《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章)

第一章 数理统计的基本概念

P26

1.2 设总体X 的分布函数为()F x ，密度函数为()f x ，1X ，2X ，…，n X 为X 的子样，求最大顺序统计量()n X 与最小顺序统计量()1X 的分布函数与密度函数。 解：(){}{}()12n

n i n F x P X x P X x X x X x F x =≤=≤≤≤=???? ，，，.

()()()()1n n n f x F x n F x f x -'=??=??????.

(){}{}1121i n F x P X x P X x X x X x =≤=->>> ，，，. {}{}{}121n P X x P X x P X x =->>>

{}{}{}121111n P X x P X x P X x =-?-≤??-≤??-≤???????

()11n

F x =-?-???

()()()()1111n f x F x n F x f x -'=??=?-????

?.

1.3 设总体X 服从正态分布()124N ，

，今抽取容量为5的子样1X ，2X ，…，5X ，试问： （i ）子样的平均值X 大于13的概率为多少？

（ii ）子样的极小值（最小顺序统计量）小于10的概率为多少？ （iii ）子样的极大值（最大顺序统计量）大于15的概率为多少？

解：()~124X N ，

，5n =，4

~125

X N ??

∴ ??

?，. （i ）

{}{

}

()13113111 1.1210.86860.1314P X P X P φφ????

???>=-≤=-=-=-=-=. （ii ）令{}min 12345min X X X X X X =，，，，，{}max 12345max X X X X X X =，，，，.

{}{}{}min min 125101*********P X P X P X X X <=->=->>> ，，，

{}{}{}55

5

1

1

11011101110i i i i P X P X P X ===->=-?-

()12

~012

X Y N -=

，， {}{}121012*********X X P X P P P Y ---????

∴<=<=<-=<-???

????? {}()111110.84130.1587P Y φ=-<=-=-=.

{}[]5

min 10110.158710.42150.5785P X ∴<=--≈-=.

（iii ）

{}{}{}{}{}5

5

max max 1251151151151515115115i i P X P X P X X X P X P X =>=-<=-<<<=-<=-?

{}5max 1510.9331910.70770.2923P X ∴>=-≈-=.

1.4 试证：

（i ）()()()2

2

21

1

n

n

i i i i x a x x n x a ==-=-+-∑∑对任意实数a 成立。并由此证明当a x =时，()2

1

n

i i x a =-∑达到最小。 （ii ）()

2

2

2

1

1

n

n

i i

i i x x x nx ==-=-∑∑，其中11n

i i x x n ==∑。

证明：（i ）()()()()()()2

22

2

1

1

12n

n

n

i i i i i i i x a x x x a x x x x x a x a ===??-=-+-=-+--+-??

??

∑∑∑ ()

()(

)()

()

()()()

2

2

2

2

11

1

22n

n

n

i i i i i i x x x a

x x n x a

x x x a nx nx n x a ====-+--+-=-+--+-∑∑∑

(

)

()

2

2

1

n

i i x x n x a ==-+-∑.

当a x =时，()()()()2

2

2

2

1

1

1

n n n

i i i i i i x a x x n x x x x ===-=-+-=-∑∑∑达到最小。

（ii ）()()

2

2

2

2

2

22221

1

1

1

1

1

222n n

n n n n

i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x nx x x nx nx x nx ======-=-+=-+=-?+=-∑∑∑∑∑∑.

P27

1.5 设1X ，2X ，…，n X 为正态总体()2

~X N μσ，的样本，令1

1n

i i d X n μ==-∑，试证

()E d ，()2

21D d n

σ

π??=- ???。

证明：①()2~X N μσ，，则()2~0i X N μσ-，.

()1111n

n

i i i i E d E X E X n n μ

μ==??=-=- ???∑∑

. 2222

222220

22

2--

-

+∞

+∞

+∞

-∞

??-=

=- ???

?

y y y i y E X y e

dy ye

dy e

d σσσσμσ

22

20

y e

σ

+∞

-

=?.

(

)11n i E d n n =∴==?.

② ()()()2

22i i i E X D X E X μμμσ-=-+-=.

(

)2

2

222221i i i D X E X E

X μμ

μσσσππ?

?∴-=---=-=- ???

.

()2222211111112211n

n

n

i i i i i i D d D X D X D X n n n n n n σμ

μμσππ===????????∴=-=-=-=?-=- ? ? ? ?????????

∑∑∑.

1.6 设总体X 服从正态()2N μσ，，1X ，2X ，…，n X 为其子样，X 与2S 分别为子样均值及方差。又设1n X +与1X ，2X ，…，n X

独立同分布，试求统计量Y 解：由于1n X +和X 是独立的正态变量，

∴2~X N n σμ??

???，，()21~n X N μσ+，，且它们相互独立.

()()()

110n n E X X E X E X μμ++-=-=-=. ()()()

2

111n n n D X X D X D X n

σ+++-=+=

. 则211

~0n n X X N n

σ++??- ???

，

. ()01N ，. 而

()2

2

2

~1nS n χσ-，且

2

2

nS σ与1n X X +-相互独立，

则()1T t n -.

1.7 设()~T t n ，求证()2~1T F n ，.

证明：又t 分布的定义可知，若()~01U N ，

，()2~V n χ，且U 与V 相互独立，则

()~T t n ，这时，22

U T V n =，其中，()22~1U χ. 由F 分布的定义可知，()2

2

~1U T F n V n

=，.

1.9 设1X ，2X ，…，1

n X 和1Y ，2Y ，…，2

n Y 分别来自总体()21N μσ，和()22N μσ，，且相互

独立，α和β

12

X Y αμβμ-+-

其中()

1

2

211

11n i i S X X n ==-∑，()

2

2

221

21n i i S Y Y n ==

-∑。

解：

211~X N n σμ?? ??? ，，222~Y N n σμ??

???，，1X μ-与2Y μ-相互独立，

211~0X N n σμ??

- ???，，222~0Y N n σμ??- ???，，

()()

222212

12~0X Y N n n ασβσαμβμ??

∴-+-+ ??

?

，()01X Y N αμβμ-+-，. ()2

2

1112

~1n S n χσ

- ，

()2

222

22

~1n S n χσ

-，且21S 与22S 相互独立，

()2

221122

122

2

~2n S n S n n χσ

σ

∴

+

+-.

()12~2X Y t n n αμβμ-+-

+-，

()122X Y t n n αμβμ-+-+-.

第二章 参数估计（续）

P68

2.13 设总体X 服从几何分布：{}()

1

1k P X k p p -==-，12k = ，，，01p <<，证明

样本均值1

1n

i i X X n ==∑是()E X 的相合、无偏和有效估计量。

证明： 总体X 服从几何分布，

∴()1=

E X p ，()21-=p D X p

. 1

()()11111

11==????===??== ? ?????∑∑ n n i i i i E X E X E X n E X n n n

p p .

∴样本均值1

1n

i i X X n ==∑是()E X 的无偏估计量。

2

()2222

11111

11==--????===??= ? ?????∑∑n n i i i i p p D X D X D X n n n n

p np . ()()()()11

11ln ln 1ln 1ln 1-??=-=+--?

?

；X f X p p p p X p .

()111

ln 111111f X p X X p p p p p

?--=-=+

?--；. ()()2112

22ln 11

1f X p X p p p ?-=-+?-；.

()()()()2111222

22ln 111111f X p X X I p E E E p p p p p ???????--=-=--+=+???????--??????????； ()()()()12222221111111111111??-=

+-=+?-=+? ?---??p

E X p p p p p

p p p ()()()()

222

1111

111-+=+==---p p p p p p p p p .

()()()

2

422

111111??'???? ???

????===-????-n p p e p D X n I p n np p p .

∴样本均值11n

i i X X n ==∑是()E X 的有效估计量。

3

证法一：()

2

1lim lim

0→∞

→∞-== n n p

D X np ，01p <<.

∴样本均值1

1n

i i X X n ==∑是()E X 的相合估计量。

证法二：

()()

2

11??'???? ???????==?? n p e D X n I p ，()()

2

1??'???? ???????∴=?p D X n I p . ()()2

1lim lim 0→∞→∞??'???? ???

????==? n n p D X n I p . ∴样本均值1

1n i i X X n ==∑是()E X 的相合估计量。

证法三：由大数定律知，样本的算术平均值是依概率收敛于总体均值的， 即对于任给0>ε，有(){}

lim 0→∞

-≥=n P X E X ε.

因此，样本均值1

1n

i i X X n ==∑是()E X 的相合估计量。

综上所述，样本均值1

1n

i i X X n ==∑是()E X 的相合、无偏和有效估计量。

2.14 设总体X 服从泊松分布()P λ，1X ，2X ，…，n X 为其子样。试求参数2

θλ=的

无偏估计量的克拉美——劳不等式下界。 解：2

θλ=. ()2g λλ=. ()2g λλ'=.

{}!

-==

k

P X k e k λλ. 012= ，

，，k ()111ln ln ln !=--；f X X X λλλ.

()11

ln 1?=-?；f X X λλλ

.

()211

22

ln ?=-?；f X X λλλ

. ()()[]2111122222ln 1???????=-=--====?????????????

；E X f X X X I E E E λλλλλλλλλ. ∴参数2θλ=的无偏估计量的克拉美——劳不等式下界为：

()()()22

2

33

22441g nI n n n θλλλλθλλ

='????==?

=.

2.19 设总体X 服从泊松分布()P λ，0λ>，1X ，2X ，…，n X 为来自X 的一个样本。

假设λ有先验分布，其密度为()0

00

e h λλλλ-?>=?≤?，，，求在平方损失下λ的贝叶斯估计量。

解：X 服从泊松分布()!

i

x

i P e x λλλ-=

，12= ，

，，i x n . λ的先验分布密度为()0

00e h λλλλ-?>=?≤?

，，.

给定λ，样本的分布列为：

()()1121211

120!!!!00=--==?∑?==>?

==???

≤?

∏∏ ，，，，；，，，，n

i

i x n nx n n i n n n i i i i e e x n x x x g x x x P x x λλλλλλλλ

λ的后验概率密度为：

()()()

()()1212120000+∞

?>??=??

≤??

? ，，，，，，，，，，，n n n g x x x h g x x x g x x x h d λλλλλλλ

λ 从而在平方损失下，λ的贝叶斯估计为：

()12?= ，，，n E x x x λλ

()()()()()120

120

120

+∞

+∞

+∞

==???

，，，，，，，，，n n

n g x x x h d g x x x d g x x x h d λλλλ

λλλλλλ

.

()()0

111

10

1

!

!

nx n n

n nx i

i nx n n nx n

i

i e e d x e d e

e

d e d x λ

λλλλ

λλλλ

λλλλλ

λ

-+∞

-+∞

-++=-+∞

-++∞

-=?

?=

=

??

∏??

?

∏………………………………………（*）

其中，

()()111100

11n n nx nx e d d e n λλλλλ+∞

+∞-+-+++??

=-

??+?? ()()11110011n n nx nx e e d n λλλλ+∞-+-+++∞

+??=--?

???+? ()()()1100110111

n n nx nx nx nx e d e d n n λλ

λλλλ+∞+∞-+-++??=--+=????++??…………………（**） 将（**）式代入（*）式得：

()()()101210

111?1n nx n n nx nx e d nx n E x x x n e d λ

λλλλλλλ

+∞-++∞

-++++===+?? ，，，， 即为在平方损失下λ的贝叶斯估计量。

第三章 假设检验

P131

3.2 一种元件，要求其使用寿命不得低于1000（小时）。现在从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命平均值为950（小时）。已知该种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。 解：本题需检验0H ：0μμ≥，1H ：0μμ<.

元件寿命服从正态分布，0σ已知， ∴当0H

成立时，选取统计量u =

，其拒绝域为{}V u u α=<.

其中950X =，01000μ=，25n =，0100σ=.

则 2.5u =

=-.

查表得0.05 1.645u =-，得0.05u u <，

落在拒绝域中，拒绝0H ，即认为这批元件不合格。

3.3 某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布()

2

N μσ，，其中40σ=（kg / cm 2）。

现从一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ，与以往正常生产时的μ相比，X 较μ大20（kg / cm 2）。设总体方差不变，问在0.01α=下能否认为这批钢索质量有显著提高？

解：本题需检验0H ：0μμ=，1H ：0μμ>.

钢索的断裂强度服从正态分布，0σ已知， ∴当0H

成立时，选取统计量u =

，其拒绝域为{}1V u u α-=>.

其中040σ=，9n =，020X μ-=，0.01α=.

则 1.5u =

=.

查表得10.990.01 2.33u u u u αα-==-=-=，得0.99u u <，

未落在拒绝域中，接受0H ，即认为这批钢索质量没有显著提高。

3.5 测定某种溶液中的水分。它的10个测定值给出0.452%X =，0.035%S =。设总

体为正态分布()

2

N μσ，，试在水平5%检验假设：

（i ）0H ：0.5%μ>； 1H ：0.5%μ<. （ii ）0H ：0.04%σ≥； 1H ：0.04%σ<. 解：（i ）总体服从正态分布，0σ未知， 当0H

成立时，选取统计量t =

(){}1V t t n α=<-.

查表得()()0.050.9599 1.8331t t =-=-.

而()4.114 1.83311t t n α=

=-<-=-.

落在拒绝域中，拒绝0H .

（ii ）总体服从正态分布，μ未知， 当0H 成立时，选取统计量2

2

20

nS χσ=，其拒绝域为(){}

22

1V n αχχ=<-.

查表得()2

0.059 3.325χ=.

而()

()

()2

2

2

2

100.035%7.65610.04%n αχχ?=

=>-.

未落在拒绝域中，接受0H .

3.6 使用A （电学法）与B （混合法）两种方法来研究冰的潜热，样品都是－0.72℃的冰块，下列数据是每克冰从－0.72℃变成0℃水的过程中的吸热量（卡 / 克）：

方法A ：79.98，80.04，80.02，80.04，80.03，80.03，80.04，79.97，80.05，80.03，

80.02，80.00，80.02

方法B ：80.02，79.94，79.97，79.98，79.97，80.03，79.95，79.97 假定用每种方法测得的数据都服从正态分布，且它们的方差相等。检验0H ：两种方法的总体均值是否相等。（0.05α=） 解：

假设方法A 、方法B 所得数据分别服从正态分布()

2

11~X N μσ，和()

222~Y N μσ，.

其中113n =，28n =，12σσσ==. 本题需检验0H ：12μμ=，1H ：12μμ≠. 测得的数据服从正态分布，σ未知， 当0H 成立时， 选取统计量

t =

其拒绝域为()12122V t t n n α-

??

=>+-????

.

查表得()0.97519 2.093t =，

又计算得80.020X =，79.98Y =，

()

13

2

21

1

10.0005313i i S X X

==-=∑，

()

8

2

22

1

10.000868i i S Y Y

==-=∑.

代入得()1212

3.3082 2.093t t

n n α

-

=>+-=，

落在拒绝域内，拒绝0H .

3.7 今有两台机床加工同一种零件，分别取6个及9个零件测其口径，数据记为1X ，

2X ，…，6X 及1Y ，2Y ，…，9Y ，计算得

6

1

204.6i

i X

==∑，621

6978.93i

i X ==∑；91

370.8i i Y ==∑，9

21

15280.173i i Y ==∑

假定零件口径服从正态分布，给定显著性水平0.05α=，问是否可认为这两台机床加工零件口径的方差无显著性差异？

解：本题需检验0H ：12σσ=，1H ：12σσ≠.

零件口径服从正态分布，均值未知，

∴选取统计量()()2

1212

212

11n n S F n n S -=-， 其拒绝域为()()121212

21111V F F n n F F

n n αα-

????

=<-->--?????

??

? ，，. 查表得()0.97558 4.82F =，，()()

0.0250.97511

580.14885 6.76

F F ==

=，

，. 而()

1

11

2

222

1

11

1111112n n n i i i i i i S X X

X X X n X n n ===??=-=-+ ???

∑∑∑ 2

1204.6204.66978.932204.660.345666??

??

=-??+?=?? ??????

?

. 同理得2

20.357S =.

故()()2

1212

212

1 1.031n n S F n n S -==-，落在拒绝域外，无显著差异。

P132

3.8 用重量法和比色法两种方法测定平炉炉渣中SiO 2的含量，得如下结果

重量法：5n =次测量，20.5%X =，10.206%S =， 比色法：5n =次测量，21.3%Y =，20.358%S =，

假设两种分析法结果都服从正态分布，问

（i ）两种分析方法的精度（σ）是否相同？

（ii ）两种分析方法的均值（μ）是否相同？（0.01α=）. 解：（i ）本题需检验0H ：12σσ=，1H ：12σσ≠.

两种分析法结果都服从正态分布，且1μ、2μ未知，

∴选取统计量()()2

1212

212

11n n S F n n S -=-， 其拒绝域为()()121212

2

1111V F F n n F F

n n αα-

????=<-->--?????

??

?

，，. 查表得()()

0.0050.9951440.04344F F =

=，，，()0.9954423.15F =，.

12n n =，2

122

0.3311S F S ==，

未落在拒绝域内，无显著性差异。

（ii ）本题需检验0H ：12μμ=，1H ：12μμ≠. 由（i ）知12σσσ==（未知），

∴选取统计量

t =

，

其拒绝域为()12122V t t

n n α-??

=>+-???

?

. 查表得()0.9958 3.3554t =， 计算()1212

3.872t t

n n α

-

=->+-，

落在拒绝域内，差异显著。

P133

3.14 调查

患慢性气管炎

未患慢性气管炎

43 162 13 121 56 283 ∑

205 134 339 患病率

21.0 9.7 16.5 试问吸烟者与不吸烟者的慢性气管炎患病率是否有所不同（0.01α=）？

解：设X ——抽一人是否吸烟，Y ——抽一人是否患病. 本题需检验0H ：X 与Y 独立，1H ：X 与Y 不独立.

2r s ==，

()()2

2

11221221

21212

43121162133397.46956134205283

n n n n n n n n n χ????-?-?==?

=???.

()2

20.991 6.635χχ=<，

∴拒绝0H ，认为吸烟者的慢性气管炎患病率要高。

3.15 下表为某种药治疗感冒效果的33?列联表。

试问疗效与年龄是否有关（0.05α=）？ 解：

设X ——该药治疗感冒疗效，Y ——患者年龄，

X ——显著、一般、较差，Y ——儿童、成年、老年. 本题需检验0H ：X 与Y 独立，1H ：X 与Y 不独立. 数据3r s ==. 当0H 成立时，

显 著 58 38 32 128 一 般 28 44 45 117 较 差 23 18 14 55 ∑

109

100

91

300

选取统计量()()()2

332

2111

~11i j ij

i j i j n n n n n r s n n αχχ-==????- ???=--∑∑

. 其拒绝域为：()()()22111r s α

χχ->--.

式中：ij n 是列联表中第i 行第j 列位置上的数字；

i n ?是列联表中第i 行各数据求和；

j n ?是列联表中第j 列各数据求和；

计算2χ数据得

222

2128109128100559158381430030030030013.591281091281005591χ???????????---??

? ? ?????????=+++

=?????????

.

查表得()2

2

0.9549.48813.59χχ=<=，

故拒绝0H ，认为药品疗效与患者年龄有关。