相似三角形复习教案(带详细答案)

相似三角形复习教案（带答案）

1. 比例线段的有关概念： 在比例式

：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c

d

a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。

把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2

=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质：

a b c d

ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d

d =?=

③等比性质：

……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a

b

===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理：

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。

则

，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF

DF

=== ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比

例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4. 相似三角形的判定：

①两角对应相等，两个三角形相似

②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似

④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似

⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 5. 相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例

③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比

⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方

【例1】如图ABC ?中，AB=AC ，点D 、E 分别在CB 、BC 的延长线上，且BAE ADB ∠=∠。

求证：2

AB CD BE =?。 证明：在ABC ?中，

AB AC ABC ACB =∴∠=∠

2ABE ACD=ABE ADC=BAE

ACD ABE AC CD =BE AB AB=AC AB =CD BE

ACD ??∠∠∠∠∴??∴∴?在和中

，∽

【例2】 如图ABC ?中，AH BC H CF AB F ⊥⊥于，于，D 为AB 上一点，且AD=AH ，

DE//BC 。

求证：DE=CF 。 证明：

DE//BC ADE ABC DE AD DE BC ==BC BC AD AB CF AB

∴??∴⊥∽即

CFB=90∴∠°，AH BC ⊥，AHB=90∠°

在AHB ?和CFB ?中，=AHB CFB ∠∠，=ABH CBF ∠∠

CF BC

AHB CFB AH AB

∴??=∽，

CF DE

AD AH

AH AD

CF DE ∴

==∴=，

【例3】如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OF AC O ⊥于点，交AB 于点E ，交CB 的延长线于点F 。求证：2

AO =OE OF ?。 证明：

22A B C D A O =B O A B O =B A O =90-A C B F O O C

F =90-A C B

F =A B O O E B O B F O B =O E O F A O =O E O F

∴∠∠?∠⊥∴∠?∠∴∠∠∴???∴?四边形为矩形

∽

【例4】如图，I 为ABC ?的三条角平分线的交点，过I 作AI 的垂线交AB 于点D ，交AC 于点E 。

求证：2

DI BD CE =?。 证明：

AI DE AI ADE DI=EI ADE=AED BDI=CEI

5+6+I=180=2+4+I 5+6=2+4

⊥∴?∴∠∠∴∠∠∠∠∠?∠∠∠∴∠∠∠∠为角平分线，为等腰三角形，

21=24=31+5=3+6

1+25+6=2+4+3+65=3DBI EIC DI CE=BD EI DI=EI DI BD CE

∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∴∠∠∴??=?又，且∽：：

【例5】如图，等边三角形ABC 中，E 、D 分别在AB 、AC 上，若AD=BE ，且CE 、BD 交于点O ，CF BD ⊥于F 。求证：（1）BEO CEB ??∽；（2）1

2

OF OC =。 证明：（1）

ABC ABD BCE AB=BC EBC=A BE=AD ABD BCE

BCE=EBO CEB=BEO BEO CEB

?∴??∠∠∴??∴∠∠∠∠∴??为等边三角形在和中

，，≌，∽

（2）

BCE ABD BCE=ABD COF=BCE+OBC=

ABD+OBC=ABC=60Rt FCO FCO=301OF=OC

2

??∴∠∠∠∠∠∠∠∠?∴?∠?

∴≌又在中，

【例6】如图，B 、D 、F 、E 在一条直线上，且AB BC AC

AD DE AE

==.求证：（1）ABD ACE ??∽； （2）BF FE AF FC ?=?。 证明：（1）

=AB BC AC

AD DE AE ADE ABC BAC DAE

BAD DAF EAF DAF BAD EAF AB AC

AD AE ABD ACE ==∴??∴∠=∠∠+∠=∠+∠∴∠∠=∴??∽即又

∽ （2）

AFB EFC AFB=EFC ABD ACE

ABD=ACE ABF=ECF AFB EFC BF AF =CF EF

BF FE AF FC ??∠∠??∴∠∠∠∠∴??∴

?=?在和中，又∽，即∽，即

中考试题分类汇编 相似三角形

一、选择题

1、如图1,已知AD 与BC 相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC 的大小为（ ）

A.60°

B.70°

C.80°

D.120°

A

B C D O 图1

B A

C

D E

2、如图，已知D 、E 分别是ABC ?的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且1ADE

DBCE S

S :=:8,四边形

那么:AE AC 等于（ ） A ．1 : 9 B ．1 : 3 C ．1 : 8 D ．1 : 2

3、图为?ABC 与?DEC 重迭的情形，其中E 在BC 上，AC 交DE 于F 点，且AB // DE 。若?ABC 与?DEC 的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=？( ) (A) 3 (B) 7 (C) 12 (D) 15 。

4、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P 处放一水平的平面镜,光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（ ）

A 、6米

B 、8米

C 、18米

D 、24米

5、如图，DEF △是由ABC △经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D E F ，，分别是OA OB OC ，，的中点，则DEF △与ABC △的面积比是（ ） A ．1:6 B ．1:5 C ．1:4 D ．1:2

6、给出两个命题：①两个锐角之和不一定是钝角；②各边对应成比例的两个多边形一定相似．( )

A ．①真②真

B ．①假②真

C ．①真②假

D ．①假②假 7、如图2所示，Rt △ABC ∽Rt △DEF ，则cos

E 的值等于（ ） A.

12

B. 22

C. 32

D. 33

第4题

B

C D E

A

8、如上图，直角梯形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD ，E 为梯形内一点，且∠BEC ＝90°，将△BEC 绕C 点旋转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF ，连EF 交CD 于M ．已知BC ＝5，CF ＝3，则DM:MC 的值为 （ ）

A.5:3

B.3:5

C.4:3

D.3:4

9、如图，在ABC ?中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，若6BC =，则DE 等于 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2

10、已知ABC DEF △∽△，相似比为3，且ABC △的周长为18，则DEF △的周长为（ ）

A ．2

B ．3

C ．6

D ．54

11、如图,Rt △ABAC 中,AB ⊥AC ,AB =3,AC =4,P 是BC 边上一点,作PE ⊥AB 于E,PD ⊥AC 于 D ,设BP =x ,则PD+PE =（ ）

A.35

x + B.45

x -

C.

72

D.

212125

25

x x -

12、 如图，在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系式是（ ） A 、b a c =+ B 、b ac = C 、2

2

2

b a

c =+ D 、22b a c ==

13、如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴

影部分的面积是 是△ABC 的面积的 （ ）

Ａ．91 Ｂ．92 Ｃ．31 Ｄ．9

4

E

H

F G

C

B

A （（第13题图）

E C D

A

F

B 图5

14、下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）

15、在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，

则树的高度为（ ）

A 、4.8米

B 、6.4米

C 、9.6米

D 、10米

二、填空题

1、如图，D E ，两点分别在ABC △的边AB AC ，上，DE 与BC 不平行，当满足 条件（写出一个即可）时，ADE ACB △∽△．

2、如果两个相似三角形的相似比是1:3，那么这两个三角形面积的比是 ．

3、如图5，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，

如果23BE BC =，

那么BF FD

= ．

4、在Rt △ABC 中，∠C 为直角，CD ⊥AB 于点D,

BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是 和 ； 并写出它的面积比 . 5、如图，点1234A A A A ，，，在射线OA 上，点123B B B ，，在射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，213243A B A B A B ∥∥．若212ABB △，323A B B △的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和 为 ．

6、两个相似三角形的面积比S 1:S 2与它们对应高之比h 1:h 2之间的关系为 ．

7、.ΔABC 的三边长为2,10,2,ΔA'B'C'的两边为1和5,若ΔABC ∽ΔA'B'C',则ΔA'B'C'的笫三边长为________.

8、如图4，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED=1，BD=4，那么AB=

（第7题） A ． B ． C ． D ．

D

C

B

A

A

E

C

B

D

（第5题图）

O A 1 A 2 A 3

A 4 A

B B 1 B 2 B 3

1

4

图3 （第12题）

A B

C

E

D

9、如图，在ABC △中，D E ，分别是AB AC ，的中点，若5DE ，则BC 的长是 ．

10、如图3，要测量A 、B 两点间距离，在O 点打桩，取OA 的中点 C ，OB 的中点D ，测得CD =30米，则AB =______米．

三、解答题

1、如图5，在△ABC 中，BC>AC ， 点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，

点E 是AB 的中点，连结EF. （1）求证：EF ∥BC. （2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积. 2、如图：在等腰△ABC 中，CH 是底边上的高线，点P 是线段CH 上不与端点重合的任意一点，连接AP 交BC 于点E,连接BP 交AC 于点F. (1) 证明：∠CAE=∠CBF; (2) 证明：AE=BF;

(3) 以线段AE ，BF 和AB 为边构成一个新的三角形ABG （点E 与点F

重合于点G ），记△ABC

和△ABG 的面积分别为S △ABC 和S △ABG ,如果存在点P,能使得S △ABC =S △ABG ,求∠C 的取值范围。

F C A

B

P

E

H

3、如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．

求证：（1）CG AE =；

（2）.MN CN DN AN ?=?

4、如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交

AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．

（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；

（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点，使PQ=PR?若存在，请求出所有满足要求的的值；若不

存在，请说明理由．

5、如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别

A

B

C D E R

P H Q

交AC CD ，于点P Q ，．

（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）； （2）求::BP PQ QR ．

6、如图，□ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD DE 2

1

。 ⑴求证：△ABF ∽△CEB;

⑵若△DEF 的面积为2，求□ABCD 的面积。

7、如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由； （2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；

（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？

A B

C

D E

P

O R 第21题图 F

A

D

E

B

C

8、如图，在平面直角坐标系中，点(30)C -，

，点A B ，分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且满足2

310OB OA -+-=．

（1）求点A ，点B 的坐标．

（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP ．设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A B P ，，为顶点的三角形与AOB △相

似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

9、如图10所示，E 是正方形ABCD 的边AB 上的动点， EF ⊥DE 交BC 于点F ．

（1）求证： ?ADE ∽?BEF ；

（2）设正方形的边长为4， AE =x ，BF =y ．当x 取什么值时， y 有最大值?并求出这个最大值．

10.如图，在△ABD 和△ACE 中，AB=AD ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE ，连结BC 、DE 相交于点F ，BC 与AD 相交于点G.

（1）试判断线段BC 、DE 的数量关系，并说明理由

（2）如果∠ABC=∠CBD ，那么线段FD 是线段FG 和FB 的比例中项吗？为什么？

y x

A O C B

答案

一、选择题

1、B

2、B

3、B

4、B

5、C

6、C

7、A

8、C

9、C 10、C 11、A 12、A 13、C

14、B

二、填空题

1、答案不唯一角ADE = 角ACB

2、1:9

3、2/3

4、三角形ABC 相似三角形CBD

25/9 5、0.5+2+8 = 10.5 6、S1：S2 = (H1：H2）^2 7、根号2

8、4 9、10 10、60

三：解答题

1、

（1）思路：AC = DC CF是角平分线，所以F是AD中点，EF∥BC

（2）三角形AEF的面积比三角形ABD的面积为1:4，所以三角形AEF的面积为四边形

面积的1/3，三角形AEF面积为2，ABD面积为8

2、解：(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，CH是底边上的高线，

∴AC=BC，∠ACP=∠BCP，

又∵CP=CP

∴△ACP≌△BCP，

∴∠CAP=∠CBP，即∠CAE=∠CBF；

(2)证明：∵∠ACE=∠BCF，∠CAE=∠CBF，AC=BC，

∴△ACE≌△BCF

∴AE=BF；

(3)由(2)知△ABG是以AB为底边的等腰三角形，

∴S△ABC =S△ABG等价于AE=AC，

①当∠C为直角或钝角时，在△ACE中，不论点P在CH何处，均有AE>AC，所以结论

不成立；

②当∠C为锐角时，∠A=90°-1/2*∠C，而∠CAE<∠A，要使AE=AC，只需使∠C=∠CEA ，

此时，∠CAE=180°-2∠C，只需180°-2∠C< 90°-1/2*∠C，解得60°<∠C< 90°，（也可在ACEA中通过比较∠C和∠CEA的大小而得到结论）。

3、由

所以

故AN*DN=CN*MN

4、（1），，，．

点D为中点，．

，．

，

（2），．

，，

，，

即y关于x的函数关系式为：．

即y关于x的函数关系式为：．

(3)过点作于，

则．

，，

．

，

，

，．

②当时，，

．

5、

解：（1）△BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ；

（2）∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形

∴BC=AD=CE，AC∥DE，

∴PB=PR，

又∵PC∥DR，

∴△PCQ∽△RDQ

又∵点R是DE中点，

∴DR=RE。

又∵BP=PR=PQ+QR=3PQ

∴BP∶PQ∶QR=3∶1∶2。

6、解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，AB∥CD，

∴∠ABF=∠CEB，

∴△ABF∽△CEB。

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB CD，

∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF

∵

∴，

∵

∴，

∴

∴。

7、解：（1）△BPQ是等边三角形。

当t=2时，AP=231=2，BQ=232=4，所以BP=AB-AP=6-2=4，所以BQ=BP，又因为∠B=60°，所以△BPQ是等边三角形。

（2）过Q作QE⊥AB，垂足为E，

由QB=2y，得QE=2t2sin60°=t，

由AP=t，得PB=6-t，

所以S△BPQ=3BP3QE=（6-t）3t=-t2+3t；

（3）因为QR∥BA，所以∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60°，

又因为∠C=60°，所以△QRC是等边三角形，

所以QR=RC=QC=6-2t，

因为BE=BQ2cos60°=32t=t，

所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t，

所以EP∥QR，EP=QR，

所以四边形EPRQ是平行四边形，所以PR=EQ=t，

又因为∠PEQ=90°，所以∠APR=∠PRQ=90°，

因为△APR∽△PRQ，所以∠QPR=∠A=60°，

所以tan60°=，即，所以t=，

所以当t=时，△APR∽△PRQ。

8、解：（1）∵，

∴，OA-1=0，

∴，OA=1，

点A，点B分别在x轴，y轴的正半轴上，

∴A（1，0），B（0，）；

（2）由（1），得AC=4，，，∴，

∴△ABC为直角三角形，

设CP=t，过P作PQ⊥CA于Q，由△CPQ∽△CBO，易得PQ=，

∴S==（0≤t＜）；（3）存在，满足条件的的有两个：，。

9、证明：（1）因为ABCD是正方形，所以

∠DAE=∠FBE=，

所以∠ADE+∠DEA=，

又EF⊥DE，所以∠AED+∠FEB=，

所以∠ADE=∠FEB，

所以ADE∽BEF．

（2）解：由（1）ADE∽BEF，AD=4，BE=4-，得

，得

==，

所以当=2时，有最大值，

的最大值为1．

10、

1.BC=DE

∵∠BAD=∠CAE

∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC 即∠BAC=∠EAD

又∵AB=AD,AC=AE

∴△BAC≌△DAE

∴AB/DA=AC/AE=BC/DE

∵AB=AD,AC=AE

∴AB/DA=AC/AE=BC/DE=1

∴BC=DE

2.∵△BAC≌△DAE

∴∠ABC=∠ADE

∵∠ABC=∠CBD

∴∠ADE=∠CBD

又∵∠BFD=∠DFG

FD是公共边

∴△FDB≌△FGD

∴FD/FG=FB/FD

∴FD2=FB3FG

∴FD是线段FB和FG的比例中项