二分图的匹配.

第九章二分图中的匹配

三个典型问题：

（1）在一个有禁止位置的m×n棋盘上，能放置非攻击型车的最多个数是多少？

（2）在一个有禁止位置的m×n棋盘上，能放置多米诺牌覆盖的最多个数是多少？

（3）一个公司有n个工作空缺，需要有一定技能的人填补，同时有m个人申请这些项工作，每人能胜任n项工作中的若干项，问最多有多少项工作能找到合适的

人选？

9.1 一般的问题描述

定义1：

令X={x1, x2, …,x m}, Y={y1,y2, …,y n},且X∩Y＝Ф，而△是序偶e=(x,y)的集合，其中x ∈X,y∈Y,那么三元组G＝（X，△，Y）称作二分图。

定义2：

令G＝（X，△，Y）是一个二分图，边集△的子集M，若M中没有两条边存在公共点，称M是二分图G的一个匹配。

定义3：

设G是一个二分图，定义ρ（G）＝{∣M∣:M是G的一个匹配}为二分图G的最大匹配边数。

9.2 匹配

定义1：

G＝（X，△，Y），X={x1, x2, …,x m}, Y={y1,y2, …,y n}，满足∣M*∣=ρ（G）的匹配M*称为二分图G的最大匹配。一般M*不唯一，且∣M*∣=ρ（G）≤min{m,n}。

寻找M*的困难点：

（1）若已知ρ（G），那么遍历所有可能的匹配会找到M*，但搜索量巨大；

（2）一般ρ（G）并不事先知道，要找到M*，并求出ρ（G）＝∣M*∣难度更大。

定义2：

令u和v是二分图G＝（X，△，Y）的任意两个顶点，连接u和v的互异顶点序列：γ：u=u0, u1, u2, …, u p-1, u p=v

使得任意两个相邻顶点有一条边连接，即：{ u0, u1},{ u1, u2},…, { u p-1, u p}∈△,那么称序列γ为二分图G的一个链。链长等于序列的边数p，若u=v, 链γ也叫圈。

定义3：

令M为二分图G＝（X，△，Y）中的一个匹配，令M是M的补集，即G的不属于M的边集合，M∪M＝△。令u和v是顶点，且u和v一个是左顶点（即属于X），一个是右顶点（即属于Y），若连接u和v的链满足下列性质：

（1）γ的第一、三、五、、、边属于M；

（2）γ的第二、四、六、、、边属于M；

（3）u和v都不与M的边相连。

那么称γ为关于匹配M的交错链，简称M-交错链。

M-交错链的性质：

（1）M-交错链γ的长是奇数2k+1, k≧0;

（2）设Mγ表示γ的属于M的边集合，Mγ表示γ的属于M的边集合，那么有：∣Mγ∣=∣Mγ∣＋1

例：

定理9.2.1:

令M为二分图G＝（X，△，Y）中的一个匹配，则M是最大匹配当且仅当不存在M-交错链。

推论9.2.1:

若M不是二分图G的最大匹配，那么必存在M-交错链。

进展：

得到了最大匹配的特征，即只需找M-交错链，找不到，则M就是最大匹配。

困难：

搜索M-交错链类似于穷举，算法上不可行，即在构造最大匹配的时候不知算法何时结束。

怎么办？

当找到一个匹配M时，希望能有一种方法直接直接验证其是否为最大匹配，若不是，则继续找（肯定能找到）；若是，则算法结束。

定义4：

令G＝（X，△，Y）是一个二分图，S是G的顶点X∪Y的子集，若G中任一条边的两个顶点至少有一个属于S，即：

{x,y}∩S≠Ф,对?{x,y}∈△

则称S是G的一个覆盖。

例：

定义5：

令c（G）＝min{∣S∣:S是G的覆盖}，即c（G）是G的覆盖的最小顶点个数，称c （G）为G的覆盖数。显然，G的任一个覆盖S满足∣S∣≧c(G),把满足∣S∣＝c(G)的覆盖S称为G的最小覆盖。

****图的最小顶点覆盖问题是典型的NP难题。

引理9.2.2:

如果G是一个二分图，那么ρ（G）≦c（G）,即二分图G的最大匹配边数不会超过G 的覆盖数。

例：

求二分图G的最大匹配和最小覆盖的算法：

令G＝（X，△，Y）是一个二分图，其中X={x1, x2, …,x m}, Y={y1,y2, …,y n}，令M为得到的G的任一匹配。

（1）将X的所有不与M的边相关联的顶点标上（*），并称所有的顶点为未被扫描的，转（2）；

（2）如果在上一步没有新的标记（例如（*）,（y j））加到X的顶点上，则停止。否则，转（3）；

（3）当存在X的被标记但未被扫描的顶点时，选择一个被标记但未被扫描的顶点，比如x i, 用(x i)标记Y的所有顶点，这些顶点被不属于M且尚未标记的边连到x i。现在顶点x i是被扫描的，若X中不存在被标记但未被扫描的顶点时，转（4）；

（4）若在步骤（3）中没有新的标记加到Y中顶点上，则停止；否则，转（5）；

（5）当存在Y中被标记但未被扫描的顶点时，选择Y中一个被标记但未被扫描的顶点，比如y j, 用(y j)标记X 的所有顶点，这些顶点被属于M且尚未标记的边连到y j。现在顶点y j是被扫描的，若Y中不存在被标记但未被扫描的顶点时，转（2）；

例1：

如图，确定二分图G的最大匹配和最小覆盖。

算法的收敛性证明：

定义6：

突破点：存在Y中的被标记的点，该点不与M的边关联；

非突破点：算法终止，但未出现突破点，即Y中每一个被标记的顶点都与M的边关联。

结论：

在突破点情况，算法成功找到一个M-交错链，因此，可以构造一个比M更大的匹配，再重新应用匹配算法。

算法的正确性证明：

定理9.2.3:

设非突破点在匹配算法中发生，令X un由X中所有未被标记的顶点组成，并令Y lab由Y的所有被标记的顶点组成，则下列两个结论成立：

（1）S＝X un∪Y lab是二分图G的最小覆盖；

（2）∣M∣＝∣S∣，且M是G的最大匹配。

推论9.24(Konig定理)：

令G＝（X，△，Y）是一个二分图，则ρ（G）＝c（G）,即二分图G的最大匹配边数

等于G的最小覆盖的顶点数。

定义7：

令G＝（X，△，Y）是一个二分图，X和Y的顶点数均为n,G中有n条边的匹配称为完美匹配。

定义8：

若二分图G＝（X，△，Y）的每一个顶点都与p 条边关联，则称G是p阶正则的。

性质：

若G是p阶正则的，那么X和Y必有相同的顶点数。

定理9.2.5

p≥1阶正则的二分图G＝（X，△，Y）总有完美匹配。

9.3 互异代表系统

定义1：

令Y为有限集合，A=(A1, A2, …,A n)为Y的n 个子集序列，那么，Y中的元素序列（e1, e2, …,e n）,其中e n∈A i（I=1,2,…,n）称为A的代表系统。若e1, e2, …,e n是互异的，称为互异代表系统（System of Distinct Representatives）。简称SDR。

引理9.3.1 (SDR存在的必要条件)

为使集合序列A=(A1, A2, …,A n)有SDR，必须满足下列条件：

（MC：成婚条件）：对每一个k=1,2,…,n,以及从{1,2,…,n}选出的k个互异指标i1, i2, …,i k, 都有：

∣A i

1∪A i

2

∪…∪A i

k

∣≥k.

定理9.3.2:

集合序列A=(A1, A2, …,A n)有SDR，当且仅当成婚条件成立。

定理9.3.3:

A=(A1, A2, …,A n)是集合Y的子集序列，那么A的能够选出使得有SDR的子集的最大个数ρ由下式给出：

ρ＝∣A i

1∪A i

2

∪…∪A i

k

∣+n-k

其中表达式右侧表示对于k=1,2,…n的所有选择，以及相应的取自{1,2,…,n}的k个互异指标i1, i2, …,i k的所有选择得到的最小值。

例1：

设集合序列A1＝{a,b,c}, A2＝{b,c}, A3＝{b,c}, A4＝{b,c}, A5＝{c}, A6＝{a,b,c,d},确定集合序列可以选出的有SDR的最大子集个数。

9.4 稳定婚姻

设有n位女士和n位男士，每位女士按照其对每位男士作为配偶的偏爱程度给每位男士排名次，不允许并列名次出现，因此，每位女士都会给男士排成1,2,…,n的顺序；类似地，每位男士给女士也会有1,2,…,n的顺序排名。使所有n男士和女士都成婚，称为完备婚姻。显然，实现完备婚姻地方法数有n!种。若一个完备婚姻中存在两位女士A和B及两位男士a和b，满足：

（1）A和a成婚；

（2）B和b成婚；

（3）A更偏爱b（排名在前）而非a；

（4）b更偏爱A而非B。

那么，称此完备婚姻为不稳定的；一个非不稳定的完备婚姻称为稳定的。

问题：稳定的完备婚姻总存在吗？

问题的二分图G的表示：

X＝{w1, w2, …,w n}表示n位女士；

Y＝{m1,m2, …,m n}表示n位男士；

△表示所有可能的{ w i, m j}(i,j=1,2,…,n)边连接，每条边都有一个数对p,q, 其中p表示w i对m j的排名，q表示m j对w i的排名。

显然，每一个完备婚姻对应二分图G的一个完美匹配。为考虑稳定的完备婚姻，用优先秩评定矩阵表示这一模型，具体方法：

（1）n行对应每位女士，w1, w2, …,w n；

（2）n列对应每位男士，m1,m2, …,m n；

（3）第i行,第j列位置上的数对p,q代表w i对m j的排名和m j对w i的排名。

定理9.4.1:

对于每一个优先秩评定矩阵都存在稳定的完备婚姻。

例2：

试求一个稳定的完备婚姻。

定义2：

在一个稳定婚姻中，如果一位女士得到的作为配偶的男士比她在所有其他完备婚姻中得到的配偶在排名上至少有同样的优先级，那么，此完备婚姻是对该女士最优的。如果完备婚姻是对每一位女士都是最优的，则称此完备婚姻是对女士最优的。

定理9.4.2:

通过延迟算法，用女士选择男士得到的稳定的完备婚姻是女士最优的；同理，用男士

选择女士得到的稳定的完备婚姻是男士最优的。

在女士最优的稳定完备婚姻中，每一位男士都会和一位对他可行的配偶中排序级别最低的女士配对。