《离散数学》复习题及答案
《离散数学》试题及答案
一、选择或填空
（数理逻辑部分）
1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )
(1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P
答：（1），（4）
2、下列公式中哪些是永真式？( )
(1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)
答：（2），（3），（4）
3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )
(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q
(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P
答：（2），（3），（4），（5），（6）
4、公式?x((A(x)→B(y，x))∧?z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z
5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( )
(1)北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！
答：（1）是，T （2）是，F （3）不是
（4）是，T （5）不是（6）不是
6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死
7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校
(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校
答：（1）P
P?
P→
?
?（4）Q
Q→
?（2）Q
P?
→（3）Q
8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0)
答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：
(1) ?x?y (xy=y) ( ) (2) ?x?y(x+y=y) ( )
(3) ?x?y(x+y=x) ( ) (4) ?x?y(y=2x) ( )
答：（1） F （2） F （3）F （4）T
10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )
(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立
答：（1）
11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
答：2不是偶数且-3不是负数。
12、永真式的否定是（）
(1) 永真式(2) 永假式(3) 可满足式(4) (1)--(3)均有可能
答：（2）
13、公式(?P∧Q)∨(?P∧?Q)化简为（），公式 Q→(P∨(P∧Q))可化简为（）。
答：?P ，Q→P
14、谓词公式?x(P(x)∨?yR(y))→Q(x)中量词?x的辖域是（）。
答：P(x)∨?yR(y)
15、令R(x):x是实数，Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（）。
答：??x(R(x)→Q(x))
（集合论部分）
16、设A={a,{a}}，下列命题错误的是（）。
(1) {a}∈P(A) (2) {a}?P(A) (3) {{a}}∈P(A) (4) {{a}}?P(A)
答：(2)
17、在0（）Φ之间写上正确的符号。
(1) = (2) ?(3) ∈(4) ?
答：(4)
18、若集合S的基数|S|=5，则S的幂集的基数|P(S)|=（）。
答：32
19、设P={x|(x+1)2≤4且x∈R},Q={x|5≤x2+16且x∈R},则下列命题哪个正确（）
(1) Q?P (2) Q?P (3) P?Q (4) P=Q
答：（3）
20、下列各集合中，哪几个分别相等( )。
(1) A1={a,b} (2) A2={b,a} (3) A3={a,b,a} (4) A4={a,b,c}
(5) A5={x|(x-a)(x-b)(x-c)=0} (6) A6={x|x2-(a+b)x+ab=0}
答：A1=A2=A3=A6， A4=A5
21、若A-B=Ф，则下列哪个结论不可能正确？( )
(1) A=Ф (2) B=Ф(3) A?B (4) B?A
答：（4）
22、判断下列命题哪个为真?( )
(1) A-B=B-A => A=B (2) 空集是任何集合的真子集
(3) 空集只是非空集合的子集 (4) 若A的一个元素属于B，则A=B
答：（1）
23、判断下列命题哪几个为正确？( )
(1) {Ф}∈{Ф,{{Ф}}} (2) {Ф}?{Ф,{{Ф}}} (3) Ф∈{{Ф}}
(4) Ф?{Ф} (5) {a,b}∈{a,b,{a},{b}}
答：（2），（4）
24、判断下列命题哪几个正确？( )
(1) 所有空集都不相等 (2) {Ф}≠Ф (4) 若A为非空集，则A?A成立。
答：（2）
25、设A∩B=A∩C，A∩B=A∩C，则B( )C。
答：=（等于）
26、判断下列命题哪几个正确？( )
(1) 若A∪B＝A∪C，则B＝C (2) {a,b}={b,a}
(3) P(A∩B)≠P(A)∩P(B) （P(S)表示S的幂集）
(4) 若A为非空集，则A≠A∪A成立。
答：（2）
27、Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，则下列哪几个推理正确：
(1) A?B，B?C=> A?C (2) A?B，B?C=> A∈B (3) A∈B，B∈C=> A∈C
答：（1）
（二元关系部分）
28、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y2｝，求(1)R (2) R-1 。
答：（1）R={<1,1>,<4,2>} (2) R1-={<1,1>,<2,4>}
29、举出集合A上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。( )
答：A上的恒等关系
30、集合A上的等价关系的三个性质是什么？( )
答：自反性、对称性和传递性
31、集合A上的偏序关系的三个性质是什么？( )
答：自反性、反对称性和传递性
32、设S={１,２,３,４}，Ａ上的关系Ｒ＝｛〈1,2〉，〈2,1〉，〈2,3〉，〈3,4〉｝ 求(1)R R (2) R -1 。
答：R R ={〈1,1〉，〈1,3〉，〈2,2〉，〈2,4〉} R -1 =｛〈2,1〉，〈1,2〉，〈3,2〉，〈4,3〉｝
33、设Ａ＝｛1，2，3，4，5，6｝，Ｒ是A 上的整除关系，求R= {( )}。
答：R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,
<1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>}
34、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B 的关系Ｒ＝｛〈x,y 〉|x=2y ｝，求(1)R (2) R -1 。
答：（1）R={<1,1>,<4,2>,<6,3>} (2) R 1-={<1,1>,<2,4>,(36>}
35、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B 的关系Ｒ＝｛〈x,y 〉|x=y 2｝，
求R 和R -1的关系矩阵。
答：R 的关系矩阵=????
??
?
?
?
?????
????0000000010000
000
01
R 1-的关系矩阵=????
??????000000010000000001 36、集合A={1,2,…,10}上的关系R={
(1) 自反的 (2) 对称的 (3) 传递的，对称的 (4) 传递的
答：（2）
（代数结构部分）
37、设A={2,4,6}，A 上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点
答：2，6
38、设A={3,6,9}，A 上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点
答：9，3
（半群与群部分）
39、设〈G,*〉是一个群，则
(1) 若a,b,x∈G，a*x=b，则x=( )；
(2) 若a,b,x∈G，a*x=a*b，则x=( )。
-1 b （2） b
答：（1） a*
40、设a是12阶群的生成元，则a2是( )阶元素，a3是( )阶元素。答： 6,4
41、代数系统
答：单位元
42、设a是10阶群的生成元，则a4是( )阶元素，a3是( )阶元素。答：5，10
43、群
答：单位元，1
44、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。
答：循环群，任一非单位元
45、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则
(1) 若c*a=b，则c=( )；(2) 若c*a=b*a，则c=( )。
*a (2) b
答：（1） b1-
46、
答：
47、群＜A,*＞的等幂元有( )个，是( )，零元有( )个。答：1，单位元，0
48、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。答：k
49、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）
(1) a*b=a-b (2) a*b=max{a,b} (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b| 答：(2)
50、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。
(1) 不可能是群(2) 不一定是群
(3) 一定是群(4) 是交换群
答：(1)
51、6阶有限群的任何子群一定不是（）。
(1) 2阶(2) 3 阶 (3) 4 阶(4) 6 阶
答：(3)
（格与布尔代数部分）
52、下列哪个偏序集构成有界格（）
(1) （N,≤）(2) （Z,≥）
(3) （{2,3,4,6,12},|（整除关系））(4) (P(A),?)
答：(4)
53、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。
(1) 偶数(2) 奇数 (3) 4的倍数(4) 2的正整数次幂
答：(4)
（图论部分）
54、设G是一个哈密尔顿图，则G一定是( )。
(1) 欧拉图 (2) 树(3) 平面图 (4) 连通图
答：(4)
55、下面给出的集合中，哪一个是前缀码？( )
(1) {0，10，110，101111} (2) {01，001，000，1}
(3) {b，c，aa，ab，aba} (4) {1，11，101，001，0011}
答：（2）
56、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中( )的路。
答：所有结点一次且恰好一次
57、在有向图中，结点v的出度deg+(v)表示( )，入度deg-(v)表示( )。答：以v为起点的边的条数，以v为终点的边的条数
58、设G是一棵树，则G 的生成树有( )棵。
(1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 不能确定
答：1
59、n阶无向完全图K n 的边数是( )，每个结点的度数是( )。
答：
2)1
(
n
n
, n-1
60、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是( )。
答：m=n-1
61、一个图的欧拉回路是一条通过图中( )的回路。
答：所有边一次且恰好一次
62、有n个结点的树，其结点度数之和是( )。
答：2n-2
63、下面给出的集合中，哪一个不是前缀码( )。
(1) {a，ab，110，a1b11} (2) {01，001，000，1}
(3) {1，2，00，01，0210} (4) {12，11，101，002，0011}
答：(1)
64、n个结点的有向完全图边数是( )，每个结点的度数是( )。答：n(n-1),2n-2
65、一个无向图有生成树的充分必要条件是( )。
答：它是连通图
66、设G是一棵树，n,m分别表示顶点数和边数，则
(1) n=m (2) m=n+1 (3) n=m+1 (4) 不能确定。
答：（3）
67、设T=〈V,E〉是一棵树，若|V|>1，则T中至少存在( )片树叶。
答：2
68、任何连通无向图G至少有( )棵生成树，当且仅当G 是( )，G的生成树只有一棵。
答：1，树
69、设G是有n个结点m条边的连通平面图，且有k个面，则k等于:
(1) m-n+2 (2) n-m-2 (3) n+m-2 (4) m+n+2。
答：（1）
70、设T是一棵树，则T是一个连通且( )图。
答：无简单回路
71、设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是2，则图G有( )个顶点。
(1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 16
答：（4）
72、设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G有( )个顶点。
(1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 12
答：(4)
73、设图G=
答：有向图
74、任一有向图中，度数为奇数的结点有( )个。
答：偶数
75、具有6 个顶点，12条边的连通简单平面图中，每个面都是由( )条边围成？
(1) 2 (2) 4 (3) 3 (4) 5
答：（3）
76、在有n个顶点的连通图中，其边数（）。
(1) 最多有n-1条(2) 至少有n-1 条
(3) 最多有n条(4) 至少有n 条
答：（2）
77、一棵树有2个2度顶点，1 个3度顶点，3个4度顶点，则其1度顶点为（）。
(1) 5 (2) 7 (3) 8 (4) 9
答：（4）
78、若一棵完全二元（叉）树有2n-1个顶点，则它（）片树叶。
(1) n (2) 2n (3) n-1 (4) 2
答：（1）
79、下列哪一种图不一定是树（）。
(1) 无简单回路的连通图(2) 有n个顶点n-1条边的连通图
(3) 每对顶点间都有通路的图(4) 连通但删去一条边便不连通的图
答：（3）
80、连通图G是一棵树当且仅当G中（）。
(1) 有些边是割边(2) 每条边都是割边
(3) 所有边都不是割边(4) 图中存在一条欧拉路径
答：（2）
（数理逻辑部分）
二、求下列各公式的主析取范式和主合取范式：
1、(P→Q)∧R
解：(P→Q)∧R?(?P∨Q )∧R
?(?P∧R)∨(Q∧R) （析取范式）
?(?P∧(Q∨?Q)∧R)∨((?P∨P)∧Q∧R)
?(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
?(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)∨(P∧Q∧R)（主析取范式）
?((P→Q)∧R)?(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R)∨(P∧?Q∧R)
∨(P∧Q∧?R)∨( P∧?Q∧?R)（原公式否定的主析取范式）
(P→Q)∧R?(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)
∧(?P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨R)（主合取范式）
2、(P∧R)∨(Q∧R)∨?P
解： (P∧R)∨(Q∧R)∨?P（析取范式）
?(P∧(Q∨?Q)∧R)∨((P∨?P)∧Q∧R)∨(?P∧(Q∨?Q)∧(R∨?R))
?(P∧Q∧R)∨(P∧?Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)
∨( ?P∧Q∧R)∨( ?P∧Q∧?R)∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)
?(P∧Q∧R)∨(P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧?R) ∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R) (主析取范式)
?（(P∧R)∨(Q∧R)∨?P）
?(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧?R）（原公式否定的主析取范式）
(P∧R)∨(Q∧R)∨?P ?(?P∨Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)（主合取范式）
3、(?P→Q)∧(R∨P)
解：(?P→Q)∧(R∨P)
?(P∨Q)∧(R∨P)（合取范式）
?(P∨Q∨(R∧?R))∧(P∨(Q∧?Q))∨R)
?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)
?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨?Q∨R)（主合取范式）
?((?P→Q)∧(R∨P))
?(P∨?Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)
∧(?P∨?Q∨?R)（原公式否定的主合取范式）
(?P→Q)∧(R∨P)
?(?P∧Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧?Q∧R)∨(P∧Q∧R)
（主析取范式）
4、Q→(P∨?R)
解：Q→(P∨?R)
??Q∨P∨?R（主合取范式）
?（Q→(P∨?R)）
?(?P∨?Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)
∧(P∨?Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R）（原公式否定的主合取范式）
Q→(P∨?R)
?(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R) ∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R）（主析取范式）
5、P→(P∧(Q→P))
解：P→(P∧(Q→P))
??P∨(P∧(?Q∨P))
??P∨P
? T (主合取范式)
?(?P∧?Q)∨(?P∧Q)∨(P∧?Q)∨(P∧Q)（主析取范式）
6、?(P→Q)∨(R∧P)
解：?(P→Q)∨(R∧P)??(?P∨Q)∨(R∧P)
?(P∧?Q)∨(R∧P)（析取范式）
?(P∧?Q∧(R∨?R))∨(P∧(?Q∨Q)∧R)
?(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧?Q∧R)∨(P∧Q∧R)
?(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)（主析取范式）?(?(P→Q)∨(R∧P))?(P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)
∨ (?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R)（原公式否定的主析取范式）?(P→Q)∨(R∧P)?(?P∨?Q∨R)∧(P∨?Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)
∧(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)（主合取范式）
7、P∨(P→Q)
解：P∨(P→Q)?P∨(?P∨Q)?(P∨?P)∨Q
?T(主合取范式)
?(?P∧?Q)∨(?P∧Q)∨(P∧?Q)∨(P∧Q)（主析取范式）
8、(R→Q)∧P
解：(R→Q)∧P?(?R∨Q )∧P
? (?R∧P)∨(Q∧P) （析取范式）
? (?R∧(Q∨?Q)∧P)∨((?R∨R)∧Q∧P)
?(?R∧Q∧P)∨(?R∧?Q∧P)∨(?R∧Q∧P)∨(R∧Q∧P)
?(P∧Q∧?R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)（主析取范式）
?((R→Q)∧P)?(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R）∨(P∧?Q∧R) ∨(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)（原公式否定的主析取范式）
(R→Q)∧P?(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)
∧(P∨?Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)（主合取范式）
9、P→Q
解：P→Q??P∨Q（主合取范式）
?(?P∧(Q∨?Q))∨((?P∨P)∧Q)
?(?P∧Q)∨(?P∧?Q)∨(?P∧Q)∨(P∧Q)
?(?P∧Q)∨(?P∧?Q)∨(P∧Q)（主析取范式）
10、P∨?Q
解： P∨?Q （主合取范式）
?(P∧(?Q∨Q))∨((?P∨P)∧?Q）
?(P∧?Q)∨(P∧Q)∨(?P∧?Q)∨(P∧?Q）
?(P∧?Q)∨(P∧Q)∨(?P∧?Q)（主析取范式）
11、P∧Q
解：P∧Q（主析取范式）?(P∨(Q∧?Q))∧((P∧?P)∨Q)
?(P∨?Q)∧(P∨Q)∧(P∨Q)∧(?P∨Q)
?(P∨?Q)∧(P∨Q)∧(?P∨Q)（主合取范式）
12、（P∨R）→Q
解：（P∨R）→Q
??(P∨R)∨Q
?(?P∧?R)∨Q
?(?P∨Q)∧(?R∨Q)（合取范式）
?(?P∨Q∨(R∧?R))∧((?P∧P)∨Q∨?R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)（主合取范式）
?（P∨R）→Q
?(?P∨?Q∨R)∧(?P∨?Q∨?R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(P∨?Q∨?R) （原公式否定的主析取范式）
（P∨R）→Q
?(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R)
∨(?P∧Q∧R)（主析取范式）
13、（P→Q）→R
解：（P→Q）→R
??(?P∨Q)∨R
?(P∧?Q)∨R(析取范式)
?(P∧?Q∧(R?
∨Q)∧R)
∨R))∨((P?
∨P)∧(Q?
?(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧R) ∨(?P∧?Q∧R)
?(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)
∨(?P∧?Q∧R)(主析取范式）
（P→Q）→R
??(?P∨Q)∨R
?(P∧?Q)∨R(析取范式)
?(P∨R)∧(?Q∨R)(合取范式)
?(P∨(Q∧?Q)∨R)∧((P∧?P)∨?Q∨R)
?(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)
?(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)(主合取范式)
14、(P→(Q∧R))∧(?P→(?Q∧?R))
解：(P→(Q∧R))∧(?P→(?Q∧?R))
?(?P∨(Q∧R))∧(P∨(?Q∧?R))
?(?P∨Q)∧(?P∨R)∧(P∨?Q)∧(P∨?R)（合取范式）
?(?P∨Q∨(R∧?R))∧(?P∨(Q∧?Q)∨R)∧(P∨?Q∨(R∧?R))
∧(P∨(Q∧?Q)∨?R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)
∧(P∨?Q∨R)∧(P∨?Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨?Q∨?R) ?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)∧(P∨?Q∨R) ∧(P∨Q∨?R)∧(P∨?Q∨?R)(主合取范式)
?(P→(Q∧R))∧(?P→(?Q∧?R))
?(?P∨?Q∨?R)∧(P∨Q∨R)(原公式否定的主合取范式)
(P→(Q∧R))∧(?P→(?Q∧?R))
?(P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)(主析取范式)
15、P∨(?P→(Q∨(?Q→R)))
解：P∨(?P→(Q∨(?Q→R)))
? P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))
? P∨Q∨R(主合取范式)
?(P∨Q∨R)
?(P∨?Q∨R)∧(P∨?Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)
∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)∧(?P∨?Q∨?R)
(原公式否定的主合取范式)
(P∨Q∨R)
?(?P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R) ∨(P∧?Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)(主析取范式)
16、(P→Q)∧(P→R)
解、(P→Q)∧(P→R)
?(?P∨Q)∧(?P∨R) (合取范式)
?(?P∨Q∨(R∧?R)∧(?P∨(?Q∧Q)∨R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)(主合取范式) (P→Q)∧(P→R)
?(?P∨Q)∧(?P∨R)
??P∨(Q∧R)(合取范式)
?(?P∧(Q∨?Q)∧(R∨?R))∨((?P∨P)∧Q∧R)
?(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧?R)∨(?P∧?Q?R)
∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
?(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧?R)∨(?P∧?Q?R)∨(P∧Q∧R) (主析取范式)
三、证明：
1、P→Q，?Q∨R，?R，?S∨P=>?S
证明：
(1) ?R 前提
(2) ?Q∨R 前提
(3) ?Q （1），（2）
(4) P→Q 前提
(5) ?P （3），（4）
(6) ?S∨P 前提
(7) ?S （5），（6）
2、A→(B→C)，C→(?D∨E)，?F→(D∧?E),A=>B→F
证明：
(1) A 前提
(2) A→(B→C) 前提
(3) B→C （1），（2）
(4) B 附加前提
(5) C （3），（4）
(6) C→(?D∨E) 前提
(7) ?D∨E （5），（6）
(8) ?F→(D∧?E) 前提
(9) F （7），（8）
(10) B→F CP
3、P∨Q， P→R, Q→S => R∨S
证明：
(1) ?R 附加前提
(2) P→R 前提
(3) ?P （1），（2）
(4) P∨Q 前提
(5) Q （3），（4）
(6) Q→S 前提
(7) S （5），（6）
(8) R∨S CP，（1），（8）
4、(P→Q)∧(R→S)，(Q→W)∧(S→X)，?(W∧X)，P→R => ?P 证明：
（1） P 假设前提
（2） P→R 前提
（3） R （1），（2）
（4） (P→Q)∧(R→S) 前提
（5） P→Q （4）
（6） R→S （5）
（7） Q （1），（5）
（8） S （3），（6）
（9） (Q→W)∧(S→X) 前提
（10） Q→W （9）
（11） S→X （10）
（12） W （7），（10）
（13） X （8），（11）
（14） W∧X （12），（13）
（15）?(W∧X) 前提
（16）?(W∧X)∧(W∧X) （14），（15）
5、(U∨V)→(M∧N), U∨P, P→(Q∨S)，?Q∧?S =>M
证明：
(1) ?Q∧?S 附加前提
（2）P→(Q∨S) 前提
（4） U∨P 前提
（5） U （3），（4）
（6） U∨V （5）
（7）(U∨V)→(M∧N) 前提
（8） M∧N (6),(7)
（9） M （8）
6、?B∨D，(E→?F)→?D，?E=>?B
证明：
(1) B 附加前提
(2) ?B∨D 前提
(3) D （1），（2）
(4) (E→?F)→?D 前提
(5) ?(E→?F) （3），（4）
(6) E∧?F （5）
(7) E （6）
(8) ?E 前提
(9) E∧?E （7），（8）
7、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S) 证明：
（1） P 附加前提
（2） Q 附加前提
（3） P→(Q→R) 前提
（4） Q→R （1），（3）
（5） R （2），（4）
（6） R→(Q→S) 前提
（7） Q→S （5），（6）
（8） S （2），（7）
（9） Q→S CP，（2），（8）
8、P→?Q，?P→R，R→?S =>S→?Q
证明：
（1） S 附加前提
（2） R→?S 前提
（3）?R （1），（2）
（4）?P→R 前提
（5） P （3），（4）
（6） P→?Q 前提
（7）?Q (5），（6）
（8） S→?Q CP，（1），（7）
9、P→(Q→R) => (P→Q)→(P→R)
证明：
(1) P→Q 附加前提
(2) P 附加前提
(3) Q (1),(2)
(4) P→(Q→R) 前提
(5) Q→R (2),(4)
(6) R (3),(5)
(7) P→R CP,(2),(6)
(8) (P→Q) →(P→R) CP,(1),(7)
10、P→(?Q→?R)，Q→?P,S→R,P =>?S 证明：
（1） P 前提
（2） P→(?Q→?R) 前提
（3）?Q→?R (1)，(2)
（4） Q→?P 前提
（5）?Q (1)，(4)
（6）?R (3),(5)
（7） S→R 前提
（8）?S (6)，(7)
11、A，A→B， A→C， B→(D→?C) => ?D 证明：
（1） A 前提
（2） A→B 前提
（3） B (1)，(2)
（4） A→C 前提
（5） C (1)，(4)
（6） B→(D→?C) 前提
（7） D→?C (3)，(6)
（8） D (5)，(7)
12、A→(C∨B)，B→?A，D→?C => A→?D 证明：
（1） A 附加前提
(2) A→(C∨B) 前提
(3) C∨B （1），（2）
(4) B→?A 前提
(5) ?B （1），（4）
(6) C （3），（5）
(7) D→?C 前提
(8) ?D （6），（7）
(9) A→?D CP，（1），（8）
13、(P→Q)∧(R→Q) ?（P∨R）→Q
证明、
(P→Q)∧(R→Q)
?(?P∨Q)∧(?R∨Q)
?(?P∧?R)∨Q
??（P∨R）∨Q
概率与数理统计复习题及答案
★编号：重科院（ ）考字第（ ）号 第 1 页 复习题一 一、选择题 1．设随机变量X 的概率密度21 ()0 1x x f x x θ-?>=?≤?，则θ=（ ）。 A ．1 Ｂ. 12 C. -1 Ｄ. 3 2 2．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现4点的概率为（ ）。 A ．12 Ｂ. 23 C. 16 Ｄ. 13 3．设)(~),(~22221221n n χχχχ，2 221,χχ独立，则~2221χχ+（ ）。 A ．)(~22221n χχχ+ Ｂ. ~2 221χχ+)1(2 -n χ C. 2212~()t n χχ+ Ｄ. ~2221χχ+)(212 n n +χ 4．若随机变量12Y X X =+，且12,X X 相互独立。~(0,1)i X N （1,2i =），则（ ）。 A ．~(0,1)Y N Ｂ. ~(0,2)Y N C. Y 不服从正态分布 Ｄ. ~(1,1)Y N 5．设)4,1(~N X ，则{0 1.6}P X <<=（ ）。 A ．0.3094 Ｂ. 0.1457 C. 0.3541 Ｄ. 0.2543 二、填空题 1．设有5个元件，其中有2件次品，今从中任取出1件为次品的概率为 2．设,A B 为互不相容的随机事件，()0.1,()0.7,P A P B ==则()P A B =U 3．设()D X =5, ()D Y =8,,X Y 相互独立。则()D X Y += 4．设随机变量X 的概率密度?? ?≤≤=其它 , 010, 1)(x x f 则{}0.2P X >= 三、计算题 1．设某种灯泡的寿命是随机变量X ，其概率密度函数为 5,0 ()0, 0x Be x f x x -?>=?≤? (1)确定常数B (2)求{0.2}P X > (3)求分布函数()F x 。 2．甲、乙、丙三个工厂生产同一种产品，每个厂的产量分别占总产量的40％，35％， 25％，这三个厂的次品率分别为0.02, 0.04，0.05。现从三个厂生产的一批产品中任取
(完整word版)离散数学期末练习题带答案
离散数学复习注意事项： 1、第一遍复习一定要认真按考试大纲要求将本学期所学习内容系统复习一遍。 2、第二遍复习按照考试大纲的要求对第一遍复习进行总结。把大纲中指定的例题及书后习题认真做一做。检验一下主要内容的掌握情况。 3、第三遍复习把随后发去的练习题认真做一做，检验一下第一遍与第二遍复习情况，要认真理解,注意做题思路与方法。 离散数学综合练习题 一、选择题 1．下列句子中，（）是命题。 A．2是常数。B．这朵花多好看呀！ C．请把门关上！D．下午有会吗？ 2．令p: 今天下雪了，q:路滑，r:他迟到了。则命题“下雪路滑，他迟到了” 可符号化为（）。 A. p q r ∨→ ∧→ B. p q r C. p q r ∨? ∧∧ D. p q r 3．令:p今天下雪了，:q路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（）。 A.p q ∧ ∧? B.p q C.p q →? ∨? D. p q 4．设() Q x:x会飞，命题“有的鸟不会飞”可符号化为（）。 P x:x是鸟，() A. ()(()()) Q x ??∧()) x P x Q x ??→ B. ()(() x P x C. ()(()()) Q x ??∧()) x P x Q x ??→ D. ()(() x P x 5.设() L x y：x大于等于y；命题“所有整数 f x:x的绝对值，(,) P x:x是整数，() 的绝对值大于等于0”可符号化为（）。 A. (()((),0)) ?→ x P x L f x ?∧B. (()((),0)) x P x L f x C. ()((),0) ?→ xP x L f x ?∧ D. ()((),0) xP x L f x 6.设() F x:x是人，() G x:x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（）。 A．(()()) ??→? x F x G x ?∧B．(()()) x F x G x C．(()()) ??∧? x F x G x ??∧D．(()()) x F x G x 7.下列命题公式不是永真式的是（）。 A. () p q p →→ →→ B. () p q p C. () →∨ p q p p q p ?∨→ D. () 8．设() R x:x为有理数；() Q x:x为实数。命题“任何有理数都是实数”的符号化为（）
离散数学复习要点
离散数学复习要点第一章命题逻辑 一、典型考查点 1、命题的判断方法：陈述句真值唯一，特殊：反问句也是命题。其它疑问句、祈使句、感叹句、悖论等皆不是。详见教材P1 2、联结词运算定律┐∧∨→记住特殊的：1∧1?1，0∨0?0，1→0?0，11?1，00?1详见P5 3、命题符号化步骤：A划分原子命题，找准联结词。特殊自然语言：不但而且，虽然但是用∧，只有P才Q，应为Q→P；除非P否则Q，应为┐P→Q。B设出原子命题写出符号化公式。详见P5 4、公式的分类判定（重言式、矛盾式、可满足式）方法：其一根据所有真值赋值情况，其二根据等价演算来判断。详见P9 5、真值表的构造步骤：①命题变元按字典序排列，共有2n个真值赋值。②对每个指派，以二进制数从小到大或从大到小顺序列出。③若公式较复杂，可先列出各子公式的真值(若有括号，则应从里层向外层展开)，最后列出所求公式的真值。详见P8。 6、基本概念：置换规则，P规则，T规则，详见P24；合取范式，析取范式，详见P15；小项详见P16；大项详见P18，最小联结词组详见P15 7、等价式详见P22表1.6.2 证明方法：①真值表完全相同②用等价演算③利用A?B的充要条件是A?B且B?A。主要等价式：(1)双否定：??A?A。(2)交换律：A∧B?B∧A，A∨B?B∨A，A?B?B?A。3)结合律：(A∧B)∧C?A ∧(B∧C)，(A∨B)∨C?A∨(B∨C)，(A?B)?C?A?(B?C)。(4) 分配律：A∧(B∨C)?(A∧B)∨(A∧C)，A∨(B∧C)?(A∨B)∧(A∨C)。(5) 德·摩根律：?(A∧B)??A∨?B，?(A∨B)??A∧?B。(6) 等幂律：A∧A?A，A∨A?A。(7) 同一律：A∧T?A，A∨F?A。(8) 零律：A∧F?F，A∨T?T。(9) 吸收律：A∧(A∨B)?A，A∨(A∧B)?A。(10) 互补律：A∧?A?F，(矛盾律)，A∨?A?T。(排中律)(11) 条件式转化律：A→B??A∨B，A→B??B→?A。(12) 双条件式转化律：A?B?(A→B)∧(B→A)?(A∧B)∨(?A∧?B) 8、蕴含式详见P23表1.6.3 证明方法：①前件真导后件真方法②后件假导前件假方法③真值表中，前件为真的行，后件也为真或者后件为假的行，前件也为假。④用定义，证A?B，即证A→B是永真式。 9、范式求法步骤：①使用命题定律，消去公式中除∧、∨和?以外公式中出现的所有联结词；②使用?(?P)?P和德·摩根律，将公式中出现的联结词?都移到命题变元之前；③利用结合律、分配律等将公式化成析取范式或合取范式。10、主范式的求法重点步骤：(a)把给定公式化成析取（合取）范式；(b)删除析取范式中所有为永假的简单合取（析取）式；(c)用等幂律化简简单合取（析取）式中同一命题变元的重复出现为一次出现，如P∧P?P。(d)用同一律补进简单合取（析取）式中未出现的所有命题变元，如Q，则P?P∧（?Q∨Q)或P?P∨（?Q∧Q)，并用分配律展开之，将相同的简单合取式的多次出现化为一次出现，这样得到了给定公式的主析取（合取）范式。 注意：主析取范式与主合取范式之间的联系。例如：(P→Q)∧Q?m1∨m3?M0∧M2，即剩下的编码就是另一个主范式的编码，因此，求主范式，哪一个简单易求，就先求哪个，然后对应出所求结果。详见P16 11、推理证明：重点方法：演算、演绎法（常用的格式）、反证法、CP规则即附加前提等。 重点规则（主要蕴含式）：(1) P∧Q?P化简(2) P∧Q?Q化简(3) P?P∨Q附加(4) ?P?P→Q变形附加(5)Q?P→Q变形附加(6) ?(P→Q)?P变形化简(7) ?(P→Q)??Q变形化简(8) P，(P→Q)?Q假言推理(9) ?Q，(P→Q)??P拒取式(10) ?P，(P∨Q)?Q析取三段论(11) (P→Q)，(Q→R)?P→R条件三段论(12) (P?Q)，(Q?R)?P?R 双条件三段论 文字证明推理三步：一命题符号化，二写出前提和结论，三进行证明。详见P21 二、强化练习 1.命题的是( )A.走，看电影去B.x+y>0C.空集是任意集合的真子集D.你明天能来吗? 2.下列式子为重言式的是( ) A.P→P∨Q B.(┐P∧Q)∧(P∨┐Q) C.┐ (P Q) D.(P∨Q) (P→Q) 3．下列为两个命题变元P，Q的小项是（） A．P∧Q∧? P B．? P∨Q C．? P∧Q D．? P∨P∨Q 4．下列语句中是真命题的是（） A．我正在说谎B．严禁吸烟C．如果1+2=3，那么雪是黑的D．如果1+2=5，那雪是黑的 5．设P：我们划船，Q：我们跑步。命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（） A．? P∧? Q B．? P∨? Q C．?（P?Q） D．?（? P∨? Q） 6．命题公式（P∧（P→Q））→Q是（）A．矛盾式B．蕴含式C．重言式D．等价式 7．命题公式?（P∧Q）→R的成真指派是（） A．000，001，110，B．001，011，101，110，111 C．全体指派D．无 8．设P：他聪明，Q：他用功，命题“他虽聪明但不用功”的符号化正确的是（）
离散数学模拟题一套及答案
离散数学考试（试题及答案） 一、（10分）某项工作需要派A、B、C和D4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？ (1)若A去，则C和D中要去1个人； (2)B和C不能都去； (3)若C去，则D留下。 解设A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。则根据题意应有：ACD，(B∧C)，CD必须同时成立。因此 (ACD)∧(B∧C)∧(CD) (A∨(C∧ D)∨(C∧D))∧(B∨C)∧(C∨D) (A∨(C∧ D)∨(C∧D))∧((B∧C)∨(B∧D)∨C∨(C∧D)) (A∧B∧C)∨(A∧B∧D)∨(A∧C)∨(A∧C∧D) ∨(C∧D∧B∧C)∨(C∧D∧B∧D)∨(C∧D∧C)∨(C∧ D∧C∧D) ∨(C∧D∧B∧C)∨(C∧D∧B∧D)∨(C∧D∧C)∨(C∧D F∨F∨(A∧C)∨F∨F∨(C∧ D∧B)∨F∨F∨(C∧D∧B)∨F∨(C∧D)∨F (A∧C)∨(B∧C∧ D)∨(C∧D∧B)∨(C∧D) (A∧C)∨(B∧C∧ D)∨(C∧D) T 故有三种派法：B∧D，A∧C，A∧D。 二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：某学术会议的每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以，有些成员是青年专家。 解：论域：所有人的集合。()：是专家；()：是工人；()：是青年人；则推理化形式为： (()∧())，()(()∧())
下面给出证明： (1)() P (2)(c) T(1)，ES (3)(()∧()) P (4)( c)∧( c) T(3)，US (5)( c) T(4)，I (6)( c)∧(c) T(2)(5)，I (7)(()∧()) T(6) ，EG 三、（10分）设A、B和C是三个集合，则AB(BA)。 证明：ABx(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA)x(xA∨x∈B)∧x(x∈B∧xA) x(x∈A∧xB)∧x(xB∨x∈A)x(x∈A∧xB)∨x(x∈A∨xB) (x(x∈A∧xB)∧x(x∈A∨xB))(x(x∈A∧xB)∧x(x∈B→x∈A)) (BA)。 四、（15分）设A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元关系，且R＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。 解 r(R)＝R∪I A＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>} s(R)＝R∪R－1＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>， <5，2>，<1，2>，<4，2>，<4，3>} R2＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>} R3＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>} R4＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}＝R2 t(R)＝R i＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，1>，<5，4>，<5，5>}。
概率与数理统计复习题及答案
Word 资料. 复习题一 一、选择题 1．设随机变量X 的概率密度21 ()01x x f x x θ-?>=?≤?，则θ=（ ）。 A ．1 Ｂ. 12 C. -1 Ｄ. 3 2 2．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现4点的概率为（ ）。 A ． 12 Ｂ. 23 C. 16 Ｄ. 1 3 3．设)(~),(~22221221n n χχχχ，2 221,χχ独立，则~2221χχ+（ ）。 A ．)(~22221n χχχ+ Ｂ. ~2 221χχ+)1(2 -n χ C. 2212~()t n χχ+ Ｄ. ~2221χχ+)(212 n n +χ 4．若随机变量12Y X X =+，且12,X X 相互独立。~(0,1)i X N （1,2i =），则（ ）。 A ．~(0,1)Y N Ｂ. ~(0,2)Y N C. Y 不服从正态分布 Ｄ. ~(1,1)Y N 5．设)4,1(~N X ，则{0 1.6}P X <<=（ ）。 A ．0.3094 Ｂ. 0.1457 C. 0.3541 Ｄ. 0.2543 二、填空题 1．设有5个元件，其中有2件次品，今从中任取出1件为次品的概率为 2．设,A B 为互不相容的随机事件，()0.1,()0.7,P A P B ==则()P A B = 3．设()D X =5, ()D Y =8,,X Y 相互独立。则()D X Y += 4．设随机变量X 的概率密度?? ?≤≤=其它 , 010, 1)(x x f 则{}0.2P X >= 三、计算题 1．设某种灯泡的寿命是随机变量X ，其概率密度函数为 5,0 ()0, 0x Be x f x x -?>=?≤? (1)确定常数B (2)求{0.2}P X > (3)求分布函数()F x 。
离散数学期末复习
离散数学期末复习 一、选择题 1、下列各选项错误的是 A、??? B、??? C、?∈{?} D、??{?} 2、命题公式(p∧q)→p是 A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、等值式 3、如果是R是A上的偏序关系，R-1是R的逆关系，则R∪R-1是 A、等价关系 B、偏序关系 C、全序关系 D、都不是 4、下列句子中那个是假命题？ A、是无理数. B、2 + 5＝8.
C、x+ 5＞3 D、请不要讲话！ 5、下列各选项错误的是？ A、??? B、??{?} C、?∈{?} D、{?}?? 6、命题公式p→（p∨q∨r）是？ A、重言式 B、矛盾式 C、可满足式 D、等值式 7、函数f : N→N, f(x)=x+5,函数f是 A、单射 B、满射 C、双射 D、都不是 8、设D=
D、不连通的 9、关系R1和R2具有反自反性，下面运算后，不能保持自反性的是 A、R1?R2 B、R1-1 C、R1?R2 D、R1-R2 10、连通平面图G有4个结点，3个面，则G有（）条边。 A、7 B、6 C、5 D、4 二、填空题 1、将下面命题符号化。设p:天冷，q:小王穿羽绒服。只要天冷，小王就穿羽绒服.符号化为 2、将下面命题符号化，设p:天冷，q:小王穿羽绒服。因为天冷，所以小王穿羽绒服.符号化为 3、将下面命题符号化，设p:天冷，q:小王穿羽绒服。若小王不穿羽绒服，则天不冷.符号化为 4、将下面命题符号化，设p:天冷，q:小王穿羽绒服。只有天冷，小王才穿羽绒服.符号化为
离散数学知识点整理
离散数学 一、逻辑和证明 1.1命题逻辑 命题：是一个可以判断真假的陈述句。 联接词：∧、∨、→、?、?。记住“p仅当q”意思是“如果p，则q”，即p→。记住“q除非p”意思是“?p→q”。会考察条件语句翻译成汉语。 系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。 1.3命题等价式 逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如?x>0P(x)。 当论域中的元素可以一一列举，那么?xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。同理，?xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。 两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如?x（P(x)∧Q(x))和(?xP(x))∧(?xQ(x))。 量词表达式的否定：??xP(x) ??x?P(x)，??xP(x) ??x?P(x)。 1.5量词嵌套 我们采用循环的思考方法。量词顺序的不同会影响结果。语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。 1.6推理规则 一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。但有效论证
二、集合、函数、序列、与矩阵 2.1集合 ∈说的是元素与集合的关系，?说的是集合与集合的关系。常见数集有N={0,1,2,3...}，Z整数集，Z+正整数集，Q有理数集，R实数集，R+正实数集，C复数集。 A和B相等当仅当?x(x∈A?x∈B)；A是B的子集当仅当?x(x∈A→x∈B)；A是B的真子集当仅当?x(x∈A→x∈B)∧?x(x?A∧x∈B)。 幂集：集合元素的所有可能组合，肯定有?何它自身。如?的幂集就是{?}，而{?}的幂集是{?，{?}}。 考虑A→B的函数关系，定义域、陪域（实值函数、整数值函数）、值域、像集（定义域的一个子集在值域的元素集合）。 一对一或者单射：B可能有多余的元素，但不重复指向。 映上或者满射：B中没有多余的元素，但可能重复指向。 一一对应或者双射：符合上述两种情况的函数关系。 反函数：如果是一一对应的就有反函数，否则没有。 合成函数：fοg(a)=f(g(a))，一般来说交换律不成立。 2.4序列 无限集分为：一组是和自然数集合有相同基数，另一组是没有相同基数。前者是可数的，后者不可数。想要证明一个无限集是可数的只要证明它与自然数之间有一一对应的关系。 如果A和B是可数的，则A∪B也是可数的。
离散数学模拟试题讲解
1 离散数学模拟试题Ⅰ 一、单项选择题(本大题共15小题,每题1分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分 1.设 }16{2<=x x x A 是整数且,下面哪个命题为假( A )。 A 、A ?}4,2,1,0{; B 、A ?---}1,2,3{; C 、A ?Φ; D 、A x x x ?<}4{是整数且。 2.设}}{,{,ΦΦ=Φ=B A ,则B －A 就是( C )。 A 、}}{{Φ; B 、}{Φ; C 、}}{,{ΦΦ; D 、Φ。 3.右图描述的偏序集中,子集},,{f e b 的上界为 ( B )。 A 、b,c; B 、a,b; C 、b; D 、a,b,c 。 4.设f 与g 都就是X 上的双射函数,则1)(-g f ο为( C )。 A 、11--g f ο; B 、1)(-f g ο; C 、11--f g ο; D 、1-f g ο。 5.下面集合( B )关于减法运算就是封闭的。 A 、N ; B 、}2{I x x ∈; C 、}12{I x x ∈+; D 、}{是质数x x 。 6.具有如下定义的代数系统>*<,G ,( D )不构成群。 A 、G={1,10},*就是模11乘 ; B 、G={1,3,4,5,9},*就是模11乘 ; C 、G=Q(有理数集),*就是普通加法; D 、G=Q(有理数集),*就是普通乘法。 7.设 },32{I n m G n m ∈?=,*为普通乘法。则代数系统>*<,G 的幺元为( B )。 f
2 A 、不存在 ; B 、0032?=e ; C 、32?=e ; D 、1132--?=e 。 8.下面集合( C )关于整除关系构成格。 A 、{2,3,6,12,24,36} ; B 、{1,2,3,4,6,8,12} ; C 、{1,2,3,5,6,15,30} ; D 、{3,6,9,12}。 9.设},,,,,{f e d c b a V =, },,,,,,,,,,,{><><><><><><=e f e d d a a c c b b a E ,则有向图 >= ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=, P(B) = , 则 P(A－B)=（）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击 中敌机的概率为．求敌机被击中的概率为（）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可 表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障 的概率依次为，，，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二 次的概率为（）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为 （ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可 表示为（AB AC BC）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=, P(B) = , 则 P(A|B)= （）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为．求敌机被击中的概率为（ ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A -)= （ ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的 概率依次为，，，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ ）。 12. 若事件 A ? B 且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A )=（ ）; 13. 若事件 A 与事件 B 互不相容，且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A )= （ ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =（ S ） 15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为 （ ABC ABC ABC ++ ） 16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =则(|)P AB A B =（ ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ） 18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概 率为（ 1 10000 ）。 二、选择填空题 《离散数学》题库与答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式x((A(x)B(y，x))z C(y，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z（考察定义在公式x A和x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在x A和x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x 为自由变元） 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1)北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 北京语言大学网络教育学院 《离散数学》模拟试卷一 注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。 4.本试卷分为试题卷和答题卷，所有答案必须答在答题卷上，答在试题卷上不给分。 一、【单项选择题】(本大题共15小题，每小题3分，共45分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、在由3个元素组成的集合上，可以有 ( ) 种不同的关系。 [A] 3 [B] 8 [C]9 [D]27 2、设{}{}1,2,3,5,8,1,2,5,7A B A B ==-=,则（ ）。 [A] 3,8 [B]{}3 [C]{}8 [D]{}3,8 3、若X 是Y 的子集，则一定有（ ）。 [A]X 不属于Y [B]X ∈Y [C]X 真包含于 Y [D]X∩Y=X 4、下列关系中是等价关系的是（ ）。 [A]不等关系 [B]空关系 [C]全关系 [D]偏序关系 5、对于一个从集合A 到集合B 的映射，下列表述中错误的是（ ）。 [A]对A 的每个元素都要有象 [B] 对A 的每个元素都只有一个象 [C]对B 的每个元素都有原象 [D] 对B 的元素可以有不止一个原象 6、设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为（ ）。 [A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q 7、设A={a,b,c},则A 到A 的双射共有（ ）。 [A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个 离散数学习题参考答案 第一章集合 １.分别用穷举法,描述法写出下列集合 （１）偶数集合 (２)36的正因子集合 (３)自然数中3的倍数 (４)大于１的正奇数 (1)E={?,-6,-4,-2,0,2,4,6,?} ={2 i | i∈I } (2) D= { 1, 2, 3, 4, 6, } = {x>o | x|36 } (3) N3= { 3, 6, 9, ```} = { 3n | n∈N } (4) A d= {3, 5, 7, 9, ```} = { 2n+1 | n∈N } ２.确定下列结论正确与否 (１)φ∈φ× (２)φ∈｛φ｝√ (３)φ?φ√ (４)φ?｛φ｝√ (５)φ∈｛ａ｝× (６)φ?｛ａ｝√ (７)｛ａ,ｂ｝∈｛ａ,ｂ,ｃ,｛ａ,ｂ,ｃ｝｝× (８)｛ａ,ｂ｝?｛ａ,ｂ,ｃ,｛ａ,ｂ,ｃ｝｝√(９)｛ａ,ｂ｝∈｛ａ,ｂ,｛｛ａ,ｂ｝｝｝× (１０)｛ａ,ｂ｝?｛ａ,ｂ,｛｛ａ,ｂ｝｝｝√ ３.写出下列集合的幂集 (１)｛｛ａ｝｝ {φ, {{ a }}} ( 2 ) φ {φ} (３)｛φ,｛φ｝｝ {φ, {φ}, {{φ}}, {φ,{φ}} } (４)｛φ,ａ,｛ａ,ｂ｝｝ {φ, {a}, {{a,b }}, {φ}, {φ, a }, {φ, {a,b }}, {a, {a b }}, {φ,a,{ a, b }} } (５)Ｐ(Ｐ(φ)) {φ, {φ}, {{φ}}, {φ,{φ}} } ４.对任意集合Ａ,Ｂ,Ｃ,确定下列结论的正确与否(１)若Ａ∈Ｂ,且Ｂ?Ｃ,则Ａ∈Ｃ√ (２)若Ａ∈Ｂ,且Ｂ?Ｃ,则Ａ?Ｃ× (３)若Ａ?Ｂ,且Ｂ∈Ｃ,则Ａ∈Ｃ× (４)若Ａ?Ｂ,且Ｂ∈Ｃ,则Ａ?Ｃ × ５.对任意集合Ａ,Ｂ,Ｃ,证明 右 分配差差左=--=--)C A ()B A ()C B (A M .D )C B (A )C B (A ) C A ()B A ()C B (A )1(I Y I Y I I I I I Y 右 差分配差左右差的结论差左=--=-------=-)C A ()B A ()C A ()B A () C B (A M . D )C B (A )2)C A ()B A ()C A ()B A ()1()C B (A )1) C A ()B A ()C B (A )2(Y I Y I Y I I I Y I Y Y I 右 交换结合幂等差左=--=-)C A ()B A (,)C B ()A A () C B (A M . D )C B (A ) C A ()B A ()C B (A )3(I I I I I I I I Y I I Y ))B )B (A ())B B ()B A ((,)B )B A (()B )B A ((B )B A (B A B )B A )(4(I I Y I Y I I Y I I Y --⊕=⊕+结合分配对称差差左 右 零一互补==φ-φ-)B A ()B A () A ()U ) B A ((Y Y I I Y 离散数学复习题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 1. 写出命题公式 ﹁（P →（P ∨ Q ））的真值表。 答案： 2.证明 答案： 3. 证明以下蕴涵关系成立： 答案： 4. 写出下列式子的主析取范式： 答案： 5. 构造下列推理的论证：p ∨q, p →r, s →t, s →r, t q 答案： ①s →t 前提 ②t 前提 ③s ①②拒取式I12 ④s →r 前提 ⑤r ③④假言推理I11 ⑥p →r 前提 ⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提 ⑨q ⑦⑧析取三段论I10 6. 用反证法证明：p →((r ∧s)→q), p, s q 7. 请将下列命题符号化： 所有鱼都生活在水中。 ) ()(R P Q P ∨∧∧? 答案： 令F( x )：x是鱼 W( x )：x生活在水中 8. 请将下列命题符号化： 存在着不是有理数的实数。 答案： 令 Q ( x )：x 是有理数 R ( x )：x 是实数 9. 请将下列命题符号化： 尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。 答案： 令M(x)：x 是人 C(x)：x 是聪明的 则上述命题符号化为 10. 请将下列命题符号化： 对于所有的正实数x,y，都有x+y≥x。 答案： 令P(x):x是正实数 S(x,y): x+y≥x 11. 请将下列命题符号化： 每个人都要参加一些课外活动。 答案： 令P(x):x是人 Q(y): y是课外活动 S(x,y):x参加y 12. 请将下列命题符号化： 某些人对某些药物过敏。 答案： 令P(x):x是人 Q(y): y是药 S(x,y):x对y过敏13. 求) ( )) ( ) ( (y yR y Q x P y? → → ?的对偶式: 答案： 14. 求下列谓词公式的前束范式： 答案： 15. 证明： 答案： 16. 用反证法证明： x(P(x)∧Q(x)) , xP(x) xQ(x) 答案： 17. 证明： 前提： x(C(x)W(x)∧R(x)), x(C(x)∧Q(x)). 结论： x(Q(x)∧R(x)). 答案： (1) x(C(x)∧Q(x)) 前提引入 (2) C(a)∧Q(a) (1)ES (3) C(a) (2)化简规则 (4) x(C(x)W(x)∧R(x)) 前提引入 (5) C(a)W(a)∧R(a) (4)US (6) W(a)∧R(a) (3)(5)假言推理 (7) R(a) (6)化简规则 (8) Q(a) (2)化简规则 ) , , ( )) , ( ) , ( (u y x uQ z y P z x zP y x? → ∧ ? ? ? 《离散数学》模拟试题 一、 填空题（每小题2分，共20分） 1. 已知集合A ={φ，1，2}，则A 得幂集合p （A ）=_____ _。 2. 设集合E ={a , b , c , d , e }, A = {a , b , c }, B = {a , d , e }, 则A ∪B =___ ___， A ∩ B =____ __，A －B =___ ___，～A ∩～B =____ ____。 3. 设A ，B 是两个集合，其中A = {1, 2, 3}, B = {1, 2}，则A －B =____ ___， ρ（A ）－ρ（B ）=_____ _ _。 4. 已知命题公式，则G 的析取范式为 。 5. 设P ：2＋2＝4，Q ：3是奇数；将命题“2＋2＝4，当且仅当3是奇数。”符号化 ，其真值为 。 二、单项选择题（选择一个正确答案的代号填入括号中，每小题4分，共16分。） 1. 设A 、B 是两个集合，A ＝{1,3,4}，B ＝{1,2}，则A －B 为（ ）. A. {1} B. {1, 3} C. {3,4} D. {1,2} 2. 下列式子中正确的有（ ）。 A. φ＝0 B. φ∈{φ} C. φ∈{a,b} D. φ∈φ 3. 设集合X ＝{x , y }，则ρ（X ）＝（ ）。 A. {{x },{y }} B. {φ,{x },{y }} C. {φ,{x },{y },{x , y }} D. {{x },{y },{x , y }} 4. 设集合 A ＝{1,2,3}，A 上的关系 R ＝ {(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,2)}， 则R 不具备（ ）. 三、计算题（共50分） R Q P G →∧?=)( 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 《离散数学》综合复习资料参考答案 一、判断题 1．命题逻辑中任何命题公式的主析取范式如果存在一定是唯一的。（） 2．A、B、C是任意集合，如果A?B及B∈C，则A?C。（） 3．整数集是不可数集。（） 4．代数系统 7． 设树T 有17条边，有12片树叶，2个3度结点，求4度结点数。 8． 设A={1,2}，试构成集合P(A)?A 。 9. 设*运算是有理数集Q 上的二元运算，对于任意的a,b ∈Q ，a*b=a+b-a ?b ，问运算*是否可交换、可结合的？ 10.试求下面有向图的强分图、单侧分图和弱分图。 11、将下列命题符号化 （1）他即聪明又用功。（P ∧Q ） （2）仅当你走我才留下。（Q → P ） （3）所有老的国家选手都是运动员。（(?x)(R(x)→Q(x))） （4）某些教练是年老的，但是健壮的。（(?x)(P(x)∧Q(x) ∧R(x))） 12、设A 是一个非空集合，*是A 上的二元运算，对于任意a,b ∈A ，有a*b=b ，判定*运 算是否可结合的、可交换？ 13、试求下面有向图的强分图、单侧分图和弱分图 三、证明题 1． 设 离散数学考试试题(A卷及答案） 一、证明题（10分） 1) (P∧Q∧A C)∧(A P∨Q∨C ) (A∧(P Q ))C。P<->Q=(p->Q)合取（Q->p） 证明: (P∧Q∧A C)∧(A P∨Q∨C) (P ∨Q ∨A∨C)∧(A∨P∨Q∨C) ((P ∨Q ∨A)∧(A∨P∨Q))∨C反用分配律 ((P∧Q∧A)∨(A ∧P ∧Q))∨C ( A∧((P∧Q)∨(P ∧Q)))∨C再反用分配律 GAGGAGAGGAFFFFAFAF ( A∧(P Q))∨C (A∧(P Q ))C 2) (P Q)P Q。 证明：(P Q)((P∧Q))(P ∨Q))P Q。 二、分别用真值表法和公式法求(P(Q∨R))∧(P∨(Q R))的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值（15分）。 主析取范式与析取范式的区别：主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。 主析取范式可由析取范式经等值演算法算得。 GAGGAGAGGAFFFFAFAF 证明： 公式法：因为(P(Q ∨R))∧(P∨(Q R)) (P∨Q∨R)∧(P∨(Q ∧R )∨(Q ∧R)) (P∨Q ∨R)∧(((P∨Q)∧(P ∨R ))∨(Q ∧R ))分配律 (P∨Q∨R)∧(P∨Q ∨Q)∧(P∨Q ∨R)∧(P∨R ∨Q)∧(P∨R ∨R) (P∨Q ∨R)∧(P∨Q ∨R )∧(P ∨Q∨R) M∧5M∧6M使（非P析取Q析取R）为0 4 GAGGAGAGGAFFFFAFAF 所赋真值，即100，二进制为4 GAGGAGAGGAFFFFAFAF 离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ).概率论与数理统计复习题带答案
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