专升本高数二公式(高教版)
第一章节公式
由a N b N b
a
==()l o g ()12 （1）对数的性质：
①负数和零没有对数；②1的对数是零；③底数的对数等于1。 （2）对数的运算法则： ①()()
l o g l o g l o g a a a
M N M N M N R =+∈+
， ②()
l o g l o g l o g a a a M
N
M N M N R =-∈+， ③()()
l o g l o g a n a
N n N N R =∈+
④()
l o g l o g a n
a
N n
NNR =∈+1
3、对数换底公式：
l o g l o g l o g l o g (.)l o g b
a a n e g N N b
LN N
e N LN N
====其中…称为的自然对数称为常数对数27182810 由换底公式推出一些常用的结论：
（1）l o g l o g l o g l o g a b
a b
b a b a ==1
1或· （2）log log a m a n b m
n
b =
（3）l o g l o g a
n
a n
b b =
（4）lo g a m n a m
n
=
1-1y=sinx
-3π2
-5π2
-7π2
7π2
5π
2
3π2
π2
-π2
-4π-3π
-2π4π
3π
2ππ
-π
o
y x
1-1y=cosx
-3π
2
-5π2
-7π
2
7π2
5π2
3π2
π2
-π2
-4π-3π-2π4π
3π
2π
π
-π
o
y
x
y=tanx
3π2
π
π2
-
3π2
-π
-
π2
o
y
x
y=cotx
3π2
π
π2
2π
-π
-
π2
o
y
x
三角函数的单调区间：
x y sin =的递增区间是?????
?
+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，
递减区间是??
?
??
?+
+
2322
2πππ
πk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，
递减区间是[]πππ+k k 22，
)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是??? ?
?
+-22ππππk k ，)(Z k ∈，
数列极限的四则运算法则
如果,lim ,lim B y A x n n n n ==∞
→∞
→那么
B
A y x y x n n n n n n n -=-=-∞
→∞
→∞
→lim lim )(lim B A y x y x n n n n n n n +=+=+∞
→∞
→∞
→lim lim )(lim
B A y x y x n n n n n n n .(lim ).(lim ).(lim ==∞→∞→∞→） )0(lim lim lim ≠==∞
→∞
→∞→B B A y x y x n n n n n n n
推广：上面法则可以推广到有限．．
多个数列的情况。例如，若{}n
a ，{}n
b ，{}n
c 有极限，
则：n n n n n n n n n n c b a c b a ∞
→∞
→∞
→∞
→++=++lim lim lim )(lim
特别地，如果C 是常数，那么
CA a C a C n n n n n ==∞
→∞
→∞
→lim .lim ).(lim
函数极限的四算运则
如果,)(lim ,)(lim B x g A x f ==那么
B A x g x f x g x f ±=±=±)(lim )(lim )(lim )(lim
B
A x g x f x g x f ?=?=?)(lim )(lim )(lim )(lim
)
0)(lim ()(lim )(lim )()(lim ≠===x g B B A x g x f x g x f
推论设)(lim ),(lim ),......(lim ),(lim ),(lim 321x f x f x f x f x f n 都存在，k 为常数，n 为正整数，则有：
)
(lim ....)(lim )(lim )](....)()([lim 2111x f x f x f x f x f x f n n ±±±=±±
)
(lim )]([lim x f k x kf =
n
n x f x f )](lim [)]([lim =
无穷小量的比较：
.0lim ,0lim ,,==βαβα且穷小是同一过程中的两个无设
);(,,0lim
)1(βαβαβ
α
o ==记作高阶的无穷小是比就说如果;),0(lim
)2(同阶的无穷小是与就说如果βαβ
α
≠=C C ;~;,1lim
3βαβαβ
α
记作是等价的无穷小量与则称如果）特殊地（= .),0,0(lim
)4(阶的无穷小的是就说如果k k C C k βαβ
α
>≠= .,lim
)5(低阶的无穷小量是比则称如果βαβ
α
∞= ,
0时较：当常用等级无穷小量的比→x .2
1~
cos 1,
~1,~)1ln(,~arctan ,~tan ,~arcsin ,~sin 2
x x x e x x x x x x x x x x x --+ e
n e x e x x x n n x x x x x
=+=+=+=∞→→→→)11(lim )1(lim .)11(lim .1sin lim 1
000对数列有重要极限
第二章节公式
1.导数的定义：
函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是
lim Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0
Δf
Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记
作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0即f ′(x 0)＝lim Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
.
2．导数的几何意义
函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝lim Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
＝f ′(x 0)．
3．导函数(导数)
当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)，y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0
f (x ＋Δx )－f (x )
Δx
.
4．几种常见函数的导数
(1)c ′＝0(c 为常数)，(2)(x n
)′＝nx n －1
(n ∈Z )，(3)(a x
)′＝a x
lna(a ＞0,a ≠1), (e x
)′
＝e x
(4)(ln x )′＝1x ，(log a x )′＝1
x
log a e=
a
x ln 1
(a ＞0,a ≠1) (5)(sin x )′＝cos x ，(6)(cos x )′＝－sin x (7) x x 2cos 1)'(tan =
, (8)x
x 2sin 1
)'(cot -=
(9) )11(11)'(arcsin 2
<<--=
x x
x , (10) )11(11)'(arccos 2
<<---
=x x
x
(11) 211)'(arctan x x +=
, (12)2
11
)'cot (x x arc +-=
5．函数的和、差、积、商的导数
(u ±v )′＝u ′±v ′，(uv )′＝u ′v ＋uv ′
? ??
??u v ′＝u ′v －uv ′v 2，(ku )′＝cu ′(k 为常数)．
(uvw )′＝u ′vw ＋uv ′w + uvw ′
微分公式：
（1）为常数）c o c d ()(= 为任意实数）
）（a dx ax x d a a ()(21-=
),1,0(ln 1)(log )3(≠>=
a a dx a x d x
a
dx x x d 1)(ln = )1,0(ln )(4≠>=a a adx a a d x x ）（
dx
e e d x x =)(
xdx x d cos )(sin )5(=
xdx x d sin )(cos )6(-=
(7) dx x x d 2cos 1)(tan =
, (8)dx x
x d 2
sin 1
)(cot -= (9) dx x
x 2
11)'(arcsin -=
, (10) dx x
x 2
11)'(arccos --
=
(11) dx x x d 211)(arctan +=
, (12) dx x
x arc d 2
11
)cot (+-= 6．微分的四算运则
d(u ±v )＝d u ±d v ， d(uv )＝v du ＋udv
)0()(2
≠-=v v
udv
vdu v u d d(ku )＝k du (k 为常数)． 洛必达法则：在一定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法。
）或‘∞===→→→()('')(''lim )(')(lim )()(lim
A x g x f x g x f x g x f a x a x a
x
7.导数的应用：
)('x f =0 的点为函数)(x f 的驻点，求极值；
(1)0x x <时，
0)('>x f ;
时0x x >,
0)'( 为极大值点 的极大值，为则00)()(x x f x f ; (2)0x x <时， 0)(' 时0x x >, 0)'(>x f , 为极小值点 的极大值，为则00)()(x x f x f ; (3) 不是极值点。不是极值，么的两端的符号相同，那在如果000)()('x x f x x f ; )(''x f =0 的点为函数)(x f 的拐点，求凹凸区间； 为凸的（下凹）取值范围内，曲线的)(0)(''x f y x x f =< 为凹的（上凹）取值范围内，曲线的)(0)(''x f y x x f => 第三章知识点概况 不定积分的定义：函数f(x)的全体原函数称为函数f(x)的不定积分，记作? dx x f )(，并称 ? 为积分符号，函数 ) (x f 为被积函数， dx x f )(为被积表达式，x 为积分变量。 ?+=C x F dx x f )()(因此 不定积分的性质： ??==dx x f dx x f d x f dx x f )()()(]')()[1(或 ??+=+=C x F x dF C x F dx x F )()()()(')2(或 ????±±±=±±±dx x dx x dx x f dx x x x f )(....)()()](....)()([)3(ψ?ψ? ) 0()()()4(≠=??k k dx x f k dx x kf 为常数且 基本积分公式： C dx =?0)1( ) 1(11)2(1 -≠++= +?a C x a dx x a a C x dx x +=?ln 1)3( )1,0(ln 1)4(≠>+= ?a a C a a dx a x x C e dx e x x +=?)5( C x xdx +-=?cos sin )6( C x xdx +=?sin cos )7( C x dx x +=? tan cos 1 )8(2 C x dx x +-=? cot sin 1 )9(2 C x dx x +=? arcsin -11)10(2 C x dx x +=+? arctan 11 )11(2 换元积分（凑微分）法： 1.凑微分。对不定积分?dx x g )(，将被积表达式g(x)dx 凑成? =dx x x dx x g )(')]([)(?? 2.作变量代换。令 ???===du u f dx x x f dx x g dx x x d du x u )()(')]([)()(')(),(变换带量凑微分代入上式得：则?????3.用公式积分，，并用)(x u ?=换式中的u C x F C u F du u f ++?)]([)()(?回代公式 常用的凑微分公式主要有： )()(1 )(1b ax d b ax f a dx b ax f ++= +）（)()(1 )(21b ax d b ax f ka dx x b ax f k k k k ++=?+-）（ )()(21 )(3x d x f dx x x f =? ）（ )1()1(1)1(42x d x f dx x x f -=?）（ )()()(5x x x x e d e f dx e e f =?）（ )(ln )(ln 1 )(ln 6x d x f dx x x f =?）（ )(sin )(sin cos )(sin 7x d x f xdx x f =?）（ )(cos )(cos sin )(cos 8x d x f xdx x f -=?）（ )(tan )(tan cos 1 )(tan 92x d x f dx x x f =? ）（ )(cot )(cot sin 1 )(cot 102x d x f dx x x f -=?）（ )(arcsin )(arcsin 11)(arcsin 112 x d x f dx x x f =-? ）（ )(arccos )(arccos 11)(arccos 122x d x f dx x x f -=-?）（ )(arctan )(arctan 11 )(arctan 132 x d x f dx x x f =+? ）（ )0)()()((ln ) () ('14≠=x x d dx x x ????） （ 分部积分法： ??????-=-=+=+=udv uv vdu vdu uv udv udv vdu uv x udv vdu uv d 或移项得积分得两边对)(适用于分部积分法求不定积分的常见题型及u 和dv 的选取法 dx e dv x P u dx x P e ax ax ==?),()(1设）（ axdx dv x P u axdx x P sin ),(sin )(2==?设）（ axdx dv x P u axdx x P cos ),(cos )(3==?设）（ dx x P dv x u xdx x P )(,ln ln )(4==?设）（ dx x P dv x u xdx x P )(,arcsin arcsin )(5==?设）（dx x P dv x u xdx x P )(,arctan arctan )(6==?设）（为任意选取，其中为任意选取，其中）（v u bxdx e v u bxdx e ax ax ,cos ,sin 7?? 上述式中的P （x)为x 的多项式，a,b 为常数。 一些简单有理函数的积分，可以直接写成两个分式之和，或通过分子加减一项之后，很容易将其写成一个整式与一个分式之和或两个分式之和，再求出不定积分。 定积分: 此式子是个常数△） （△i n i i b a x f n dx x f )(lim )(10∑? =∞→=→ξ (1)定积分的值是一个常数，它只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的字母无关，即应有 ?? =b a b a dt t f dx x f )()( （2）在定积分的定义中，我们假定a =a b b a dx x f dx x f )(-)( 如果a=b,则规定： 0)(? =a a dx x f （3）对于定义在],[a a -上的连续奇（偶）函数)(x f ，有 0)(=? -dx x f a a )(x f 为奇函数 ??=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( )(x f 为偶函数 定积分的性质： 为常数））（k dx x kf dx x kf b a ()()(1?=???±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([2）（ 的内外点） 为）（b a c dx x f dx x f dx x f b c c a b a ,()()()(3???±=（单调性） 则上总有）如果在区间（??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f b a )()(),()(],[4a b dx b a -=?15）（) ()()(],[)(6a b M dx x f a b m b a x f m M b a -≤≤-?则有上的最大值和最小值，在区间分别是和）设（) )(()(],[],[)(7a b f dx x f b a b a x f b a -=?ξξ使得下式成立：，上至少存在一点上连续，则在在闭区间函数）积分中值定理：如果（定积分的计算： 一、变上限函数 设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，并且设x 为[]b a ,上的任一点，于是，()x f 在区间[]b a ,上的定积分为 ()dx x f x a ? 这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 ()dt t f x a ? 如果上限x 在区[]b a ,间上任意变动，则对于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值 与之对应，所以定积分在[]b a ,上定义了一个以x 为自变量的函数()x ?，我们把()x ?称为函数()x f 在区间[]b a ,上变上限函数 记为()()() b x a dt t f x x a ≤≤=?? 推理：? ==x a x f dt t f x )(]')([ )('φ )(')]([)('])([]')([)(') () (x a x a f x b x b f dt t f x x b x a -==? φ 定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度()()()0?t v t v 作直线运动，那么在时间区间[]b a ,上所经过的 路程s 为 ()dt t v s b a ?= 另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数()t s ，那么物体从t=a 到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11） 即 ()()()a s b s dt t v b a -=? 由导数的物理意义可知：()()t v t s =' 即()t s 是()t v 一个原函数，因此，为了求出定积分 ()dt t v b a ?，应先求出被积函数()t v 的原函数()t s ，再求()t s 在区间[]b a ,上的增量()() b s a s -即可。 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分()dx x f b a ?的一般方法： 设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，()x F 是()x f 的一个原函数，即()()x f x F =' ， 则 ()()()a F b F dx x f b a -=? 这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成 )()() ()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数 的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 定积分的换元公式： ? ?=b a dt t t f dx x f β α ??)(')([)(计算要领是： ) ('],[)(,)(t t x b a x t t x ?βα?βα?有连续导数上在且变到严格单调地从时，变到从，要求当作代换==图 5-11 定积分的分部积分法： ??-=b a b a b a dx vu uv dx uv '' 5.4.2定积分求平面图形的面积 1.直角坐标系下面积的计算 (1)由曲线)(x f y =和直线0,,===y b x a x 所围成曲边梯形的面积的求法前面已经介绍，此处不再叙述. (2)求由两条曲线)(),(x g y x f y ==， ))()((x g x f ≥及直线b x a x ==,所围成平面的面积A （如图5.8所示）. 下面用微元法求面积A . ①取x 为积分变量，],[b a x ∈. ②在区间],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，该区间上小曲边梯形的面积dA 可以用高 )()(x g x f -，底边为dx 的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素 dx x g x f dA )]()([-=. ③写出积分表达式，即 ?-=b a dx x g x f A )]()([. ⑶求由两条曲线)(),(y x y x ?ψ==，))()((y y ?ψ≤及直线d y c y ==,所围成平 面图形（如图5.9）的面积. 这里取y 为积分变量，],[d c y ∈， 用类似 (2)的方法可以推出： ?-=d c dy y y A )]()([ψ?. 第四章知识点多元函数微分学 §4.1 偏导数与全微分 一. 主要内容： ㈠. 多元函数的概念 )(x f y = )(x g y = y a o dx x x + b x 图 5.8 )(y x ψ= o )(y x ?= x y d y+dy y c 1. 二元函数的定义：D y x y x f z ∈=),(),( )(f D 定义域： 2. 二元函数的几何意义： 二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线） Z=ax+by+c 表示一个平面； 222y x R z --= 表示球心在原点、半径为R 的上半个球面； 22y x z += ，表示开口向上的圆锥面； 2 2 y x z +=，表示开口向上的旋转剖物面。 ㈡. 二元函数的极限和连续： 1. 极限定义：设z=f(x,y)满足条件： 的某个领域内有定义。在点)0 ,0(.1y x 可除外）（点)0,0(y x A y x f y y x x =→→),(0 0lim 2、。极限存在，且等于在则称A y x y x f z )0,0(),(= 2. 连续定义：设z=f(x,y)满足条件： 的某个领域内有定义。在点)0 ,0(1y x ) ,0(),(0 0lim 2 y x f y x f y y x x =→→ 处连续。在则称)0 ,0(),(y x y x f z = ㈢.偏导数： 改变量。 保持不变时，得到一个而（△在处取得改变量△当自变量的某个邻域内有定义，在点设函数定义0),00)0,0(),,(:y y x x x y x y x f z =≠= x y x f y x x f x y x x f x ?-?+→?= ') ,0()0,0 (0 lim )0 ,0(的偏导数：对 y y x f y y x f y y x y f y ?-?+→?= ') ,0()0,0(0 lim )0 ,0(的偏导数：对 的偏导数。处对在分别为函数y x y x y x f y x y f y x x f ,)0 ,0(),()0,0(),0,0(''处的偏导数记为：内任意点在),(),(y x D y x f z = x z x z x y x f y x x f '=??=??=') ,(),( y z y z y y x f y x y f ' =??=??= ') ,(),( ㈣.全微分： 1.定义：z=f(x,y) ),(),(y x f y y x x f z -?+?+=?若)(ρo y B x A +?+?= , 2)(2)(y x o y x B A △△较高阶的无穷小量（）是比（无关，、与、其中，+= ??ρρρ则称处的全微分是 函数),(y x f z y B x A =?+? y B x A y x df dz ?+?==),(:则),(y x f z =是 在点(x,y)处的全微分。 3. 全微分与偏导数的关系 .),(),(),,(D y x y x y f y x x f ∈''连续，定理：若 处可微且在点则：),(),(y x y x f z = dy y x y f dx y x x f dz ),(),('+'= ㈤.复全函数的偏导数： 1.),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===设 ： [] ) ,(),,(y x v y x u f z =∴ x v v z x u u z x z ??? ??+?????=??则： y v v z y u u z y z ?????+?????=?? 2. )(),(),,(x v v x u u v u f y ===设 )] (),([x v x u f y =∴ ㈥.隐含数的偏导数： 1. 0),,(,0),,(≠'==z F y x f z z y x F 且设 z F y F y z z F x F x z ''- =??'' - =??,则 2. 0),(,0),(≠'==y F x f y y x F 且设 y F x F dx dy ''- =则 ㈦.二阶偏导数： )(22 "),(x z x x z xx z y x xx f ????= ??=='' dx dv v y dx du u y dx dy ???+???= )( 2 2 "),(y z y y z yy z y x yy f ????=??=='' )(2 "),(x z y y x z xy z y x xy f ????= ???=='' )(2 "),(y z x x y z yx z y x yx f ????= ???=='' 的连续函数时，为和结论：当y x y x yx f y x xy f ,),(),(''''),(),(y x yx f y x xy f ''=''则： （八）隐函数的导数和偏导数 的导数 对，可以求出所确定的）对于方程x y x f y y x F y x x F y y x F y )(0,(),('') ,('=== ),,(),,(.... ..........),,(),,(z y x z F z y x y F y z z y x y F z y x x F x z ''= ??''= ?? (九).二元函数的无条件极值 1. 二元函数极值定义： 某一个邻域内有定义，在设)0 ,0(),(y x y x z [] )0 ,0(),(),0,0(),(y x z y x z y x z y x z ≥≤或若 , )(),()0,0(值或极小的一个极大是则称y x z y x z 值点。 或极小的一个极大是称)(),()0,0(y x z y x ☆ 极大值和极小值统称为极值， 极大值点和极小值点统称为极值点。 2.极值的必要条件： )0 ,0()0,0(),(y x y x y x f z 有极值，且在在点若= 两个一阶偏导数存在，则： 0)0,0(0)0,0(='='y x y f y x x f ，的点使)0 ,0(0)0,0()0,0(1y x y x y f y x x f ='=' 的驻点。 称为),(y x f z = 的必要条件，定理的结论是极值存在 2 而非充分条件。 例： 12 2 +-=x y z ?? ?===+='=-='00 00 0202y x y y z x x z 解出驻点 1)0,0(=z 112 ),0(0,0>+=≠=y y z y x 时，当 112 )0,(0,0<+-==≠x x z y x 时，当 ∴驻点不一定是极值点。 3. 极值的充分条件： 的某个领域内在设：函数)0 ,0(),(y x y x f y = 为驻点，有二阶偏导数，且)0 ,0(y x [ ] )0,0()0,0(2 )0 ,0(y x yy f y x xx f y x xy f p ''?''-''= 若： ?? ??>''?<''<为极小值。 时，为极大值。 时，且当：)0,0(0)0 ,0()0,0(0)0 ,0(0y x f y x xx f y x f y x xx f p 不是极值。当：)0 ,0(,0y x f p ?> 不能确定。当：?=,0p 求二元极值的方法： 出驻点。一阶偏导数等于零，解求一阶偏导数，令两个 1 。 判断驻点是否是极值点根据极值的充分条件，求出,2p 极值。若驻点是极值点，求出 3 二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ222 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④2 2cos 11sin 2 22 θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+= 第五章排列与组合 （1）加法原理：完成一件事情与分类有关，即每一类各自独立完成，此事即可完成。 （2）乘法原理：完成一件事情与步骤有关，即一次完成每一步骤，此事才能完成。 排列：从n 个不同元素里，任取)1(n m ≤≤个元素，按照一定的顺序排列成一列，称为从n 个不同元素里取出m 个元素的一个排列，计算公式： 1 !0,!)! (!)]1()......[2)(1(==-= ----=n n n P m n n m n n n n m n P 规定 组合：从n 个不同元素里，任取)1(n m ≤≤个元素组成一组，叫做从n 个不同元素里取 出m 个元素的一个组合，组合总数记为） 或（n n m n C ，计算公式： 1 0)! (!!! )] 1()......[2)(1(=-= ----= n C m n m n m m n n n n m n C 规定 11 ),2 (-+=+-=m n C m n C m n C n m m n n C m n C ＞组合的性质： m m P m n P m n C m m P m n C m n P = ?=或 第六章概率论 符号 概率论 集合论 样本空间 全集 不可能事件 空集 基本事件 集合的元素 A 事件 子集 A 的对立事件 A 的余集 事件A 发生导致 事件B 发生 A 是B 的子集 A=B A 与B 两事件相等 集合A 与B 相等 事件A 与事件B 至少有一个发生 A 与B 的并集 事件A 与事件B 同时发生 A 与B 的交集 A-B 事件A 发生而事件B 不发生 A 与B 的差集 事件A 与事件B 互不相容 A 与 B 没有相同元素 由于随机事件都可以用样本空间中的某个集合来表示，于是事件间的关系和运算就 可以用集合论的知识来讨论和表示，为了直观，可以用集合的韦恩图来表示事件的各种关系和运算法则，一般用某个矩形区域表示样本空间，该区域的一个子区域表示某个事件。于是各事件的关系运算如图中的图示所示。 各事件的关系运算如图示： 9.完备事件组 n个事件，如果满足下列条件： （1）； （2）， 则称其为完备事件组。 显然任何一个事件A与其对立事件构成完备事件组。 10.事件运算的运算规则： （1）交换律 （2）结合律 （3）分配律 （4）对偶律 率的古典定义 定义：在古典概型中，若样本空间所包含的基本事件总数为n，事件A包含的基本事件数为m，则事件A发生的概率为。 概率的基本性质与运算法则 性质1.0≤P(A)≤1 特别地，P(Φ)=0，P(Ω)=1 性质2.若，则P(B-A)=P(B)-P(A) 性质3.（加法公式）．对任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 。 推论1.若事件A，B互不相容（互斥），则P(A+B)=P(A)+P(B) 推论2.对任一事件A,有 推论3.对任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 条件概率、乘法公式、事件的独立性 条件概率 定义1：设有事件A，B，且P(B)>0,称 类似地，如果P(A)>0，则事件B对事件A的条件概率为 概率的乘法公式 乘法公式可推广到有限多个事件的情况，例如对事件A,B,C,有 事件的独立性 一般地说, P(A︱B)≠P(A)，即说明事件B的发生影响了事件A发生的概率。若P(A︱B)≠P(A)，则说明事件B的发生在概率意义下对事件A的发生无关,这时称事件A，B相互独 立。 定义：对于事件A，B，若P(AB)=P(A)P(B) ，则称事件A与事件B相互独立。独立试验 序列概型 在相同的条件下，独立重复进行n次试验，每次试验中事件A可能发生或可能不发生，且事件A发生的概率为p，则在n次试验中事件A恰好发生k次的概率为 一维随机变量及其概率分布 （一）随机变量 1.随机变量 定义：设Ω为样本空间，如果对每一个可能结果，变量X都有一个确定的实数值 与之对应，则称X为定义在Ω上的随机变量，简记作。 2.离散型随机变量 定义：如果随机变量X只能取有限个或无限可列个数值，则称X为离散型随机变量。 （二）分布函数与概率分布 1.分布函数 定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，则函数称 为随机变量X的分布函数。 分布函数F(x)有以下性质： 专升本高等数学公式（全） 常数项级数： 是发散的 调和级数：等差数列：等比数列：n n n n q q q q q n n 1 312112 )1(3211111 2 +++++= ++++--= ++++- 级数审敛法： 散。 存在，则收敛；否则发、定义法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设：、比值审敛法： 时，不确定时，级数发散 时，级数收敛 ，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞ →+∞→∞ →+++=?? ? ??=><=?? ? ??=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ 。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和 如果交错级数满足—莱布尼兹定理： —的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞→+≤≤?????=≥>+-+-+-+-n n n n n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛： ∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛 １时发散ｐ 级数： 收敛； 级数：收敛； 发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中11 1 )1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n n n n 幂级数： 01 0)3(lim )3(111 1111 221032=+∞=+∞=== ≠==><+++++≥-<++++++++∞ →R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。 ，其中时不定 时发散时收敛 ，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全 ，如果它不是仅在原点 对于级数时，发散 时，收敛于 ρρρ ρρ 函数展开成幂级数： +++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f ! )0(!2)0()0()0()(00 lim )(,)()!1()()(! )()(!2)())(()()(2010)1(00)(2 0000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ 某些函数展开成幂级数： ) ()!12()1(!5!3sin )11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+ +=+--x n x x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n m 可降阶高阶微分方程 类型一：()()n y f x = 解法（多次积分法）：(1)()()n du u y f x f x dx -=?=?令多次积分求 类型二：''(,')y f x y = 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 成人高考专升本高等数 学公式大全 文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688] 2016年成人高考(专升本)高等数学公式大全 提高成绩的途径大致可以分为两种：一是提高数学整体的素质和能力，更好的驾驭考试;二是熟悉考试特点，掌握考试方法，将自己已有的潜能和水平发挥到极致。 如果说在复习中，上面两种方法那一种更能在最短的时间内提成人高考试的分数呢？对于前者，是需要我们在整个高中乃至以前的学习积累下来的综合能力，这个能力的提高需要时间和积累，在短期内的提高是有限的;对于后者能力的了解和掌握对短期内迅速提成人高考试成绩的成效是很明显的。而且，在一般的学校教育中，往往只重视前者而忽视后者。我们用以下几个等式可以很好的说明上述两者的关系和作用。 一流的数学能力 + 一流的考试方法和技巧 = 顶尖的成绩 一流的数学能力 + 二流的考试方法和技巧 = 二流的成绩 二流的数学能力 + 一流的考试方法和技巧 = 二流的成绩其实对于考试方法和技巧的掌握，大致包含以下几个方面： 一、熟悉考试题型，合理安排做题时间。 其实，不仅仅是数学考试，在参任何一门考试之前，你都要弄清楚或明确几个问题：考试一共有多长时间，总分多少，选择、填空和其他 主观题各占多少分。这样，你才能够在考试中合理分配考试时间，一定要避免在不值得的地方浪费大量的时间，影响了其他题的解答。 拿安徽省的数学成人高考题为例，安徽省数学成人高考满分为150分，时间是2小时，其中选择题是12道，每题5分，共60分;填空题4道，每题是4分，共16分，解答题一共74分。所以在了解这些内容后，你一定要根据自己的情况，合理安排解题时间。 一般来说，选择题填空题最迟不宜超过40分钟，按照尚博学校的教学标准是让学生在30分钟之内高效的完成选择填空题。你必须留下一个多小时甚至更多的时间来处理后面的大题，因为大题意味着你不仅要想，还要写。 二、确保正确率，学会取舍，敢于放弃。 考试时，一定要根据自己的情况进行取舍，这样做的目的是：确保会做的题目一定能够拿分，部分会做或不太会做的题目尽量多拿分，一定不可能做出的题目，尽量少投入时间甚至压根就不去想。 对于基础较好的学生，如果感觉前面的选择填空题做的很顺利，时间很充裕，在前面几道大题稳步完成的情况下，可以冲击下最后的压轴题，向高分冲击。对于基础一般的学生，首先要保证的是前面的填空选择题大部分分值一定能够稳拿，甚至是拿满分。对于大题的前几题，也尽量多花点时间，一定不要在会做的题目上无谓失分，对于大题的后两 专升本高等数学公式 一、求极限方法： 1、当x 趋于常数0x 时的极限： 02 2 00x x lim(ax bx c)ax bx c →++=++；0000 0ax b cx d ax b lim cx d cx d x x ++≠+??????→ ++→当； 00000cx d ,ax b ax b lim cx d x x +=+≠+???????????→∞+→当但； 222000ax bx f cx dx e ,ax bx f lim x x cx dx e ++++=++=??????????????→→++当且可以约去公因式后再求解。 2、当x 趋于常数∞时的极限： 1n n ax bx f n m,lim {x cx dx e n m -++???+>=∞???????????????→→∞++???+只须比较分子、分母的最高次幂若则。若n 上海第二工业大学专升本考试大纲 《高等数学一》 《高等数学》专升本入学考试注重考察学生基础知识、基本技能和思维能力、运算能力、以及分析问题和解决问题的能力，考试时间2小时，满分150分。 考试内容 一、函数、极限与连续 （一）考试内容 函数的概念与基本特性；数列、函数极限；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小的 概念与阶的比较；函数的连续性和间断点；闭区间上连续函数的性质。 （二）考试要求 1．理解函数的概念，了解函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性。了解反函数的概念；理解复合函数的概念。理解初等函数的概念。会建立简单实际问题的函数关系。 2．理解数列极限、函数极限的概念（不要求做给出，求N或的习题）；了解极限性质（唯一性、有界性、保号性）和极限的两个存在准则（夹逼准则和单调有界准则）。 3．掌握函数极限的运算法则；熟练掌握极限计算方法。掌握两个重要极限，并会用两个重要极限求极限。 4．了解无穷小、无穷大、高阶无穷小、等价无穷小的概念，会用等价无穷小求极限。 5．理解函数连续的概念；了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型（第一类可去、跳跃 间断点与第二类间断点）。 6．了解初等函数的连续性；了解闭区间上连续函数的性质，会用性质证明一些简单结论。 二、导数与微分 （一）考试内容 导数概念及求导法则；隐函数与参数方程所确定函数的导数；高阶导数；微分的概念与 运算法则。 （二）考试要求 1．理解导数的概念及几何意义，了解函数可导与连续的关系，会求平面曲线的切、法线方程； 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；掌握基本初等函数的求导公式，会熟练 求函数的导数。 3．掌握隐函数与参数方程所确定函数的求导方法（一阶）；掌握取对数求导法。 4．了解高阶导数的概念，掌握初等函数的一阶、二阶导数的求法。会求简单函数的n 阶导数。5．理解微分的概念，了解微分的运算法则和一阶微分形式不变性，会求函数的微分。三、中值定理与导数应用（一）考试内容 罗尔中值定理、拉格朗日中值定理；洛必达法则；函数单调性与极值、曲线凹凸性与拐点。 （二）考试要求 1．理解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理（对定理的分析证明不作要求）；会用中值定理证 明一些简单的结论。2．掌握用洛必达法则求 0， ，0，，1， ，0等不定式极限的方法。 3．理解函数极值概念，掌握用导数判定函数的单调性和求函数极值的方法；会利用函数单调 性证明不等式；会求较简单的最大值和最小值的应用问题。4．会用导数判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。四、不定积分（一）考试内容 原函数与不定积分概念，不定积分换元法，不定积分分部积分法。（二）考试要求 1．理解原函数与不定积分的概念和性质 。 2．掌握不定积分的基本公式、换元积分法和分部积分法（淡化特殊积分技巧的训练，对于有 理函数积分的一般方法不作要求，对于一些简单有理函数可作为两类积分法的例题作适当训练）。 五、定积分及其应用（一）考试内容 定积分的概念和性质，积分变上限函数，牛顿－莱布尼兹公式，定积分的换元积分法和分部积分法，无穷区间上的广义积分；定积分的应用——求平面图形的面积与旋转体体积。（二）考试要求 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 附件 5 山东省2018年普通高等教育专升本 高等数学（公共课）考试要求 一、总体要求 考生应了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；有运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算的能力；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。 二、内容范围和要求 （一）函数、极限和连续 1.函数 （1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。 （2）理解和掌握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。 （3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。 （4）掌握函数的四则运算与复合运算。 （5）理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。 （6）了解初等函数的概念。 2.极限 （1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 （2）了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则。 （3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限。 （4）掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。 （5）理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。 （6）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 3.连续 专升本高数公式大全 Document serial number【LGGKGB-LGG98YT-LGGT8CB-LGUT- 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数： 两个重要极限： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 π π 湖南工学院“专升本”基础课考试大纲 《高等数学》考试大纲 总要求 考生应按本大纲的要求，了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；有运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。 本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。 内容 一、函数、极限和连续 （一）函数 1.考试范围 （1）函数的概念：函数的定义函数的表示法分段函数 （2）函数的简单性质：单调性奇偶性有界性周期性 （3）反函数：反函数的定义反函数的图象 （4）函数的四则运算与复合运算 （5）基本初等函数：幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数 （6）初等函数 2. 要求 （1）理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值。会求分段函数的定义域、函数值，并会作出简单的分段函数图像。 （2）理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，会判断所给函数的类别。 （3）了解函数y=?（x）与其反函数y=?-1（x）之间的关系（定义域、值域、图象），会求单调函数的反函数。 （4）理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程。 （5）掌握基本初等函数的简单性质及其图象。 （6）了解初等函数的概念。 （7）会建立简单实际问题的函数关系式。 （二）极限 1. 考试范围 （1）数列极限的概念：数列数列极限的定义 成人高考专升本高等数学二概念大全 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2. 分 段 函 数 : ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x1)≥f(x2), 则称f(x)在D内单调减少( )； 若f(x1)＜f(x2), 则称f(x)在D内严格单调增加 ( )； 若f(x1)＞f(x2), 则称f(x)在D内严格单调减少 ( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的 周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(- ∞，+∞) 周期：T——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c为常数) 2.幂函数： y=x n , (n为实数) 3.指数函数： y=a x , (a＞0、a≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a＞0、a≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x 严格依据大纲编写： 笔记目录 第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 第二节函数的连续性 [复习考试要求] 1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。 3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。 第二章一元函数微分学 第一节导数与微分 [复习考试要求] 1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。 2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。 5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。 6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。第二节导数的应用 [复习考试要求] 1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。 2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。 3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。 4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线 第三章一元函数积分学 第一节不定积分 [复习考试要求] 1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。 2.熟练掌握不定积分的基本公式。 3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。 4.熟练掌握不定积分的分部积分法。 5.掌握简单有理函数不定积分的计算。 第二节定积分及其应用 [复习考试要求] 1.理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件 2.掌握定积分的基本性质 3.理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。 4.熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。 5.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 6.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。 7.掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。 第四章多元函数微分学 [复习考试要求] 1.了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。了解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续的概念。 专升本高数 第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函 数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 第二节函数的连续性 [复习考试要求] 1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。 3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。 第二章一元函数微分学 第一节导数与微分 [复习考试要求] 1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。 2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。 5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。 6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。 第二节导数的应用 1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。 2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。 3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。 4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线 第三章一元函数积分学 第一节不定积分 [复习考试要求] 1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。 2.熟练掌握不定积分的基本公式。 3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。 4.熟练掌握不定积分的分部积分法。 5.掌握简单有理函数不定积分的计算。 第二节定积分及其应用 [复习考试要求] 1.理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件 2.掌握定积分的基本性质 3.理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。 4.熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。 5.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 6.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。 7.掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴 旋转所生成的旋转体的体积。 第四章多元函数微分学 [复习考试要求] 1.了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。了解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续的概念。 3.理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法。掌握二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数的全微分的求法。 4.掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。 2016年成人高考(专升本)高等数学公式大全 提高成绩的途径大致可以分为两种：一是提高数学整体的素质和能力，更好的驾驭考试;二是熟悉考试特点，掌握考试方法，将自己已有的潜能和水平发挥到极致。 如果说在复习中，上面两种方法那一种更能在最短的时间内提成人高考试的分数呢？对于前者，是需要我们在整个高中乃至以前的学习积累下来的综合能力，这个能力的提高需要时间和积累，在短期内的提高是有限的;对于后者能力的了解和掌握对短期内迅速提成人高考试成绩的成效是很明显的。而且，在一般的学校教育中，往往只重视前者而忽视后者。我们用以下几个等式可以很好的说明上述两者的关系和作用。 一流的数学能力 + 一流的考试方法和技巧 = 顶尖的成绩 一流的数学能力 + 二流的考试方法和技巧 = 二流的成绩 二流的数学能力 + 一流的考试方法和技巧 = 二流的成绩 其实对于考试方法和技巧的掌握，大致包含以下几个方面： 一、熟悉考试题型，合理安排做题时间。 其实，不仅仅是数学考试，在参任何一门考试之前，你都要弄清楚或明确几个问题：考试一共有多长时间，总分多少，选择、填空和其他主观题各占多少分。这样，你才能够在考试中合理分配考试时间，一定要避免在不值得的地方浪费大量的时间，影响了其他题的解答。 拿安徽省的数学成人高考题为例，安徽省数学成人高考满分为150分，时间是2小时，其中选择题是12道，每题5分，共60分;填空题4道，每题是4分，共16分，解答题一共74分。所以在了解这些内容后，你一定要根据自己的情况，合理安排解题时间。 一般来说，选择题填空题最迟不宜超过40分钟，按照尚博学校的教学标准是让学生在30分钟之内高效的完成选择填空题。你必须留下一个多小时甚至更多的时间来处理后面的大题，因为大题意味着你不仅要想，还要写。 二、确保正确率，学会取舍，敢于放弃。 考试时，一定要根据自己的情况进行取舍，这样做的目的是：确保会做的题目一定能够拿分，部分会做或不太会做的题目尽量多拿分，一定不可能做出的题目，尽量少投入时间甚至压根就不去想。 第一讲 函数、极限、连续 1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数：)()(x f x f -=-，图像关于原点对称。 偶函数： )()(x f x f =-，图像关于y 轴对称 3、无穷小量、无穷大量、阶的比较 设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则 （1）若0=β α lim ，则α是比β高阶的无穷小量。 （2）若c β α =lim （不为0） ，则α与β是同阶无穷小量 特别地，若1=β α lim ，则α与β是等价无穷小量 （3）若∞=β α lim ，则α与β是低阶无穷小量 记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。 4、两个重要极限 （1）100==→→x x x x x x sin lim sin lim 使用方法：拼凑[][ ][][][][] 000 ==→→sin lim sin lim ，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 （2）e x x x x x x =+=??? ? ?+→∞→1 0111)(lim lim [][][]e =+→1 1)(lim 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。 5、()() ? ?>∞<==∞→m n m n m n b a X Q x P m n x ,,,lim 00 ()x P n 的最高次幂是n,()x Q m 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度 快。m n =,以相同的比例趋向于无穷大；m n <，分母以更快的速度趋向于无穷大；m n >，分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限 左极限：A x f x x =- →)(lim 0 右极限：A x f x x =+ →)(lim 0 A x f x f A x f x x x x x x ===+ - →→→)(lim )(lim )(lim 000 充分必要条件是 注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义： []0)()(lim lim 000 =-?+=?→?→?x f x x f y x x 或)()(lim 00 x f x f x x =→ 间断：使得连续定义)()(lim 00 x f x f x x =→无法成立的三种情况 ??? ? ???≠→→)()(lim )(lim )()(00 00 0x f x f x f x f x f x x x x 不存在无意义 不存在， 记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等 9、间断点类型 （1）、第二类间断点：)(lim 0 x f x x - →、)(lim 0x f x x + →至少有一个不存在 （2）、第一类间断点：)(lim 0 x f x x - →、)(lim 0x f x x + →都存在 ?? ???≠=+ - + - →→→→)(lim )(lim )(lim )(lim 000 x f x f x f x f x x x x x x x x 跳跃间断点：可去间断点： 注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第 一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃” 10、闭区间上连续函数的性质 （1） 最值定理：如果)(x f 在[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上必有最大值最小值。 （2） ξ零点定理：如果)(x f 在[]b a ,上连续，且0)()( 《高等数学》考试大纲 考试要求 考生应按本大纲的要求，掌握“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、无穷级数、常微分方程、向量代数与空间解析几何的基本概念、基本理论和基本方法。考生应注意各部分知识的结构及知识的联系；具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法进行推理、证明和计算；能运用所学知识分析并解决一些简单的实际问题。 考试内容 一、函数、极限和连续 (一)函数 1．理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值，会作出一些简单 的分段函数图像。 2．掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。 3．理解函数y =?(x )与其反函数y =?-1(x )之间的关系(定义域、值域、图像)， 会求单调函数的反函数。 4．掌握函数的四则运算与复合运算; 掌握复合函数的复合过程。 5．掌握基本初等函数的性质及其图像。 6．理解初等函数的概念。 7．会建立一些简单实际问题的函数关系式。 (二)极限 1．理解极限的概念(只要求极限的描述性定义)，能根据极限概念描述函数的 变化趋势。理解函数在一点处极限存在的充分必要条件，会求函数在一点处的左极限与右极限。 2．理解极限的唯一性、有界性和保号性，掌握极限的四则运算法则。 3．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质，无穷小量与无穷 大量的关系。会比较无穷小量的阶(高阶、低阶、同阶和等价)。会运用等价无穷小量替换求极限。 4．理解极限存在的两个收敛准则(夹逼准则与单调有界准则)，掌握两个重要 极限： 1sin lim 0=→x x x ，e )11(lim =+∞→x x x ， 并能用这两个重要极限求函数的极限。 专升本高等数学知识 点汇总 Revised on November 25, 2020 专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： （1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。 当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有 D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数 定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2)12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2,2[)(π π-=D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2,2()(π π-=D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ???∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1 (y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1 )=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x2021年专升本高等数学公式全集
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