高一数学必修一易错题集锦答案

1.已知集合M=y| y = x + 1,x € R},N={y| y = x+ 1,x € R}，贝U MA N=()

解：M={y| y=x + 1,x € R}={ y| y > 1}, N={y|y=x + 1,x € R}={y|y € R}.

??? M A N={y|y > 1} A {y|(y € R)}={ y|y> 1},

注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2+ 1}、y|y=x2

+ 1, x€ R}、{( x, y)| y=x + 1,x € R}，这三个集合是不同的.

2 .已知A={x|x2—3x + 2=0},B={ x|ax —2=0}且A U B=A 求实数a 组成的集合 C.

解：??? A U B=A ?圧 A 又A={x| x2—3x+ 2=0}={1 , 2} ? B# 或1 或2 ? C={0, 1, 2}

3 。已知m A, n B,且集合A= x | x 2a,a Z , B= x| x 2a 1, a Z，又C= x | x 4a 1,a Z，则有：m+n __________________________________ (填A,B,C 中的一个)

解：T m A, ???设m=2a1,a1 Z, 又T n B , ? n=2a2+1, a2 Z ,

?n+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , ? n+n B。

4 已知集合A={x|x 2—3x—10W 0},集合B={x|p + 1< x< 2p—1}.若荃A 求实数p

的取值范围.

解：①当B M * 时，即p + K 2p—1='p》2.由吐A得：一2< p+ 1 且2p —K 5. 由一3w p W 3. ?- 2w p W3

②当B==时，即p + 1>2p—1=p v 2.

由①、②得：p W 3.

点评：从以上解答应看到：解决有关A A B=±、A U B=±,心B等集合问题易忽视空集

的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.

5 已知集合A={a,a + b,a + 2b} , B={a,ac,ac }.若A=B 求c 的值.

分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式.

解：分两种情况进行讨论.

(1)若a+ b=ac 且a+ 2b=ac2，消去 b 得：a+ ac2—2ac=0,

a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故0.

? c2—2c+仁0,即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解.

(2)若a+ b=ac 且a+ 2b=ac,消去 b 得：2ac —ac —a=0,

-a M 0,.. 2c —c—仁0,

即(c —1)(2c + 1)=0，又C M 1,故c=—

点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.

6 设A是实数集，满足若a€ A,则——A, a 1且1 A.

1 a

⑴若2€ A,则A中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明

理由?

1 一

⑶若a € A,证明：1 —€ A.⑷求证：集合A中至少含有三个不同的兀素

解：⑴2€ A — 1€

??? A 中至少还有两个元素：

⑵如果A 为单元素集合，则

-€ A

2€A

1和丄

2 a =丄即a 2

1 a

该方程无实数解，故在实数范围内, A 不可能是单兀素集

⑶a € A

~T~

r a

€A

A ,即卩1 —丄€A

a ⑷由⑶知 a €A 时，

1 a

€ A ,

.现在证明

a,1 —丄

一三数互不相等.

1 a

,即a2-a+仁0，方程无解，?

1 a 1

②若a=1 — ，即a -a+1=0，方程无解? a 丰1 ——

1 1 1

③若1— = ，即a2-a+仁0,方程无解? 1—-

①若a=

a 丰

—

1 a 点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨

(2)从M 到N 的映射满足

f (a)> f (b) > f(c),试确定这样的映射

f 的种数?

解：(1)由于 M={ a , b , c }, N ={ —2,0,2 }

，结合映射的概

念,

有

一共有27个映射

0 a 2 a 2 a 2 (2)符合条件的映射共有 4个，b

2, b 2, b 0 , b 0, c

2 c

8.已知函数f (x)的定义域为［0 , 1］，求函数 f(x 1)的定义域

解：由于函数

f (x)的定义域为［0 , 1］，即 0 x 1 ? f (x 1)满足

0x11

1 x 0,? f(x 1)的定义域是[—1, 0]

9根据条件求下列各函数的解析式：

(1) 已知f (x)是二次函数，若 f(0) 0, f (x 1) (2) 已知 f ( , x 1) x 2、x ，求 f (x)

f (x) x 1,求 f (x).

7 设 M ={ a , b , c }, N = {— 2,0,2 },求(1 )从 M 到 N 的映射种数;

(3)若f(x)满足f (x) 2f(—) ax,求f(x)

解：(1)本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解

设f(x)= 2 ax bx c(a0)由于f(0)0得f(x)ax2 bx

又

由

[f (x 1)f(x)x 1 , --a(x 1)2 b(x1) ax2bx x 1即ax2(2 a b)x a b 2

ax(b 1)x 1

2a b b1

f (x) = ^x2 ^x

a 0a b1

因此：

222

a b 1

⑵本题属于复合函数解析

式:问

题,

可采用换兀法求解

设u x1(x0),u 1 (u1)

f(u) (u 1)22(u 1) u2 1 (u 1) ??? f(x) = x2 1 (x 1)

(3)由于f (x)为抽象函数，可以用消参法求解

用1代x 可得：f(l) 2f(x) a1,与f (x) 2f』) ax

x x x x

联列可消去f($得：f (x)=空空.

X 3x 3

点评：求函数解析式(1)若已知函数f(x)的类型，常采用待定系数法；(2)若已知f[g(x)] 表达式，常采用换元法或采用凑合法；(3)若为抽象函数，常采用代换后消参法.

10已知3x2 2y2 6x，试求x2 y2的最大值.

分析：要求x2y2的最大值, 由已知条件很快将 2

y变为一元二次函数

1 2 f(x) ^(x 3)2 出最

大值. 即然后求极值点的

x值，联系到这一条件，既快又准地求

又x235C2 2y26x得

3x.

0, -x2 3x

0, 0x2. 2时，x

1(x

3)2

2 2

y有最大值，最大值为3)2

点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性由3x2 2y2 6x得y2- x2 3x,

9 4.

.大部分学生的作法如下:

=log 2

x 」x2—1

log 2(x ■- x 2

1) =- f (x) ? f (x)是奇函数

方法二：??? f (x) f ( x) log 2(x

x 2 1) log 2( x 、x 2 1)

=log 2[(x -x 2 1)(

x 2 1) log 21 0

f( x) f (x)

??? f (x) 是奇函数

2 2 2

2 1 2 9 x y x x 3x (x 3)

2 2

9 当x 3时，x y 取最大值，最大值为 - 2

这种解法由于忽略了 y 2

0这一条件，致使计算结果出现错误

?因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，

既要注意主要的已知条件,

又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题 ..

11设f(x)是R 上的函数，且满足 f(0)

1,并且对任意的实数

f (x y) f (x) y(2x y 1)，求 f (x)的表达式.

点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相

等代入，再用已知条件，可求出未知的函数 ?具体取什么特殊值，根据题目特征而定

12判断函数f (X ) (1 x)

的奇偶性.

解：f(x) (1 x)； x 有意义时必须满足右一x 0 1 x 1

即函数的定义域是{ x | 1 x 1},由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是

函数也不是偶函数 13判断f(x) log 2(x

x 2 1)的奇偶性.

正解：方法一：??? f( x) log 2( x .( x)2

1) log 2( x x 2 1)

x, y 都有

解法一：由 f(0)

1, f(x y) f (x) y(2x y 1)，设 x 得 f(0) f(x) x(2x x 1)，所以 f(x) = x 2 x 1 解法二：令x 0,得f (0 y) f(0) y( y 1)即 f( y) 1 y( y 1)

又将 y 用x 代换到上式中得

f (x) = x 2 x 1

14函数y= J5 4x x 2的单调增区间是 _______________ .

解：y= ,5 4x x 2的定义域是［5,1］,又g(x) 5 4x x 2在区间［5, 2］上增函数，

在区间［2,1］是减函数，所以y=「5 4x x 2的增区间是［5, 2］

15已知奇函数f (x )是定义在(—3,3)上的减函数，且满足不等式f (x — 3)+f (x 2— 3)<0,求x 的取值范围

3 x 2

3 3 V6 x 辰

又? f (x )是奇函数，? ? f (x — 3)< — f (x — 3)= f (3 — x ),又 f (x )在(一3, 3)上是减函数，

x — 3>3— X 2,即 x 2+x — 6>0,解得 x >2 或 x <— 3,综上得 2

16 作出下列函数的图像(1)y=|x-2|(x

+ 1) ; (2) y 10|lg .

分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还

应想到对已知解析式进行等价变形 ?在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思

想.

解：(1)当x > 2时，即x-2 > 0时，

1 9

y =

-2)(^ + 1)二 / _?? - 2 二(si 迈］空-才￥

号

当 X V 2 时，即 x-2 v 0 时，

一

⑵ 当 x > 1 时，lgx > 0, y =10lgx=x ;

当 0v x v 1 时，lgx v 0,

0x6

,故 0

解：由

所以y

这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出 (见图)

(x (x 2) (x

(x 2)

X,宴》1,

y O

所以［签

这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.（见图）

点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意X, y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像

17 若f(x)=ax1

在区间

(—2, + ）上是增函数，求a的取值范围X2

解：设2X1X2, f (X1) f (X2)

ax1 1 ax21

x1 2 x22

(a^1)(X2 2)(ax21)(X1 2)

(X2)(X2 2)

(ax i x22a% 屜 2) (a^ x22ax2x 2)

(X i 2)(X2 2)

2a^ x12ax2x2(2 a 1)(x1x2)

(X i 2)(X2 2) (X i 2)(X2 2)

ax i

由f (x)= 在区间(一2,+ )上是增函数得

x 2

f(xj f (x2) 0 2a 1 0 -^a>

点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉

18已知函数f(x)在(一1, 1)上有定义，f( - )= —1,当且仅当0

y€ ( —1,1)都有f(x)+f (y)=f()，试证明：

1 xy

(1) f (x)为奇函数；(2) f(x)在(—1, 1)上单调递减

解：证明：(1)由f (x)+f (y)=f(丄丄),令x=y=0,得f (0)=0,令y= —x,得f (x)+f (—1 xy X x

x)=f ( 2)=f(0)=0. ??? f(x)= —f( —x). ??? f (x)为奇函数?

1 x2

(2) 先证f(x)在(0 , 1)上单调递减.

令0

1 X1X2

?/ 00,1 —X i X2>0,.?.__ >0,

1 X1X2

又(X2—X I)—(1 —X2X l) = ( X2 —1)( X l + 1)<0

? X2 —X1<1 —X2X1,