常微分方程与动力学系统

《常微分方程》课程大纲

一、课程简介

课程名称：常微分方程学时/学分：3/54

先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何，或线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化）, 高等数学（多元微积分，无穷级数）。

面向对象：本科二年级或以上学生

教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。

二、教学内容和要求

常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。(数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题课时数)

第一章基本概念（2，0）

（一）本章教学目的与要求：

要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，线素场（方向场），定解问题等基本概念。本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。

（二）教学内容：

1．由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。

2．基本概念（常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特解，通解等）。

3．一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。

4．常微分方程所讨论的基本问题。

第二章初等积分法（4，2）

（一）本章教学目的与要求：

要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解法。

本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。

（二）教学内容：

１. 恰当方程（积分因子法）; ２. 分离变量法

３. 一阶线性微分方程（常数变易法）

４. 初等变换法（齐次方程，伯努利方程，黎卡提方程）

5．应用举例

第三章常微分方程基本定理（10， 2）

（一）本章教学目的与要求：

要求学生正确掌握存在和唯一性定理及解的延伸的含义，熟记初值问题的解存在唯一性条件，正确理解解对初值和参数的连续依赖性和可微性的几何含意。

本章教学重点是介绍常微分方程基本定理，给出几何含意，不追求定理条件的减弱，所涉及的方程至少是连续，使条件、结论及证明简洁，学生易于掌握，也为本学科的后续课程奠定基础。在习题课中，可介绍这些基本定理的应用，如证明初等函数恒等式，及推导欧拉公式。

（二）教学内容：

１. 皮卡存在和唯一性定理，用构造毕卡序列，并有它的一致收敛性来证明此定理;

２. 佩亚若存在定理；

3．解的延拓（几何含意）;用两个例子说明延拓到边界的含义：时间的边界或状态空间的边界。

4. 解的全局存在唯一性定理，为动力系统理论奠定基础。

5. 比较定理（几何含意）；

6．解对初值和参数的连续依赖性（几何含意）；

7．解对初值和参数的连续可微性（几何含意）。

第四章奇解（2，1）

（一）本章教学目的与要求：

要求学生正确掌握微分方程奇解的定义，并对几类一阶隐式方程会求奇

解。

本章教学重点是给出奇解的几何含意：不满足微分方程解的存在唯一性定理。

（二）教学内容：

１. 一阶隐式方程; ２. 奇解;

3．包络

第五章高阶微分方程与线性微分方程组（12，4）（一）本章教学目的与要求：

要求学生掌握高阶微分方程转化为微分方程组的方法，准确掌握向量函数线性无关，基础解阵等基本概念和常数变易法，待定系数法，叠加原理，刘维尔公式等；熟记线性齐次方程组解空间的结构和通解表示；熟练掌握exp(At)和基本解阵的计算，以及初值问题的求解。

本章教学重点是线性齐次方程组解空间的结构和线性非齐次微分方程组通解表示，在习题课上加强求常系数线性微分方程组通解的训练，并介绍用计算机符号运算系统软件包计算exp(At)。

（二）教学内容：

１.高阶微分方程

（高阶微分方程与方程组关系，一般理论，高阶常系数线性微分方程的解法）

２.线性微分方程组（线性方程组的矩阵记法; 定解问题和向量，矩阵的模;

初值问题解的存在唯一性，齐次方程组解空间的结构; 非齐次线性微分方程组和常数变易公式）;

３. 常系数线性微分方程组（e xp(At)的定义,性质和计算; 齐次方程组的基本解阵和初值问题；非齐次方程组及其初值问题）

4. 周期系数的线性微分方程组

第六章首次积分（6，2）

（一）本章教学目的与要求：

要求学生正确掌握首次积分的定义，性质和求首次积分的基本方法。

本章教学重点是首次积分的性质和意义，它可看作线性微分方程组的一般理论在非线性微分方程组中的推广。习题课上加强首次积分求法的训练，和保守系统判定。

（二）教学内容：

1．首次积分的定义；

2. 首次积分的性质（首次积分存在的充要条件，通过首次积分可降阶，

通积分）；

3．首次积分的存在性，保守系统，梯度系统。

第七章定性理论与分支理论初步（6，1）

（一）本章教学目的与要求：

要求学生正确掌握动力系统的基本概念，奇点及其分类，李雅普诺夫函数，

稳定和渐近稳定等概念；

熟练掌握判别二阶线性系统奇点分类及其稳定性；掌握用线性近似判别奇点的稳定性，以及初步掌握李雅普诺夫第二方法。

本章教学重点是奇点及其分类，李雅普诺夫函数，稳定和渐近稳定等概念；以及用线性近似判别奇点的稳定性和初步掌握李雅普诺夫第二方法使用。

（二）教学内容：

１. 动力系统、相空间与轨线（相空间、轨线、平衡点（奇点）、动力系统等）;

2. 解的稳定性 (李雅普偌夫稳定性定义, 线性近似判别稳定性, 李雅普偌

夫第二方法)

3. 结构稳定与分支

4. 平面动力系统的奇点与极限环(以Van der Pol 方程为例介绍概念）。

三、课程考核及说明

最终成绩由平时作业、课堂表现、小组大作业、结业考试成绩组合而成。各部分所占比例如下：

平时作业和上课参与程度：10%。主要考核对知识点的掌握程度、口头及文字表达能力。

小组大作业及报告讨论：20%。主要考核应用所学知识分析解决问题、创造性工作及文字表达等方面的能力。

结业考试：70%，主要考核对常微的基本概念和基本理论，以及求解的技巧和方法的掌握程度和应用能力。

四、教材与参考资料

丁同仁，李承治《常微分方程》，高等教育出版社，2004

Morris W. Hirsch, Stephen Smale and Robert L. Devaney, “Di?erential Equa-

tions, Dynamical System & An Introduction to Chaos“, Elsevier. 2007

Weinan E，“Introduction to Ordinary Di?erential Equations

and Dynamical Systems“，2009