专题07 功功率动能定理(解析版)(力学部分)

专题07功功率动量定理

考点1功的理解和正负的判断

知识储备：

1．做功两因素：力和物体在力的方向上发生的位移。

2．公式：W＝Fl cos α。

(1)α是力与位移方向之间的夹角，l是物体对地的位移。

(2)该公式只适用于恒力做功。

3．功的正负的判断方法

【典例1】质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离s，如图所示，物体m相对斜面静止．则下列说法不正确的是（）

A．重力对物体m做正功

B．合力对物体m做功为零

C．摩擦力对物体m做负功

D．支持力对物体m做正功

【答案】A

【解析】

A．物体在水平方向移动，在重力方向上没有位移，所以重力对物体m做功为零，故A错误，符合题意；

B．物体匀速运动时，合力为零，合力对物体m做功为零，故B正确，不符合题意；

C．摩擦力f方向沿斜面向上，与位移的夹角为钝角，所以摩擦力对物体m做负功，故C正确，不符合题意；

D．由图看出，弹力N与位移s的夹角小于90°，则弹力对物体m做正功，故D正确，不符合题意。

故选A。

考点2机车的两种启动方式

知识储备：

1．以恒定功率启动的运动过程分析

2．以恒定加速度启动的运动过程分析

3．两类启动的图像比较

【典例2】一列总质量为m 的高铁列车沿直线由静止启动，其输出功率P 与速度v 的关系图像如图所示。当列车速度达到0v 时，输出功率增大到P 0且保持不变。已知列车运动过程中受到的阻力恒为f 。下列说法正确的是（ ）

A ．列车先做匀加速直线运动后做匀速直线运动

B ．列车运动过程中，速度最大值为v m =

P f

C ．列车运动过程中，牵引力最大值为F m =0

P v +f

D ．列车匀加速直线运动持续的时间为t 0=20

00

mv P fv -

【答案】BD 【解析】

A ．在0-v 0过程，根据P =Fv 可知，汽车的牵引力恒定，汽车做加速运动，当速度达到v 0后，汽车在额定功率下做加速度减小的变加速运动，当牵引力等于阻力时，速度达到最大，开始匀速运动，故A 错误；

B ．列车运动过程中，当

F=f

时速度最大，则速度最大值为

v m =

P f

选项B 正确；

C ．在0-v 0过程，汽车的牵引力恒定，此过程中牵引力最大，则牵引力最大值为

m P F v =

选项C 错误；

D ．列车匀加速直线的加速度

P F f

v f a m m

-==

- 运动持续的时间为

200000

v mv t a P fv ==-

选项D 正确。 故选BD 。

考点3 动能定理的理解和应用

知识储备：

动能是标量，动能定理表达式是标量式，学生常把动能分解为两个分动能，或在某个方向上应用动能定理而出错。原因是对动能定理理解不透彻，动能的变化等于相应过程中所有力对物体做的总功，因此“某个方向的合力做的功等于该方向上动能的变化”不成立。

1．动能

(1)定义：物体由于运动而具有的能量叫做动能。 (2)公式：E k ＝1

2m v 2，单位：焦耳。

(3)动能是标量、状态量。 2．动能定理

(1)内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。 (2)表达式：W ＝E k2－E k1。

(3)物理意义：合外力做的功是物体动能变化的量度。 3．公式中“＝”体现的三个关系

4．应用动能定理的解题步骤

【典例3】在平直公路上，汽车由静止开始作匀加速运动，当速度达到v m 后立即关闭发动机直到停止，v-t 图像如图所示。设汽车的牵引力为F ，摩擦力为f ，全过程中牵引力做功W 1，克服摩擦力做功W 2，则（ ）

A ．F ：f =1：3

B ．F ：f =4：1

C ．W 1：W 2=1：1

D ．W 1：W 2=1：3

【答案】BC 【解析】

设加速阶段汽车的位移为x 1，减速阶段汽车的位移为x 2，由v-t 图像所围的面积可知

12:1:3x x =

AB ．对全程，根据动能定理，有

()1120Fx f x x -+=

解得

:4:1F f =

故A 错误B 正确；

CD ．全程中汽车动能变化量为0，根据动能定理可知，牵引力做的正功与摩擦力做的负功大小相等，即

12:1:1W W =

故C 正确D 错误。 故选BC 。

考点4动能定理与图像的综合

知识储备：

图像能够更加直观的反应物体的运动情况或者受力情况，因此近几年高考常把动能定理和图像结合起来考查。考生常因为不能从图像中找出关键信息而丢分。

1．力学中图像所围“面积”的意义

2．解决物理图像问题的基本步骤

(1)观察题目给出的图像，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义。

(2)根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式。

(3)将推导出的物理量间的函数关系式与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的交点、图线与横坐标所围的面积所对应的物理意义，分析解答问题。或者利用函数图线上的特定值代入函数关系式求物理量。

m=的物体，在水平拉力F(拉力方向与物体初速度方向相同)的作用下，沿粗糙水平【典例4】质量1kg

-的图线面运动，经过位移4m时，拉力F停止作用，运动到位移是8m时物体停止，运动过程中k E x

如图所示。求：(g取2

10m/s)

v；

(1)物体的初速度

(2)物体和水平面间的动摩擦因数μ；

(3)拉力F的大小。

【答案】(1)2m/s；(2)0.25；(3)4.5N

【解析】

(1)由图像可得2

k0012

E mv =

，代入数据得 02m/s v =

(2)设物体在4m 处的动能为k1E ，物体4－8m 内，由动能定理得

210k mgs E μ-=-

代入数据得

0.25μ=

(3)物体在0－4m ，由动能定理得

1k1k0()F mg s E E μ-=-

代入数据得

4.5N F =

考点5 运用动能定理求解多过程问题

知识储备：

由于多过程问题的受力情况、运动情况比较复杂，因此从动力学的角度分析往往比较复杂，利用动能定理分析此类问题，是从总体上把握研究对象运动状态的变化，并不需要从细节上了解。

1.运用动能定理解决多过程问题时，有两种思路：一种是分段列式按部就班，注意衔接；另一种是全过程列式，计算简便，但要分析全面，不能遗漏某个功。

2.所列动能定理方程涉及重力、弹簧弹力、大小恒定的阻力或摩擦力做功时，要注意运用它们的特点： (1)重力、弹簧弹力做功取决于物体的初、末位置，与路径无关。 (2)大小恒定的阻力或摩擦力所做的功等于力的大小与路程的乘积。

【典例5】(2019·唐山模拟)如图所示装置由AB 、BC 、CD 三段轨道组成，轨道交接处均由很小的圆弧平滑

连接，其中轨道AB 、CD 段是光滑的，水平轨道BC 的长度s ＝5 m ，轨道CD 足够长且倾角θ＝37°，A 、D 两点离轨道BC 的高度分别为h 1＝4.30 m 、h 2＝1.35 m 。现让质量为m 的小滑块自A 点由静止释放。已知小滑块与轨道BC 间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：

(1)小滑块第一次到达D 点时的速度大小；

(2)小滑块第一次与第二次通过C 点的时间间隔； (3)小滑块最终停止的位置距B 点的距离。 【答案】(1)3 m/s (2)2 s (3)1.4 m

【解析】 (1)小滑块从A →B →C →D 过程中，由动能定理得： mg (h 1－h 2)－μmgs ＝1

2m v D 2－0

代入数据解得：v D ＝3 m/s 。 (2)小滑块从A →B →C 过程中： 由动能定理得mgh 1－μmgs ＝1

2m v C 2－0

代入数据解得v C ＝6 m/s

小滑块沿CD 段上滑的加速度大小a ＝g sin θ＝6 m/s 2 小滑块沿CD 段上滑到最高点的时间t 1＝v C

a ＝1 s

由对称性可知小滑块从最高点滑回C 点的时间 t 2＝t 1＝1 s

故小滑块第一次与第二次通过C 点的时间间隔 t ＝t 1＋t 2＝2 s 。

(3)对小滑块运动全过程应用动能定理，设小滑块在水平轨道上运动的总路程为s 总，有：mgh 1－μmgs 总

＝0

代入数据解得：s 总＝8.6 m

故小滑块最终停止的位置距B 点的距离为： 2s －s 总＝1.4 m 。

1．如图所示，弹簧左端固定，右端自由伸长到O 点并系住质量为m 的物体，现将弹簧压缩到A 点，然后释放，物体可以一直运动到B 点。如果物体在运动过程中受到的摩擦阻力恒定，则（ ）

A ．物体运动到O 点时，所受合力为零

B ．物体从O 到B 的过程中，加速度增大

C ．物体从A 到O 的过程中，弹簧弹力对其做负功

D ．物体从A 到O 的过程中，动能一直增大

【答案】B 【解析】

A ． O 点时弹簧的弹力为0，但物体运动到O 点时，会受到摩擦阻力作用，故合外力不为零，故A 错误；

B ．从O 到B 的过程中物体一直受到向左的弹力与向左的阻力，所以物体一直做减速运动，且弹力逐渐增大，所以加速度逐渐增大，故B 正确；

C ．物体从A 到O 的过程中，弹簧弹力与运动方向相同，所以弹簧弹力对其做正功，故C 错误；

D ．物体从A 点到O 点过程，弹力逐渐减为零，刚开始弹簧的弹力大于摩擦力，合力向右，加速度也向右，速度也向右，物体加速，后来弹力小于摩擦力，合力向左，速度向右，物体减速。即物体先加速后减速，所以物体从A 到O 的过程中，动能先增大后减小，故D 错误。 故选B 。

2．如图所示，在倾角为θ的足够长的固定斜面上放置一个小物体，小物体在沿斜面向上恒定拉力F 作用下，由静止开始运动，已知小物体与斜面间的动摩擦因数处处相同，在小物体速度由v 变为2v 和由2v 变为3v 的两个过程中，下列说法正确的是（ ）

A ．拉力做功之比为1；1

B ．拉力做功之比为1：3

C ．合外力做功之比为1：1

D ．合外力做功之比为3：5 【答案】D 【解析】

CD ．小物体速度分别为v 、2v 和3v ，对应动能分别为

2

k112

E mv = ()2k2122E m v = ()2k3

132

E m v = 根据动能定理可知，合外力做功之比为

（E k2-E k1）：（E k3-E k2）=3：5

故D 正确、C 错误；

AB ．小物体做初速度为0的匀加速直线运动，在小物体速度由v 变为2v 和由2v 变为3v 的两个过程中，位移之比

221222(2)3(3)(2)5

x v v x v v -==- 拉力做功之比为

112235

W Fx W Fx == 故AB 错误。 故选D 。

3．如图所示，两根不可伸长的轻绳一端与一个质量为m 的小球相连于O 点，另一端分别固定在小车天花板上的A 、B 两点，OA 绳与天花板的夹角为30°，OB 绳与天花板的夹角为60°，重力加速度为g ．当小车以速度ν向右做匀速直线运动，小球与车保持相对静止时，下列说法正确的是

A ．OA

B ．OB 绳对小球的拉力大小为

12

mg C ．OA

D ．重力对小球做功的功率为mgv 【答案】C 【解析】

根据共点力的平衡，根据平行四边形法则求解两边绳的拉力大小；根据P=Fv 求解功率. 【详解】

小车以速度ν向右做匀速直线运动，则小球处于平衡状态，由平衡条件可知，0

1

sin 302

OA T mg mg ==，

0cos30OB T mg mg ==

，选项AB 错误；OA 绳对小球拉力做功的功率为

0cos304

OA OA P T v mgv ==

，选项C 正确； 重力对小球做功的功率为0

cos900G P Gv ==，选项D 错误；故选C.

4．一物体自t =0时开始做直线运动，其速度图像如图所示。则下列选项正确的是（ ）

A ．在0~6s 内，物体的平均速度为7.5m/s

B ．物体在4s 末离出发点最远

C ．在4~6s 内，物体所受合外力做功为零

D ．在4~6s 内，物体所受合外力的冲量为零 【答案】C 【解析】

A ．0~5s 经过的路程

()11

2510m 35m 2

x =?+?=

5~6s 经过的路程

21

110m 5m 2

x =??=

故在0~6s 内，物体的平均速度为

355

m/s 5m/s 6

v -=

= 故A 错误；

B ．0~5s ，物体向正向运动，5~6s 向负向运动，故5s 末离出发点最远，故B 错误；

C ．由图可知，4~6s 加速度相同，则合力相同，又由图可知4~6s 内位移为零，故在4~6s 内，物体所受合外力做功为零，故C 正确；

D ．在4~6s 内，物体所受的合外力的冲量等于动量的变化量，即

1101020I mv mv m m m =-=-?-?=-

物体的质量未知，故物体所受合外力的冲量一定不为零，故D 错误。 故选C 。

5．质量为m 的汽车，启动后在发动机功率P 保持不变的条件下在水平路面上行驶，经过一段时间后将达到以速度v 匀速行驶的状态，若行驶中受到的摩擦阻力大小保持不变，则在车速为v /3时，汽车的加速度大小为（ ） A ．

P mv

B ．

2P mv

C ．

3P mv

D ．

4P mv

【答案】B 【解析】

根据题意得，当牵引力等于摩擦力时，匀速运动，根据P Fv =得：P

f v

=

；当速度为v /3时，牵引力3'13

P P F v v =

=，根据牛顿第二定律：'F f ma -=，联立解得：2P a mv =，ACD 错误B 正确． 6．已知某车的质量为m ，额定功率为P ，运动过程中，若保持额定功率P 不变，汽车所受的阻力大小恒定，

汽车能达到的最大速度为v 。若司机以

P 2的恒定功率启动，从静止开始加速做直线运动，当速度为4

v

时，汽车的加速度为1a ，当速度为3

v

时，汽车的加速度为2a ，则加速度的比值12a a 为（ ）

A ．

1

2

B ．1

C ．2

D ．4

【答案】C 【解析】

汽车以额定功率启动时，当牵引力等于摩擦力时，汽车具有最大速度，即

P v f

=

当司机以

P 2的恒定功率启动，速度为4

v

时，此时牵引力 1224

P

P

F v v ==

由牛顿第二定律可知

11F f ma -=

解得

1P a mv

=

速度为

3

v

时，此时牵引力 2323

2F v v P

P

==

由牛顿第二定律可知

22F f ma -=

解得

22P a mv

=

即

1

2

2a a = 故C 项正确，ABD 项错误。 故选C 。

7．一质量m ＝1.0kg 的物块静止在粗糙水平面上，在t ＝0时，对物块施加一恒力F ，恒力F 大小为25N ，方向与水平成37°斜向右下方，物块在恒力F 的作用下由静止开始运动。物块运动过程中还受到水平方向的空气阻力，其大小随速度的增大而增大。物块速度为0时，空气阻力也为零，物块的加速度a 与时间t 的关系如图乙所示。已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度g 取10m/s 2。以下判断正确的是（ ）

A ．物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4

B ．2s 到4s 内合外力对物块做的功为8.75J

C ．t ＝3s 时物块受到的空气阻力为7.5N

D ．前4s 内合外力对物块做的功为0 【答案】A 【解析】

A ．t =0时刻，v =0，空气阻力为零，根据牛顿第二定律

()1cos37sin37F mg F ma μ?-+?=

代入数据解得

μ=0.4

故A 正确；

B ．a -t 图线围成的面积表示速度的变化量，根据几何关系得，0-2s 内图线围成的面积为15，则0-2s 内的速度变化量为15m/s ，2s 末的速度为15m/s ，同理当t =4s 时，加速度a =0，图线与时间轴围成的面积为20，则速度为20m/s ，根据动能定理可得2s 到4s 内合外力对物块做的功为

2222421111

=120115=87.5J 2222

W mv mv =

-??-??合 故B 错误；

C ．根据几何关系得，t =3s 时图线围成的面积为18.75，可知t =3s 时，速度为18.75m/s ，当t =4s 时，加速度a =0，图线与时间轴围成的面积为20，则速度为20m/s ，有

()cos37sin370F mg F kv μ?-+?-=

解得

k =0.5

则3s 时空气阻力

9.375N f =

故C 错误；

D ．当t =4s 时，加速度a =0，图线与时间轴围成的面积为20，则速度为20m/s ，根据动能定理

22411

=120200J 22

W mv =

??=合 故D 错误。 故选A 。

8．某研究性学习小组用加速度传感器探究物体从静止开始做直线运动的规律，得到了质量为1.0kg 的物体运动的加速度随时间变化的关系图线，如图所示．由图可以得出（ ）

A ．从4.0s-6.0s 的时间内物体做匀减速直线运动

B ．物体在10.0t s =时的速度大小约为6.8m/s

C ．从10.0s-12.0s 的时间内合外力对物体做的功约为0.5J

D ．从2.0s-6.0s 的时间内物体所受合外力先减小后增大 【答案】B 【解析】

由图象可以看出，在4s 至6s 的时间内，物体的加速度在逐渐减小，所以物体做变加速的减速运动，故A 错误；加速度时间图线与时间轴所包围的面积表示物体的速度变化量，故10s 时的速度等于前10s 图线与时间轴所包围的面积，由图可知，此时的速度为680.1m/s=6.8m/s v =?，故B 正确；同理，可以估算出12s 时物体的速度大约为7.8m/s ，也可以估算出10s 时的速度约为6.8m/s ，根据动能定理可知，在10s 到12s 的时间内，合外力做的功22

21117.3J 22

W mv mv =

-=，故C 错误；从2-6s 的时间内加速度先增大后减小，说明所受合外力先增大后减小，故D 错误。 故选B 。

9．如图所示为质量为m 的汽车在水平路面上启动过程中的速度图像，Oa 段为过原点的倾斜直线，ab 段表示以额定功率行驶时的加速阶段，bc 段是与ab 段相切的水平直线，则下述说法正确的是（ ）

A ．0~t 1时间内汽车做匀加速直线运动且功率均匀增加

B ．t 1~t 2时间内汽车牵引力做功为

12mv 22-1

2

mv 12

C ．t 1~t 2时间内的平均速度大于

1

2

（v 1+v 2） D ．在全过程中，t 2时刻的牵引力及其功率都是最大值 【答案】AC 【解析】

A ．0~t 1时间内汽车做匀加速运动，由v at =可知汽车的速度均匀增大，牵引力F 大小恒定，其功率

P Fv Fat ==

可知功率均匀增大，故A 正确；

B ．在t 1~t 2时间内，牵引力做正功，摩擦力做负功，合外力做功之和等于动能的改变量，故B 错误；

C ．根据“面积”法求位移，t 1~t 2时间内汽车的位移

()()12211

2

s v v t t >

+- 所以平均速度

()12211

2

s v v v t t =

>+- 选项C 正确；

D ．在全过程中t 1时刻的斜率最大，加速度a 1也最大，根据

11F f ma =＋

可知此时牵引力F 1最大，此时刻的功率P 1也是在0~t 1时间内最大的，在t 1时刻之后，汽车的功率保持P 1不变，t 2时刻牵引力等于摩擦力，牵引力最小，故D 错误。 故选AC 。

10．如图所示为汽车的加速度a 和车速的倒数

1

v

的关系图象。若汽车质量为2×

103 kg ，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，最大车速为30 m/s ，则（ ）

A ．车所受阻力为2×103 N

B ．汽车在车速为5 m/s 时，功率为6×104 W

C ．汽车的额定功率为6×104 W

D ．汽车匀加速所需时间为5 s

【答案】ACD 【解析】

由图可知，匀加速直线运动的加速度为2m/s 2，汽车的最大速度为30m/s ，匀加速直线运动的末速度为10m/s 。

D ．汽车匀加速直线运动的时间

5s v

t a

=

= 故D 正确；

AC ．设汽车的额定功率为P ，车所受阻力为f 。

当汽车速度最大时，汽车做匀速直线运动，根据功率公式，有汽车的额定功率为

m m P Fv fv == ①

当

11

s/m 10

v =时，22m/s a =，根据牛顿第二定律得 P

f ma v

-= ② 由①②解得

320N 1f =? 460W 1P =?

故AC 正确；

B ．因为5m/s<10m/s ，所以汽车速度为5m/s 时，功率未达到额定功率4610W ?，故B 错误； 故选ACD 。

11．据美国海军研究学会新闻网报道，美国智库战略暨国际研究中心中国国力计划近期公布在8月18日拍摄的卫星照片，显示中国第3艘航空母舰正在江南造船厂稳定组装中，该航母的建造进度已有重大进展，预计未来几个月内就能下水。如图质量为m 的航母正在沿直线航行，发动机的输出功率恒为P ，所受阻力恒为f 。某时刻速度为v 1、加速度为a 1，一段时间t 后达到最大速度v 2，这段时间内航母通过的位移为s 。则（ ）

A ．11()P f ma v =+

B ．12

2

v v s t +=

C ．1P fv =

D ．22211122

Pt fs mv mv -=- 【答案】AD 【解析】

A ．在前进过程中根据牛顿第二定律

F f ma -=

故发动机的输出功率

()11P Fv f ma v ==+

故A 正确；

B ．航母在这段时间内做的不是匀加速直线运动，则

12

2

v v s t +≠

故B 错误；

C ．在速度为v 1时，发动机输出功率

11P Fv fv =>

故C 错误；

D ．在t 时间内根据动能定理得

22211122

Pt fs mv mv -=

- 故D 正确。 故选AD 。

12．某人身系弹性绳自高空P 点自由下落，图中a 点是弹性绳的原长位置，c 是人所到达的最低点，b 是人静止地悬吊着时的平衡位置．不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )

A．从P至c过程中重力的冲量大于弹性绳弹力的冲量

B．从P至c过程中重力所做功等于人克服弹力所做的功

C．从P至b过程中人的速度不断增大

D．从a至c过程中加速度方向保持不变

【答案】BC

【解析】

从P到c过程，根据动量定理，有P G-P F=0故重力的冲量等于拉力的冲量，故A错误；从P到c过程，根据动能定理，有W G-W F=0故重力的功等于克服弹力的功，故B正确；从P到a的过程中人做自由落体运动，速度增大；从a到b过程中，弹力小于重力，加速度向下，则人的速度不断增大，选项C正确；

从a到b过程人做加速运动，加速度向下；从b到c过程中，弹力大于重力，加速度向上，做减速运动，则从a到c过程中加速度方向要变化，选项D错误；故选BC.

【点睛】

本题与弹簧类型问题相似，关键是分析物体的受力情况，确定物体的运动情况．将物体的运动分为三个过程，分别运用牛顿运动定律，动能定理及动量定理研究．

13．如图所示，竖直面内有一半径为R的光滑圆轨道固定在水平面内，在大圆的最底部有一小球处于静止状态，小球半径远小于R。现给小球一初速度使其运动，若要求小球不脱离轨道，则小球获得的初速度可能是（重力加速度大小为g）（）

A B C D 【答案】ABCD 【解析】

最高点的小球恰能通过最高点，则

2

v mg m R

=

根据动能定理得

22011

222

mgR mv v -=-

解得

0v =若不通过四分之一圆周，根据动能定理有

201

02

mgR mv -=-

解得

v =所以

0v v ≤故选ABCD 。

14．如图甲所示，竖直光滑杆固定不动，套在杆上的弹簧下端固定，上端放置一可视为质点的滑块（二者不栓接），将套在杆上的滑块向下压缩至离地高度h =0.1m 处．现由静止释放滑块，通过传感器测量到滑块的速度和离地高度h 并作出滑块的动能E k -h 图象如图乙其中高度从0.2m 上升到0.35m 范围内的图象为直线，其余部分为曲线，以地面为零势能面不计空气阻力，取g =10m/s 2，由图象可知（ ）