来画出它们.你知道怎么画吗？
探探索新知
探究1：水平放置的平面图形的直观图画法问题：一个水平放置的正六边形，你看过去视觉效果是什么样子的？每条边还相等吗？该怎样把这种效果表示出来呢？
新知1上面的直观图就是用斜二测画法画出来的，斜二测画法的规则及步骤如下：
（1）在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的X 轴和y轴，建立直角坐标系，两轴相交于0.画直观图时，把它们画成对应的x ?轴与y轴，两轴相交于点0；且使Z x0y'=45° （或135° ）.它们确定的平面表示水平面；
⑵ 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ?轴或y ?轴的线段；
⑶ 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半；（4）图画好后，要擦去x轴、y轴及为画图添加的辅助线（虚线）.
探典型例题
例1用斜二测画法画水平放置正六边形的直观图
讨论：把一个圆水平放置，看起来象个什么图形? 它的直观图如何画？
结论：水平放置的圆的直观图是个椭圆，通常用椭
圆模板来画.
探究2：空间几何体的直观图画法问题：斜二测画法也能画空间几何体的直观图，和平面图形比较，空间几何体多了一个“高”，你知道画图时该怎么处理吗？
例2用斜二测画法画长4cm、宽3cm、高2cm的长方体的直观图.
新知2：用斜二测画法画空间几何体的直观图时，通常要建立三条轴：x轴，y轴，z轴；它们相交
于点0，且xOy = 45 ，xOz = 90 ；空间几何体的底面作图与水平放置的平面图形作法一样，即图形中平行于x轴的线段保持长度不变，平行于y轴的线段长度为原来的一半，但空间几何体的“高”，即平行于z轴的线段，保持长度不变.
%动手试试
练1.用斜二测画法画底面半径为4 cm，高为
3cm的圆柱.
例3如下图，是一个空间几何体的三视图，请用斜二测画法画出它的直观图.
小结：由简单组合体的三视图画直观图时，先要想象出几何体的形状，它是由哪几个简单几何体怎样构成的；然后由三视图确定这些简单几何体的长度、宽度、高度，再用斜二测画法依次画出来?
三、总结提升
探学习小结
1.斜二测画法要点①建坐标系，定水平面；②与坐标轴平行的线段保持平行；③水平线段（x轴）等长, 竖直线段（y轴）减半；④若是空间几何体，与z轴平行的线段长度也不变.
2.简单组合体直观图的画法；由三视图画直观图. 请画出它的图形为________________________ .
5.等腰梯形ABCD上底边CD=1，腰AD=CB=-、2，下底AB=3，按平行于上、下底边取x轴，则直观图ABCD*的面积为_____________________ .
「性「一课后作业
1. 一个正三角形的面积是10. 3cm2，用斜二测画法画出其水平放置的直观图，并求它的直观图形的面积.
练2.由三视图画出物体的直观图
正视图侧视图俯视图图中分别画成平行于x?轴或y?轴的线段；
（3）平行于x轴或y轴的线段，长度均保持不变.
2.空间几何体的三视图与直观图有密切联系：三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视图可以得到一个精确的空间几何体，得到广泛应用
（零件图纸、建筑图纸），直观图是对空间几何体的
整体刻画，根据直观图的结构想象实物的形象.
-rtf
心学习评价
探自我评价你完成本节导学案的情况为（
）.
A.很好
B.较好
C. 一般
D.较差
探当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1.一个长方体的长、宽、高分别是4、8、4,则画
其直观图时对应为（）.
A. 4、8、4
B. 4、4、4
C. 2、4、4
D.2、4、2
2.利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三
角形②平行四边形的直观图是平行四边形③正方形的直观图是正方形④菱形的直观图是菱形，其中正确的是（
）.
A.①②
B.①
C.③④
D.①②③④
3.一个三角形的直观图是腰长为4的等腰直角三
角形，则它的原面积是（）.
A. 8
B. 16
C.16.2
D.32 2
探知识拓展
1.立体几何中常用正等测画法画水平放置的圆.正等
测画法画圆的步骤为：
（1）在已知图形O O中，互相垂直的x轴和y轴画
直观图时，把它们画成对应的x轴与y ?轴，且使一x O y =120° （或60°）；
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观2.用斜二测画法画出下图中水平放置的四边形的直观图.