最新小学奥数之立体几何问题
立体图形
⑴ 立体图形的表面积和体积公式
长方体和正方体
如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．
c b a
H
G
F
E
D B
A
①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．
③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．
二、圆柱与圆锥
【例 1】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方
体，那么新的几何体的表面积是多少？
改.又是多少？
【例 2】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上
下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种
玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右
面、上面挖去的正方体）
练习：在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖
去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多
少？
【例 3】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长
为1
2
厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相
同为1
4
厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘
米？
【例 4】一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面
积之和是多少？
（锯一次增加两个面）
练习.一个表面积为2
56cm的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是2
cm．
表面积最小：互相重合的面最多时表面积最小
【例 5】如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？
体积：
例1. 如图11-6，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米?
例2. 某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条如图11-9所示在三个方向上加固．所用尼龙编织条的长分别为365厘米、405厘米、485厘米．若每个尼龙条加固时接头处都重叠5厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米?
⑵不规则立体图形的表面积整体观照法
例1. 如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．
例2. 如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．
例3.把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．
例4.用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该
图形的表面积是多少平方厘米?
例5.下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。
⑶体积的等积变形①水中浸放物体：V升水=V物②测啤酒瓶容积：V=V空气+V
水
例1. 有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米．把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4米．如
果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米
例2.在一只底面半径是10厘米的圆柱形瓶中，水深是8厘米，要在瓶中放入长和宽都是8厘米，高是15厘米的一块铁块。把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？
在一个圆柱形储水桶里，放进一段半径是5厘米的圆钢，如果把它全部放入水
里，桶里的水面就上升9厘米，如果把水中圆钢露出8厘米长，那么这时桶里
的水面就下降4厘米。问这段圆钢的体积是多少？
⑷视图与展开图最短线路与展开图形状问题
例1在下面的三个图中，有一个不是右面正四面体的展开图，请将它找出来。
例2在下面的四个展开图中，哪一个是右图所示立方体的展开图？
小学五年级奥数 立体几何(二)
本讲主线 1．柱体体积公式2．阿基米德的浴盆. 立体几何（二）【例1】(★★★) 把一根长2.4米的长方体木料锯成5段(如图), 表面积比原来增加了 96平 方厘米. 这根木料原来的体积是_____立方厘米. 2.4米 1. 体积, 物体占有空间的多少. 2. 柱体, 体积＝底面积×高 ⑴长方体＝长×宽×高 ⑵正方体＝边长×边长×边长 3. 单位, 立方米, 立方分米, 立方厘米(千进制) 【例2】(★★★★)(《小数报》数学竞赛决赛) 一个长方体的宽和高相等, 并且都等于长的一半. 将这个长方体切成12 个小长方体, 这些小长方体的表面之和为600平方分米. 求这个大长方体的体积. 【例3】(★★★) 一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水, 瓶底面积为10平方厘米, (如下 图 所示), 请你根据图中标明的数据, 计算瓶子的容积是＿＿＿. 7cm 5cm 4cm 1
【例4】(★★★★) 有n个同样大小的正方体, 将它们堆成一个长方体, 这个长方体的底面就 是原正方体的底面. 如果这个长方体的表面积是3096平方厘米, 当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后, 新的长方体的表面积比原长方体的 , 4. 阿基米德原理 物体浸入水中的体积＝物体排开水的体积 【例5】(★★★) 有大、中、小三个正方形水池, 它们的内边长分别是6米、3米、2米. 把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里, 两个水池的水面分别升高了6 厘米和4厘米. 如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里, 大水池的水面【超常大挑战】(★★★★) ⑴一只装有水的长方体玻璃杯, 底面积是80平方厘米, 高是15厘米, 水深 8厘米. 现将一个底面积是16平方厘米, 高为12厘米的长方体铁块 竖放 在水中后. 现在水深多少厘米? , , , 深10厘米. 现将一个底面积是16平方厘米, 高为12厘米的长方体 铁块 竖放在水中后. 现在水深多少厘米?
小学六年级奥数 立体几何——表面积与体积
立体几何——表面积与体积【例1】(★★) 【温故】 基本图形表面积体积 6a a2 3 如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角 上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是 多少厘米？ 2(ab＋ac＋bc)abc 常用方法：三视图，阿基米德原理 【例2】一个正方体木块，棱长是15。从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体。这个 木块剩下部分的表面积最少是多少？【例3】(★★) 如图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的 棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如 果 大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多 少平方米？ 1
【例4】(★★★)【例5】(★★★) 小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如下图左，从上面看如下图右。那么这个几何体至少用了_____块木块。有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是6米、 3米、2米。把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？ 【例6】(★★★★★)【例7】(★★) 如图，有一个棱长为10厘米的正方体铁块，现已在每两个 对面的中央钻一个边长为4厘米的正方形孔(边平行于正方 体的棱)，且穿透。另有一长方体容器，从内部量，长、 宽、高分别为15厘米、12厘米、9厘米，内部有水，水深3 厘米。若将正方体铁块平放入长方体容器中，则铁块在水 下部分的体积为___立方厘米。图是4×5×6长方体，如果将其表面涂成红色，那么其 中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？ 2
小学五年级奥数 立体几何(一)
本讲主线 立体几何（一） 1．长方体、正方体表面积公式 2．切割和拼接对长方体的影响 3.三视图法. 1.立体几何：顶点、棱、面. 2.正方体，边长都相等. 顶点棱面 长方体 正方体3.表面积. 长方体 ⑴长方体＝(长×宽＋长×高＋宽×高)×2 ⑵正方体＝边长×边长×6 注意：对面相等. 【课前小练习】(★★) 有三个大小一样的正方体，每个的边长都是2厘米. 将接触的面用胶粘接在一起构成一个立体图形. 那么，这个立体图形的表面积是_____平方厘米. 【例1】(★★★) 如图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片， 每片锯成长条每条再锯成小块共得到大大小小的长方体 每片又锯成4长条，每条再锯成4小块，共得到大大小小的长方体48块. 那么，这48块长方体表面积的和是多少平方米？【例2】(★★★★) 用6块右图所示(单位：cm)的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法其中表积最大是多少平方厘米 拼法，其中表面积最大是多少平方厘米？ 1 3 2
【例3】(★★★) ⑴如图，在一个棱长为8的立方体的右上角上截取一个长为6，宽为3， 的小长方体么新的何体的表积是多少 高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？ 在一个棱长为8的立方体的棱上截取一个棱长为4的小立方体，求新 ⑵在个棱长为的方体的棱截取个棱长为的小方体，求新 几何体的表面积. ⑶在一个棱长为8的立方体的面中间位置上截取一个棱长为4的小立方体，求 新几何体的表面积. 4. 挖洞的表面积. 顶点棱中间面中间【例4】(★★★) 下图是一个棱长为2的正方体，在正方体上表面的向下挖一个棱长为1 下图个，在表向下个 的正方体小洞，接着在小洞的底面向下挖一个棱长为的正方形小洞，第的挖法前相棱长为的 1 2 第三个正方形小洞的挖法和前两个相同，棱长为，那么最后得到的立 体图形的表面积是多少？ 1 4
小学奥数-立体几何-题库学生版
第五讲 几何——立体部分 教学目标： 对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查． 知识点拨： 一、长方体和正方体 如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱． c b a H G F E D C B A ①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体． ③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体． 二、圆柱与圆锥
例题精讲： 【例 1】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3， 高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？ 【例 2】 右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下 各面的中心位置挖去一个边长l 厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体） 【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去 一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？ 【例 3】 下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中， 向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面 正中向下挖一个棱长为1 2 厘米的正方形小洞，第三个正方形 小洞的挖法和前两个相同为1 4 厘米，那么最后得到的立体图 形的表面积是多少平方厘米？ 【例 4】 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片， 每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？ 【巩固】(2008年走美六年级初赛)一个表面积为256cm 的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体 表面积的和是 2cm ． 【例 5】 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？ 25块积木 【例 6】 要把12件同样的长a 、宽b 、高h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该
小学奥数立体图形
第11讲立体图形 各种涉及长方体、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体积的计算问题，解题时考虑沿某个方向的投影常能发挥明显的作用.较为复杂的是与剪切、拼接、染色等相关联的立体几何问题. 第六届：“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第12 题（略有改动） 1．用棱长是1厘米的立方块拼成如图11-1所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米? 【分析与解】显然，图11-1的图形朝上的面与朝下的面的面积相等，都等于3×3=9个小正方形的面积，朝左的面和朝右的面的面积也相等，等于7个小正方形的面积；朝前的面和朝后的面的面积也相等，都等于7个小正方形的面积，因此，该图形的表面积等于(9+7+7)×2=46个小正方形的面积，而每个小正方形面积为l平方厘米，所以该图形表面积是46平方厘米． 2．如图11-2，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几? 【分析与解】原来正方体的表面积为5 ×5×6=150． 现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8％．即表面积减少了百分之八． 3．如图11-3，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?
【分析与解】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1×l=1(平方米)，所以表面积增加了9×2×1=18(平方米)． 原来正方体的表面积为6×1=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)． 4．图11-4中是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米? 【分析与解】原正方体的表面积是4×4×6=96(平方厘米)． 每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．从而，它的表面积是96+4×6=120平方厘米． 5．图11-5是一个边长为2厘米的正方体．在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方 体小间；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1 2 厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同， 边长为1 4 厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米? 【分析与解】因为每挖一次，都在原来的基础上，少了1个面，多出了5个面，即增加了4个面．所以，最后得到的立体图形的表面积是：
小学一年级奥数复习立体几何
小学一年级奥数复习立体 几何 The latest revision on November 22, 2020
小学一年级奥数：立体几何 我们称之为：体。 长方体，立方体，圆柱，圆锥，棱柱，棱锥，球体。 关于立体几何，有很多的公式，要求有丰富的空间想象能力，可以把它和我们的现实生活联系起来。对于下面研究的图例，它们的面积和体积全部都有 长方体 就是每个面由长方形构成，总共有6个面，就有6 个长方形。 正方体 由 6个正方形构成，每条边长都一样。有12 条棱。 圆柱体 两个底面是完全相同的圆。 三棱柱 上下底面是三角形 柱体与锥体：两端相同的，成对称的立方体；而锥体是一端是点，另一端是图形（圆或者多边形）。
圆锥三棱锥（四面体）四棱锥 球，可以理解为是圆的立体化。最中心的地方叫做球心，到球面的距离叫做球的半径。 立体图形，要有立体的想象能力，下面，我们把立体的图形解剖开来，看看它 长方体展开图示： 圆锥展开图形 你能看出来它们是什么吗
你知道他展开后是什么样子的吗 图形的等积变化和等积划分问题： 在奥数中通常会碰到一些比较怪异的图形，我们最常用的方法就是把它进行等积变化，变成可以计算的规则的图形。 等积划分就是把一个不规则的图形如何分为面积相等的两份，观察是最重要的途径。 1，变梯形为三角形： 可以自己动手做一做！ 2，经典问题：五个小正方形，变成一个大正方形：
3，如何把正方形再拼成一个等腰直角三角形 部分有相同的形状和结构。 1，分下面图形成面积相等的两部分： 2，分下面的图两个相等的部分：
有3棵树
立体几何-小学奥数
立体几何 一、要点提示 在小学阶段，所学的立体图形主要有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体，另外还有将一些立体图形拼在一起的组合图形。学习一些几何初步知识，有助于形成空间观念。我们在解答立体图形时，一定要理清思路，充分运用学过的基本知识，认真细致的进行分析、转化、计算，最后还要检验答案的正确性。 二、题型点击 1、如图1所示，一个瓶子里装了多半瓶水，但没有达 到上部变窄的部分，在不打开瓶盖的情况下，你能仅用 一把带刻度的尺子测出瓶子的容积吗？怎么测？ 2、如图2所示，在一个正方形的两对侧面的中 心各打一个长方体的洞，在上下底面的中心打 通一个圆柱形的洞。已知正方形的棱长为10厘 米，侧面上的洞口是边长的4厘米的正方形， 上、下面的洞口是直径为4厘米的圆。挖出中 间部分后，此图形的体积是多少？ 3、从一个长8厘米、宽7厘米、高6厘米的长方形中截下一个最大的正方体。剩下的几何体的表面积是多少平方厘米？ 4、有一块长方体蛋糕，厚4厘米，上表面为正方形，其边长是15厘米，它的上面和侧面有一层薄薄的奶油。现在将它分给五个小朋友，怎么分才能使5块蛋糕的体积和奶油层的面积都相等？
5、如图4所示，有一块长方形的铁皮，剪下阴影部 分，制成一个圆柱形状的油桶。这个桶的容积是多 少？ 6、如图5所示，是一个底面直径为20厘米的装有一部分水 的圆柱形玻璃缸，水中放着一个底面直径为6厘米、高20 厘米的一个圆锥形铅垂。当铅垂从水中取出后，缸里的水面 将下降几厘米？ 7、如图6所示，甲、乙两个容器，先将甲容器中装 满水，然后将水倒入乙容器中。求乙容器中水的深 度。 8、如图7所示，是由22个小正方体组成的立体图形。其中一共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？ 9、如图8所示，它是由18个棱长为1厘米的小正方体组成的。它的面积是多少平方厘米？
小学奥数之立体几何问题
立体图形 ⑴ 立体图形的表面积和体积公式 长方体和正方体 如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱． c b a H G F E D B A ①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体． ③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体． 二、圆柱与圆锥 【例 1】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方 体，那么新的几何体的表面积是多少
改.又是多少 【例 2】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上 下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种 玩具．它的表面积是多少平方厘米（图中只画出了前面、右 面、上面挖去的正方体） 练习：在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖 去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多 少 【例 3】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长 为1 2 厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相 同为1 4 厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘 米 【例 4】一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面 积之和是多少 （锯一次增加两个面） 练习.一个表面积为2 56cm的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和
小学奥数立体图形
第11讲立体图形 ［内容概述】 各种涉及长方体、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体积的计算问题，解题时考虑沿某个方向 的投影常能发挥明显的作用?较为复杂的是与剪切、拼接、染色等相关联的立体几何问题 ? ［典型问题 1 邈翅级数：? ? 第六届：“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第 12题（略有改动） 1 ?用棱长是1厘米的立方块拼成如图 11-1所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米 【分析与解】显然，图11-1的图形朝上的面与朝下的面的面积相等， 都等于3X3=9个小正方形的面积， 朝左的面和朝右的面的面积也相等， 等于7个小正方形的面积；朝前的面和朝后的面的面积也相等， 都 等于7个小正方形的面积，因此，该图形的表面积等于 （9+7+7） X 2=46 个小正方形的面积，而每个小正 方形面积为I 平方厘米，所以该图形表面积是 46平方厘米. 1993 年全園小挙救学奧科匹克?初赛A 卷第10題 2 ?如图11-2，有一个边长是 5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是 5, 3, 2的长方体, 那么它的表面积减少了百分之几 ？ 【分析与解】 原来正方体的表面积为 5 X 5X6=150. 现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面， 它们的面积为（3 X 2） X 2=12, 12十 150=0.08=8 %. 即表面积减少了百分之八. 3 .如图11-3，一个正方体形状的木块，棱长 I 米，沿水平方向将它锯成 3片，每片又锯成4长条, 每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体 60块.那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米 ’ 觀?级数：* 11 - 1
小学一年级奥数：立体几何
我们称之为：体。 长方体，立方体，圆柱，圆锥，棱柱，棱锥，球体。 关于立体几何，有很多的公式，要求有丰富的空间想象能力，可以把它和我们的现实生活联系起来。对于下面研究的图例，它们的面积和体积全部都有固定的公式，我们只要求认识这些图形，不要求记住公式。 长方体就是每个面由长方形构成，总共有6个面，就有6个长方形。 正方体由6个正方形构成，每条边长都一样。有12条棱。 圆柱体两个底面是完全相同的圆。三棱柱上下底面是三角形 柱体与锥体：两端相同的，成对称的立方体；而锥体是一端是点，另一端是图形（圆或者多边形）。
圆锥三棱锥（四面体）四棱锥 球，可以理解为是圆的立体化。最中心的地方叫做球心，到球面的距离叫做球的半径。 立体图形，要有立体的想象能力，下面，我们把立体的图形解剖开来，看看它们的平面效果。 长方体展开图示： 圆锥展开图形四棱锥展开图 你能看出来它们是什么吗？
你知道他展开后是什么样子的吗？ 观察下面的图形中阴影部分占整体的几分之几？ 图形的等积变化和等积划分问题： 在奥数中通常会碰到一些比较怪异的图形，我们最常用的方法就是把它进行等积变化，变成可以计算的规则的图形。 等积划分就是把一个不规则的图形如何分为面积相等的两份，观察是最重要的途径。 1，变梯形为三角形： 可以自己动手做一做！ 2，经典问题：五个小正方形，变成一个大正方形： 3，如何把正方形再拼成一个等腰直角三角形？ 把图形分成面积相等的几分，关键在找到对称点，找到使两个或者多个单独的部分有相同的形状和结构。 1，分下面图形成面积相等的两部分： 2，分下面的图两个相等的部分： 如图，如何把院子里的12棵树分成大小相等，形状相同的4个小区，每个小区有3棵树？
高考数学立体几何知识点
高考数学立体几何知识点 ?高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着多一点思考，少一点计算的发展。从历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。 知识整合 1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中,高二，首先应从解决平行与垂直的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。 2.判定两个平面平行的方法： (1)根据定义--证明两平面没有公共点; (2)判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一
个平面; (3)证明两平面同垂直于一条直线。 3.两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：两平行平面没有公共点。 ⑵由定义推得：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期
小学数学培优：几何问题之立体几何
立体几何 【学习内容及预期目标】掌握长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积和表面积计算公式；学会计算由基本立体图形通过切割、拼接而构成的复杂立体图形的体积和表面积；掌握平面图形通过折叠、旋转所得立体图形的计算。 ★长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积和表面积计算公式： 长方体的表面积S=2ab+2ac+2bc；长方体的体积V=abc. 正方体的表面积S=6a2；正方体的体积V=a3. 圆柱的表面积S=2πr2+2πrh；圆柱的体积V=πr2h. 圆锥的表面积S=πr2+πrl；圆锥的体积V= 3 1 πr2h. 附：扇形的面积S=lr r n 2 1 360 2 = π ★例题解析： 1、一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米.若它的棱长总和等于另一个正方体的棱长总和，则长方体和正方体的表面积之比是多少？长方体体积比正方体体积少多少立方厘米？ 解析：长方体的棱包含4条长、4条宽、4条高，所以棱长总和=(3+2+1)×4=24厘米，由此可求出正方体的棱长=24÷12=2厘米. 所以长方体的表面积=(3×2+3×1+2×1)×2=22平方厘米；正方体的表面积=2×2×6=24平方厘米.因此长方体和正方体的表面积之比是22:24=11:12. 而长方体的体积=长×宽×高=3×2×1=6立方厘米；正方体的体积=棱长3 =23=8立方厘米.因此长方体的体积比正方体的体积少2立方厘米. 2、将长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米？如果四角去掉边长为3厘米的正方形呢？ 解析：(1)将长方体的长、宽、高标在展开图中，不难发现，折叠成的长方体容器的长是13-2-2=9厘米，宽是9-2-2=5厘米，高2厘米，因此容器的体积就是9×5×2=90立方厘米.(2)同理，折叠成的长方体容器的长是13-3-3=7厘米，宽是9-3-3=3 厘米，高3厘米，因此容器的体积就是7×3×3=63立方厘米. 2 、用棱长是1厘米的小立方体拼成 如图所示的立体图形，这个图形的 表面积是多少平方厘米？ h r l n
一年级奥数有趣的立体图形
立体几何图形是数学中一个重要的组成部分。这节课通过看一看、认一认、想一想等活动使大家认识最基础的立体几何图形，从而增加对图形的感性认识，培养初步的图形概念认识，为以后的学习打下良好的基础。 【例1】 这是（ ）。有（ ）个面，（ ）条棱，其中（ ）条长，（ ）条宽，（ ）条高，（ ）个顶点。并在括号里面填上相应的名称。并在展开图上标出相同的面。 【例2】 这是（ ）。有（ ）个面，（ ）条棱，（ ）个顶点。并在括号里面填上相应的名称。并在展开图上标出相对的面。 【例3】 这是（ ）。它是由（ ）个圆和（ ）个长方形组成的。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )例题精讲 知识框架 有趣的立体图形
【例4】这是（）。它是由（）个圆和（）个扇形组成的。 【例5】这是（）。它是由（）个三角形和（）个长方形组成的。 【例6】这些是（）。 【例7】这是（）。
【例8】 这是（ ）。 【随练1】 认一认，请在下面的括号里填上正确的名称。 【随练2】 将下图中(1)、(2)号棱锥剪开铺平后，哪一个是它对应的展开图，请用线连起来。 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )课堂检测
家庭作业 【作业1】看看摸摸，并在自己周围寻找具有这些形状的物体。 1．长方体 2．正方体 3．圆柱 4．圆锥 5．棱锥 6．球
【作业2】下图有哪些图形组成？ 【作业3】下列图中的（1）（2）（3）号盒子剪开铺平后，展开图是哪一个，请你用线连起来。 【作业4】用一些立体图形画一幅画吧！ 【作业5】请你将能找到的包装盒如：月饼盒、冷饮盒、鞋盒等等，用剪刀剪开，平铺在桌面上观察并画出展开图。
五年级立体几何拓展三视图专属奥数讲义
学科教师辅导讲义 班级： 年 级： 五年级 辅导科目：小学思维 学科教师： 上课时间 授课主题 立体几何拓展----三视图 知识图谱 错题回顾 三视图
一．三视图 在观察物体的时候，我们往往可以从不同的角度进行观察．角度不同，看到的风景就会不同．比如：我们可以从正面看，上面看，左面看，看到的图形分别称为正视图，俯视图和左视图．并且容易发现：正面看和后面看，上面看和下面看，左面看和右面看得到的图形是相同的．对于较复杂的立体图形，通过三视图法往往可以很方便地计算出表面积． 二．正方体的展开图 我们采用不同的剪开方法，共可以得到下面11种展开图． 三．长方体的展开图 观察上图可以发现，长方体的展开图由6个长方形组成，相对面的面积相等，即上面= 高宽 长 右面 左面 后面 下面 前面 上面 上 后 前 右 左 下 展开后由上、下、左、右、前、后六个正方形面组成，这六个正方形面的面积都相等． 知识精讲
下面=长×宽，左面=右面=宽×高，前面=后面=长×高． 四．判断图形折叠后能否围成长方体或正方体的方法． 判断一个图形折叠后能否围成正方体或长方体，首先，要依据它们各自展开图的特点判断；其次，可以运用空间想象或实际操作进一步判断． 重难点：展开图、三视图及三视图求个数和表面积． 题模一：展开图与对立面 例1.1.1 一个正方体的六个面上分别写着A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母．请你根据图中的三种摆放情况，判断每个字母的对面是______________，______________，______________ 【答案】 B 与D 相对，E 与A 相对，C 与F 相对 【解析】 由于正方体的6个面上写了6个不同的字母，那么每个字母在正方体的面上只能出现1次，如果2个字母在相邻的面上出现，那么它们一定不能相对． 第一步，先看前2种摆放情况：在这2种摆放情况中，只有字母B 出现了2次，那么由第一种摆放可知，B 不与A 相对，也不与F 相对；由第二种摆放可知，B 不与C 相对，也不与E 相对．那么在所有的字母中，B 只能与D 相对． 第二步，再看后2种摆放情况：在这2种摆放情况中，只有字母E 出现了2次，那么由第二种摆放可知，E 不与B 相对，也不与C 相对；由第三种摆放可知，E 不与D 相对，也不与F 相对．那么在所有的字母中，E 只能与A 相对． B F A E B C F E D 三点剖析 题模精选
小学奥数立体图形
第11 讲立体图形 各种涉及长方体、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体积的计算问题，解题时考虑沿某个方向的投影常能发挥明显的作用. 较为复杂的是与剪切、拼接、染色等相关联的立体几何问题. 第六届：“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第12 题（略有改动） 1 ．用棱长是1 厘米的立方块拼成如图11-1 所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米 【分析与解】显然，图11-1的图形朝上的面与朝下的面的面积相等，都等于3X3=9个小正方形的面积， 朝左的面和朝右的面的面积也相等，等于7 个小正方形的面积；朝前的面和朝后的面的面积也相等，都等于7 个小正方形的面积，因此，该图形的表面积等于（9+7+7）X 2=46 个小正方形的面积，而每个小正方形面积为l 平方厘米，所以该图形表面积是46 平方厘米． 2 ．如图11-2，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2 的长方体，那么它的表面积减少了百分之几 【分析与解】原来正方体的表面积为 5 X 5 X 6= 1 50．现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为（3 X 2）X 2=12, 12十150==8%. 即表面积减少了百分之八． 3 .如图11-3 ,一个正方体形状的木块,棱长l 米,沿水平方向将它锯成3片,每片又锯成4长条, 每条又锯成 5小块,共得到大大小小的长方体60块.那么,这60块长方体表面积的和是多少平方米 【分析与解】我们知道每切一刀,多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积. 现在一共切了（3-1）+（4-1）+（5-1）=9 刀,而原正方体一个面的面积1X l= 1（平方米）,所以表面积增 加了9X 2X仁18（平方米）. 原来正方体的表面积为6X仁6（平方米），所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24（平方米）. 4.图11-4 中是一个边长为4厘米的正方体,分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l 厘米 的正方体,做成一种玩具.它的表面积是多少平方厘米 【分析与解】原正方体的表面积是4X 4X 6=96（平方厘米）. 每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形, 同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分.总的来看,每一个面都增加了4个边长是 1 厘米的正方形. 从而,它的表面积是96+4X6=120 平方厘米. 5 .图11-5是一个边长为2厘米的正方体.在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方
小学一年级奥数复习立体几何
小学一年级奥数：立体几何 我们称之为：体。 长方体，立方体，圆柱，圆锥，棱柱，棱锥，球体。 关于立体几何，有很多的公式，要求有丰富的空间想象能力，可以把它和我们的现实生活联系起来。对于下面研究的图例，它们的面积和体积全部都有固定的公式，我们只要求认 长方体 就是每个面由长方形构成，总共有6个面，就有6 个长方形。 正方体 由6个正方形构成，每条边长都一样。有12条棱。 圆柱体 两个底面是完全相同的圆。 三棱柱 上下底面是三角形 柱体与锥体：两端相同的，成对称的立方体；而锥体是一端是点，另一端是图形（圆或者多边形）。
圆锥三棱锥（四面体）四棱锥 球，可以理解为是圆的立体化。最中心的地方叫做球心，到球面的距离叫做球的半径。 立体图形，我们把立体的图形解剖开来，看看它们的平面效果。 长方体展开图示： 圆锥展开图形四棱锥展开图 你能看出来它们是什么吗
你知道他展开后是什么样子的吗 观察下面的图形中阴影部分占整体的几分之几 图形的等积变化和等积划分问题： 在奥数中通常会碰到一些比较怪异的图形，我们最常用的方法就是把它进行等积变化，变成可以计算的规则的图形。 等积划分就是把一个不规则的图形如何分为面积相等的两份，观察是最重要的途径。1，变梯形为三角形： 可以自己动手做一做！ 2，经典问题：五个小正方形，变成一个大正方形：
3，如何把正方形再拼成一个等腰直角三角形 把图形分成面积相等的几分，关键在找到对称点，找到使两个或者多个单独的部分有相同的形状和结构。 1，分下面图形成面积相等的两部分： 2，分下面的图两个相等的部分： 如图，如何把院子里的12棵树分成大小相等，形状相同的4个小区，每个小区有3棵树
小学奥数之立体几何
例1从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2 厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案) 例1图 【拓展】一个圆柱体的体积是立方厘米，底面半径是2厘米。将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？（π 3.14 ） 拓展图 立体几何 50.24
例2 把11块相同的长方体的砖拼成如图所示的大长方体，已知每块砖的体积是 ，则大长方体的 表面积为多少？ 例2图 例3 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5 米、 1米和0.5米的 3个圆柱组成一个物体。问这个物 体的表面积是多少平方米？ 1110.51 1.5 例3图 例4 现有一个棱长为1厘米的正方体，一个长宽为1厘米，高为2厘米的长方体，三个长宽为1厘米高 为3厘米的长方体。下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。试利用下面三个图形把合并成的立体图形(如例)的样子画出来，并求出其表面积。 例： 侧 侧面所看到的图形 前面所看到的图形上面所看到的图形 3288cm
【巩固】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？ 巩固图 例5 如图所示，一个 的立方体，在一个方向上开有 的孔，在另一个方向上开有 的孔，在第三个方向上开有 的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？ 例5图 例6 如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体木 块，木块浮出水面的高度是2厘米。若将木块从容器中取出，水面将下降________厘米。 例6图 555??115??215??315??
小学奥数之立体几何问题
立体图形 ⑴立体图形的表面积和体积公式 长方体和正方体 如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱． ①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2() S ab bc ca =++ 长方体 ； 长方体的体积：V abc = 长方体 ． ③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a，那么：2 6 S a = 正方体，3 V a = 正方体 ． 二、圆柱与圆锥 【例 1】如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？
改.又是多少？ 【例 2】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上 下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种 玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右 面、上面挖去的正方体） 练习：在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖 去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多 少？ 【例 3】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长 为1 2 厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相 同为1 4 厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘 米？ 【例 4】一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面 积之和是多少？ （锯一次增加两个面）
高斯小学奥数五年级下册含答案第09讲_立体几何
第九讲立体几何 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 首先，我们来学习一下长方体、正方体的体积与表面积的计算方法．
练一练． 1．一个正方体的棱长总和是72厘米，它的一个面是边长_______厘米的正方形，它的表面积是_______平方厘米，体积是_______立方厘米． 2．一个长方体的长是5分米，宽是45厘米，高是24厘米，它的表面积是_______平方厘米，体积是_______立方厘米． 3．做一个长8分米，宽4分米，高6分米的长方体玻璃鱼缸，至少需要_______平方分米的玻璃． 4．有一块棱长是10厘米的正方体的铁块，现在要把它熔铸成一个横截面积是20平方厘米的长方体，这个长方体的长是_______厘米．如果要求这个长方体每条棱的长度都是整数厘米，它的表面积最小是_______平方厘米． 相信同学们对于这些公式都很熟悉，但是对于较复杂的立体图形，往往我们并不能直接 应用公式进行计算，这个时候又该怎么办呢？ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1． 有30个边长为1米的正方体，如图所示堆成一个四层的立体图形．请问：该立体图形的表面积等于多少平方米？ 分析：所谓表面积，就是立体图形露在外面的总面积．我们可以从上、下、左、右、前、后6个不同的方向去考虑这个立体图形，把每个方向露出的面积加在一起就行了． 练习1． 用14个棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？ 在观察物体的时候，我们往往可以从不同的角度进行观察．角度不同，看到的风景就会
小学奥数之立体几何问题教学内容
小学奥数之立体几何 问题
立体图形 ⑴ 立体图形的表面积和体积公式 长方体和正方体 如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱． c b a H G F E D B A ①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体． ③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体． 二、圆柱与圆锥 【例 1】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一 个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？
改.又是多少？ 【例 2】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左 右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方 体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米? （图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体） 练习：在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个 角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体 图形的表面积是多少？ 【例 3】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面 厘米的正方形小洞，第三个 正中向下挖一个棱长为1 2 厘米，那么最后 正方形小洞的挖法和前两个相同为1 4 得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？
【例 4】一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那 么这24块长方体的表面积之和是多少？ （锯一次增加两个面） 练习.一个表面积为2 56cm的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是2 cm． 表面积最小：互相重合的面最多时表面积最小 【例 5】如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？ 体积： 例1. 如图11-6，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米?
小学五年级奥数 立体几何(一)
立体几何（一）本讲主线 1．长方体、正方体表面积公式 2．切割和拼接对长方体的影响 3. 三视图法. 3. 表面积. ⑴长方体＝(长×宽＋长×高＋宽×高)×2 ⑵正方体＝边长×边长×6 注意：对面相等. 【课前小练习】(★★) 1. 立体几何：顶点、棱、面. 2. 正方体，边长都相等. 顶点棱面长方体 正方体有三个大小一样的正方体，每个的边长都是2厘米. 将接触的面用胶粘接在一起构成一个立体图形. 那么，这个立体图形的表面积是_____平方厘米. 【例1】(★★★) 如图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片， 每片又锯成4长条，每条再锯成4小块，共得到大大小小的长方体48块. 那么，这48块长方体表面积的和是多少平方米？【例2】(★★★★) 用6块右图所示(单位：cm)的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种 拼法，其中表面积最大是多少平方厘米？ 1 2 3 1
【例3】(★★★) ⑴如图，在一个棱长为8的立方体的右上角上截取一个长为6，宽为3， 高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？⑶在一个棱长为8的立方体的面中间位置上截取一个棱长为4的小立方体，求 新几何体的表面积. ⑵在一个棱长为8的立方体的棱上截取一个棱长为4的小立方体，求新 几何体的表面积. 【例4】(★★★) 4. 挖洞的表面积. 下图是一个棱长为2的正方体，在正方体上表面的向下挖一个棱长为1 1 的正方体小洞，接着在小洞的底面向下挖一个棱长为的正方形小洞， 2 1 第三个正方形小洞的挖法和前两个相同，棱长为，那么最后得到的立 4 体图形的表面积是多少？ 顶点棱中间面中间