2018北京西城初三一模数学及答案

北京市西城区2018年九年级统一测试

数学试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍，将58000000000用科学记数法表示应为（ ）． A ．105.810? B ．115.810?

C ．95810?

D ．110.5810?

【答案】A

【解析】用科学记数法表示为105.810?．

2．在中国集邮总公司设计的2017年纪特邮票首日纪念戳图案中，可以看作中心对称图形的是（ ）． A ． B ． C ． D ．

【答案】C

【解析】中心对称绕中心转180?与自身重合．

3．将34b b -分解因式，所得结果正确的是（ ）． A ．2(4)b b - B ．2(4)b b -

C ．2(2)b b -

D ．(2)(2)b b b +-

【答案】D

【解析】324(4)(2)(2)b b b b b b b -=-=+-．

4．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）． A ．三棱柱 B ．圆柱 C ．六棱柱 D ．圆锥

【答案】C

【解析】由俯视图可知有六个棱，再由主视图即左视图分析可知为六棱柱．

5．若实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）． A ．5a <- B ．0b d +< C ．0a c -<

D ．c <

【答案】D

【解析】①5a >-，故A 错． ②0b d +>，故B 错． ③0a c ->，故C 错．

④01c <<2==，故选D ．

6．如果一个正多边形的内角和等于720?，那么该正多边形的一个外角等于（ ）． A ．45? B ．60?

C ．72?

D ．90?

【答案】B

【解析】多边形内角和(2)180720n -??=?，∴6n =．

正多边形的一个外角360360606

n ??

===?．

7．空气质量指数（简称为AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，它的类别如下表所示．

根据以上信息，下列推断不合理的是

A ．AQI 类别为“优”的天数最多的是2018年1月

B ．AQI 数据在0~100之间的天数最少的是2014年1月

C ．这五年的1月里，6个AQI 类别中，类别“优”的天数波动最大

D ．2018年1月的AQI 数据的月均值会达到“中度污染”类别

【答案】D

【解析】①AQI 为“优”最多的天数是14天，对应为2018年1月，故A 对． ②

AQI在0~1001B

③观察折线图，类别为“优”的波动最大，故①对．

④2018年1月的AQI在“中度污染”的天数为1天，其他天AQI均在“中度污染”之上，因此D推断不合理．8．将A，B两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：

①投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767．

②随着投篮次数的增加，A运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A运动员

投中的概率是0.750．

④投篮达到200次时，B运动员投中次数一定为160次．

其中合理的是（）．

A．①B．②C．①③D．②③

【答案】B

【解析】①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，投篮30次，次数太少，不可用于估计概率，故①推断不合理．

②随着投篮次数增加，A 运动员投中的概率显示出稳定性，因此可以用于估计概率，故②推断合理． ③频率用于估计概率，但并不是准确的概率，因此投篮次时，只能估计投中200次数，而不能确定一定是160次，故③不合理．

二、填空题(本题共16分，每小题2分)

9．若代数式1

1

x x -+的值为0，则实数x 的值为__________．

【答案】1x =

【解析】1

01

x x -=+，10x -=，1x =．

10．化简：()()42(1)a a a a +--+=__________．

【答案】8a -

【解析】22421288()()()a a a a a a a a a +--+=+---=-．

11．如图，在ABC △中，DE AB ∥，DE 分别与AC ，BC 交于D ，E 两点．若

4

9

DEC ABC S S =△△，3AC =，则DC =__________．

【答案】2

【解析】∵DE AB ∥， ∴2

4

9

DEC ABC S CD S AC ??== ???△△，

∴

2

3

CD AC =． ∵3AC =， ∴2CD =．

12．从杭州东站到北京南站，原来最快的一趟高铁G20次约用5h 到达．从2018年4月10日起，全国铁路开始实施新的列车运行图，并启用了“杭京高铁复兴号”，它的运行速度比原来的G20次的运行速度快35km/h ，约用4.5h 到达。如果在相同的路线上，杭州东站到北京南站的距离不变，设“杭京高铁复兴

号”的运行速度．设“杭京高铁复兴号”的运行速度为km/h x ，依题意，可列方程为__________．

【答案】4.55(35)x x =-

【解析】依题意可列方程：4.55(35)x x =-．

13．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AB 上一点，50BOC ∠=?，AD OC ∥，AD 交⊙O 于点D ，连接AC ，

CD ，那么ACD ∠=__________．

【答案】40?

【解析】∵AD OC ∥， ∴DAC OCA ∠=∠． ∵OA OC =， ∴OAC OCA ∠=∠，

∴1

2

OAC DAC BOC ∠=∠=∠．

∵50BOC ∠=?，

∴25BAC ∠=?，50DAO ∠=?，

∴80AOD ∠=?，

∴1

402

ACD AOD ∠=∠=?．

14．在平面直角坐标系xOy 中，如果当0x >时，函数1y kx =-（0k ≠）图象上的点都在直线1y =-上方，请写出一个符合条件的函数1y kx =-（0k ≠）的表达式：__________．

【答案】1y x =-（答案不唯一） 【解析】答案不唯一，0k >即可．

15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1,0)A ，等腰直角三角形ABC 的边AB 在x 轴的正半轴上，90ABC ∠=?，点B 在点A 的右侧，点C 在第一象限。将ABC △绕点A 逆时针旋转75?，如果点C 的对应点E 恰好落在y 轴的正半轴上，那么边AB 的长为__________．

【解析】依题可知，45BAC ∠=?，75CAE ∠=?，AC AE =，60OAE ∠=?， 在Rt AOE △中，1OA =，90EOA ∠=?，60OAE ∠=?，∴2AE =， ∴2AC =．

在Rt ABC △中，AB BC =

16．阅读下面材料：

在复习课上，围绕一道作图题，老师让同学们尝试应用学过的知识设计多种不同的作图方法，并交流其中蕴含的数学原理．

已知：直线和直线外的一点P ．

求作：过点P且与直线l垂直的直线PQ，垂足为点Q P 某同学的作图步骤如下：

请你根据该同学的作图方法完成以下推理:

∵PA PB

=，APQ

∠=∠__________，

∴PQ l

⊥．

（依据：__________）．

【答案】BPQ，等腰三角形三线合一

【解析】

BPQ，等腰三角形三线合一．

三、解答题（本题共68分，第17~19题每小题5分，第20题6分，第21、22题每小题5分，第23题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）

17

1

1

4sin301

5

-

??

+?

?

??

．

【解析】原式

1

541)5212

2

=+?-=+=．

18．解不等式组3(2)4112

x x x ++??

?-

【解析】解①得，364x x ++≥，22x -≥，1x -≥， 解②得，12x -<，3x <， ∴原不等式解集为13x -<≤，

∴原不等式的非负整数解为0，1，2．

19．如图，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥于点D ，AB 的中点为E ，AE AC <． （1）求证：DE AC ∥．

（2）点F 在线段AC 上运动，当AF AE =时，图中与ADF △全等的三角形是__________．

【解析】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠， ∴12∠=∠， ∵BD AD ⊥于点D ， ∴90ADB ∠=?， ∴ABD △为直角三角形． ∵AB 的中点为E ， ∴2AB AE =

，2

AB

DE =， ∴DE AE =， ∴13∠=∠， ∴23∠=∠，

∴DE AC ∥． （2）ADE △．

20．已知关于x 的方程2(3)30mx m x +--=（m 为实数，0m ≠）． （1）求证：此方程总有两个实数根．

（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值．

【解析】（1）2222(3)4(3)691269(3)0m m m m m m m m ?=--?-=-++=++=+≥ ∴此方程总有两个不相等的实数根．

（2）由求根公式，得(3)(3)

2m m x m

--±+=

，

∴11x =，23

x m

=-

（0m ≠）． ∵此方程的两个实数根都为正整数， ∴整数m 的值为1-或3-．

21．如图，在ABD △中，ABD ADB ∠=∠，分别以点B ，D 为圆心，AB 长为半径在BD 的右侧作弧，两弧交于点C ，分别连接BC ，DC ，AC ，记AC 与BD 的交点为O ． （1）补全图形，求AOB ∠的度数并说明理由;

（2）若5AB =，3

cos 5

ABD ∠=，求BD 的长．

【解析】（1）补全的图形如图所示．90AOB ∠=?．

证明：由题意可知BC AB =，DC AB =， ∵在ABD △中，ABD ADB ∠=∠， ∴AB AD =，

∴BC DC AD AB ===， ∴四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥， ∴90AOB ∠=?．

（2）∵四边形ABCD 为菱形， ∴OB OD =．

在Rt ABO △中，90AOB ∠=?，5AB =，3

cos 5

ABD ∠=，

∴cos 3OB AB ABD =?∠=， ∴26BD OB ==．

22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x m =+与x 轴的交点为0()4,A -，与y 轴的交点为B ，线段AB 的中点M 在函数k

y x

=（0k ≠）的图象上 （1）求m ，k 的值;

（2）将线段AB 向左平移n 个单位长度（0n >）得到线段CD ，A ，MB 的对应点分别为C ，N ，D ． ①当点D 落在函数k

y x

=

（0x <）的图象上时，求n 的值． ②当MD MN ≤时，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围．

【解析】（1）如图．

∵直线y x m =+与x 轴的交点为0()4,A -， ∴4m =．

∵直线y x m =+与y 轴的交点为B ， ∴点B 的坐标为(0,4)B ． ∵线段AB 的中点为M ， ∴可得点M 的坐标为(2,2)M -．

∵点M 在函数k

y x

=（0k ≠）的图象上， ∴4k =-．

（2）①由题意得点D 的坐标为(,4)D n -，

∵点D 落在函数k

y x

=

（0k ≠）的图象上， ∴44n -=-， 解得1n =．

②n 的取值范围是2n ≥．

23．某同学所在年级的500名学生参加“志愿北京”活动，现有以下5个志愿服务项目：A ．纪念馆志愿讲解员．B ．书香社区图书整理．C ．学编中国结及义卖．D ．家风讲解员．E ．校内志愿服务．要求：每位学生都从中选择一个项目参加，为了了解同学们选择这个5个项目的情况，该同学随机对年级中的40名同学选择的志愿服务项目进行了调查，过程如下：

收集数据：设计调查问卷，收集到如下数据（志愿服务项目的编号，用字母代号表示）． B ，E ，B ，A ，E ，C ，C ，C ，B ，B ，

A ，C ，E ，D ，

B ，A ，B ，E ，

C ，A ，

D ，D ，B ，B ，C ，C ，A ，A ，

E ，B ，

C，B，D，C，A，C，C，A，C，E，

整理、描述诗句：划记、整理、描述样本数据，绘制统计图如下，请补全统计表和统计图．

选择各志愿服务项目的人数统计表

分析数据、推断结论：

a：抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是__________．（填A E

-的字母代号）

b：请你任选A E

-中的两个志愿服务项目，根据该同学的样本数据估计全年级大约有多少名同学选择这两个志愿服务项目．

【解析】B项有10人，D项有4人．

选择各志愿服务项目的人数比例统计图中，B 占25%，D 占10%． 分析数据、推断结论：

a ．抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是C ．

b ：根据学生选择情况答案分别如下（写出任意两个即可）．

A ：50020%100?=（人）．

B ：50025%125?=（人）．

C ：50030%150?=（人）．

D ：50010%50?=（人）．

E ：50015%75?=（人）．

24．如图，⊙O 的半径为r ，ABC △内接于⊙O ，15BAC ∠=?，30ACB ∠=?，D 为CB 延长线上一点，AD 与⊙O 相切，切点为A ．

（1）求点B 到半径OC 的距离（用含r 的式子表示）．

（2）作DH OC ⊥于点H ，求ADH ∠的度数及

CB

CD

的值．

【解析】（1）如图4，作BE OC ⊥于点E ． ∵在⊙O 的内接ABC △中，15BAC ∠=?， ∴230BOC BAC ∠=∠=?．

在Rt BOE △中，90OEB ∠=?，30BOE ∠=?，OB r =，

∴22

OB r

BE =

=， ∴点B 到半径OC 的距离为

2

r

．

（2）如图4，连接OA ．

由BE OC ⊥，DH OC ⊥，可得BE DH ∥． ∵AD 于⊙O 相切，切点为A ， ∴AD OA ⊥， ∴90OAD ∠=?． ∵DH OC ⊥于点H ， ∴90OHD ∠=?．

∵在OBC △中，OB OC =，30BOC ∠=?，

∴180752

BOC

OCB ?-∠∠=

=?．

∵30ACB ∠=?，

∴45OCA OCB ACB ∠=∠-∠=?． ∵OA OC =，

∴45OAC OCE ∠=∠=?， ∴180290AOC OCA ∠=?-∠=?， ∴四边形AOHD 为矩形，90ADH ∠=?， ∴DH AO r ==．

∵2r BE =

， ∴2

DH

BE =

． ∵BE DH ∥， ∴CBE CDH ∽△

△， ∴

12

CB BE CD DH ==．

25．如图，P 为⊙O 的直径AB 上的一个动点，点C 在?AB 上，连接PC ，过点A 作PC 的垂线交⊙O 于点Q ．已知5cm AB =，3cm AC =．设A 、P 两点间的距离为cm x ，A 、Q 两点间的距离为cm y ．

某同学根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行探究． 下面是该同学的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了x 与y 的几组值，如下表：

（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象． （3）结合画出的函数图象，解决问题：当2AQ AP =时，AP 的长度均为__________cm ．

【解析】（1）

（3）2.42．

26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线G ：221(0)y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ，抛物线G 的顶点为

D ，直线l ：1(0)y mx m m =+-≠．

（1）当1m =时，画出直线l 和抛物线G ，并直接写出直线l 被抛物线G 截得的线段长．

（2）随着m 取值的变化，判断点C ，D 是否都在直线l 上并说明理由．

（3）若直线l 被抛物线G 截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．

【解析】（1）当1m =时，抛物线G 的函数表达式为22y x x =+，直线l 的函数表达式为y x =，直线l 被抛

物线G ，画出的两个函数的图象如图所示：

（2）∵抛物线G ：221(0)y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为(0,1)C m -，

∵2221(1)1y mx mx m m x =++-=+-， ∴抛物线G 的顶点D 的坐标为(1,1)--， 对于直线l ：1(0)y mx m m =+-≠， 当0x =时，1y m =-，

当1x =-时，(1)11y m m =?-+-=-， ∴无论m 取何值，点C ，D 都在直线l 上．

（3）m 的取值范围是m ≤m ．

27．正方形ABCD 的边长为2，将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M ，作

CE AM ⊥于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ．

（1）如图1，当045α?<

②用等式表示NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系：__________．

（2）当4590α?<

（3）当090α?<

【解析】（1）①补全的图形如图所示：

②2NCE BAM ∠=∠．

（2）1

902

MCE BAM ∠+∠=?，

连接CM ，

DAM DCM ∠=∠，

DAQ ECQ ∠=∠，

∴2NCE MCE DAQ ∠=∠=∠，

∴1

2

DCM NCE ∠=∠，

∵BAM BCM ∠=∠， 90BCM DCM ∠+∠=?，

∴1

902

NCE BAM ∠+∠=?． （3）∵90CEA ∠=?， ∴点E 在以AC 为直径的圆上，

∴max 1EF FO r =+=

28．对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，

设AQ BQ

k CQ

+=

，则称点A （或点B ）是⊙C 的“k 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ BQ =，2AQ k CQ =

（或2BQ

CQ

）． 已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)Q -，(1,0)C ，⊙C 的半径为r ．

（1）如图1，当r =

①若1(0,1)A 是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为__________．

②2(1A +是否为⊙C 的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）． （2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ， ①当1r =，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．

②当k r 的取值范围．

（3）若存在r 的值使得直线y b =+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 出b 的取值范围．

【解析】（1．②是．

（2）①如图，当1r =时，不妨设直线QM 与⊙C 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理）， 连接CM ，则QM CM ⊥，

∵(1,0)Q -，(1,0)C ，1r =， ∴2CQ =，1CM =，

∴MQ =

此时2MQ

k CQ

=

=

②如图，若直线QM 与⊙C 不相切，设直线QM 与⊙C 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在

x 轴下方时同理），

作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，

∴()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ +=++=+=， ∵2CQ =，

∴2MQ NQ DQ

k DQ CQ CQ

+=

==，

∴当k DQ =

此时1CD ， 假设⊙C 经过点Q ，此时2r =， ∵点Q 早⊙C 外，

∴r 的取值范围是12r <≤．

（3）b <<．