03第三章导数与微分

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第三章导数与微分

一、本章学习要求与内容提要

（一）学习要求

1.理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题.

2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式.

3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法.

4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法.

5.了解可导、可微、连续之间的关系.

重点导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法. 难点求复合函数和隐函数的导数的方法. （二）内容提要

1.导数的概念 ⑴导数

设函数)(x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，当自变量x 在点0x 处有增量)0(≠??x x ，x x ?+0仍在该邻域内时，相应地，函数有增量)()(00x f x x f y -?+=?，若极限

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存在，则称)(x f 在点0x 处可导，并称此极限值为)(x f 在点0x 处的导数，记为)(0x f '，也可记为

0d d d d ,

)(x x x f

x x x y x x y x y ==='

'或

，即 x

x f x x f x y

x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim

)(00000. 若极限不存在，则称)(x f y =在点0x 处不可导.

若固定0x ，令x x x =?+0，则当0→?x 时，有0x x →，所以函数)(x f 在点0x 处的导数)(0x f '也可表示为

()(lim )(x x x f x f x f x --='→.

⑵左导数与右导数

①函数)(x f 在点0x 处的左导数

)(0x f -'＝x

x f x x f x y x x ?-?+=??-

→?→?)

()(lim

lim

0000

. ②函数)(x f 在点0x 处的右导数

)(0x f +'＝x

x f x x f x y x x ?-?+=??+

→?→?)

()(lim

lim

000

0. ③函数)(x f 在点0x 处可导的充分必要条件是)(x f 在点0x 处的左导数和右导数都存在且相等．

03第三章 导数与微分