第三章连续时间系统的频域分析
第三章.连续时间系统的频域分析
一、任意信号在完备正交函数系中的表示法
（§6.3---6.4）
信号分解的目的：
● 将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。 ●
简化电路分析与运算，总响应=单元响应之和。
1．正交函数集
任意信号)(t f 可表示为n 维正交函数之和：
∑==++++=n
r r r n n r r t g C t g C t g C t g C t g C t f 12211)
()
()()()()(ΛΛ&
原函数
()()()t g t g t g r Λ21,相互正交：???=≠=??n
m K n
m dt t g t g m t t n m
,
,
0)()(2
1
()t g r 称为完备正交函数集的基底。
一个信号可用完备的正交函数集表示,.正弦函数集有许多方便之处,如易实现等，我们主要讨论如何用正弦函数集表示信号。
2．能量信号和功率和信号（§6.6一）
设()t i 为流过电阻R 的电流，瞬时功率为
R t i t P )()(2
= 一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。
令R = 1Ω，则在整时间域内，实信号()t f 的能量，平均功率为：
?
-∞
→=22
2
00)(lim T T T dt
t f W
?
-∞→=22
20
000)(1
lim T T T dt
t f T P
讨论上述两个式子，只可能出现两种情况： ∞< (有限值) 0=P ∞< ∞=W 满足式的称为能量信号，满足式称功率信号。 3．帕斯瓦尔定理 设{})(t g r 为完备的正交函数集，即 ()()[]∑?∑ ? ? ∞=∞ ===121 22 2 2 1 21 21 )(r t t r r r t t r r t t dt t g C dt t g C dt t f 信号的能量 基底信号的能量 各分量 此式称为帕斯瓦尔定理 P331 式（6-81） (P93, P350) 左边是信号能量，右边是各正交函数的能量。 物理意义：一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。 二、周期信号的频谱分析——傅里叶级数 (1) 周期信号傅里叶级数有两种形式 三角形式： () ∑∞ =++=1110sin cos )(n n n t n b t n a a t f ωω = ∑∞ =++110) cos(n n n t n c c ?ω 指数形式： t jn n e n F t f 1)()(1 ωω ∑∞ -∞ == (2) 周期信号的频谱是离散谱，三个性质 收敛性 ()↓↑)(,1 ωn F n 谐波性：(离散性)谱线只出现在1ωn 处， 唯一性：)(t f 的谱线唯一 (3) 两种频谱图的关系 ● 三角形式：ω ~n c ， ωφ~n 单边频谱 ● 指数形式： ωω~)(1n F , ω φ~n 双边频谱 两者幅度关系 )(1ωn F =()021 ≠n c n 00a c F == ● 指数形式的幅度谱为偶函数 ) ()(11ωωn F n F -= ● 指数形式的相位谱为奇函数 )()(11ωφωφn n --= (4) 引入负频率 对于双边频谱，负频率)(1ωn ，只有数学意义，而无物理意义。为什么引入负频率? Θ )(t f 是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对t jn e 1ω与 t jn e 1ω-，才能保证)(t f 实函数性质不变。 (5) 对特殊信号不一定满足上述三个性质 例如：冲激序列 为整数） n nT t t n T () ()(∑∞ -∞ =-= δδ的付里叶级数 t t δ 分析：狄氏条件是傅里叶级数存在的充分条件。根据冲激信号的定义和特性，其积分有确定值，傅里叶级数存在。即 =)(1ωn F ()T dt e t T T T t jn 112 2 1 = ?--ωδ t jn n T e T t t f 11)()(ωδ∑∞ -∞== =∴ )(t T δ的频谱，有离散性，谐波性， 无收敛性，频带无限宽 周期信号的功率 1． 描述 周期信号的平均功率=各正交分量的平均功率之和(帕斯瓦尔定理) () ∑∞ =++=1 110sin cos )(n n n t n b t n a a t f ωω 平均功率: ? = T dt t f T P 0 2)(1 ∑∑∞ =∞=???? ??+=+=12 2 012202121n n n n c a c a n c 是三角形式傅里叶级数的余弦形式中振幅值。 ∴总平均功率=各次谐波的平均功率之和 对于指数形式的傅里叶级数 P== ? T dt t f T 2 )(1 ()∑ ∑ ∞ -∞ =∞ -∞ == n n n F n F 2 2 1ω, 0a F = 三、典型周期信号的傅立叶级数 本节以周期矩形脉冲信号为例，讨论其频谱的特点。 频谱结构 已知矩形脉冲信号的脉宽为1,,T E 周期为脉冲高度为脉宽为 τ。 三角形式的谱系数 ()t f Θ是个偶函数 n n a a b ,,00只有=∴。 指数形式的谱系数 )(1ωn F =? --22 1 1 1 1)(1 T T t jn dt e t f T ω??? ? ?= 2Sa 11τωτn T E 频谱特点 包络线按抽样形状变化 1sin 0sin )(S →→= x x x x x x a 时，：当抽样函数 频谱是离散的 ()）的整数倍有值（谐波性的函数，只在是111~ωωωωn n F 。 处，为其最大值在1 0T E n τ = ● ???? ?↓=↓↑?1112T T πω谱线间隔幅度 ()非周期信号。 由周期信号为无限小，，，时，当→∞→∞→t f T E T 1 11τ ω ● 矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点：离散性，谐波性，收敛性 ● 对比波形： s T s T s T 12 14 1321== = ω 频带宽度 周期矩形脉冲信号的频谱每当π τωm n =21（m 取整数）时，通过零点。其中第一个零点在21τ ωn ，即 τπω21= n ，此后谐波的振幅相对减小。能量主要集中在第一个零点以内。信号一般主要集中在低频段。 定义： 在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。 ● 一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为： ，带宽与脉宽成反比。 或τ τ π ω1 2== f B B ● ()宽度。 的频率区间定义为频带幅度下降为对于一般周期信号，将max 1101 ωn F 系统的通频带>信号的带宽，才能不失真 四．非周期信号的频谱分析─傅里叶变换 傅里叶变换 ：时，当)(1t f T ∞→周期信号→非周期信号 谱系数： ?--= 22 1 11 1 1)(1 )(T T t jn dt e t f T n F ωω (1) ()()() f n F T n F n F T 111111ωωω== 单位频带上的频谱值 当∞→1T 时， ()() ? ?∞∞ ----∞→∞ →===dt e t f dt e t f n F T F t j T T t jn T T ωωωω)()(22 111 1 111lim lim ()ωF 称为频谱密度函数，简称频谱函数。 由)(t f 求)(ωF 称为傅立叶变换。 )(ωF 一般为复信号，故可表示为 ) (|)(|)(ω?ωωj e F F = ：幅度频谱ωω|~)(|F ：相位频谱ωω?~)( 反变换 ()t f 应是()ωF 的反变换。 ()ωωπ= ω∞∞-?d e F t f t j 21)( 傅立叶变换对 [] )()()(t f F dt e t f F t j == ? ∞ ∞ --ωω ()[] )(21 )(1t f F d e F t f t j -∞ ∞ -== ? ωωπ ω 称为付里叶变换对，简写()()ωF t f ?，其中)(t f 称为原函数，)(ωF 称为象函数。 傅立叶变换的特殊形式 ()()()()() ωωωωωφjX R e F F j +== 实部 虚部 ()() t f t f t f o + =e )( 实信号 偶分量 奇分量 ()[][]????∞∞ ∞∞-∞ ∞---=-?+ = = sin )(2cos )(2sin cos )()()(tdt t f j tdt t f dt t j t t f t f dt e t f F o e o e t j ωωωωωω 实部 虚部 ()?∞=0 cos )(2tdt t f R e ωω 关于ω的偶函数 ()?∞-=0 sin )(2tdt t f X o ωω 关于ω的奇函数 ()()[]()[]22ωωωX R F += 关于ω的偶函数 ()()()ωωωφR X tg 1 -= 关于ω的奇函数 ()t f 偶函数（奇分量为零）()ωF ?为实函数，只有()ωR ，相位π± ()t f 奇函数（偶分量为零）()ωF ?为虚函数，只有()ωX ，相位 2π ± 奇偶虚实性 傅里叶变换的物理意义 )(t f 为实函数 ()()t j t j e d F d e F t f ωωωπωωωπ ?= = ?? ∞ ∞-∞ ∞ -221 )( ()ω ωπωωφd e e F t j j )(21?∞ ∞ -= ()()[]()()[]ω ωφωωπ ωωφωωπ d t F j d t F +++= ? ? ∞ ∞ -∞ ∞ -sin 21cos 21 ()()[]ω ωφωωπ d t F += ? ∞ ∞ -cos 21 ()()[]ω ωφωωπd t F += ? ∞ cos 1 () ()[] ωθωωπ ω+= ?∞ t d F cos 0 求和 振幅 正弦量 由上式可得出，非周期信号可分解为： ● 无穷多个幅度为无穷小(()ωωπd F 21 )的连续指数信号之和，占据整个频域，∞→-∞:ω； ● 无穷多个振幅为无穷小(()ω ωπ d F 1 )的连续余弦信号之和，频域范围：∞→0。 傅里叶变换存在的条件 ● ()()充分条件有限值 =?∞ ∞-dt t f ● 即)(t f 绝对可积，()ωF 存在。所有能量信号均满足此条件。 ● 当引入()ωδ函数的概念后，允许作变换的函数类型大大扩展了。 五．典型非周期信号的频谱 矩形脉冲 ()ωF ? ?? ??ωττ=2Sa E 幅度频谱： ()()2Sa ωτ τωE F = ω 频宽 ：τ τ π ω1 2≈ ≈ f B B 或 相位频谱 ： 单边指数信号 ()()? ∞ ∞ -ω-α-=ωdt e t u Ee F t j t ω+α= j E 直流信号E +∞<<∞-=t E t f )( ● ()t f 不满足绝对可积的条件，不能直接用定义求()ωF ； ● 利用矩形脉冲的频谱求极限。 ()ωπδ2?∴E t () t f () t f 0t 时域无限宽，频带无限窄。()[]()ωπδ211==F t f 时，当 符号函数 ()?? ?<->+==0, 10 , 1sgn )(t t t t f 这个信号不满足绝对可积条件。处理方法： 做成一个双边函数()()()().sgn 11ωωαF F e t t f t ，，求极限得到，求-= ()2 222sgn π ω ωωj e j j t μ=-=?∴ 冲激函数 ()1 )(==?∞ ∞--dt e t F t j ωδω 1)(?t δ ()∞→→?ωττ τδB t ,01 时的矩形脉冲，看作。 冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不满足绝对可积条件，不能用定义求。 () t f () ω F π ωδ21)(? 对称性 () ωF () t f 冲激偶的付里叶变换 ∵()()() 0f dt t t f '-='?∞ ∞-δ ∴ ()()[]()ω ωδδωωj j e dt e t t t t j t j =--=' -='?'=-∞∞ --?0 单位阶跃函数u(t) ()ω ωπδj t u 1)(+ ?∴ () ωF 六.傅立 叶变换的性质 傅立叶变换具有唯一性。付氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论付里叶变换的性质，目的在于： ● 了解特性的内在联系； ● 用性质求()ωF ； ● 了解在通信系统领域中的实用。 对称性 线性 奇偶虚实性 微分性质 尺度变换特性 时移特性 频移特性 时域积分性质 4.微分性质 时域微分)()()()(ωωωF j t f F t f ?'?，则 如果()t f 中有确定的直流分量，应先取出单独求付氏变换，余下部分再用微分性质。 频域微分()ωωωd jdF t tf F t f ??)()()(，则若 或()ωωd F d t jtf ?-)( 5.尺度变换特性 为非零常数。，，则若a a F a at f F t f ?? ? ??? ?ωω1)()()( 信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。 6.时移特性 0)()()()(0t j e F t t f F t f ωωω-?-?，则若; []0)(0)()()()()(t j j j e F t t f e F F ωωωφωωω-Φ??-=，则若 幅度频谱无变化，只影响相位频谱， 7.当f (t )时移和尺度变换都有时 )()(ωF t f ?若， ()0 ,1≠??? ? ???+a e a F a b at f a b j ω ω则 8.频移特性 通信中调制与解调，频分复用 )()(ωF t f ? 若 ()()号为常数，注意则±??? ??+?-?-00000)()(ωωωωωωω F e t f F e t f t j t j 9.时域积分性质 ()()，则若ωF t f ? ()()() ωωττj F d f F t ? =?∞ -时，00 ()()()()()ωωωδπττj F F d f F t + ?≠? ∞ -000时， 七．卷积定理 1．时域卷积定理 ()()()()ωω2211,F t f F t f ?? 若 ()()()()ωω2121F F t f t f ??? 则 意义：时域卷积对应频域频谱密度函数乘积 2．频域卷积定理 ()()()()ωω2211, F t f F t f ?? 若 ()()()()ωωπ212121 F F t f t f ?? ? 则 倍。 各频谱函数卷积的 意义：时间函数的乘积π 21? 3．作用 卷积定理：揭示了时间域与频率域的运算关系，在通讯理论中有重要作用 4．应用： 用时间卷积定理求频谱密度函数 ()的傅立叶变换。 求? ∞ -t d f ττ 求系统的响应 () t f () t h () t g ()()()t h t f t g ?= 5．调制原理与频分复用 调制： 将信号的频谱函数搬移到任何所需的较高频段上的过程。图1为幅度调制(AM)。 乘法器 ) (t f t C ωcos t t f t f C C ωcos )()(= ω ) (ωC F C C ωm C ωω-m C ωω+2 A 2 A O 解调 将已调信号恢复成原来的调制信号的过程。图4所示为同步解调 m m ω ) (ωG ()()()[]()a a a F F F G ωωωωωω2241 21-+++= 频分复用 所谓频分复用，就是以频段分割的方法在一个信道内实现多路通信的传输体制。 发信端：调制，将各信号搬移到不同的频率范围。 收信端：带通滤波器，分开各路信号，解调。 再利用一个低通滤波器（,2m a m ωωωω-<<带宽），滤除再a ω2附近的分量，即可取出 ()t f ，完成解调。 八．周期信号的傅立叶变换 周期信号： ()()离散谱傅里叶级数 1ωn F t f -? 非周期信号 ()()连续谱傅里叶变换 ωn F t f -? 正弦信号：()()000cos ω-ωπδ+ω+ωπδ?ωt ()() 000sin ωωπδωωπδω++--?j j t 一般周期信号： ()()∑∞ -∞ == n t jn T e n F t f 11ωω ()()[ ]t jn T e F n F F 11ω∞∞ -∑ω=ω()() 1 1 2ωωδωπn n F -?=∑∞∞ - 可见： ()(); 1的频谱由冲激序列组成t f T ()谐波频率位置 :1ωωn = ()离散谱成正比与强度,)(,2:11ωωπn F n F ()()., 2表示的是频谱密度因为谱线的幅度不是有限值ωF (),1处只存在于周期信号的ωωωn F = .,∞幅度为频率范围无限小 由()ωF 求()1ωn F ： ()()? -ω-=ω22 00T T t j dt e t f F ()() 101 11 ω=ωω= ωn F T n F 单位冲激序列的 ()()∑∞ -∞ =-= n T nT t t δδ()∑∑+∞ ∞ -ω∞ -∞ =ω=ω= t jn n t jn e T e n F 1 11 11 () ωF ()() ∑∑∞-∞ =∞-∞ =-=-= n n n n T 1 11 1 2ωωδωωωδπ ()1,ωδ强度和间隔都是激序列的频谱密度函数仍是冲t T ∴ 周期矩形脉冲序列的傅氏变换 )(ωF ()1112Sa ωωδτ ωτωn n E -??? ??=∑∞ ∞ - 九.抽样信号的傅立叶变换 )(t f s D A /) (t f k 数字滤波器 ) (t g k A D /)(t g ) (t p ) (t f 量化编码 理想抽样（周期单位冲激抽样） 连续信号 抽样信号 抽样脉冲 () t f () t δ() t f S ? ∑∑∞ ∞ -+∞∞ --?-==) ()()()(s s s T n nT t t t p ωωδωδδ ∑∞ ∞ --==) ()()()()(s s T s nT t nT f t t f t f δδ ()()()[]()()() ∑∞ -∞ =-= ?==n s S T T s n F T F t t f F F ωωωδωπδω1 21 :频域 现原信号。滤除高频成份，即可重截止频率增益为其 器，若接一个理想低通滤波m s c m s T ωωωω-<< 抽样定理 称为奈奎斯特抽样率 是最小抽样率,2min m s f f = 称为奈奎斯特抽样间隔是最大抽样间隔,21 max m s f T = ()()。 频率为），或者说最低抽样 （其中，即不大于隔必须 唯一地表示。其抽样间可用等间隔的抽样值来则信号的范围如果频谱只占据一个频率受限的信号m m m m m m m f f f Ts f t f t f 2221 21,0,πωωω=≤+- ~ 抽样定理的应用---时分复用 用于时分复用，在同一时间里传送不同信号。 十．系统函数H(j ) 激励信号的傅氏变换响应信号的傅氏变换 = ωω= ω)()()(E R H 物理意义 表征系统固有的性质或特性 ()t h 为冲激响应，取决于系统本身的结构，描述了系统的固有性质。 ()ωH 也仅仅决定于系统结构，()ωH 是表征系统特性的重要参数。 系统冲激响应的傅立叶变换 时，当)()(t t e δ= )()(t h t r =，，此时1)(?t δΘ ，)()()()(ωωωωH H E R ==∴ ) ()(,)()(ωωj H t h H t h ??或即。 系统的频率响应特性 )()()(ωφωωj e H H = ：系统的幅频特性 ωω~)(H ：相频特性ωωφ~)( 系统的功能 系统可以看作是一个信号处埋器： ()则响应的频谱密度函时函数为当激励信号的频谱密度,ωE ()()频谱。。系统改变了激励信号数便是ωωE H ? )()()(ωφωωe j e E E ?= )()()(ωφωωh j e H H ?= ) ()()(ωωωH E R ?= )()()(ωφωφωφh e r += 系统可以看作是一个信号处埋器： ()是一个加权函数，ωH ，加权。对信号各频率分量进行 加权，信号的幅度由)(ωH ()修正。信号的相位由ωφ 对于不同的频率，有不同的加权作用，这也是信号分解，求响应再叠加的过程。 利用系统函数()ωj H 求响应 系统的无失真传输条件： ) ()(:0t t K t h -=δ 时域 0)(:t j Ke H ωω-= 频域 0)(,)(t K j H ωωφω-==即 均为实常数 和0t K 十一.理想低通的频率特性 ()???? ?> c t j e H ωωωωωω0 10， ()()0 01:t H c c ωωφωωωωω-=???? ?><=即 理想低通的冲激响应 [] )()(1ω=-H F t h ()()()[]000Sa sin t t t t t t c c c c c -?=--?= ωπωωωπω 理想低通的阶跃响应 激励 ()ωωπδj 1 u(t)=e(t)+ ? 其响应 )()()(t h t u t r ?= ()[]01 21)(t t Si t r c -+= ωπ 理想低通对矩形脉冲的响应 [][]{} )(Si )(Si 1 )()()()(00τωωπ τ----= ∴--=t t t t t r t u t u t e C C Θ 北京理工大学信号与系统实验报告5-连续时间系统的复频域分析 实验5连续时间系统的复频域分析 （综合型实验） 一、实验目的 1）掌握拉普拉斯变换及其反变换的定义并掌握MATLAB 实现方法。 2）学习和掌握连续时间系统函数的定义及复频域分析方法。 3）掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。 二、实验原理与方法 1.拉普拉斯变换 连续时间信号x(t)的拉普拉斯变换定义为 (s)(t)e st X x dt +∞ --∞ = ? （1） 拉普拉斯反变换为1 (t)(s)e 2j st j x X ds j σσπ+∞ -∞ =? （2） MATLAB 中相应函数如下： (F) L laplace = 符号表达式F 拉氏变换，F 中时间变量为t ，返回变量为s 的结果表达式。 (F,t)L laplace =用t 替换结果中的变量s 。 () F ilaplace L =以s 为变量的符号表达式L 的拉氏反变换，返回时间变量为t 的结果表达式。 (,) F ilaplace L x =用x 替换结果中的变量t 。 的连续时间系统，其系统函数为s 的有理函数 110 110 ...(s)...M M M M N N N N b s b s b H a s a s a ----+++= +++ （7） 3.连续时间系统的零极点分析 系统的零点指使式（7）的分子多项式为零的点，极点指使分母多项式为零的点，零点使系统的值为零，极点使系统的值为无穷大。通常将系统函数的零极点绘在s 平面上，零点用O 表示，极点用?表示，这样得到的图形为零极点分布图。可以通过利用MATLAB 中的求多项式根的roots 函数来实现对（7）分子分母根的求解，调用格式如下： r=roots(c)，c 为多项式的系数向量，返回值r 为多项式的根向量。 求取零极点以及绘制系统函数的零极点分布图可以采用pzmap 函数，调用格式如下： pzmap(sys)绘出由系统模型sys 描述的系统的零极点分布图。 [p,z]=pzmap(sys)这种调用方式返回极点与零点，不绘出零极点分布图。 还有两个专用函数tf2zp 和zp2tf 可实现系统的传递函数模型和零极点增益模型的转换。调用格 《机电系统控制基础》大作业一 基于MATLAB的机电控制系统响应分析 哈尔滨工业大学 2013年11月4日 1 作业题目 1. 用MATLAB 绘制系统2 ()25()() 425 C s s R s s s Φ== ++的单位阶跃响应曲线、单位斜坡响应曲线。 2. 用MATLAB 求系统2 ()25 ()()425 C s s R s s s Φ==++的单位阶跃响应性能指标：上升时间、峰值时间、调节时间和超调量。 3. 数控直线运动工作平台位置控制示意图如下： X i 伺服电机原理图如下： L R (1)假定电动机转子轴上的转动惯量为J 1，减速器输出轴上的转动惯量为J 2，减速器减速比为i ，滚珠丝杠的螺距为P ，试计算折算到电机主轴上的总的转动惯量J ； (2)假定工作台质量m ，给定环节的传递函数为K a ，放大环节的传递函数为K b ，包括检测装置在内的反馈环节传递函数为K c ，电动机的反电势常数为K d ，电动机的电磁力矩常数为K m ，试建立该数控直线工作平台的数学模型，画出其控制系统框图； (3)忽略电感L 时，令参数K a =K c =K d =R=J=1，K m =10，P/i =4π，利用MATLAB 分析kb 的取值对于系统的性能的影响。 2 题目1 单位脉冲响应曲线 单位阶跃响应曲线 源代码 t=[0:0.01:1.6]; %仿真时间区段和输入 nC=[25]; dR=[1,4,25]; fi=tf(nC,dR); %求系统模型 [y1,T]=impulse(fi,t); [y2,T]=step(fi,t); %系统响应 plot(T,y1); xlabel('t(sec)'),ylabel('x(t)'); grid on; plot(T,y2); xlabel('t(sec)'),ylabel('x(t)'); grid on; %生成图形 3 题目2 借助Matlab，可得： ans = 0.4330 0.6860 25.3826 1.0000 即 实验三 连续时间LTI 系统的频域分析 一、实验目的 1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义； 2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用； 3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义； 4、掌握用MA TLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。 基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 描述方法，深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB 计算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。 二、实验原理及方法 1 连续时间LTI 系统的频率响应 所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response ），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。 上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：)(*)()(t h t x t y =，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到： )()()(ωωωj H j X j Y = 3.1 或者： ) () ()(ωωωj X j Y j H = 3.2 )(ωj H 为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。即 ? ∞ ∞ --= dt e t h j H t j ωω)()( 3.3 由于H(j ω)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说 是绝对可积（Absolutly integrabel ）的话，那么H(j ω)一定存在，而且H(j ω)通常是复数， 实验报告 实验项目名称：运用Matlab进行连续时间信号卷积运算 （所属课程：信号与系统） 学院：电子信息与电气工程学院 专业： 10电气工程及其自动化 姓名： xx 学号： 201002040077 指导老师： xxx 一、实验目的 1、学会运用MATLAB 分析连续系统的频率特性。 2、掌握相关函数的调用。 二、实验原理 1、一个连续LTI 系统的数学模型通常用常系数线性微分方程描述，即 )()()()()()(01 )(01)(t e b t e b t e b t r a t r a t r a m m n n +'++=+'++ (1) 对上式两边取傅里叶变换，并根据FT 的时域微分性质可得： )(])([)(])([0101ωωωωωωE b j b j b R a j a j a m m n n +++=+++ 101)()()()()(a j a j a b j b j b j E j R j H n n m m ++++++==ωωωωωωω H ( j ω )称为系统的频率响应特性，简称系统频率响应或频率特性。一般H ( j ω )是复函数，可表示为： )()()(ω?ωωj e j H j H = 其中， )(ωj H 称为系统的幅频响应特性，简称为幅频响应或幅频特性；)(ω?称为系统的相频响应特性，简称相频响应或相频特性。H ( j ω )描述了系统响应的傅里叶变换与激励的傅里叶变换间的关系。H ( j ω )只与系统本身的特性有关，与激励无关，因此它是表征系统特性的一个重要参数。 MATLAB 信号处理工具箱提供的freqs 函数可直接计算系统的频率响应的数值解，其语句格式为：H=freqs(b,a,w)其中，b 和a 表示H ( j ω )的分子和分母多项式的系数向量；w 为系统频率响应的频率范围，其一般形式为w1:p:w2，w1 为频率起始值，w2 为频率终止值，p 为频率取值间隔。 H 返回w 所定义的频率点上系统频率响应的样值。注意，H 返回的样值可能为包含实部和虚部的复数。因此，如果想得到系统的幅频特性和相频特性，还需要利用abs 和angle 函数来分别求得。 实验名称： 控制系统的频域分析 实验类型：________________同组学生姓名：__________ 一、实验目的和要求 用计算机辅助分析的方法，掌握频率分析法的三种方法，即Bode 图、Nyquist 曲线、Nichols 图。 二、实验内容和原理 （一）实验原理 1．Bode(波特)图 设已知系统的传递函数模型： 1 1211121)(+-+-+???+++???++=n n n m m m a s a s a b s b s b s H 则系统的频率响应可直接求出： 1 1211121)()()()()(+-+-+???+++???++=n n n m m m a j a j a b j b j b j H ωωωωω MATLAB 中，可利用bode 和dbode 绘制连续和离散系统的Bode 图。 2．Nyquist(奈奎斯特)曲线 Nyquist 曲线是根据开环频率特性在复平面上绘制幅相轨迹，根据开环的Nyquist 线，可判断闭环系统的稳定性。 反馈控制系统稳定的充要条件是，Nyquist 曲线按逆时针包围临界点(-1，j0)p 圈，为开环传递函数位于右半s 一平面的极点数。在MATLAB 中，可利用函数nyquist 和dnyquist 绘出连续和离散系统的乃氏曲线。 3．Nicho1s(尼柯尔斯)图 根据闭环频率特性的幅值和相位可作出Nichols 图，从而可直接得到闭环系统的频率特性。在 MATLAB 中，可利用函数nichols 和dnichols 绘出连续和离散系统的Nichols 图。 （二）实验内容 1．一系统开环传递函数为 ) 2)(5)(1(50)(-++=s s s s H 绘制系统的bode 图，判断闭环系统的稳定性，并画出闭环系统的单位冲击响应。 2．一多环系统 ) 10625.0)(125.0)(185.0(7.16)(+++=s s s s s G 其结构如图所示 试绘制Nyquist 频率曲线和Nichols 图，并判断稳定性。 （三）实验要求 实验5 连续时间系统的复频域分析 一、实验目的 1.掌握拉普拉斯变换及其反变换的定义，并掌握MATLAB 实现方法。 2.学习和掌握连续时间系统系统函数的定义及复频域分析方法。 3.掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。 二、实验原理与方法 1.拉普拉斯变换 连续时间信号)(t x 的拉普拉斯变换定义为 )1.....(..........)()(dt e t x s X st ? +∞ ∞ --= 拉普拉斯反变换定义为 )2....(..........)(21)(ds e s X j t x j j st ?∞ +∞ -=σσπ 在MATLAB 中，可以采用符号数学工具箱的laplace 函数和ilaplace 函数进行拉氏变换和反拉氏变换。 L=laplace(F)符号表达式F 的拉氏变换，F 中时间变量为t ，返回变量为s 的结果表达式。 L=laplace(F,t)用t 替换结果中的变量s 。 F=ilaplace(L)以s 为变量的符号表达式L 的拉氏反变换，返回时间变量为t 的结果表达式。 F=ilaplace(L,x)用x 替换结果中的变量t 。 除了上述ilaplace 函数，还可以采用部分分式法，求解拉普拉斯逆变换，具体原理如下： 当 X (s )为有理分式时，它可以表示为两个多项式之比： )3.(..........)()()(0 110 11a s a s a b s b s b s D s N s X N N N N M M M M +?+++?++==---- 式（3）可以用部分分式法展成一下形式 )4.....(.............)(2211N N p s r p s r p s r s X -++-+-= 通过查常用拉普拉斯变换对，可以由式（1-2）求得拉普拉斯逆变换。 利用 MATLAB 的residue 函数可以将 X (s )展成式（1-2）所示的部分分式展开式，该 函数的调用格式为：[r,p,k] = residue(b,a) 其中b 、a 为分子和分母多项式系数向量，r 、p 、k 分别为上述展开式中的部分分式系数、极点和直项多项式系数。 2.连续时间系统的系统函数 501 第五章 线性系统的频域分析法 5-1 设闭环系统稳定，闭环传递函数为)(s Φ，试根据频率特性的定义证明：系统输入信号为余弦函数)cos()(φω+=t A t r 时，系统的稳态输出为 )](cos[|)(|)(ωφωωj t j A t c ss Φ∠++Φ=。 证明：根据三角定理，输入信号可表示为 )90sin()( ++=φωt A t r ， 根据频率特性的定义，有 ]90)(sin[|)(|)( +Φ∠++Φ=ωφωωj t j A t c ss ， 根据三角定理，得证： )](cos[|)(|)(ωφωωj t j A t c ss Φ∠++Φ=。 5-2 若系统的单位阶跃响应 t t e e t c 948.08.11)(--+-=， 试确定系统的频率特性。 解：s s s s C 1 361336)(2++= ，36 1336)(2++=s s s G ，)9)(4(36)(ωωωj j j G ++=； 2 /122/12) 81()16(36 |)(|ωωω++=j G ，9arctan 4arctan )(ωωω--=∠j G 。 或：)(2.7)()(94t t e e t c t g ---== ；36 1336 )]([)(2 ++==s s t g L s G ； 5-3 设系统如下图所示，试确定输入信号 )452cos()30sin()( --+=t t t r 作用下，系统的稳态误差)(t e ss 。 解：2 1)(++=Φs s s e ； )452sin()30sin()( +-+=t t t r 6325.0|)(|=Φj e ， 4.186.2645)(=-=Φ∠j ； 7906.0|)2(|=Φj e ， 4.18454.63)2(=-=Φ∠j ； 答案：)4.632sin(7906.0)4.48sin(6325.0)( +-+=t t t e ss 。 5-4 典型二阶系统的开环传递函数 ) 2()(2 n n s s s G ωζω+= ， 当取t t r sin 2)(=时，系统的稳态输出为 )45sin(2)( -=t t c ss ， 试确定系统参数n ω和ζ。 解：2 222)(n n n s s s ωζωω++=Φ； 1] 4)1[(2 2222=+-n n n ωζωω， 451 2arctan 2 -=--n n ωζω； 122 -=n n ωζω， 答案：414.12==n ω，3536.04/2==ζ。 实验八系统的复频域 分析 一、实验目的 1、掌握系统的复频域分析方法。 2、掌握测试系统的频率响应的方法。 二、预习内容 1、系统频响的方法。（见第四章波特图的介绍） 三、实验原理 1. N 阶系统系统的传递函数 用微分方程描述的N 阶系统为： 根据零状态响应（起始状态为零），则对其进行拉氏变换有： 则系统传递函数可表达为： 用差分方程描述的N 阶系统为： 根据零状态响应（起始状态为零），则对其进行拉氏变换有： 则系统传递函数可表达为： 2.根据系统传递函数的零极点图分析系统 零点：传递函数分子多项式的根。 极点：传递函数分母多项式的根。 根据零极点图的不同分布分析系统。 3.涉及到的Matlab 函数 (1)freqz 函数：实验六中出现过，可用来求单位圆上的有理z 变换的值。调用格式：同实验六 (2)zplane 函数：得到有理z 变换的零极点图。 调用格式：zplane(num,den) 其中，num和 den是按z ?1 的升幂排列的、z 变换分子分母多项式系数的行向量。 (3)roots 函数：求多项式的根。 调用格式：r=roots(c), c 为多项式系数向量；r 为根向量。 四、实验内容 1.系统零极点的求解 (1)求解系统和的零极点，验 证下面程序的运行结果，根据系统零极点图分析系统性质。 b=[1,0,-1]; a=[1,2,3,2]; zr=roots(b); pr=roots(a); plot(real(zr),imag(zr),'go',real(pr),imag(pr),'mx','markersize',12,'linewidth',2); grid; legend('零点','极点'); figure; zplane(b,a); (2)参考上述程序，绘制系统和 的零极点图，并分析系统性质。与用zplane 函数直接绘制系统零极点图（注:圆心的圆圈并非系统的零点）做比较。 理工大学信号与系统实验报告连续时间系统的 复频域分析 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 实验5连续时间系统的复频域分析 （综合型实验） 一、实验目的 1）掌握拉普拉斯变换及其反变换的定义并掌握MATLAB 实现方法。 2）学习和掌握连续时间系统函数的定义及复频域分析方法。 3）掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。 二、实验原理与方法 1.拉普拉斯变换 连续时间信号x(t)的拉普拉斯变换定义为(s)(t)e st X x dt +∞ --∞ =? （1） 拉普拉斯反变换为1 (t)(s)e 2j st j x X ds j σσπ+∞ - ∞ = ? （2） MATLAB 中相应函数如下： (F)L laplace = 符号表达式F 拉氏变换，F 中时间变量为t ，返回变量为s 的结果表达式。 (F,t)L laplace =用t 替换结果中的变量s 。 ()F ilaplace L =以s 为变量的符号表达式L 的拉氏反变换，返回时间变量 为t 的结果表达式。 (,)F ilaplace L x =用x 替换结果中的变量t 。 拉氏变换还可采用部分分式法，当(s)X 为有理分式时，它可以表示为两个多项式之比： 110 1 10 ...(s)(s)(s)...M M M M N N N N b s b s b N X D a s a s a ----+++==+++ （3） 上式可以采用部分分式法展成以下形式 1212(s)...N N r r r X s p s p s p = +++--- （4） 再通过查找常用拉氏变换对易得反变换。 利用residue 函数可将X(s)展成（4）式形式，调用格式为： [r,p,k]residue(b,a)=其中b 、a 为分子和分母多项式系数向量，r 、p 、k 分 别为上述展开式中的部分分式系数、极点和直项多项式系数。 2.连续时间系统的系统函数 连续时间系统的系统函数是指系统单位冲激响应的拉氏变换 (s)(t)e st H h dt +∞ --∞ = ? （5） 连续时间系统的系统函数还可以由系统输入与输出信号的拉氏变换之比得到。 (s)(s)/X(s)H Y = （6） 单位冲激响应(t)h 反映了系统的固有性质，而(s)H 从复频域反映了系统的固有性质。由（6）描述的连续时间系统，其系统函数为s 的有理函数 110 1 10 ...(s)...M M M M N N N N b s b s b H a s a s a ----+++=+++ （7） 3.连续时间系统的零极点分析 系统的零点指使式（7）的分子多项式为零的点，极点指使分母多项式为零的点，零点使系统的值为零，极点使系统的值为无穷大。通常将系统函数的零极点绘在s 平面上，零点用O 表示，极点用?表示，这样得到的图形为零极点分布图。可以通过利用MATLAB 中的求多项式根的roots 函数来实现对（7）分子分母根的求解，调用格式如下： 实验四：连续系统的复频域分析 一、实验目的： 1、掌握连续与离散时间系统的正反复频域与Z域变换 2、掌握利用MATLAB进行零极点分析，进一步了解零极点对整个系统的影响 3、掌握simulink环境下系统建模与仿真以及系统求解。 二、实验内容： 1、已知某连续系统的系统函数为： （1）利用[r, p, k]=residue(num, den),求H（s）的极零点以及多项式系数; （2）画出系统的零极点分布图，判断系统得稳定性。 （3）求h(t)，判断系统得稳定性。 2、已知某离散系统的系统函数为：， （1）利用[r, p, k]=residuez(num, den)求H（z）的极零点以及多项式系数; （2）画出零极点分布图，判断系统得稳定性。 （3）求单位函数响应用impz(b, a)，判断系统是否稳定； 3、已知线性时不变微分方程 在Simulink环境下搭建起系统的仿真模型，并查看仿真结果曲线。（1）写出传递函数H（s），绘出系统模拟框图； （2）当f(t)分别为，，的零状态响应；且当与课本P81的结果进行比较（3）方程的初值为, ,求全响应； 4、已知某信号，n(t)为正态噪声干扰且服从N(0,0.22)分布，对此信号进行采样，采样间隔为0.001s，之后对此信号进行Botterworth低通滤波，从信号中过滤10HZ的输出信号，试对系统进行建模与仿真。 三、实验数据处理与结果分析： 第一题：题1_1： >> num=[2,5]; den=[1,1,3,2]; [r,p,k]=residue(num,den) r = -0.5750 - 0.7979i -0.5750 + 0.7979i 1.1499 p =-0.1424 + 1.6661i -0.1424 - 1.6661i -0.7152 k =[] 实验4：连续系统的频域分析 一、实验目的 （1）掌握连续时间信号的傅里叶变换和傅里叶逆变换的实现方法。 （2）掌握傅里叶变换的数值计算方法和绘制信号频谱的方法。 二、实验原理 1.周期信号的分解 根据傅里叶级数的原理，任何周期信号都可以分解为三角级数的组合——称为 ()f t 的傅里叶级数。在误差确定的前提下，可以由一组三角函数的有限项叠加而得到。 例如一个方波信号可以分解为： 11114111 ()sin sin 3sin 5sin 7357E f t t t t t ωωωωπ?? = ++++ ??? 合成波形所包含的谐波分量越多，除间断点附近外，它越接近于原波形，在间断点附近，即使合成的波形所含谐波次数足够多，也任存在约9%的偏差，这就是吉布 斯现象（Gibbs ）。 2.连续时间信号傅里叶变换的数值计算 由傅里叶变换的公式： ()()lim ()j t j n n F j f t e dt f n e ωωττωττ∞ ∞ ---∞ →=-∞ ==∑ ? 当 ()f t 为时限信号时，上式中的n 取值可以认为是有限项N ，则有： ()(),0k N j n n F k f n e k N ωτττ-==≤≤∑，其中2k k N π ωτ = 3.系统的频率特性 连续LTI 系统的频率特性称为频率响应特性，是指在正弦信号激励作用下稳态响应随激励信号频率的变化而变化的情况，表示为 () ()() Y H X ωωω= 三、实验内容与方法 1.周期信号的分解 【例1】用正弦信号的叠加近似合成一个频率为50Hz 的方波。 MATLAB 程序如下： clear all; fs=10000; t=[0:1/fs:0.1]; f0=50;sum=0; subplot(211) for n=1:2:9 plot(t,4/pi*1/n*sin(2*pi*n*f0*t),’k ’); hold on; end title(‘信号叠加前’); subplot(212) for n=1:2:9; 学生实验报告实验课程:信号与 系统E D A 实验地点:东1教 414 学院: 专业: 学号 : 姓名 : 2．信号卷积,根据PPT 中的实验2、2与2、3内容完成课堂练习,写出程序及运行结果。 用Matlab 实现卷积运算)(*)(t h t f ,其中 )()()],2()([2)(t e t h t t t f t εεε-=--=,)2 ()(2t h t h =;对比说明信号)( t f 分别输入系统)(和)(2t h t h 时的输出有什么区别并分析原因。 >> p=0、01; nf=0:p:4; f=2*(heaviside(nf)-heaviside(nf-2)); nh=0:p:6; h=exp(-nh)、*(nh>0); y=conv(f,h); t=0:length(y)-1; subplot(3,1,1),stairs(nf,f);title('f(t)');axis([0 6 0 2、1]); subplot(3,1,2),plot(nh,h);title('h(t)');axis([0 6 0 1、1]); subplot(3,1,3),plot(0、01*t,y); title('y(t)=f(t)*h(t)'); >> p=0、01; nf=0:p:4; f=2*(heaviside(nf)-heaviside(nf-2)); nh=0:p:6; h=exp(-2*nh)、*(2*nh>0); y=conv(f,h); t=0:length(y)-1; subplot(3,1,1),stairs(nf,f);title('f(t)');axis([0 6 0 2、1]); 第5章 用MATLAB 进行控制系统频域分析 一、基于MATLAB 的线性系统的频域分析基本知识 （１）频率特性函数)(ωj G 。 设线性系统传递函数为： n n n n m m m m a s a s a s a b s b s b s b s G ++???++++???++=---1101110)( 则频率特性函数为： n n n n m m m m a j a j a j a b j b j b j b jw G ++???++++???++=---)()()()()()()(1101110ωωωωωω 由下面的MATLAB 语句可直接求出G(jw)。 i=sqrt(-1) % 求取-1的平方根 GW=polyval(num ，i*w)./polyval(den ，i*w) 其中（num ，den ）为系统的传递函数模型。而w 为频率点构成的向量，点右除（./）运算符表示操作元素点对点的运算。从数值运算的角度来看，上述算法在系统的极点附近精度不会很理想，甚至出现无穷大值，运算结果是一系列复数返回到变量GW 中。 （２）用MATLAB 作奈魁斯特图。 控制系统工具箱中提供了一个MATLAB 函数nyquist( )，该函数可以用来直接求解Nyquist 阵列或绘制奈氏图。当命令中不包含左端返回变量时，nyquist （）函数仅在屏幕上产生奈氏图，命令调用格式为： nyquist(num,den) nyquist(num,den,w) 或者 nyquist(G) nyquist(G,w) 该命令将画出下列开环系统传递函数的奈氏曲线： ) () ()(s den s num s G = 如果用户给出频率向量w,则w 包含了要分析的以弧度/秒表示的诸频率点。在这些频率点上，将对系统的频率响应进行计算，若没有指定的w 向量，则该函数自动选择频率向量进行计算。 w 包含了用户要分析的以弧度/秒表示的诸频率点,MATLAB 会自动计算这些点的频率响应。 当命令中包含了左端的返回变量时，即: [re,im,w]=nyquist(G) 或 信号与系统 实验报告 实验五连续系统的复频域分析 实验五连续系统的复频域分析 一、实验目的 1. 深刻理解拉普拉斯变换、逆变换的定义，掌握用MATLAB实现拉普拉斯变换、逆变换的方法。 2会求几种基本信号的拉氏变换。 3 掌握用MATLAB绘制连续系统零、极点的方法。 4 求解系统函数H(s)。 二 1已知连续时间信号f（t）=sin（t）u（t）、求出该信号的拉普拉斯变换，并用MATLAB 绘制拉普拉斯变换的曲面图。 syms t; ft=sin(t)*heaviside(t); Fs=Laplace(ft); a=-0.5:0.08:0.5; b=-2:0.08:2; [a,b]=meshgrid(a,b); c=a+i*b; d=ones(size(a)); c=c.*c; c=c+d; c=1./c; c=abs(c); mesh(a,b,c); surf(a,b,c) axis([-0.5,0.5,-2,2,0,10]) colormap(hsv ) 2求[(1-e^(-at))]/t的拉氏变换。 syms t s a f1=(1-exp(-a*t))/t; F=laplace(f1,t,s) F = log(s+a)-log(s) 3求F（s）=-log（s）+ log（s+a）的拉氏逆变换syms t s a F =log(s+a)-log(s); f1=ilaplace(F,s,t) f1 = (1-exp(-a*t))/t 4已知某连续系统的系统函数为： H（s）=(s^2+3s+2)/(8s^4+2s^3+3s^2+5)试用MATLAB求出该系统的零极点，画出零极点分布图。 b=[1 3 2]; a=[8 2 3 0 5]; zs=roots(b); ps=roots(a); hold on plot(real(zs),imag(zs),'o'); plot(real(ps),imag(ps),'x'); grid axis([-2.5,1,-1,1]) 5已知H(s)=（s+1）/（s^2+s+1）,绘制阶跃响应图形，冲激响应图形，频率激响应图形。 syms t s H=(s+1)/(s^2+s+1); f1=ilaplace(H,s,t); f2=heaviside(t); 第三章傅立叶变换 时域分析：f(t) y f(t)=h(t)*f(t) ↓分解↑ 基本信号δ(t)→LTI →h(t) 频域分析： f(t) ye jωt =h(t)* H(jω)Fe jωt ↓分解↑ 基本信号 sinωt →LTI →H(jω)e jωt e jωt H(jω)：系统的频域响应函数，是信号角频率ω的函数，与t无关. 主要内容： 一、信号的分解为正交函数。 二、周期信号的频域分析?付里叶级数（求和），频谱的特点。信号 三、非周期信号的频域分析?付里叶变换（积分），性质。分析 四、LTI系统的频域分析：频域响应H(jω)；y(jω)= H(jω)?F(jω). (系统分析) 五、抽样定理：连续信号→离散信号. §3.1 信号分解为正交函数 一、正交： 两个函数满足φ1(t)φ2(t)dt=0,称φi(t),φj(t)在区间(t1 ,t2)正交。 二、正交函数集：几个函数φi(t)φi(t)dt= 0 当i≠j; K i 当i=j. 三、完备正交函数集：在{φ1(t)…φn(t)}之外， 不存在ψ(t)满足ψ (t)φi(t)dt= 0 (i=1,2,…n). 例、三角函数集:{1,cosΩt,cos2Ωt,… ,cosmΩt,…,sinΩt, sin2Ωt,…sin(nΩt),…}区间:（t0,t0+T）,t=2π/Ω为周期. 满足： cosmΩtcosnΩtdt= 0 m≠n T/2 m=n≠0 T m=n=0 sin（mΩt）sin(nΩt)dt= 0 m≠n T/2 m=n≠0 sin(mΩt)cos(nΩt)dt= 0. 所有的m和n. 结论:三角函数集是完备正交集。 推导： cosmΩtcosnΩtdt =(1/2) [cos(m+n) Ωt+cos(m-n) Ωt]dt =(1/2)sin(m+n)Ωt +(1/2)sin(m-n)Ωt =(1/2)[sin(m+n) Ω(t0+T)-sin(m+n)Ωt0] +(1/2)[sin(m-n) Ω(t0+T)-sin(m-n)Ωt0] =0 当m≠n时. 实验三 连续时间LTI 系统的频域分析 一、实验目的 1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义； 2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用； 3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义； 4、掌握用MATLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。 基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 描述方法，深刻理LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB 计算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。 二、实验原理及方法 1 连续时间LTI 系统的频率响应 所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response ），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。 x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：)(*)()(t h t x t y =，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到： )()()(ωωωj H j X j Y = 3.1 或者： ) ()()(ωωωj X j Y j H = 3.2 )(ωj H 为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。即 ?∞ ∞--= dt e t h j H t j ωω)()( 3.3 由于H(j ω)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积（Absolutly integrabel ）的话，那么H(j ω)一定存在，而且H(j ω)通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。在研究系统的频率响应时，更多的是把它表示成极坐标形式： )()()(ω?ωωj e j H j H = 3.4 上式中，)j (ωH 称为幅度频率相应（Magnitude response ），反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，)(ω?称为相位特性（Phase response ），反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。)(ωj H 和)(ω?都是频率ω的函数。 对于一个系统，其频率响应为H(j ω)，其幅度响应和相位响应分别为)(ωj H 和)(ω?，如果作用于系统的信号为t j e t x 0 )(ω=，则其响应信号为 t j e j H t y 0)()(0ωω= t j j e e j H 00)(0)(ωω?ω=))((000)(ω?ωω+=t j e j H 3.5 若输入信号为正弦信号，即x(t) = sin(ω0t)，则系统响应为 ))(sin(|)(|)sin()()(00000ω?ωωωω+==t j H t j H t y 3.6 可见，系统对某一频率分量的影响表现为两个方面，一是信号的幅度要被)(ωj H 加权，二是信号的相位要被)(ω?移相。 由于)(ωj H 和)(ω?都是频率ω的函数，所以，系统对不同频率的频率分量造成的幅度和相位上的影响是不同的。 控制系统时域与频域性能指标的联系 经典控制理论中，系统分析与校正方法一般有时域法、复域法、频域法。时域响应法是一种直接法，它以传递函数为系统的数学模型，以拉氏变换为数学工具，直接可以求出变量的解析解。这种方法虽然直观，分析时域性能十分有用，但是方法的应用需要两个前提，一是必须已知控制系统的闭环传递函数，另外系统的阶次不能很高。 如果系统的开环传递函数未知，或者系统的阶次较高，就需采用频域分析法。频域分析法不仅是一种通过开环传递函数研究系统闭环传递函数性能的分析方法，而且当系统的数学模型未知时，还可以通过实验的方法建立。此外，大量丰富的图形方法使得频域分析法分析高阶系统时，分析的复杂性并不随阶次的增加而显著增加。 在进行控制系统分析时，可以根据实际情况，针对不同数学模型选用最简洁、最合适的方法，从而使用相应的分析方法，达到预期的实验目的。 系统的时域性能指标与频域性能指标有着很大的关系，研究其内在联系在工程中有着很大的意义。 一、系统的时域性能指标 延迟时间t d 阶跃响应第一次达到终值h (∞)的50%所需的时间 上升时间 t r 阶跃响应从终值的10%上升到终值的90%所需的时间；对有振荡的系 统，也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间 峰值时间t p 阶跃响应越过终值h (∞)达到第一个峰值所需的时间 调节时间 t s 阶跃响应到达并保持在终值h (∞)的±5%误差带内所需的最短时间 超调量%σ 峰值h( t p )超出终值h (∞)的百分比，即 %σ= () ()() ∞∞-h h h t p ?100% 二、系统频率特性的性能指标 采用频域方法进行线性控制系统设计时，时域内采用的诸如超调量，调整时间等描述系统性能的指标不能直接使用，需要在频域内定义频域性能指标。 第3章连续时间信号与系统的频域分析3.1 学习要求 1、掌握周期信号的频谱及其特点； 2、了解周期信号的响应问题； 3、掌握非周期信号的频域描述——傅立叶变换； 4、熟练掌握傅立叶变换的性质与应用； 5、掌握系统的频域特性及响应问题； 6、了解系统的无失真传输和理想滤波。 3.2 本章重点 1、频谱的概念及其特性； 2、傅里叶变换及其基本性质； 3、响应的频域分析方法； 4、系统频率响应的概念。 3.3 知识结构 3.4内容摘要 3.4.1信号的正交分解 两个矢量1V 和2V 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即： o 1212cos900?=?=V V V V 若有一个定义在区间()12,t t 的实函数集{}()(1,2,,)i g t i n =L ，在该集合中所有的函数满足 ?????=≠===??2 1 21,,2,1,0)()(,,2,1)(2t t j i t t i i n j j i dt t g t g n i k dt t g ΛΛ 则称这个函数集为区间()12,t t 上的正交函数集。式中i k 为常数，当1i k =时，称此函数集为归一化正交函数集。 若实函数集{}(),1,2,,i g t i n =L 是区间()12,t t 内的正交函数集，且除()i g t 之外 {}(),1,2,,i g t i n =L 中不存在()x t 满足下式 2 1 20()t t x t dt <<∞?且2 1 ()()0t i t x t g t dt =? 则称函数集{}(),1,2,,i g t i n =L 为完备正交函数集。 若在区间()12,t t 上找到了一个完备正交函数集{}(),1,2,,i g t i n =L ，那么，在此区间的信号()x t 可以精确地用它们的线性组合来表示 11221 ()()()()()n n i i i x t C g t C g t C g t C g t ∞ ==++++=∑L L 各分量的标量系数为 2 1 21 2 ()()d ()d t i t i t i t x t g t t C g t t = ?? 系数i C 只与()x t 和()i g t 有关，而且可以互相独立求取。 3.4.2周期信号的傅里叶级数 1、三角形式的傅里叶级数 0001 ()(cos sin )n n n x t a a n t b n t ωω∞ ===++∑ a=-0.5:0.08:0.5; b=-2:0.08:2; [a,b]=meshgrid(a,b); d=ones(size(a)); c=a+i*b; c=c.*c; c=c+d; c=1./c c=abs(c); surf(a,b,c); axis=([-0.5,0.5,-2,2,0.15]); title('单边正弦信号拉氏变换图'); colormap(hsv); 2. a=0:0.5:5; b=-20:0.1:20; [a,b]=meshgrid(a,b); c=a+i*b; c=(1-exp(-2*c)./c); c=abs(c) mesh(a,b,c); sufr(a,b,c); view(-10,20); axis([-0.5:-20,20,0.2]); title('拉氏变换S域像函数'); w=-20:0.1:20; Fw=(2*sin(w).*exp(i*w)); plot(w,abs(Fw)) title=('傅里叶变换'); xlabel('频率w'); 3. a=[1,2,-3,2,1]; b=[1,4]; sjdt(a,b); a=[1,5,16,30]; b=[5,20,25,0]; sjdt(a,b); 4. a=[8,2,3,15]; b=[1,3,2]; [p,q]=sjdt(a,b); 5. a=[1,0]; b=[1]; impulse(b,a) a=[1,2]; b=[1]; impulse(b,a) a=[1,-2]; b=[1]; impulse(b,a) a=[1,1,16,25]; b=[1]; impulse(b,a) a=[1,0,16]; b=[1]; impulse(b,a) a=[1,-1,16,25]; b=[1]; impulse(b,a) 6. q=[0,0]; p=[-100,100]; f1=0; f2=1000; k=0.1; splxy(f1,f2,k,p,q) q=[0,0]; f1=0; f2=1000; k=0.1; p=[-500,-1000]; splxy(f1,f2,k,p,q) q=[0,0]; f1=0; f2=1000; k=0.1; p=[-2000,-4000]; splxy(f1,f2,k,p,q) 7. 8 实验四 专业 自动化 班号 03班 指导教师 陈艳飞 姓名 胡波 实验名称 线性系统的频域分析 实验日期 第 次实验 一、实验目的 1．掌握用MATLAB 语句绘制各种频域曲线。 2．掌握控制系统的频域分析方法。 二、实验内容 1．典型二阶系统 2 2 22)(n n n s s s G ωζωω++= 绘制出6=n ω，1.0=ζ，0.3，0.5，0.8，2的bode 图，记录并分析ζ对系统bode 图的影响。 解: 程序如下: num=[0 0 36];den1=[1 1.2 36];den2=[1 3.6 36]; den3=[1 6 36];den4=[1 9.6 36];den5=[1 24 36]; w=logspace(-2,3,100); bode(num,den1,w) grid hold bode(num,den2,w) bode(num,den3,w) bode(num,den4,w) bode(num,den5,w) -100-80-60-40-200 20M a g n i t u d e (d B )10 -2 10 -1 10 10 1 10 2 10 3 P h a s e (d e g ) Bode Diagram Frequency (rad/sec) 分析：随着.0=ζ的增大 ,伯德图在穿越频率处的尖峰越明显,此处用渐近线代替时误差越大. 2．系统的开环传递函数为 ) 5)(15(10 )(2+-= s s s s G ) 106)(15() 1(8)(22++++= s s s s s s G ) 11.0)(105.0)(102.0() 13/(4)(++++= s s s s s s G 绘制系统的Nyquist 曲线、Bode 图和Nichols 图，说明系统的稳定性，并通过绘制阶跃响应曲线验证。 解: 程序如下 奈氏曲线: (1) num1=[0,0,10];den1=conv([1,0],conv([1,0],conv([5,-1],[1,5]))); w=logspace(-1,1,100); nyquist(num1,den1,w)北京理工大学信号与系统实验报告5-连续时间系统的复频域分析
大作业1(机电控制系统时域频域分析)
(实验三)连续时间LTI系统的频域分析汇总
连续时间LTI系统的频率特性及频域分析
控制系统的频域分析实验报告
北京理工大学信号与系统实验实验5连续时间系统地复频域分析报告报告材料
第五章 线性系统的频域分析法习题
实验八 系统的复频域分析
理工大学信号与系统实验报告连续时间系统的复频域分析
连续系统的复频域分析
实验4：连续系统的频域分析
连续系统的时域、频域分析
第5章_用MATLAB进行控制系统频域分析
信号与系统报告 实验5 连续系统的复频域分析实验
连续系统的频域分析
实验三连续时间LTI系统的频域分析报告
控制系统时域与频域性能指标的联系
连续时间信号与系统的频域分析
实验八 连续系统的复频域分析
自动控制原理线性系统的频域分析实验报告