拓扑空间的紧性
? 久别重逢的 std::bad_alloc MSTC 月刊第三期（十周年特辑） ?
Klein Bottle
拓扑空间的紧性
by pluskid, on 2011-07-26, in Mathematics
29 comments
参加暑期讨论班其中有一场是我讲，第一次这样子讲数学的东西，有点紧张，于是先在这里整理一下。内容大致是拓扑空间的紧性。
关于空间的紧性，我们在之前的分析中已经见过了：例如在实数轴上的有界闭区间就是典型的紧集，紧集具有很多优良的性质，比如我们知道在有界闭区间上的连续函数一定是一致连续的，并且能取到最大值和最小值。所以，在将空间的概念推广到一般的拓扑空间之后，我们也希望将紧性这一优良性质也带到拓扑空间中来。为此，我们需要找到什么是紧集最本质的东西。在实数轴上的紧集
，有如下的一些等价刻画：
1. 是有界闭集
2. 的任意无限子集必存在极限点
3. 中的任意序列必有收敛子列
4.
的任意开覆盖必有有限子覆盖
其中第一条无法在拓扑空间中使用，因为“有界”的概念无法定义。第二或者第三条曾经被认为是实质性的，但是后来由于
Tychonoff 定理，人们发现最后一条才是真正好的定义，因此将其作为拓扑空间紧性的定义，而第二条和第三条分别被叫做“极限点紧（Limit point compact ）”和“序列紧（Sequencially compact ）”。下面是正式内容，在给出定义之前，我先给出一个提纲：
首先当然是要给出拓扑空间紧性的定义。
接下来当然是会举一些例子，一方面是把枯燥的定义从抽象中拉回来，另一方面也是非常重要的是给出紧空间的存在性的证据，因为定义总是可以随便给的，这样子我可以给出具有任意优良性质的定义来，然而所定义的东西如果是不存在的话，相关的一切性质其实都是空谈。
然后我们将介绍从已有的紧空间构造新的紧空间的方法：包括集合的交、并、补，以及子空间、商空间和积空间——这一系列都是标准套路。在这里将会出现一个大定理，就是刚才提到的 Tychonoff 定理。
接下来将暂时中断一下，讨论一下稍微具体一点的度量空间中的紧性。因为度量空间更加具体一些，所以能得到的性质也更丰富一些。最后我们将简要介绍一些将非紧空间（non-compact space ）转化为紧空间（compactification ，紧化）的初步知识。
啊，不过，由于一次报告是两个人一起讲的，这次我大致负责前半部分，因此从度量空间的紧性开始那部分内容就不列在这里了。定义 1：设
是一个集合，它的一族子集
如果满足
则称为 为 的一个覆盖，或 覆盖 。特别地，如果 是一个拓扑空间，而且每个 ， 都是 中的开集，则称 为 的一个开覆盖。
定义 2：拓扑空间 称为紧的，如果它的任意开覆盖有有限子覆盖。
其实根据这个定义里的描述，也可以看出紧性之所以好的一些端倪了，不精确地说，利用紧性我们可以把无限的东西转化为有限的情况来处理。我们最熟悉的紧空间的例子应该就是
中的闭区间了，在数学分析中已经证明过它是紧的。其他我们还可以举一些简单的例子，比如：
任意由有限点集所构成的拓扑空间是紧的。因为无论在它上面给怎么样的拓扑，它所有的开集的个数总是有限的，所以任意开覆盖本身就是有限覆盖了。具有余有限拓扑（cofinite topology ）的空间是紧的。因为假设 是具有 cofinite topology 的空间 的一个开覆盖，从 中任选一个非空的元素 ，由 cofinite
topology 的定义，知道
只有有限个元素 ，对于每一个
，
可以找到一个
使得
，这样，
就是
的开覆盖
的一个有限子覆盖。
非紧空间的例子也很好举，例如
上的区间
就不是紧的，因为我们可以构造一个开覆盖
，它的任意一个有限子集族总是无法覆盖
。
有了基本的例子之后，下面我们来讨论如何从已有的紧空间构造新的紧空间。从集合的角度来看，构造新的集合常用的操作有 、 ，从空间的角度来看则有子空间（）、商空间（）、积空间（
），下面我们就依次讨论在这些操作下紧性是否能得到保持。
首先是紧空间的交集，因为任意拓扑空间的交集上，最自然的拓扑就是这一系列包含映射所诱导的始端拓扑（Initial Topology ），如果这些拓扑空间互相之间没有什么关系的话，讨论起来就比较复杂了，通常我们会讨论所有要取交的拓扑空间是一个大的拓扑空间的子空间的情况，这个时候它们的交集实际上就是子空间的一种特殊情况，所以我们放到讨论子空间的紧性的时候再讨论。
其次是并集。任意多个并的情况显然是不对的，例如 上可数个紧集
，
的并集是
本身，并不是紧的。不过有限个的情况表现还是良好的。
命题 1：若 是空间 的有限个紧子集，则它们的并也是紧的。
证明：记 。设
是 的任一开覆盖，则显然它也是每一个
，
的开覆盖，因此对于每个
，存在
的一个
有限子集族
仍然覆盖
。令
则显然 是 的一个有限子集族，并且它仍然覆盖 。
接下来我们讨论拓扑子空间的紧性。一个紧空间的子空间是否一定是紧的呢？显然不一定，明显的反例是紧空间 的子空间
，但是如果限制到闭子集的话，就
可以做到了：
定理 1：紧空间的闭子集是紧的。
注意这里我们称一个空间的子集是紧的，实际上是在说这个子集配上子空间拓扑之后是一个紧空间。在证明这个定理之前，我们先给一个方便的验证子空间紧性的判定定理：
理：
定理 2：设是的子空间，是紧的，当且仅当任意一族覆盖的中的开集包含一个覆盖的有限子族。
这里的意思是说，如果是的子空间，判断的紧性的时候，用中的开集来覆盖还是用中的开集来覆盖都是一样的。这个定理可以省去我们在验证的时候的一些麻烦。
证明：首先证正向：设是紧的，是一族覆盖的中的开集，则是的一个开覆盖，根据紧性，存在有限子
覆盖
显然对应的的子族
仍然覆盖。
再证反过来，设是的一族开集，它覆盖了，则根据子空间拓扑的定义，对于每个，，存在中的开集使得，因此是一族覆盖的中的开集，由定理假设，它包含一个有限子族
仍然覆盖，则对应的
是的一个有限子族，并且仍然覆盖，由此得是紧的，即证。
定理 1 的证明：设是紧空间，是的闭子集，是的任一开覆盖，则
是的一个开覆盖，由的紧性，存在的一个有限子族仍然覆盖。如果则将它从中去掉，否则不做任何操作，得到
是的一个有限子族，并且它是覆盖的。证完。
借助子空间紧性的结论，对于刚才提到的紧集的交的紧性，我们可以有这样一个推论：
推论 1：设是一个拓扑空间，是的一族紧且闭的子集。那么它们的交也是紧的。
由任意闭集的交集是闭集，并且这个交集是其中某一个（任意一个）紧集的子集，根据定理 1 立即得到。
接下来我们讨论紧空间的商空间，紧性在这里的表现是很好的，但是我们并不直接给出商空间的紧性，而是叙述一个更一般的结论：
定理 3：设是连续映射，是紧空间，那么也是紧的。
由商映射的连续性以及到上性（满射），根据这个定理立即可以得到任意紧空间的商空间仍然是紧的。
证明：设是的一个开覆盖，则由的连续性知
是的一个开覆盖。由的紧性，存在的一个有限子集族
仍然覆盖。则对应的集族
是的一个有限子集族并且仍然覆盖。证完。
由这个定理可以立即得到，如果两个拓扑空间和是同胚的，其中一个紧那么另一个必定也是紧的。换句话说，紧性是一个拓扑性质。这样的性质通常可以用来方便地区分两个（在同胚意义下）不同的拓扑空间，因为要证明两个空间同胚，只要找出一个同胚映射就可以了，但是要证明两个空间不同胚，则是要证明不可能有同胚存在，通常是一个更加困难的问题，比较好解决的情况通常都用反证法来做了，就是假设同胚，但是又发现两个空间的某个拓扑性质是不一样，就导出矛盾。
例如，用紧性可以证明球面和平面是不同胚的。类似地可以证明和是不同胚的。
不过，这里既然提到了同胚和连续映射，就正好也说一下紧空间的好处吧（因为我实在不知道这一小部分内容放在哪里讲比较好了）。我们知道从上的紧集打出去的连续函数一定是一致连续的，一致连续是比连续要强得多的条件，不过在一般的拓扑空间中并不能方便地定义“一致连续”的概念，不过从紧空间打出去的连续映射仍然具有一些良好的性质：
定理 4：设是连续映射，如果是紧空间，是 Hausdorff 空间，则是闭映射。
闭映射是一个很好的东西，例如我们有一个非常直接的推论：
推论 2：设是连续的双射，若是紧空间，是 Hausdorff 空间，则是同胚映射。
为了证明定理 4 ，我们再引入另外两个结论，当然它们本身也是相当重要的，因此也是作为定理出现。首先我们要注意到，在一般的拓扑空间中，紧集不一定是闭的（类比中：有界闭集等价于紧集）。例如最开始我们举的余有限拓扑空间中，任意集合都是紧的，然而只有有限集才是闭的。不过，如果加上了 Hausdorff 条件的话，这一点就
可以得到保证了：
定理 5：Hausdorff 空间中的紧子集是闭集。
这个定理的证明过程本身是比较有用的，因此被抽取出来也作为一个定理：
定理 6：设是 Hausdorff 空间中的紧子集，，则存在中互不相交的开集、，使得和。
证明：，由的 Hausdorff 性，存在互不相交的开集和，使得、。当取遍时，我们得到
是的一个开覆盖，根据的紧性，存在的一个有限子集族
仍然覆盖。下面令
则和为互不相交的开集，且、。证完。
定理 5 的证明：设是 Hausdorff 空间中的紧子集，我们现在证明是开集。对任意的，根据定理 6 ，存在中互不相交的开集、使得、，因此，即证。
定理 4 的证明：任取中的闭集，由的紧性和定理 1 知是紧集，由的连续性和定理 3 知是紧的，再由定理的 Hausdorff 性和定理 5 知
是闭的。即证。
下面我们再回到主线：接下来只剩下积空间的紧性的讨论了。紧性在这里的表现也是优良的，Tychonoff 定理保证了任意一族紧空间的积空间也是紧的。这是一个很要紧的地方，因为我们在最开始列了 4 条中紧性的刻画，其中末尾 3 条在度量空间中是等价的，然而在一般的拓扑空间中则不行了，那究竟选哪一条作为紧性的定义呢？正是Tychonoff 定理一锤定音——选择当前的这个定义，可以得到 Tychonoff 定理的结论，而其他的定义则无法做到。
不过，在讲 Tychonoff 定理之前，我们先来看一下有限个紧空间的积空间的紧性。虽然有限个的情况证明方法和 Tychonoff 中任意积的证明完全不一样，但是有限的情况会引出一个本身也很有用的 Tube Lemma ，所以是不容错过的。由于有限积可以由两两积归纳得到，并且我们之后会有更加一般的情况，这里只给出两个紧空间的积空间的描述：
定理 7：若和是紧空间，则也是紧的。
证明这个定理需要用到下面的 Tube Lemma ：
定理 8 (Tube Lemma)：设和是拓扑空间，其中是紧的，若中的任一开集包含了“切片” ，则存在中的开领域使得
也包含在中。
证明过程可以参考下图，图取自 Munkres 的《Topology》
证明：首先，由于是开集，对于每一点，存在其开领域，特别地，我们可以取积拓扑中的基开邻域。令取遍得到的一个开覆盖。
由于同胚于，因此是紧的，故存在有限子覆盖。亦即存在有限个点，使得
覆盖，令
覆盖，令
则为中的开集，且，下面只需要证明即可。任取，对应点必定被包含于中的某一个元素里（有多个的时候任取一个即可），记为，则我们有，又由于，因此得，再由于我们之前取的所有基开邻域都是包含于中的，因此，即证。
定理 7 的证明：设是的任一开覆盖。对任意的，是紧的，因此可以被有限个元素覆盖，记
则由 Tube Lemma ，存在的开领域使得，此时也被到这有限个的元素所覆盖。
下面对于每个，可以得到对应的，这构成的一个开覆盖
再由的紧性知道，开覆盖存在有限子覆盖，亦即存在有限个点，使得仍然覆盖。因此所有的 tube 构成整个空间：
又由于每个 tube 都可以被有限个中的元素覆盖，因此整个空间（有限个 tube 的并）可以被有限个中的元素覆盖。证完。
不过，以上的证明方法只适用于有限积的情况，如果是任意个空间的积空间的话，就没法做了，当然，结论还是成立的：
定理 9 (Tychonoff Theorem)：设是任意一族紧空间，则是紧的。
要证明这个定理需要做许多准备工作。首先我们将暂时抛开开集，而用闭集来刻画空间的紧性。
定义 3：设是的一族子集，称满足有限交条件，如果任意有限个中的元素的交集是非空的。
定理 10：拓扑空间是紧的，当且仅当的任一满足有限交条件的闭集族的交非空。
证明：的紧性的定义等价于：对于中的一族开集，如果的任意有限子集族都不能覆盖，则不能覆盖。
将开集族中的每个元素取补集可以得到一族对应的闭子集，因此上面的条件又等价于：对于任意一族闭子集，如果的任意有限子集族的交非空（满足有限交条件），则的交非空。即证。
定义 4：设是的一个开覆盖，称为的
基开覆盖，如果每个属于的某个给定的拓扑基；
子基开覆盖，如果每个属于的某个给定的子基拓扑。
为了接下来的叙述方便，下面再定义几个在其他地方不太常用的概念
定义 5：我们称的一族闭子集为
闭基，如果是的一个基；
闭子基，如果是的一个子基。
定理 11：设是拓扑空间，如下命题等价：
1. 是紧的；
2. 的任一基开覆盖有有限子覆盖；
3. 的任意一族满足有限交性质的闭基集合的交非空。
证明：(1) (2) 显然。
(2) (3) 证明过程和定理 10 的证明完全类似。
(2) (1) 设是的任一开覆盖，任一都是的一些基开集的并，因此
是的一个基开覆盖，由条件，有有限多个覆盖，在中取使得，，则是的有限子覆盖。
定理 12 (Alexander Theorem, 1939)：设是拓扑空间，如下命题等价：
1. 是紧的；
2. 的任意子基开覆盖有有限子覆盖；
3. 的任意一族满足有限交性质的闭子基集合有非空的交。
证明：(1) (2) 显然。
(2) (3) 证明和定理 10 的证明完全类似。
接下来我们不直接证明 (3) (1) ，而是证明由本定理的 (3) 可以得到定理 11 的 (3) 。设是中任意一族满足有限交性质的闭基集合，我们要证明它们的交非空。
首先我们来构造一个“极大的”包含了的具有有限交性质的闭基集族。“极大”就是说没有比它更大了，稍后会精确定义，这里的想法是，如果我们能证明这个的交是非空的，那么自然的交也是非空的。这看上去好像把问题变难了，因为直观上来讲集族变大之后它们的交集就变小了，所以要保证交集非空就更加困难了。不过，这
里的思想大致是将集族扩大到“合适”的程度，使得我们在寻找非空的那个交集的时候没有那么多的自由度，关键就在于“极大性”上，让我们在构造的时候能做到“恰到好处”。
下面我们用 Zorn’s Lemma 来构造这个，先令是满足有限交条件的闭基集族, 。首先，因为。我们以包含关系作为里的
一个偏序，下面证明任意一条链（全序子集）都在中有上界。
设是任意一个全序子集，令，则对任意的，。如果我们证明满足有限交条件，则，显然，它是我们要找的上界。
任取有限个元素，由链的有序性知，存在，使得，再由满足有限交条件，知。
以上我们证明了 Zorn’s Lemma 的条件是满足的，因此，存在最大元。下面我们来证明集族的交非空。
的每个元素是一个闭集集合，由于每个基集合都是有限个子基集合的交，我们有每个闭基集合都是有限个闭子基集合的并。即
这里为了避免下标爆炸，只好乱用一下符号了。实际上对于每个不同的，是不一样的，而且到也可能是不同的集合。接下来的下标也会有点乱……现在我们考虑某个特定的，如果我们能证明至少存在一个使得，那么对于每个闭基集合，取对应的那个组成一个集族，因此它满足有限交条件，由 (3) 的条件知（注意每个是闭子基集合），它们的交非空。由此可以立即得到：集族的交也非空。
最后我们就来证明至少存在一个使得，这里终于要用到的极大性了。用反证法，假设对任意的都有。由于闭子基集合同时也是闭基集合，对于每一个，由的极大性，知道
其中必定不能满足有限交条件，亦即，存在的有限子集族（显然包含在其中），其交为空集。将所有这些（有限个）并起来，我们得到
，而将对应的交起来，我们得到一个的子集族
由刚才的构造，知道
而是的一个有限子集族，这与满足有限交条件相矛盾。证完。
有了这些准备工作之后，Tychonoff 的证明也就变得简单了：
定理 9 的证明：空间的一族子基是
因此对应的闭子基的每个元素集合是形状如
的集合，其中是中的闭集（实际上除了最多一个之外，其他的全都是整个空间）。对于任意一族如上形式的闭子基集族，如果它们满足有限交性质，我们证明它们的交非空即可。
根据上面的形式可以知道，将以自然投影投影到任意的中，仍然得到一族满足有限交性质的闭集，由本身的紧性，知道它们的交非空，因此可以选择其中一点。所有的这些点就构成了中里的一点，即证。
最后，闲聊一下文章标题图片 Klein Bottle ，小的时候听到提到拓扑必然会举到的例子，什么橡皮泥啊、克莱因瓶之类的。默比乌斯带还是可以理解的，因为可以做出实物来，但是当时一直觉得克莱因瓶是不对的，所谓顺着瓶子的壁可以从里面爬到外面，我看这各种克莱因瓶的图，都觉得是不对的。到现在终于知道为什么了——确实是不对的，不过不是说 Klein Bottle 不存在，如果用 schematic representation 的话，还是比较可以接受的，只是关于 Klein Bottle 的 visualization ，却是有问题的，因为 Klein Bottle 不能嵌入到中，直观地来说，我们无法在我们生活的三维世界里造出一个克莱因瓶来，如果强行把它放到中，就会出现自相交了，也就是平时所看到的那些图里明显的不对劲的地方了。
不过我比较奇怪，其实用图片来做 visualization 的话，实际上是在中了，结果最大的问题还是出在人类的想象力上吗？不过我觉得这里贴的这张图似乎有点意思了——因为看不太出那么明显的自交。
Tags: Topology
29 comments to 拓扑空间的紧性
mathchain
July 26th, 2011 at 9:11 pm · Reply
July 26th, 2011 at 9:11 pm · Reply
补充一些术语规范, 很多人认为只满足有限覆盖的话叫quasi-compact, 必须要加上Hausdorff才是compact; 另外由于Hausdorff空间的quasi-compact子集都是闭的, 于是也有人认为在讨论子空间时(with inducd-topology), compact= closed+quasicompact…
BTW, 这个讨论班的主题是?
pluskid
July 27th, 2011 at 11:59 am · Reply
唔，什么 compact 、quasi-compact 、bi-compact、countable-compact 之类的概念一大堆，感觉一下子容易混乱掉，如果不是要专门搞拓扑的话，应该知道一种 commonly accepted 的定义就好了，其他的最多需要的时候再查吧~ 这个时候我就体会到之前讨论过的“看书是要 stick to 一本还是要多本一起看”里面的问题了，特别是初学的时候，相关概念定义得不一样的话，很容易就混乱掉了……
ps：这个班是点集拓扑，哈哈，我是在蹭一群大一的小朋友的班。另外还有大二大三的代数拓扑初步、微分几何、代数几何初步等几个班。老师亲自组织的讨论班就是不一样，纪律严格许多。
pluskid
July 28th, 2011 at 9:59 pm · Reply
今天讲的时候才知道，原来 quasi-compact 那一套是欧洲那边布尔巴基学派主导的啊~
kghost
July 26th, 2011 at 10:00 pm · Reply
这里有个疑问:
首先从cantar set开始, cantar set由不可数个closed set构成, 我们去掉其中所有边界, 可以得到一个含有不可数个open set构成的集合, 记为C’, 然后使用选择公理, 每个set中选出一个数得到一个新的集合. 明显这个集合是闭合有界的, 那么它应该是紧致的, 另外由它是cantar set的闭合子集也能得到这个结论. 但是C’是它的一个开覆盖, 并且C’不是有限的, 这里产生了矛盾.
哪里出问题了? 无法构造这个C’还是我错误使用了选择公理?
mathchain
July 26th, 2011 at 10:54 pm · Reply
我们去掉其中所有边界, 可以得到一个含有不可数个open set构成的集合
=====================================================
这一步不成立, 考虑一个例子: [0,1]里的无理点.(注意cantor集里每个点都是极限点)
pluskid
July 27th, 2011 at 12:11 pm · Reply
我觉得问题应该出在这里：Cantor set 没有内点，把边界全部去掉就只剩下空集了，没有办法用选择公理。
kghost
July 27th, 2011 at 12:14 am · Reply
这步确实有些问题, 不过直观感觉应该是成立的.
既然cantar set是由移除中间部分构造的, 那么剩下的部分应该不是离散的, 应该可以移除端点的.
再者, 也存在非端点的点, 比如1/4 = 0.010101…. base 3, 每次移除的时候, 它都不是端点.
如果cantar set的定义由移除(1/3, 2/3)更改为移除[1/3, 2/3], 得到的就是我描述的C’, 这个集合是什么样子的呢? 空集?
pluskid
July 27th, 2011 at 12:16 pm · Reply
Cantor set 的构造需要每一步挖去开集之后剩下的部分是闭集这个保证，因为后面的证明要用到闭域套定理（印象中是叫这个名字吧？=.=）。如果改成按照你说的那样构造，应该就是空集了吧
mathchain
July 27th, 2011 at 3:28 am · Reply
可能是我没理解你的意思, 我觉得你思路里每一步都有问题.
“cantar set由不可数个closed set构成, 我们去掉其中所有边界”
==================================================
Cantor集里每个点都是cantor集作为[0,1]的子集的边界点,
你的意思是从[0,1]里去掉整个Cantor集? 如果是的话, 那么
你得到了一个[0,1]的开子集, 可以把它写成可数个两两不交的开区间
的并, 你的意思是C’是这些开区间构成的集合? 如果是的话, 那么
在这些开区间里每个选一个点, 这些点构成的集合是有界的, 但一定
不是闭的.
菜鸟。。。。
July 27th, 2011 at 9:23 am · Reply
各种看不懂。。
fatshanee
July 27th, 2011 at 11:11 am · Reply
楼上的各位同学，你们有没有TEX的google reader扩展啊，每次在google reader上看博主的文章，一大堆的latex代码看的头晕啊～～
fatshanee
July 27th, 2011 at 11:37 am · Reply
我装了几个TEX的chrome扩展，都没有用，好像那些扩展都是根据[:来判断的，但是google reader里面的脚本都是\[开头的，导致无法识别，有解决办法吗？谢谢
pluskid
July 27th, 2011 at 12:19 pm · Reply
考虑修改下那些扩展的代码让他可以识别 \[ ？这个我也没有办法。建议 Reader 里瞄一眼，如果不是特别感兴趣的可以略过，否则直接点过来看？
kghost
July 27th, 2011 at 1:28 pm · Reply
cantar set是有内点的, 引用wikipedia的一段话
It may appear that only the endpoints are left, but that is not the case either. The number 1/4, for example, is in the bottom third, so it is not removed at the first step, and is in the top third of the bottom third, and is in the bottom third of that, and in the top third of that, and so on ad infinitum—alternating between top and bottom thirds. Since it is never in one of the middle thirds, it is never removed, and yet it is also not one of the endpoints of any middle third. The number 3/10 is also in the Cantor set and is not an endpoint.
In the sense of cardinality, most members of the Cantor set are not endpoints of deleted intervals.
我想我构造的这个集合问题出在它不是闭合的, 可以从中找出一个序列 { 1/4*(1/3)^n } -> 0, 但是0不属于这个集合, 所以它不是闭合的.
就是说对cantar set应用选择公理, 得到的集合并不是闭合的.
mathchain
July 27th, 2011 at 1:57 pm · Reply
你截取的这段话完全说明不了cantor集有内点, 实际上, 如果cantor集在[0,1]里有内点, 那么它的lebesgue测度就要大于零了, a contradiction
pluskid
July 27th, 2011 at 3:15 pm · Reply
如 mathchain 所说，如果 Cantor Set 有内点，那么它必定包含一个开区间，任意开区间的测度都是大于零的，而 Cantor Set 的测度为零，这是不可能的。
因此你后面那个集合是构造不出来的，所以讨论它是不是闭的就没有意义了。
kghost
July 28th, 2011 at 4:08 pm · Reply
还是我基础太差, 没有系统得学过, 好多概念搞不清楚…
l0phT
July 29th, 2011 at 2:18 pm · Reply
定义一的等于号应该是包含吧。
pluskid
July 29th, 2011 at 2:20 pm · Reply
A 是 X的子集，包含和相等在这个时候是一样的。
l0phT
July 29th, 2011 at 4:49 pm · Reply
呵～～的确是。
mathchain
August 7th, 2011 at 1:26 am · Reply
无意中搜到一个用lindeloef条件刻画紧性的方法(in ZF):
Def. 一个Hausdorff空间X称为lindeloef, 如果任意开覆盖存在可数子覆盖
Thm. X为紧对任意cardinal k, X^k(product space)为lindeloef
证明和进一步讨论见这里:
https://www.360docs.net/doc/7716459940.html,/questions/9641/how-far-is-lindelof-from-compactness
mathchain
August 7th, 2011 at 1:40 am · Reply
不知为啥漏了几个字…
Thm. X为紧当且仅当对任意cardinal k, X^k(product space)为lindeloef
pluskid
August 7th, 2011 at 12:40 pm · Reply
很有意思的刻画呢！不过证明我还没有太看明白，不知道是什么（看来集合论也得学啊）。另外，不知道它这个结论是不是对非 Hausdorff 空间也成立呢，证明里好像没有看到特别用到 T2 性质了？
mathchain
August 7th, 2011 at 4:41 pm
w1应该是指啊列夫1的initial ordinal, 可以看成就是啊列夫1. 另外里面的w可以看成整数的cardinal…集合论里的东西我也不太记得了…
确实看不出哪里用了hausdorff条件, 不过可以这样考虑, 因为一般的tychonoff定理等价于选择公里, 而hausdorff空间上的tychnoff定理弱于选择公里, 所以
可以在一个比ZFC弱的环境里得到这个刻画:
https://www.360docs.net/doc/7716459940.html,/nlab/show/Tychonoff+theorem
pluskid
August 8th, 2011 at 4:36 pm
唔，原来是这样子啊。这样看来似乎大家对于完全版本的选择公理还是采取能避开尽量避开的态度啊？
mathchain
August 8th, 2011 at 7:17 pm
这个是我随口说的…不过避开选择公里的话代数里很多东西的存在性就失去了…
AskDiff
August 22nd, 2011 at 11:46 pm · Reply
Klein Bottle瓶壁如果画成有厚度的，类比默比乌斯带中纸带的宽度，观察其在三维空间中投影变薄到零又变厚的过程，厚度为零的时候恰好是内外瓶壁交换的转折点，也许对于部分读者会易懂一些。像上图那样，把关键的转折点藏起来，牺牲了易懂性，也许是为了给部分读者直观的第一印象。
pluskid
August 23rd, 2011 at 12:38 pm · Reply
唔，看文字还是有点抽象，你知道在哪里能找到你说的这样子的图吗？
Thought this was cool: 机器学习物语(3)：回归问题 ? CWYAlpha
December 17th, 2011 at 12:54 am · Reply
[...] 上一次讲到 Empirical Risk Minimization (ERM) 算法在有限个函数的空间里学习是可行的，然而这样的结果似乎用处不大，因为许多机器学习中用到的函数空间都是无限的。我们还提到，为了解决这个问题，需要一个“将无限化为有限”的工具。如果是对统计学习理论有一定了解的同学，可能会觉得我应该马上要讲VC Dimension 了：如果的 VC 维是有限的，那么即使它本身的元素个数是无限的，我们仍然可以得到合理的 bound 。任何谈到学习理论的文章不提 VC 维都会显得很过分，不过今天我们还暂时不讲这个。回到“无限到有限”的话题，我在这里也曾写过关于拓扑空间的紧性的文章，实际上，Compactness 才是我们这次要用到的工具。回忆一下，紧集的任一开覆盖存在一有限子覆盖，正是把“无限”变成了“有限”。 [...]
拓扑空间、开集、闭集、闭包、聚点、邻域
第一章拓扑空间与拓扑不变量 数学分析中的连续函数的定义与和值域都是欧氏空间（直线、平面或空间）或是其中的一部分。本章将首先把连续函数的定义域和值域的主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间的连续映射。然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。随后逐步提出拓扑空间的一些基本问题如邻域、开集、闭集、闭包、聚点、导集、内部、边界、序列、极限等。进一步引入紧致性、连通性、可数性与分离性等重要的拓扑不变性 §1.1拓扑空间、开集、闭集、聚点、闭包、邻域 一、问题的引入 数学分析里我们知道，在连续函数的定义中只涉及距离这个概念，定义域是一维欧氏空间,即实数空间，两点之间的距离d(x,y)=|x-y|,即两两实数之差的绝对值,定义域是n维欧氏空间，两点x=(x1 ,x2,…，x n),Y=(y1,y2,…，y n) 之间的距离 d(x,y)= 。 无论是几维空间，它的距离都有下面的性质： 1. d(x,y)≥0 , ?x,y∈n R; 2. d(x,y) = 0 ?x = y ; 3. d(x,y) = d(y,x) ?x,y∈n R; 4. d(x,z) ≤d(x,y) + d(y,z) , ?x,y,z∈n R; 这些性质反映了距离的特征。 将n R推广为一般的集合，我们由距离可以抽象出度量以及度量空间的定义。（一）度量空间 1.定义 定义1 设X是一个集合，ρ：X×X→R ,如果对于任何x,y,z∈X,有 ①（正定性）ρ（x,y）≥0 并且ρ (x,y) = 0 ?x = y ； ②（对称性）ρ (x,y) = ρ (y,x) ； ③（三角不等式）ρ (x,z) ≤ρ (x,y) + ρ (y,z) 则称ρ是集合X中的一个度量。
《点集拓扑讲义》第六章 分离性公理 学习笔记
第6章分离性公理 §6.1,Hausdorff空间 本节重点: 掌握空间的定义及它们之间的不同与联系； 掌握各空间的充要条件； 熟记常见的各种空间. 与前两章的连通性公理和可数性公理一样，分离性公理也是拓扑不变性质。 回到在第二章中提出来的，“什么样的拓扑空间的拓扑可以由它的某一个度量诱导出来”这一问题． 为了回答这个问题势必要求我们对度量空间的拓扑性质有充分的了解．我们将会发现，本章中所提到的诸分离性公理，实际上是模仿度量空间的拓扑性质逐步建立起来的．对诸分离性的充分研究使我们在§6.5中能够对于前述问题作一个比较深刻的（虽然不是完全的）回答． 引入： 例对于度量空间X，如果x，y∈X，?x、y ，当x ≠y时，x、y之间应该有一个距离，这个距离用d(x,y)表示， 定义6.1.1设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一个点（即如果x，y∈X，x≠y,则或者x有一个开邻域U使得y U,或者y有一个开邻域V使得x V)，则称拓扑空间X 是一个空间．
拓扑空间自然不必都是空间，例如包含着不少于两个点的平庸空间就不是空间． 定理6.1.1 拓扑空间X是一个空间当且仅当X中任意两个不同的单点 集有不同的闭包．（即如果x，y∈X，x≠y，则．） 证明充分性:设定理中的条件成立．则对于任何x，y∈X，x≠y，由于 ，因此或者成立，或者成立．当前者成立时，必定有．（因为否则).这推出x 有一个不包含y的开邻域．同理，当后者成立时，y有一个不包含x的开邻域．这证明X是一个空间． 必要性:设X是一个空间．若x，y∈X，x≠y，则或者x有一个开邻域U 使得或者y有一个开邻域V使得．若属前一种情形，由于 ，若属后一种情形，同样也有．定义6.1.2设X是一个拓扑空间．如果X中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一个点，则称拓扑空间X是一个空间． 空间当然是空间．但反之不然．例如设X={0,1}，T={,{0},X},则T 是X的一个拓扑，并且拓扑空间(X，T)是的但不是的．（请读者自己验证，） 定理6.1.2 设X是一个拓扑空间，则以下条件等价： （1）X是一个空间； （2）X中每一个单点集都是闭集；
拓扑空间中的连续函数
拓扑空间中的连续函数
参考文献： 1.岳跃利;方进明诱导I-Fuzzy拓扑空间[期刊论文]-数学研究与评论 5.李清华;方进明 I-Fuzzy拓扑空间中的可数性[期刊论文]-模糊系统与数学 相似文献1.学位论文韩刚 L-拓扑空间中的分离性 2006 本文的目的是进一步讨论L-拓扑空间(即L-Fuzzy拓扑空间)中的分离性，以及I-Fuzzy拓扑空间中的导集和连续性。主要工作如下： (1)在L-拓扑空间中分离性是很重要的性质，SteenLA，etal.在分明拓扑空间中定义了T21/2分离性，陈水利和孟广武以及尤飞将其推广到L-拓扑空间中.本文首先在分明拓扑空间中定义了T21/3分离性，并且指出在分明拓扑空间中T21/3分离性等价于T2分离性，然后在L-拓扑空间中定义了T21/3分离性，并且指出在L-拓扑空间中T21/3分离性与T2分离性是不等价的。同时又定义了ST21/3，层T21/3
分离性，讨论了它们与其它分离性的关系，并且研究了它们各自的一些性质，论证了它们都是L-好的推广。 (2)吉智方教授定义了T3＃分离性，本文继续讨论了它的一些性质，并且定义了一种新的分离性；T3(×)分离性，它是介于T3＃分离性与T3分离性之间，同时研究了它的一些性质，并且证明了T3＃空间范畴是有积和有上积的范畴。 (3)应明生教授1991年用连续值逻辑语义的方法定义了I-fuzzy 拓扑空间，王瑞英在2005年的博士学位论文中在I-Fuzzy拓扑空间中提出了R-邻域系的概念，它是以王国俊教授研究L-拓扑学时给出的远域为特款引入的，在此基础上定义了闭包、内部、基、子基、连续、子空间、积空间、商空间等基本概念，并且建立了网收敛理论。讨论了可数性与分离性。方进明在I-Fuzzy拓扑空间中提出了I-Fuzzy拟重邻域系，它是以刘应明教授研究L-拓扑学时给 出的重域为特款引入的，并。陆续在I-fuzzy拓扑空间讨论了可数性、连续性、诱导空间等性质。本文首先指出I-fuzzy拓扑空间中R-邻域系和拟重邻域系的研究方法是等价的，同时又指出利用R-邻域系来研究I-fuzzy拓扑空间是具有-定优越性的。到目前为止，在I-fuzzy拓扑空间中还没有导集的定义，本文主要是在I-fuzzy拓扑空间中引入导集的定义，它是以刘应明教授研究L-拓扑学时定义的导集为特款引入的，同时研究了它的一些性质，并且利用 R-邻域系在I-fuzzy拓扑空间中定义θ-闭包、θ-内部、Rθ-邻域系和θ-连续函数，证明了θ-连续的一些等价命题。
面向对象的三维矢量GIS 数据模型及拓扑关系的建立
面向对象的三维矢量GIS数据模型及 拓扑关系的建立 孙敏①唐小明②赵仁亮① (①中南工业大学资环建院410083) (②中国林业科学院资源信息所100091) 【摘要】本文针对三维GIS拓扑空间关系的复杂性，提出了以表为基本单元的面向对象的数据模型，这种数据模型能表达网状的空间拓扑关系，较直观地反映了三维GIS中复杂的空间拓扑关系。文中还对这种结构的拓扑关系和空间数据库的动态建立作了说明。 一、引言 到目前为止，三维GIS一直处于理论研究阶段，虽然有三维GIS系统问世，但其功能远远不能满足人们分析问题的需要，原因主要是三维GIS理论不成熟，其拓扑关系模型一直没有解决，另外三维基础上的数据量十分大，很难建立一个有效的，易于编程实现的三维模型。采用什么样的数据模型对GIS空间拓扑关系的建立以及空间分析与操作至关重要。随着在许多行业诸如煤炭、地质、石油、矿山、城市地下管网、城市空间规划等对三维GIS的需求日益迫切，三维GIS数据模型理论近来受到许多学者的关注，在八叉树与三维边界表示法基础上提出了如基于八叉树与TIN的混合结构［1］、八叉树与TEN的混合结构［2］、面向对象的矢量与栅格一体化结构［3］以及其他结构［4］，尽管这些结构在理论上有很大的进展，但实现较困难，也难以与已有的二维GIS兼容。基于八叉树结构的缺点在于指针占用存贮空间大，重编码费时长且精度低，不宜于表示线面对象。而三维GIS中的矢量与栅格一体化在目前实现有相当的困难，且目前所提出的模型的可行性有待检验。三维GIS要比二维GIS 复杂得多，如果GIS中拓扑空间基本元素分为点、线、面，那么在二维空间的GIS中，GIS的主要元素点、线、面同处于一个平面上，点的第三维坐标(高程)作为一个属性值输入，且一个面的描述只用其周边即可确定。而在三维GIS中，面元素不再只是平面，而可能是极不规则的空间曲面。描述一个面元素不能再只用其边线。面的生成与描述要用较复杂的方法，如用TIN、TEN或分块Bezier曲面、分块B样条曲面合成的方法(后两种算法适合于大面积较规则的曲面)。因而一个能直观、全面、清晰地表达三维GIS中复杂的拓扑关系，并能简捷地完成三维GIS空间数据分析和操作的数据模型成了人们研究探讨的核心。这里笔者针对三维GIS拓扑空间的复杂性，提出一种面向对象的三维GIS空间矢量网状数据模型，它以链表作为基本结构，把点、线、面、体看作是三维GIS 的基本元素，以每个元素为对象设计数据结构。这种结构由面向对象的二维GIS发展而来，符合人们处理GIS基本元素对象的习惯，能较直观自然地表达三维GIS中各个对象间的拓扑关系，由面向对象的二维GIS 系统向面向对象的三维GIS过渡也较易实现。