高三第三次月考数学卷(2020-2021届)
O
P
A
B
2020届高三第三次月考数学卷
（理 科）
考试时间：120分钟 总分：150分 命题人： 纪 政
一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）.
1.若集合{}
11A x x x =+=+{}
20B x x x =+<，全集U=R,则()U C A B ?= （ ）
A. （-1，0）
B. {}1-
C.[)10-，
D. φ 2.
的是，则：条件：条件q p x q x p ??-<>2,1（ ）
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充分且必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3.已知复数z ·（1+i ）=（1-i ）2
，则z= （ ）
A ．1-i
B ．-1+i
C ．-1-i
D ．1+i 4.下列求导运算正确的是（ ）
x x x D e C x x B x x x A x x sin 2)cos (.log 3)3(.2ln 1
)(log .11)1(.2322-='='=
'+='+
5.函数)2ln()(2--=x x x f 的单调递增区间是（ ） ）
，和（∞+-+∞---∞2)2
1
,1(.)
,2(.)
2
1
,1(.)
1,(.D C B A 6.121
1x dx --?
＝（ ）
A ．π
B ．
2π C ．3 D ．3
2
7.已知113cos ,cos(),7
14
ααβ=-=且02
π
βα<<<，则β= （ ）
A ．
6π B ．4π C ．3
π
D ．512π
8.设函数2
44,
1,()43,1,
x x f x x x x -≤?=?-+>? 则函数4()()log g x f x x =-的零点
个数为（ ）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
9. 设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线
()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）
A ．
14
-
B ．4
C ．2
D ．12
-
10. ) ( ],1)3
2
[()32(}{11则下列叙述正确的是的通项已知数列-=--n n n n a a
4
13131, D. , C., B. , A.a a a a a a 最小项为最大项为最小项为最大项不存在最小项不存在最大项为最小项为最大项为
11.知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足
111
OP (2)322
OA OB OC =++则点P 一定为三角形ABC 的 （ ）
A.AB 边中线的中点
B.AB 边中线的三等分点（非重心）
C.重心
D.AB 边的中点
12.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有
)()1()1(x f x x xf +=+，则)25
(f 的值是（ ）
A. 0
B. 21
C. 1
D. 2
5
二.填空题：（每小4分,共16分） 13.计算33lg 2lg 53lg 2lg5++?=__________
14.函数()cos 1,(5,5)f x x x x =+∈-的最大值为M ，最小值为m ，则M m +等于________.
15. 如图，已知非零向量、与向量共面，且夹角分别
为
6π和3
2π
，设OC ＝
OA －OB ，则向量OC 与OP 的夹角的取值 范围是 ．
16.给定正整数(2)n n ≥按右图方式构成倒立三角形数表，第一行依次写上数l ，2，3，…，n ，在第一行的每相邻两个数正中间的下方写上这两个数之和，得到第二行的数(比上一行少一个数)，依次类推，最后一行(第n 行)只有一个数，例如n =6时数表如图所,则当n ＝2021时最后一行的数是___ ．
三、解答题：（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.设命题p ：关于x 的不等式2
2
x a -<的解集为?；命题q ：函数2lg()y ax x a =-+的
值域是R ．如果命题p 和q 有且仅有一个正确，求实数a 的取值范围．
18.如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a.若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的
夹 角θ取何值时CQ BP ?的值最大？并求出这个最大值.
19.已知ABC ?的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、,向量(4,1),m =-
2
(cos ,cos 2)2A n A =，且7
2
m n ?= ．
（1）求角A 的大小；
（2）若3a =试判断b c ?取得最大值时ABC ?形状．
20.设二次函数())a (bx ax x f 02≠+=满足条件：①()()x f x f --=2；②函数()x f 的图象与直线x y =相切.
（I ）求()x f 的解析式； （II ）若不等式()
tx
x f -??
?
??>21ππ
在2≤t 时恒成立，求实数x 的取值范围.
21. 已知函数2()ln f x a x x =+(a 为实常数).
(Ⅰ) 若2a =-,求证:函数()f x 在(1,)+∞上是增函数;
(Ⅱ) 若存在x∈[1,e]，使得()f x ≤(2)a x +成立,求实数a 的取值范围；
(Ⅲ) 求函数()f x 在[1,e]上的最小值及相应的x 值。
22.已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a ),4(2
1
,110n n n a a a a -=
=+ （1）证明12,;n n a a n N +<<∈ （2）求数列}{n a 的通项公式a n .