《大学物理学》第二版上册课后标准答案

《大学物理学》第二版上册课后答案

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大学物理学习题答案

习题一答案 习题一

1.1 简要回答下列问题：

(1) 位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相

等？

(2) 平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？

(3) 瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什

么？

(4) 质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一

定保持不变？

(5) r ?v 和r ?v 有区别吗？v ?v 和v ?v

有区别吗？0dv dt =v 和0d v dt

=v 各代表什么运动？ (6) 设质点的运动方程为：()x x t =，()y y t =，在计算质点的速度和加速度时，有人先求

出22r x y =

+，然后根据

dr

v dt

= 及 22d r a dt =

而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即

22

dx dy v dt dt ????

=+ ? ????? 及 22

2222d x d y a dt dt ????=+ ? ?????

你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？

(7) 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性的？

(8) “物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此

其法向加速度也一定为零.”这种说法正确吗？

(9) 任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？

(10) 质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，n a 、t a 、a 三者的大小是否随时间改变？ (11) 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子抛出后，火车以恒定加速度前进，结果又如何？

1.2 一质点沿x 轴运动，坐标与时间的变化关系为224t t x -=，式中t x ,分别以m 、s 为单位，试计算：(1)在最初s 2内的位移、平均速度和s 2末的瞬时速度；(2)s 1末到s 3末的平均

加速度；(3)s 3末的瞬时加速度。 解：

(1) 最初s 2内的位移为为： (2)(0)000(/)x x x m s ?=-=-= 最初s 2内的平均速度为： 0

0(/)2ave x v m s t ?=

==? t 时刻的瞬时速度为：()44dx

v t t dt

==-

s 2末的瞬时速度为：(2)4424/v m s =-?=-

(2) s 1末到s 3末的平均加速度为：2(3)(1)804/22

ave v v v a m s t ?---=

===-? (3) s 3末的瞬时加速度为：2(44)

4(/)dv d t a m s dt dt

-===-。

1.3 质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为0a ，质点出发后，每经过τ时间，加速度均匀增加b 。求经过t 时间后，质点的速度和位移。

解: 由题意知，加速度和时间的关系为

0b

a a t τ

=+

利用dv adt =，并取积分得

000v t

b dv a t dv τ?

?=+ ??

???，202b v a t t τ=+ 再利用dx vdt =，并取积分[设0t =时00x =]得

x

t

x dx vdt =??，23

0126b x a t t τ

?=

+ 1.4 一质点从位矢为(0)4r j =r

r

的位置以初速度(0)4v i =r

r

开始运动，其加速度与时间的关系

为(3)2a t i j =-r r r

.所有的长度以米计，时间以秒计.求：

（1）经过多长时间质点到达x 轴； （2）到达x 轴时的位置。

解： 203()(0)()4(2)2t v t v a t dt t i t j ?

?=+=+- ??

??r r r r r

()()32

01()(0)442t r t r v t dt t t i t j ??=+=++- ??

??r r r r

（1） 当2

40t -=，即2t s =时，到达x 轴。

（2） 2t s =时到达x 轴的位矢为 ：(2)12r i =r r

即质点到达x 轴时的位置为12,0x m y ==。

1.5 一质点沿x 轴运动，其加速度与坐标的关系为2

a x ω=-，式中ω为常数，设0=t 时刻的质点坐标为0x 、速度为0v ，求质点的速度与坐标的关系。

解：按题意 222d x

x dt

ω=- 由此有 dx dv

v dt dx dx dv dt dv dt

x d x ====-2

22

ω， 即 xdx vdv 2

ω-=， 两边取积分 ??

-=x

x v

v xdx vdv 0

2ω，

得

20221

2221202122

1

x x v v ωω+-=-

由此给出 22v A x ω=±-，2

02

02x v A +??

? ??=ω

1.6 一质点的运动方程为k t j t i t r ????++=2

4)(，式中r ，t 分别以m 、s 为单位。试求：

(1) 质点的速度与加速度；(2) 质点的轨迹方程。

解：(1) 速度和加速度分别为： (8)dr

v t j k dt ==+v v v v ， j dt

v d a ??8==

(2) 令k z j y i x t r ????++=)(，与所给条件比较可知 1=x ，2

4t y =，t z =

所以轨迹方程为：21,4x y z ==。

1.7 已知质点作直线运动，其速度为2

1

3()v t t ms -=-，求质点在0~4s 时间内的路程。 解: 在求解本题中要注意：在0~4s 时间内，速度有时大于零，有时小于零，因而运动出

现往返。如果计算积分4

vdt ?，则求出的是位移而不是路程。求路程应当计算积分4

v dt ?

。

令2

30v t t =-=，解得3t s =。由此可知：3t ，v v =； 3t =s 时，0v =；而3t >s 时，0v <，v v =-。因而质点在0~4s 时间内的路程为

()()43434

2

2

3

3

()33s v dt vdt v dt t t dt t t dt =

=+-=---?????

34

2323033

13116()

2

3233t t t t m ????=---=????????。

1.8 在离船的高度为h 的岸边，一人以恒定的速率0v 收绳，求当船头与岸的水平距离为x 时，船的速度和加速度。

解: 建立坐标系如题1.8图所示，船沿X 轴方向作直线运动，欲求速度，应先建立运动方程，由图题1.8，可得出

O X

r h

0v r

x Y

习题1.8图

222x r h =-

两边求微分，则有

22dx dr x

r dt dt = 船速为

dx r dr

v dt x dt

=

=

按题意

0dr

v dt

=-(负号表示绳随时间t 缩短)，所以船速为 22

0x h v v x

-=-

负号表明船速与x 轴正向反向，船速与x 有关，说明船作变速运动。将上式对时间求导，可得船的加速度为

2203h v dv

a dt x

==-

负号表明船的加速度与x 轴正方向相反，与船速方向相同，加速度与x 有关，说明船作变加

速运动。

1.9 一质点沿半径为10cm 的圆周运动，其角坐标θ(以弧度rad 计)可用下式表示

324t θ=+

其中t 的单位是秒(s )试问：(1)在2t s =时，它的法向加速度和切向加速度各是多少？ (2)当θ等于多少时其总加速度与半径成45o 角 ？

解：(1) 利用 324t θ=+，2/12d dt t ωθ==，/24d dt t αω==，

得到法向加速度和切向加速度的表达式

24

144n a r rt ω==，24t a r rt α==

在2t s =时，法向加速度和切向加速度为：

442

1441440.12230.4()n a rt m s -==??=?，

224240.12 4.8()t a rt m s -==??=?

(2) 要使总加速度与半径成45o 角，必须有n t a a =，即414424rt rt = 解得 31/6t =，此时 67.2423=+=t θrad

1.10 甲乙两船，甲以10/km h 的速度向东行驶，乙以15/km h 的速度向南行驶。问坐在乙船上的人看来，甲船的速度如何？坐在甲船上的人看来乙船的速度又如何？ 解：以地球为参照系，设i ?、j ?

分别代表正东和正北方向，则甲乙两船速度分别为

h km i v /101??=，h km j v /152??

-= 根据伽利略变换，当以乙船为参照物时，甲船速度为

h km j i v v v /)1510(21?

?

?

??+=-=

h

km v /1.18151022=+=?

，

ο31.5610

15

==arctg

θ 即在乙船上看，甲船速度为18.1/km h ，方向为东偏北ο31.56 同理，在甲船上看，乙船速度为18.1/km h ，方向为西偏南ο31.56。

1.11 有一水平飞行的飞机，速率为0v ，在飞机上安置一门大炮，炮弹以水平速度v 向前射击。略去空气阻力，

(1) 以地球为参照系，求炮弹的轨迹方程； (2) 以飞机为参照系，求炮弹的轨迹方程；

(3) 以炮弹为参照系，飞机的轨迹如何？

解：(1) 以地球为参照系时，炮弹的初速度为01v v v +=，而t v x 1=，2

5.0gt y -= 消去时间参数t ，得到轨迹方程为：

2

02

)

(2v v gx y +-=（若以竖直向下为y 轴正方向，则负号去掉，下同）

(2) 以飞机为参照系时，炮弹的初速度为v ，同上可得轨迹方程为22

2v

gx y -=

(3) 以炮弹为参照系，只需在(2)的求解过程中用x -代替x ，y -代替y ，可得 2

2

2v gx y =.

1.12如题1.12图，一条船平行于平直的海岸线航行，离岸的距离为D ，速率为v ，一艘速率为u v <的海上警卫快艇从一港口出去拦截这条船。试证明：如果快艇在尽可能最迟的时

刻出发，那么快艇出发时这条船到海岸线的垂线与港口的距离为22

D v u x u

-=；快艇截

住这条船所需的时间为2

2

Dv t u v u

=

-。

Y

D

u

θ X

港口

习题1.12图

证明：在如图所示的坐标系中，船与快艇的运动方程分别为 11x vt

y D =??=? 和

22cos sin x x u t

y u t

θθ=+???

=?? 拦截条件为：

??

?==2

12

1y y x x 即 cos sin vt x u t

D u t

θθ=+???

=?? 所以

()

cos sin D v u x u θθ

-=

，

x 取最大值的条件为：0/=θd dx ，由此得到cos /u v θ=，相应地2sin 1(/)u v θ=-。

因此x 的最大值为

v

x

22D v u x u

-=

x 取最大值时对应的出发时间最迟。快艇截住这条船所需的时间为

22sin D Dv

t u u v u

θ=

=-。

习题二答案 习题二

2.1 简要回答下列问题：

(1) 有人说：牛顿第一定律只是牛顿第二定律在合外力等于零情况下的一个特例，因而它是多余的.你的看法如何？

(2) 物体的运动方向与合外力方向是否一定相同？

(3) 物体受到了几个力的作用，是否一定产生加速度？ (4) 物体运动的速率不变，所受合外力是否一定为零？ (5) 物体速度很大，所受到的合外力是否也很大？

(6) 为什么重力势能有正负，弹性势能只有正值，而引力势能只有负值？

(7) 合外力对物体所做的功等于物体动能的增量，而其中某一分力做的功，能否大于物体动能的增量？

(8)质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理与动能定理是否与惯性系有关？请举例说明. (9)判断下列说法是否正确，并说明理由：

(a)不受外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒.

(b)内力都是保守力的系统，当它所受的合外力为零时，其机械能守恒. (c)只有保守内力作用而没有外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒.

(10) 在弹性碰撞中，有哪些量保持不变，在非弹性碰撞中，又有哪些量保持不变？ (11) 放焰火时，一朵五彩缤纷的焰火质心运动轨迹如何？为什么在空中焰火总是以球

形逐渐扩大？(忽略空气阻力)

2.2 质量为m 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力F kv =-（k 为常数）作用，

0t =时质点的速度为0v ，证明：

（1）t 时刻的速度为0kt m

v v e

-=；

（2）由0到t 的时间内经过的距离为0()[1]kt m

x mv k e

-=?-； （3）停止运动前经过的距离为0mv k 。

证明：

(1) 由 dv ma m

F kv dt ===- 分离变量得 dv k dt v m

=-，积分得 00v

t v dv

k dt v m =-?? ，0ln v k t v m =-，0kt m v v e -= (2) //0

00

(1)t

kt m kt m mv x vdt v e dt e k

--==

=

-??

(3) 质点停止运动时速度为零，即t →∞，故有/0

00

kt m

mv x v e dt k

∞-'==

?。 2.3一质量为10 kg 的物体沿x 轴无摩擦地运动，设0t =时，物体的速度为零，物体在力34F t =+(N)(t 以s 为单位)的作用下运动了3s ，求它的速度和加速度. 解. 根据质点动量定理,

30

Fdt mv mv =-?, ()3

34t dt mv +=?

3

2210323323

2.7()10

t t v ms m -??+?+???===

根据牛顿第二定律，F ma =

[]334343 1.510

t t F a m m =++?=

===(m/s 2)

2.4 一颗子弹由枪口射出时速率为0v ms -1，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为

()F a bt =-N （a,b 为常数）

，其中t 以秒为单位： （1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；

（2）求子弹所受的冲量； （3）求子弹的质量。 解：

(1)由题意，子弹到枪口时，有()0F a bt =-=, 得a t b

=

(2)子弹所受的冲量?-=-=t

bt at dt bt a I 0221)(，将a

t b

=代入，得b a I 22=

(3)由动量定理可求得子弹的质量 0

2

02bv a v I m =

=

2.5 一质量为m 的质点在xoy 平面上运动，其位置矢量为j t b i t a r ρρρ

ωωsin cos +=，求质点

的动量及0t =到2t πω=时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量。