08-5江苏高考矩阵和全参数方程

2003年-2012年江苏省高考数学试题分类解析汇编

1.（江苏2008年附加10分）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2

41x y +=在矩阵?

2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．

2.（江苏2009年附加10分）求矩阵3221A ??

=??

的逆矩阵.

3.（江苏2010年附加10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)。设k 为非零实数，矩阵M=????

??100k ,N=??

???0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值。

4.（江苏2011年附加10分）已知矩阵1121??=????A ，向量12β??=??

．求向量α，使得2

αβ=A ．

5.（2012年江苏省附加10分）已知矩阵A的逆矩阵113 44 11 22

-??=??

????

A，求矩阵A的特征值．

6.（2013年江苏省附加10分）已知矩阵

1012

0206

A B

-????

????

，求矩阵1

A B

-．

7.（2014年江苏省附加10分）已知矩阵

-??

=??

A，

=??

B，向量

=??

α，x y

，为实数，若Aα=Bα，

求x y

，的值．

8.（2015年江苏省附加10分）已知，向量是矩阵的属性特征值的一个特征向量，矩阵以及它的另一个特征值。

1.（江苏2008年附加10分）

【答案】解：设00(,)P x y 是椭圆上任意一点，点00(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点'

00(,)P x y 则

有

0'0020 01x x y y ??????=??????????????，即'0

2x x y y ?=??=??，所以'

0'0

02x x y y ?=

???=? 又因为点P 在椭圆上，故220041x y +=，从而'2'2

00()()1x y +=

所以，曲线F 的方程是 22

1x y +=。【考点】圆的标准方程，矩阵变换的性质。

【分析】由题意先设椭圆上任意一点00(,)P x y ，根据矩阵与变换的公式求出对应的点'

00(,)P x y ，得到两点的关系式，再由点P 在椭圆上代入化简。 2.（江苏2009年附加10分）

【答案】解：设矩阵A 的逆矩阵为,x

y z w ???

???则3210,2101x y z w ??????=????????????

即323210,2201x z y w x z y w ++????=????++????∴321

32021

x z x z y w y w +=??+=??+=?

?+=?。解得：1,2,2,3x z y w =-===-。 ∴A 的逆矩阵为112A 23--??

=??-??

。【考点】逆矩阵的求法。

【分析】设出逆矩阵，根据逆矩阵的定义计算即可。 3.（江苏2010年附加10分）【答案】解：由题设得0010MN 011010k k ??????

==?

?????

??????

由00220010001022k k --??????=??????--??????

，可知A 1（0，0）

、B 1（0，－2）、C 1（k ，－2）。计算得△ABC 面积的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是||k ，则由题设知：||212k =?=。所以k 的值为2或－2。

【考点】图形在矩阵对应的变换下的变化特点。

【分析】由题设得0010MN 011010k k ??????

==????????????

，根据矩阵的运算法则进行求解。

4.（江苏2011年附加10分）【答案】解：设??????=y x α，∵?

?????????

??=121112112A =??

???3423， ∴由βα=2

A 得,??????=????????????213423y x ，∴???=+=+234123y x y x ，解得12x y =-??=?。∴??

????-=21α。

【考点】矩阵的运算法则。

【分析】设向量x y α??=????

，由2

αβ=A ，利用矩阵的运算法则，用待定系数法可得x 和y 的值，从而求

得向量α。

5.（2012年江苏省附加10分）【答案】解：∵1-A A =E ，∴()

--A =A 。

∵1

13441122-??-??=????

-????

A ，∴()11 2 32 1--??=????A =A 。 ∴矩阵A 的特征多项式为()2

2 3==342 1 f λλλλλ--??--??--??

。令()=0f λ，解得矩阵A 的特征值12=1=4λλ-，。【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。

【解析】由矩阵A 的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A ，从而求出矩阵A 的特征值。

7.（2014年江苏省附加10分）

【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分. 222y xy -??=??+??A α，24y y +??=??-??B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+??+=-?

，，解得142x y =-=，

1.（江苏2008年附加10分）在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2

213

x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值．

2.（江苏2009年附加10分）已知曲线C

的参数方程为13()x y t t ?

=????=+??

为参数，0t >）.

求曲线C 的普通方程。

3.（江苏2010年附加10分）在极坐标系中，已知圆2cos ρθ=与直线3cos 4sin 0a ρθρθ++=相切，求实数a 的值。

4.（江苏2011年附加10分）在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ?

=??

=?（?为参数）的右焦点，

且与直线423x t

y t

=-??=-?（t 为参数）平行的直线的普通方程．

5.（2012年江苏省附加10分）在极坐标中，已知圆C 经过点(

)

4P π，

，圆心为直线sin 32ρθπ?

?-=-

?与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．

6.（2013年江苏省附加10分）在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为1

2x t y t =+??

（t 为参数），曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θ

θ?=?=?（θ为参数）。试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的

公共点的坐标。

7.（2014年江苏省附加10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l

的参数方程为12x y ?

?=+?

，(t 为参数)，直线l 与抛物线24y x =交于A B ，两点，求线段AB 的长．

8.（2015年江苏省附加10分）已知圆C 的极坐标方程为，求圆C 的半

径.

【答案】解：∵椭圆2213x y +=的参数方程为 (sin x y φ

φφ

?=??=??为参数）

∴可设动点P 的坐标为,sin φφ），其中02φπ≤<.

∴1sin sin )2sin()23

S x y π

φφφφφ=+=+=+=+ ∴当6

φ=

时，S 取最大值2。

【考点】椭圆的参数方程

【分析】先根据椭圆的标准方程进行三角代换表示椭圆上任意一点，然后利用三角函数的辅助角公式进行化简，即可求出所求。 2.（江苏2009年附加10分）

【答案】解：∵21

2,x t t =+-∴2123

y x t t +=+=。

∴曲线C 的普通方程为：2360x y -+=。

【考点】参数方程和普通方程。

【分析】将x

=平方即可得到21

2x t t +=+，再将13()y t t =+化为13

t t +=

，从而消去参数t ，得到曲线C 的普通方程。 3.（江苏2010年附加10分）

【答案】解：∵2cos ρθ=，∴2

2cos ρρθ=。∴圆2cos ρθ=的普通方程为：22

2x y x +=，即

22(1)1x y -+=。

直线3cos 4sin 0a ρθρθ++=的普通方程为：340x y a ++=，

1,=解得：2a =，或8a =-。

【考点】曲线的极坐标方程化成普通方程。

【分析】在极坐标系中，已知圆2cos ρθ=与直线3cos 4sin 0a ρθρθ++=相切，由题意将圆和直线先化为一般方程坐标，然后再根据圆心到直线的距离等于半径计算出a 值。

【答案】解：由题意知，椭圆的长半轴长为5=a ，短半轴长3=b ，∴4=c 。

∴右焦点为()0,4。

将已知直线的参数方程化为普通方程得022=+-y x ，∴所求的直线的斜率为2

1。 ∴所求的方程为)4(2

x y 即042=--y x 。【考点】椭圆及直线的参数方程。

【分析】把椭圆的参数方程化为普通方程，求出右焦点的坐标，把直线参数方程化为普通方程，求出斜率，用点斜式求得所求直线的方程。

5.（2012年江苏省附加10分）

【答案】解：∵圆C 圆心为直线sin 3ρθπ?

?-= ???

与极轴的交点，

∴在sin 3ρθπ?

?-= ???

中令=0θ，得1ρ=。

∴圆C 的圆心坐标为（1，0）。

∵圆C 经过点(

，，∴圆C 的半径为PC =

。

∴圆C 经过极点。∴圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ。【考点】直线和圆的极坐标方程。

【解析】根据圆C 圆心为直线sin 32ρθπ?

?-= ???

与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆C 经过点

(

)

，

求出圆C 的半径。从而得到圆C 的极坐标方程。

7.（2014年江苏省附加10分）

【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分. 直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+=

∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||AB =