《高等数学》中求导的常用求法
《高等数学》中求导的常用求法
【摘要】本文介绍了高等数学中导数计算的常用方法，并通过典型实例进行分析归纳，针对其中需要注意的细节和技巧加以说明，希望对高职院校的学生在高等数学的学习过程中有一定的指导意义.
【关键词】函数；导数；方法
导数在高等数学基本概念中占有重要位置，掌握了求函数的导数，可以通过导数判断函数的单调性，利用导数的几何意义来求函数的切线与法线方程，还可以通过微积分求函数的长度、面积和体积.
1 根据导数定义求导
【参考文献】
[1]同济大学数学系.高等数学[M].6版.北京：高等教育出版社.
[2]吴赣昌.高等数学[M].4版.北京：中国人民大学出版社.
[3]刘书田.微积分[M].北京：高等教育出版社.
[责任编辑：薛俊歌]
高等数学常用导数和积分公式
高等数学常用导数和积分公式 导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： （一）含有的积分() 1.＝ 2.＝（） 3.＝ 4.＝ 5.＝ 6.＝ 7.＝ 8.＝ 9.＝ （二）含有的积分10.＝11.＝12.＝13.＝14.＝15.＝16.＝17.＝18.＝ （三）含有的积分19.=20.=21.= （四）含有的积分22.＝23.＝24.＝25.＝26.＝27.＝28.＝ （五）含有的积分29.＝30.＝ （六）含有的积分31.＝＝32.＝33.＝34.＝35.＝36.＝37.＝38.＝39.＝40.＝41.＝42.＝43.＝44.＝ （七）含有的积分45.＝=46.＝47.＝48.＝49.＝50.＝51.＝52.＝53.＝54.＝55.＝56.＝57.＝58.＝
（八）含有的积分59.＝60.＝61.＝62.＝63.＝64.＝65.＝66.＝67.＝68.＝69.＝70.＝71.＝72.＝（九）含有的积分73.＝74.＝75.＝76.＝77.＝78.＝（）含有或的积分79.＝80.＝81.＝82.＝（一）含有三角函数的积分83.＝84.＝85.＝86.＝87.＝＝88.＝＝89.＝90.＝91.＝92.＝93.＝94.＝95.＝96.＝97.＝98.＝99.＝＝100.＝101.＝102.＝103.＝104.＝105.＝106.＝107.＝108.＝109.＝110.＝111.＝112.＝（二）含有反三角函数的积分（其中）113.＝114.＝115.＝116.＝117.＝118.＝119.＝120.＝121. ＝（三）含有指数函数的积分122.＝123.＝124.＝125.＝126.＝127.＝128.＝129.＝130.＝131.＝（四）含有对数函数的积分132.＝133.＝134.＝135.＝136.＝（五）含有双曲函数的积分137.＝138.＝139.＝140.＝141.＝（六）定积分142.＝＝0143.＝0144.＝145.＝146.＝＝147. ＝＝＝（为大于1的正奇 数），＝1 （为正偶数），＝
隐函数的求导方法总结
河北地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(=οοy x F ，0),(≠οοy x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(οοx f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x
高等数学公式导数基本公式
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 222122an 11cos 12sin u du dx x t u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x x x x a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )cot (11 )(arctan 11 )(arccos 11 )(arcsin x x arc x x x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx x x )ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x a x a dx C x x xdx C x x xdx C x xdx C x xdx t +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln an 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高等数学公式总结(绝对完整版).
高等数学公式大全 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
指数对数函数求导
一、自然常数e 1、求导x a dx d 令x a y = 已知导数差商公式定义式： x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()()(lim 0 ' 由导数差商定义式得： x a a x a a x x f x x f x f x x x x x x x x ?-?=?-=?-?+=?→??+→?→?1 )()()(lim lim lim 000'（因子x a 与x ?无关，因此我们可以将它提到极限号前面） 注意到上式中的极限是函数)(x f 的导数在0=x 处的值，即 x a a f x x ?-?=?→?1)0(lim 00 ' 因此，我们已经说明了如果指数函数x a x f =)(在0=x 处是可微的，则该函数是处处可微的，并且 x a f x f ?=)0()('' 上述等式说明了任何指数函数的变化率是和指数函数本身成正比的. 令x a a f a M x x ?-?==?→?1 )0()(lim 00 ' 0，因为x a 已知，要求)('x f 必须 求得)(0a M ，从x a a M x x ?-=?→?1 )(l i m 0 0的定义式可以猜测)(0a M 可能 是一个无线不循环的数值，只能无限取小x ?值求得)(0a M 的估算值，
这种估算的过程相当繁琐且得不到)(0a M 的准确数值. h h h 1 2- h h 1 3- 0.1 0.7177 1.1612 0.01 0.6956 1.1047 0.001 0.6934 1.0992 0.0001 0.6932 1.0987 在上表中，给出了2=a 和3=a 时的情况，通过数值举例，说明了)0('f 的存在.极限明显存在并且 当2=a ，69.012)0(lim 0 ' ≈?-=?→?x f x x 当3=a ，10.11 3)0(lim 0' ≈?-=?→?x f x x 实际上，我们将在《微积分》5.6节说明它们极限存在并且精确到小数点后六位，如下： 693147.0)2(0≈=x x dx d 098612.1)3(0 ≈=x x dx d 因此，由等式①，我们有 x x dx d 2)69.0()2(?≈ x x dx d 3)10.1()3(?≈ 在等式①对于底数a 的所有可能的选择中，当1)0('=f 时，微分 公式最为简单，即x e y =，x e y ='，并且有11 )(lim 00=?-=?→?x e e M x x ，
隐函数求导公式
第5节：隐函数的求导公式 教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数。 教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法。 教学难点：隐函数的高阶导函数的计算。 教学方法：讲授为主，互动为辅 教学课时：2 教学内容： 一、一个方程的情形 在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经显化直接由方程 ),(y x f =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式. 隐函数存在定理 1 设函数),(y x F 在点 ),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00=y x F ，, 0),(00≠y x F y ，则方程),(y x F =0在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有 y x F F dx dy -= （2） 公式（2）就是隐函数的求导公式 这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。 将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入，得恒等式 0))(,(≡x f x F , 其左端可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得 ,0=??+??dx dy y F x F
由于y F 连续，且0),(00≠y x F y ，所以存在(x 0,y 0)的一个邻域，在这个邻域内0≠y F ，于是得 .y x F F dx dy -= 如果),(y x F 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x 的复合函数而再一次求导，即得 dx dy F F y F F x dx y d y x y x ???? ??-??+???? ??-??= 22 .23 2222y x yy y x xy y xx y x y x yy y xy y x yz y xx F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F +--=???? ??-----= 例 1 验证方程012 2 =-+y x 在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =，并求这函数的一阶和二阶导数在x =0的值。 解 设=),(y x F 12 2-+y x ，则y F x F y x 2,2==,02)1,0(,0)1,0(≠==y F F .因此 由定理1可知，方程012 2 =-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =。 下面求这函数的一阶和二阶导数 y x F F dx dy -==y x -， 00 ==x dx dy ; 22dx y d =,1) (3 32222y y x y y y x x y y y x y -=+-=---='-- 10 2 2-==x dx y d 。 隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函
高等数学公式汇总(大全)
高等数学公式汇总(大全) 一 导数公式： 二 基本积分表： 三 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高等数学中的导数公式和等价无穷小公式
声明：第一次弄这些，花了本人好些时间，o(∩_∩)o ，版权所有，严禁将本人的劳动成果用于商业用途。 导数公式 (1) (C)'=0 (2) (x μ )'=μ1 x μ- (3) (sinX)'=cosX (4) (cosX)'=-sinX (5) (tanA)'=2 sec A (6) (cotA)'=-2 csc A (7) (secA)'=secAtanA (8) (cscA)'=-cscAcotA (9) (x a )'=x a ln a (10) (x e )'=x e (11) (㏒a x)'= 1 ln x a (12)(lnx)'= 1x (13) (arcsinX)' (14) (arccosX)'= - (15) (arctanX)'= 2 1 1X + (16) (arccotX)'=- 2 11X +10 2 2 33331lim(1)1~ (1) 123 (4) n x x x n n n n →+-+++++=
等价公式 10 1lim(1)1~ n x x x n →+- 当0x →时,ln(1+x)~x 201cos 1 lim 2 x x x →-= 当0x →时,1~x e x - 0sin lim 1x x x →= 当0x →时,1~ln x a x a - 1 lim(1)x x e x →∞+= 22221 123...(1)(21)6 n n n n ++++=++ 0tan lim 1x x x →= 22 3 3 3 3 (1)123 (4) n n n +++++= 0arcsin lim 1x x x →= 220 sin cos n n xdx xdx π π =?? 0ln(1) lim 1x x x →+= 01lim 1ln x x a x a →-=
高等数学重要公式(必记)
高等数学重要公式（必记） 一、导数公式： 二、基本积分表： 三、三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 π π
求导基本法则和公式
四、基本求导法则与导数公式 １. 基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设 )(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间x I 内也可导，且
高等数学中的求导公式
基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =， )(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1=
复合函数求导法则 设 ) (u f y= ，而 ) (x u? = 且 ) (u f 及 ) (x ? 都可导，则复合函数 )] ( [x f y? = 的导数为 dy dy du dx du dx = 或 ()() y f u x ? ''' =
高等数学求导公式
I.基本函数的导数 01.()0C '=； 02.()1x x μμμ-'=； 03.()sin cos x x '=； 04.()cos sin x x '=-； 05. ()2tan sec x x '=； 06.()2 cot csc x x '=-； 07.()sec sec tan x x x '=； 08.()csc csc cot x x x '=-； 09.() ln x x a a a '=； 10.()x x e e '=； 11.()1 log ln a x x a '=； 12.()1ln x x ' =； 13. ( )1 arcsin x '=； 14.( )arccos x ' =-； 15.()21 arctan 1x x '= +； 16.()2 1 arccot 1x x '=- +。 II.和、差、积、商的导数 01.()u v u v '''±=±； 02.()Cu Cu ''=； 03.()uv u v uv '''=+； 04.2 (0)u u v uv v v v ''' -??=≠ ??? 。 III 复合函数的导数 若()(),y f u u x ?==，则 dy dy du dx du dx = 或 ()()()y x f u x ?'''=。
● 计算极限时常用的等价无穷小 limsin x x x → 0 lim tan x x x → () 20 1lim 1cos 2x x x →- () lim 1x x e x →- () limln 1x x x → + 0 11 x x n →- ● 两个重要极限: 0 sin lim 1x x x →= 1lim 1x x e x →∞?? += ??? ● 若 ()()lim 0, lim f x A g x B =>=，则 () () lim g x B f x A = ● 罗尔定理：()0F x '≠若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则存在一(),a b ξ∈，使()0f ξ'=。 ● 拉格朗日中值定理：若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则存在一 (),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-。 ● 柯西中值定理：若()f x 、()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0 F x '≠则存在一(),a b ξ∈，使得0x x δ-<，则()()()()() () f b f a f F b F a F ξξ'-= '-。 ● 罗必达法则：若（1）()()()() lim lim 0()x a x a f x F x →∞→∞==∞或或或，（2）()f x '及()F x '在00x x δ<-<（或x X >）处存在，且()0F x '≠，（3）() () lim () x a f x F x →∞''或存在（或∞），则()() () ()lim lim ()() x a x a f x f x F x F x →∞→∞'='或或。 ● 泰勒公式： ()()()()()()()()()()2 00000001!2! ! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-+ +-+ 其中：()( ) ()()() 1101! n n n f R x x x n ξ++= -+ , ()0,x x ξ∈。
隐函数的求导方法总结
百度文库- 让每个人平等地提升自我 河北地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x
教案 对数函数的导数公式
教案：对数函数的导数公式 姓名:严东泰 教材分析 本节是结合函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则，应用对数函数的求导公式，使学生能求简单的初等函数的导数．本节给出了对数函数、指数函数的导数，使学生对于初等函数的导数能完整地认识，由于这两种导数的证明所需知识均超出现学范围，所以本节重点在于熟悉对数函数、指数函数求导法则与前面知识结合的应用．本节难点是指数函数、对数函数求导法则的正确应用．由于对数函数、指数函数的求导法则均是直接给出，没有证明过程，学生只能直接套用公式求解，增加了运用的困难．这部分题目还涉及到导数的四则运算，复合函数的求导法则知识的运用，因此综合性较强，题目运算量较大． 教学设计 一、教学目标： 1．掌握函数x x a log ln 、 的导数公式； 2．应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数； 3．提高分析、解决问题能力以及运算能力． 二、教学重点：结合函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则，应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数． 教学难点：对数函数求导公式的灵活运用． 三、教学用具：投影仪 教学过程 1．复习 （1）问题 叙述复合函数的求导法则． （2）练习 求下列函数的导数： Ⅰ．21x y -=；Ⅱ．.2sin x y = 答案：Ⅰ．2 1x x -- ；Ⅱ．.2cos 2x
2．新授 1．直接给出对数函数的导数公式（1）x x 1 )(ln ='． 2．求证对数函数的导数公式（2）e x x a a log 1 )(log = '． 证明：.log 11ln 1ln ln )(log e x x a a x x a a =?= '?? ? ?? =' 注：以上两个公式均是对数函数的导数公式． 公式（1）尤其简单易记，x ln 的导数等于1-x ． 公式（2）略显复杂，x a log 的导数除了1-x ，还有另一因子e a log ，即a ln 1，由证明过程看出是由使用换底公式而来． 试思考：求幂函数m x 的导数能得1-x 吗？ 3．公式的应用 让学生解答教科书例1，用多媒体展示其过程，需强调中间变量 1322++=x x u ． 让学生解答教科书例2，并分组交流、讨论、比较各种解法的优劣，引导学生归纳方法和技巧，寻找规律性的策略． 这样，突出了学生的主体地位，学生感到自己会学习，增强了学会学习、学会求知的兴趣和信心． 引处可向学生说明，真数中若含乘方或开方、乘法或除法的，均可先变再求导．此例中解法2优于解法1，实际上，解法1中21,,lg x v v u u y -===，取了 两个中间变量，属于多重复合．而解法2中21,lg 21 x u u y -==，仅有一次复合， 所以其解法业得简单，不易出错． 补充 例：求下列函数的导数： （1）)1(log 2 2x x y ++=；（2）2 2 11ln x x y -+=； （3）x x y 2sin ln =；（4）).(sin ln 2x e y -=
高等数学积分导数公式
高等数学 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 2 2 2 122 11cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+= ， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 2 2 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-= '? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 0π π
求指数、对数函数的导数
求指数、对数函数的导数 例 求下列函数的导数： 1．{ EMBED Equation.3 |1ln 2+=x y ；2．； 3．； 4． 分析：对于比较复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导公式之外，还需要考虑应用复合函数的求导法则来进行．求导过程中，可以先适当进行变形化简，将对数函数的真数位置转化为有理函数的形式后再求导数． 解：1．解法一：可看成复合而成． 解法二： 解法三：， 2．解法一：设，则 解法二： 3．解法一：设，则 解法二： 4． 说明：深刻理解，掌握指数函数和对数函数的求导公式的结构规律，是解决问题的关键，解答本题所使用的知识，方法都是最基本的，但解法的构思是灵魂，有了它才能运用知识为解题服务，在求导过程中，学生易犯漏掉符合或混淆系数的错误，使解题走入困境． 解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问题的本质，把解题思路放开． 变形函数解析式求导 例 求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）． 分析：先将函数适当变形，化为更易于求导的形式，可减少计算量． 解：（1） ． （2），
（3） （4） 当时不存在． 说明：求（其中为多项式）的导数时，若的次数不小于的次数，则由多项式除法可知，存在，使．从而，这里均为多项式，且的次数小于的次数．再求导可减少计算量．对函数变形要注意定义域．如，则定义域变为，所以虽然的导数与的导数结果相同，但我们还是应避免这种解法． 函数求导法则的综合运用 例求下列函数的导数： 1．；2．； 3．；4． 分析：式中所给函数是几个因式积、商、幂、开方的关系．对于这种结构形式的函数，可通过两边取对数后再求导，就可以使问题简单化或使无法求导的问题得以解决．但必须注意取寻数时需要满足的条件是真数为正实数，否则将会出现运算失误． 解：1．取y的绝对值，得，两边取寻数，得 根据导数的运算法则及复合函数的求导法则，两端对x求导，得 ， ∴ 2．注意到，两端取对数，得 ∴ ∴ 3．两端取对数，得 ， 两端对x求导，得 4．两端取对数，得 ， 两边对x求导，得 ∴ 说明：对数求导法则实质上是复合函数求导法则的应用．从多角度分析和探索解决问题的途径，能运用恰当合理的思维视力，把问题的隐含挖掘出来加以利用，会使问题的解答避
高等数学中的求导公式
高等数学中的求导公式 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1 )(ln = '， (13) 2 11 )(arcsin x x -= ' (14) 2 11 )(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21 (arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为
一函数求导法则
（十） 隐函数求导法则 由方程()0,=y x F 所确定的y 是x 的函数称为隐函数。从方程()0 ,=y x F 中有时可解出 y 是 x 的显函数 ,如从方程 153=++y x 可解出显函数 5 1 53--=x y ；有时，从方程()0,=y x F 中可以解出不止一个显函数，如从方程 ()00 222>=-+R R y x 中可以解出2 2x R y -± =。它包含两个显函数，其中 22x R y -=代表上半圆周，2 2x R y --=代表下半圆周。但也有时隐函数并不 能表示为显函数的形式，如方程 ()100 sin <<=--εεy x y 就不能解出来 )(x f y =的形式。 现在讨论当 y 是由方程()0,=y x F 所确定的x 的函数，并且y 对x 可导（即 ()x y '存在），那么在不解出y 的情况下，如何求导数 y '呢？其办法是在方程 ()0,=y x F 中，把y 看成 x 的函数 ()x y y =，于是方程可看成关于x 的恒等 式:()()0,≡x y x F .在等式两端同时对x 求导（左端要用到复合函数的求导法则），然后 解出 y ' 即可。 例2.14 求方程()0222 >=+R R y x 所确定的隐函数的导数y '. 解 当我们对方程222 R y x =+的两端同时对x 求导时，则应有(()x y y =是中间变量) 022='?+y y x . 解出 ()0≠- ='y y x y . 思考题 证明：圆 ()0222>=+R R y x 在其上一点()000,y x M 处的切线方程为 200R y y x x =+.问：法线方程是什么？ 例2.15 求曲线1ln =+y xy 在点()1,1处的切线方程。 解 将曲线方程两边对x 求导，得 0)'(ln )'(=+x x y xy ，即 01 ='?+ '+y y y x y . 于是 1 2 +-= 'y x y y . 过点()1,1处的切线斜率
隐函数的求导方法总结
河北地质大学 课程设计（论文） 题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确定了一个隐函数。例如，方程013=-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-，内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2 x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2 x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2 x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x 故 1=x dx dy =) 1,(!y x =1