北京工业大学概率论与数理统计2012-2013考题(原题加答案)
北京工业大学2012-2013学年第一学期期末
数理统计与随机过程(研) 课程试卷
学号 姓名 成绩
注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。数据结果保留3位小数。 考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛
骤等编第三版（或第四版）高等教育出版社，不能携带和查阅任何其他书籍、纸张、资料等。考试时允许使用计算器。
考试时间120分钟。考试日期：2013年1月日
一、（10分）欲对某班《数理统计与随机过程》的期末考试成绩作分析。假设这门课成绩X (单位：分)服从正态分布2(,)N μσ。若班级平均成绩在75分以上则认为该班成绩良好。现从该班中随机抽取9名同学，得到他们成绩的平均分为78.44，标准差为11.40。请根据以上结果回答如下问题：
（1）取显著性水平α=0.05，分别给出下述两个问题的检验结果：
检验问题I “H 0: 75μ≤，H 1: 75μ>” 检验问题II “H 0: 75μ≥，H 1: 75μ<” （2）对以上结论你如何解释？ 二、（15分）将酵母细胞的稀释液置于某种计量仪器上，数出每一小格内的酵母细胞数X ，共观察了413个小方格，结果见下表。试问根据该资料，X 是否服从Poisson 分布？(显著性水平取0.05α=)
三、（15分）某公司在为期8个月内的利润表如下：
(1)求该公司月利润对月份的线性回归方程；(2)对回归方程进行显著性检验：（取
05.0=α）
；(3)解释回归系数的意义；（4）求第11月利润的预测区间（取050.=α）。(本题计算结果保留两位小数)。
四、（15分）某消防队要考察4种不同型号冒烟报警器的反应时间（单位：秒）。今将每种型号的报警器随机抽取5个安装在同一条烟道中，当烟量均匀时观测报警器的反应时间，得数据如下：
） （2） 如果各种型号的报警器的反应时间有显著性差异，求均值差B A μμ-的置信
水平为95%的置信区间。 五、（15分）设{N(t),t }是强度为的Poisson 过程，试求 (1) P{N(1)<2};
(2) P{N(1)=1 且 N(2)=3}; (3) P{N(1)≥2|N(1)≥1}.
六、（15分）设{}0,≥n X n 为时齐马氏链，状态空间{
}3,2,1=I ，一步转移概率矩阵为 P=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛05
.05.05.005.05.05.00
初始分布P （X 0=1）=P （X 0=2）=0.25。
(1)求P （X 0=1,X 1=3,X 3=2, X 4=3）的值； (2)求P （X 0=3 ,X 3=1| X 1=1, X 2=2）的值；
(3)判断{}0,≥n X n 是否为遍历的，请说明理由；若是遍历的，求其平稳分布。 七、（15分）设有随机过程)cos()(Θ+=t A t X ω，式中A 是服从瑞利分布的随机变量，其概率密度函数为：
⎪⎩
⎪⎨⎧≤>=-
0 ,00
,)(22
22x x e x x f x σσ
)2,0(~πU Θ，且Θ与A 相互独立，ω为常数，证明)(t X 为平稳过程。
（提示：Y X ,是相互独立随机变量，且)(),(y g x f 是连续函数，则)(),(Y g X f 仍然是相互独立的随机变量。）
一、解：（1）由书中结论知，检验问题I的拒绝域为
(1)
X
t n
α
≥-
检验问题II的拒绝域为
(1)
X
t n
α
≤--
而由题设知78.44
X=，10.4
S=，9
n=
78.4475
11.4/3
X-
==0.905
查表得
0.05
(1)(8)
t n t
α
-==1.8595。
由此易见，两个检验问题的检验结果都是“接受原假设H
”。
（2）表面上看，这两个结论是对立的。但是，由于考虑到显著性检验只控制了犯第一类错误的概率，因而接受原假设时，犯第二类错误的概率可能很大，故此时的检验结果不是都很可信，因而从这个意义上来说并不矛盾。
二、解：
0*1031*1437*1
ˆ 1.41889
413
+++
λ==
2
22
4
=61,1
415.1626413 2.1626=(0.05)9.488
k r k r
=--
-=<=
χ
χχ
并组后。而此处故分布自由度为=4。而
2
8
82
21
111Sxx 2043642
8i i
i i x x n ==⎛⎫=-=-= ⎪
⎝⎭∑
∑8
881
1111Sxy .86.273618.27 4.055
8i i i i i i i x y x y n ===⎛⎫⎛⎫
=-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ˆ0.0965611ˆˆ18.270.0965536 1.8493.88ˆ(1): 1.84930.09656xy
xx
s b s a y bx y
x ===-=⨯-⨯⨯=∴=+得经验回归方程为
（2）对回归方程进行检验：
2
8
8
221
12
0.0252
2
11Syy 42.155518.270.431398ˆ0.431390.09656 4.0550.03984
0.60989
垐0.00664;0.08148626ˆ0.09656
7.6853
ˆ0.081486(2)(8) 2.306(i i i i e yy xy e y y n Q S bS Q n b
t t n t t t αασσσ==⎛⎫=-
=-= ⎪⎝⎭
=-=-⨯=∴=
===-=
=
=-==>∑∑ 2),n -∴拒绝原假设回归方程很显著。
（3）表明公司月利润逐月增长率为0.0965；
（4）
四、解:
(1)在1中，s=4,
n n n n ====5, n =20，列方差分析表如下：
0.05（3，16）=3.24 < F=6.15, 检验结果拒绝H 0
(2)
则=2σ16/77.48=-s
n S
E =3.105；
1199
.2)16()(025.0025.0==-t s n t
3625
.25
2
105.31199.2)11(S )16(E 025.0=⨯=+k j n n t ，
故置信区间为：
)08.1,64.3(2.3625-1.282.36256.56-5.25-=±=±.
五、解:(1)22
1
3!
2)2)1((--===
<∑
e k e N P k k
(2)
4
2
22
1
4!
22!
12)2)1()2(()1)1(()2)1()2(,1)1(()3)2(,1)1((---===-===-=
===e e e N N P N P N N N P N N P
(3)
28.51=X 56.62=X 30.63=X 76
.94=X 28.5ˆ1=μ
56.6ˆ2=μ30.6ˆ3=μ
76.9ˆ4=μ
02
ˆ垐:(2)[2.620,3.203].
a bx t n ασ⎛+±- ⎝
区间预测 代入数值计算得：
2
2
202
120131!
021!12!021)1)1((1)2)1((1)1)1(()
2)1(()1)1(()1)1(,2)1(()1)1(2)1((-------=-
--=<-<-=≥≥=
≥≥≥=≥≥e e e e e N P N P N P N P N P N N P N N P
六、解：
P 2=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡5.025
.025
.025.05.025
.025.025.05.0
（1）P(X 0=1, X 1=3, X 3=2, X 4=3,)= P （X 0=1）P(X 1=3|X 0=1) P(X 3=2|X 1=3,) P （X 4=3|X 3=2) =0.25×0.5×0.25×0.5=1/64
（2）P （X 0=3 ,X 3=1| X 1=1, X 2=2） = P （X 0=3 ,X 3=1， X 1=1, X 2=2）/ P （X 1=1, X 2=2） = P （X 0=3）P （X 1=1|X 0=3）P （X 2=2|X 1=1）P （X 3=1| X 2=2）/[ P （X 1=1）P （X 2=2|X 1=1）]
=0.5×0.5×0.5×0.5÷0.375÷0.5=1/3
（3） P 2
皆正元 ，故遍历。
设平稳分布为（x 1，x 2，x 3），由（x 1，x 2，x 3）P=（x 1，x 2，x 3）及x 1+x 2+x 3=1可得平稳分布为（1/3，1/3，1/3）。
七、解：由题设随机变量Θ与A 相互独立，于是)cos (Θ+t ω与A 也相互独立，又)cos()cos(Θ+Θ+s t ωω与2A 也相互独立，所以，由期望的性质知：
0))(cos())cos(())((=Θ+∙=Θ+=t E EA t A E t X E ωω
又因为：
[])(cos 2
1
2)(cos 41)(cos 21)2cos(21)(cos 21)
cos()cos(20t s d t s t s t s t s E s t E -=ΘΘ+++-=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡Θ+++-=Θ+Θ+⎰ωωωωωωωωπ
及：
2
22
2022022
2
222
220
2
3
2
2ex p 2ex p 2ex p 2ex p )(2ex p σσσσσσσσ=⎭⎬
⎫⎩⎨⎧--=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=⎭
⎬
⎫⎩⎨⎧-=
∞
∞∞
∞
∞
⎰⎰
⎰
x dx x x x x x d x dx x x EA
故得：
[]
)(cos ))cos()(cos( )cos()cos(),(222t s s t E EA s t EA s t R X -=Θ+Θ+=Θ+Θ+=ωσωωωω 所以，)(t X 是平稳过程。
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北京工业大学概率论与数理统计2012-2013考题(原题加答案)
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四、（15分）某消防队要考察4种不同型号冒烟报警器的反应时间（单位：秒）。今将每种型号的报警器随机抽取5个安装在同一条烟道中，当烟量均匀时观测报警器的反应时间，得数据如下： ） （2） 如果各种型号的报警器的反应时间有显著性差异，求均值差B A μμ-的置信 水平为95%的置信区间。 五、（15分）设{N(t),t }是强度为的Poisson 过程，试求 (1) P{N(1)<2}; (2) P{N(1)=1 且 N(2)=3}; (3) P{N(1)≥2|N(1)≥1}. 六、（15分）设{}0,≥n X n 为时齐马氏链，状态空间{ }3,2,1=I ，一步转移概率矩阵为 P=⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛05 .05.05.005.05.05.00 初始分布P （X 0=1）=P （X 0=2）=0.25。 (1)求P （X 0=1,X 1=3,X 3=2, X 4=3）的值； (2)求P （X 0=3 ,X 3=1| X 1=1, X 2=2）的值； (3)判断{}0,≥n X n 是否为遍历的，请说明理由；若是遍历的，求其平稳分布。 七、（15分）设有随机过程)cos()(Θ+=t A t X ω，式中A 是服从瑞利分布的随机变量，其概率密度函数为： ⎪⎩ ⎪⎨⎧≤>=- 0 ,00 ,)(22 22x x e x x f x σσ )2,0(~πU Θ，且Θ与A 相互独立，ω为常数，证明)(t X 为平稳过程。 （提示：Y X ,是相互独立随机变量，且)(),(y g x f 是连续函数，则)(),(Y g X f 仍然是相互独立的随机变量。）
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2012年7月概率论与数理统计(经管类)考前练习题及答案(试卷+答案)
全国2012年7月高等教育自学考试考前练习题 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1. 设A ，B 为两个互不相容事件，则下列各式错误．．的是（ ） A. P （AB ）=0 B. P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ） C. P （AB ）=P （A ）P （B ） D. P （B-A ）=P （B ） 2. 设事件A ，B 相互独立，且P （A ）=3 1，P （B ）>0，则P （A|B ）=（ ） A. 151 B. 5 1 C. 15 4 D. 3 1 3. 设随机变量X 的概率密度为f(x)，则f(x)一定满足（ ） A. 0≤f(x)≤1 B. ?∞ -=>X dt )t (f }x X {P C. ? +∞∞ -=1dx )x (f D. f(+∞)=1 4. 设随机变量X 的概率密度为f (x)，且P ｛X ≥0｝＝1，则必有（ ） A. f (x)在（0，＋∞）内大于零 B. f (x)在（－∞，0）内小于零 C. ?+∞ =01f(x)dx D. f (x)在（0，＋∞）上单调增加 5. 已知随机变量X 的概率密度为f X (x )，令Y=-2X ，则Y 的概率密度f Y (y)为（ ） A. 2f X (-2y) B. f X )2 (y - C. )2 (21 y f X -- D. )2 (21y f X - 6. 设离散随机变量X 的分布列为， X 2 3 P 0.7 0.3 则D （X ）＝（ ） A. 0.21 B. 0.6
C. 0.84 D. 1.2 7. 设二维随机向量（X,Y ）~N(μ1，μ2，ρσσ,,2221)，则下列结论中错误．． 的是（ ） A. X~N （2 1,1 σμ ），Y~N （222,σμ） B. X 与Y 相互独立的充分必要条件是ρ=0 C. E （X+Y ）=21μ+μ D. D （X+Y ）=2221σσ+ 8. 设二维随机向量（X ，Y ）～N （1，1，4，9，2 1），则Cov （X ，Y ）＝（ ） A. 2 1 B. 3 C. 18 D. 36 9. 设随机变量X 1，X 2，…，X n ，…独立同分布，且i=1，2…，0 湖南人文科技学院 数学系 数学与应用数学、信息与计算科学专业 2012 级 2013---2014学年第二学期概率论与数理统计课程考试试卷A 分钟 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将 其代码填写在题干的括号内。多选无分。 1．设B A ,是任意2个事件，则=-)(B A P （ C ）． （A ）)()(B P A P -； （B ）()()()P A P B P AB -+； （C ）)()(AB P A P -； （D ）)()()(AB P B P A P -+． 2．设n x x x ,,,21 是来自正态总体),(2σμN （σ未知）的样本，对均值μ考虑如下的检验 0100::μμμμ≠=H vs H ，则显著性水平为α的拒绝域是（ A ）（记t =） A ．2 {;(1)}W t t t n α=≥- Ｂ．{;(1)}W t t t n α=≥- Ｃ．1{;(1)}W t t t n α-=≤- D ．2 {;(1)}W t t t n α=≤- 3．设总体X ~2(1,)N σ,12,,,n X X X ???是取自总体X 的一个样本, 则为参数2 σ的无偏估计量的 是( Ａ ) (A) 211()1n i i X X n =--∑; (B) 211()n i i X X n =-∑; (C) 21 1n i i X n =∑; (D) 2 X 4．若随机变量X 和Y 的协方差等于0，则以下结论正确的是（ Ｂ ）． )(A X 和Y 相互独立； )(B )()()(Y D X D Y X D +=+； )(C )()()(Y D X D Y X D -=-； )(D )()()(Y D X D XY D ?=． 5设随机变量X 与Y 均服从正态分布，)5,(~),4, (~22μμN Y N X ；记 },4{1-≤=μX p p }5{2+≥=μY p p ，则有（ Ａ）． )(A 对任何实数μ，都有21p p =； )(B 对任何实数μ，都有21p p < ； )(C 只对个别μ值，才有21p p =； )(D 对任何实数μ，都有21p p >． 二、填空题（本大题共5小题，每小题 3分，共15分） 1．随机变量X ~)4,(μN ，且5)(2=X E ，则X 2(1)x ±-2．设Y X ,独立且均服从正态分布),0(2σN ，且41)2,2(=-≤≤Y X P ，则=->>)2,2(Y X P 14 ． 3．设 ，n X X X ,,,21为独立同分布的随机变量序列，且),2,1( =i X i 服从参数为2的指数分布，则∞→n 当时，∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于 12． 4. 设(1521,,,X X X )是来自正态总体()9,0N 的简单随机样本，则统计量 2152122112102221 21X X X X X X Y ++++++= 的概率分布是(10,5)F ．（只填Ｆ分布得２分.） 5. 设总体n X X X N X ,,,),,(~212???σμ是来自X 的一个样本∑==n i i X n X 11，参数2,σμ都是未知的，则2σ的矩估计量为 22211()n n i i i i x x x x n n == --∑∑或 三、判断题(每小题2分，共12分对的打“√”，错的打“×”) 1．设X ~(,1)N μ,则满足{}{}22P X P X >= ≤的参数μ=2 （√ ） 2．设随机变量)1,0(~),1, 0(~N Y N X ，则22Y X +服从2χ分布； （× ） 3. 设随机变量X 与Y 相互独立，且), (~1p n B X ，),(~2p n B Y ，则~Y X +)2,(21p n n B +；（× ） 山东建筑大学试卷 共 3 页第1页 2012 至 2013 学年第 1 学期 考试时间： 120 分钟 课程名称： 概率论与数理统计 （A ）卷 考试形式：（闭卷） 年级： 2011 专业： 全校各专业 ；层次：（本科） 题号 一 二 三 总分 分数 题目中可能用到的数据：9938.0)5.2(=Φ，(1.96)0.975Φ= 一、填空题（每空3分，共24分） 1、设, A B 为随机事件，()()0.7P A P B +=，()0.3P AB =，则 ()()P AB P AB += 2、设随机变量X 的分布律为{}(0,1,2,) 0!k a P X k k k λλ===>，为常数，则常数a = . 3、设随机变量X 和Y 是相互独立的随机变量且都服从正态分布， )4,3(~N X ，)9,2(~N Y ，则=+)43(Y X D 。 4、设在三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的 概率为1927 ，则事件A 在一次试验中出现的概率是 . 5、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则应用切比雪夫不等式估计得{}22P X -≥≤ . 6、设随机变量X 在区间[0,1]上服从均匀分布，则X Y e =的数学期望为 7、设总体X 的方差为1，根据来自X 的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，则X 的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 . 8、设1621,,,X X X 是来自总体X ),4(~2 σ N 的简单随机样本，2 σ已 知，令∑=16 161i X X ，则统计量σ -164X 服从的分布为 。 二、选择题（每题3分，共18分） 1、设, A B 为对立事件, ()01P B <<, 则下列概率值为1的是( ) (A) ()|P A B ; (B) ()|P B A ; (C) () |P A B ; (D) ()P AB 2、设随机变量X ~()1,1N ，概率密度为()f x ，分布函数()F x ，则下列正确的是( ) (A) {0}{0}P X P X ≤=≥; (B) {1}{1}P X P X ≤=≥; (C) ()()f x f x =-, x R ∈; (D) ()()1F x F x =--, x R ∈ 3、设1X ，2X 独立，i 1{0}2P X ==，i 1 {1},(i 1,2)2 P X ===，下列 结论正确的是＿＿＿ （Ａ）1 2X X =； （B ）12{}1P X X ==； （C ）121{}2 P X X ==； （D ）以上都不对 4、设X 的分布函数为()x F ，则12 1 -=X Y 的分布函数()G y 为（ ） （A ）?? ? ??-121y F （B ）()12-y F （C ）)22(+y F （D ）()12-y F 5、设总体X ～)1,(μN ，12,.n X X X 为来自总体X 的一组样本，记 11212?33X X μ =+， 21213?44 X X μ=+， 31211?22X X μ=+， 41223?55X X μ=+， 在这四个μ的无偏估计量中，最有效的是（ ） （A ）1?μ ； （B ）2?μ； （C ） 3?μ； （D ） 4?μ. 6、设两独立随机变量)1,0(~N X ，)9(~ 2χY ，则 Y X 3服从（ ） )(A )1,0(N ； )(B )3(t ； )(C )9(t ； )(D )9,1(F 考场 班级 姓名 学号 订线 装订线 装订线 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §１ .1 随机试验及随机事件 1. （1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间 是:S= ; (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ; ２.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B:数点大于2，则Ｂ＝ ． (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面,则A ＝ ； Ｂ：两次出现同一面,则= ； C ：至少有一次出现正面,则C= ． §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、Ｂ、C 为三事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2）A 与B 都发生，而C 不发生表示为： . （3)A 与Ｂ都不发生,而C 发生表示为: .(4)Ａ、B 、C 中最多二个发生表示为: . （５)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .（６）A 、B 、C 中不多于一个发生表示为: . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=⋃B A ,(2）=AB ，(3)=B A , (4)B A ⋃= ，(5）B A ＝ 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ,则 （1） =)(AB P , (2)()(B A P )= ， (3))(B A P ⋃= . ２． 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有３0个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(１)正好有２个女同学的概率, (２）最多有２个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将３个不同的球随机地投入到４个盒子中，求有三个盒子各一球的概率. §１ .5 条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7， 则其中一颗为1的概率是 。 1【解析】因为，所以，而， 所以，即； 又由集合的加法公式P（AB）=P（A）+P（B）-P（A∪B）=0.5+0.4-0.6=0.3， 所以＝0.5－0.3＝0.2，故选择B. [快解] 用Venn图可以很快得到答案： 【提示】1. 本题涉及集合的运算性质：（i）交换律：A∪B=B∪A,AB=BA； （ii）结合律：（A∪B）∪C=A∪（B∪C）,（AB）C=A（BC）； （iii）分配律：（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C），（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）； （iv）摩根律（对偶律）,. 2.本题涉及互不相容事件的概念和性质：若事件A与B不能同时发生，称事件A与B互不相容或互斥，可表示为A∩B＝ ，且P（A∪B）=P（A）+P（B）. 2.【答案】C【解析】根据分布函数的性质，选择C。 【提示】分布函数的性质： ① 0≤F（x）≤1；② 对任意x1，x2（x1 3【答案】D【解析】由课本p68，定义3－6：设D为平面上的有界区域，其面积为S且S>0. 如果二维随机变量（X,Y）的概率密度为 ， 则称（X,Y）服从区域D上的均匀分布. 本题x2+y2≤1为圆心在原点、半径为1的圆，包括边界，属于有界区域，其面积S=π， 故选择D. 【提示】课本介绍了两种二维连续型随机变量的分布：均匀分布和正态分布，注意它们的定义。若（X,Y）服从二维正态分布，表示为（X,Y）～. 4.【答案】A【解析】因为随机变量X服从参数为2的指数分布，即λ=2，所 以；又根据数学期望的性质有 E（2X-1）=2E（X）-1=1-1=0， 故选择A. 【提示】1.常用的六种分布 （1）常用离散型随机变量的分布： A. 两点分布① 分布列② 数学期望：E（X）=P③ 方差：D（X）=pq。 B. 二项分布：X～B（n,p） ① 分布列：，k=0，1，2，…，n；② 数学期望：E（X）=np③ 方差：D（X）=npq 概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一 一、填空题(本题满分 18分，每题3分) 1、设P(A) 0.7,P(A B) 0.3,则P(AB)= ___________________________ 。 5 2、设随机变量X 〜B(2, p),Y 〜B(3, p)，若p(X 1) ，则p(Y 1) _____ 9 3、设X 与Y 相互独立，DX 2, DY 1，贝U D(3X 4Y 5) _________________________ 。 4、设随机变量X的方差为2,则根据契比雪夫不等式有P{X -EX 2} _______________ n 5、设(X「X2, ,X n)为来自总体2(10)的样本，则统计量Y X i服从 i 1 _______________ 分布。 6、设正态总体N( , 2) , 2未知，贝U 的置信度为1 的置信区间的长度 L __________________ 。(按下侧分位数) 二、选择题(本题满分 15分，每题3分) 1、若A与自身独立，则( ) (A) P(A) 0 ; (B) P(A) 1 ; (C) 0 P(A) 1 ; (D) P(A) 0或P(A) 1 2、下列数列中，是概率分布的是( ) X 5 x2 (A) p(x) ,x 0,1,2,3,4 ；(B) p(x) ,x 0,1,2,3 15 6 1 x 1 4 25 3、设X ~ B( n, p)，则有( ) (A) E(2X 1) 2np (B) D(2X 1) 4np (1 p) (C) E(2X 1) 4np 1 (D) D(2X 1) 4n p(1 p) 1 考试科目：概率论与数理统计考试时间：120分钟试卷总分100分 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小 题,每小题3分，总计15分） 1．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现1点的概率为（ A ). （A）1/3 (B）2/3 (C)1/6 (D）3/6 2．设随机变量的概率密度，则K=（ B ）。 (A)1/2 (B）1 （C)—1 (D）3/2 3．对于任意随机变量，若,则（ B ）。 （A) (B) （C) 一定独立（D)不独立 5．设,且，，则P{-2<<4}=( A )。 （A）0。8543 （B)0。1457 （C)0.3541 （D)0。2543 二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题，每小题3分，总计15分） 1．设A、B为互不相容的随机事件则( 0.9 ）. 2．设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为( 1/10 ）。3．设随机变量X的概率密度则（ 8/10 ）。 4．设D()=9， D(）=16，，则D()=（ 13 ）。 *5．设，则( N(0，1) )。 三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，总计60分） 1．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的25％,35％，40％，又这三条流水线的次品率分别为0.05，0。04,0.02。现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？ （1）全概率公式 2．设连续型随机变量的密度为 (1）确定常数A (2)求（3)求分布函数F（x). （2)① 故A=5 。 ②（3分） ③当x<0时,F（x）=0； (1分) 当时, （2分) 故。（1分) 3．设二维随机变量（）的分布密度 求关于和关于的边缘密度函数。 （3） 4．设连续型随即变量的概率密度, 考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编13(题后含答案 及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1．设随机变量X～N(0，1)，y～N(1，4)，且相关系数ρXY＝1，则 A．P{Y＝－2X－1}＝1 B．P{Y＝2X－1}＝1 C．P{Y＝－2X＋1}＝1 D．P{Y＝2X＋1}＝1 正确答案：D 解析：如果选项A或C成立，则应ρXY＝1，矛盾；如果选项B成立，那么EY＝2EX－1＝－1，与本题中EY＝1矛盾．只有选项D成立时，ρXY＝1，EY＝2EX＋1＝1，DY＝4DX＝4，符合题意，故选 D．知识模块：概率论与数理统计 2．设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则D(XY)＝ A．6． B．8． C．14． D．15． 正确答案：C 解析：由题意知：EX＝1，DX＝2，EY＝1，DY＝4，于是E(X2)＝DX＋(EX)2＝2＋12＝3，E(Y2)＝DY＋(EY)2＝4＋12＝5，注意到X2与y2是独立的，于是D(XY)＝E(XY)2－E[(XY)]2 ＝E(X2Y2)－[EX.EY]2 ＝E(X2).EY2－(EX)2(EY)2 ＝3×5－12×12＝14 故选 C．知识模块：概率论与数理统计 3．设”个随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，DX1＝σ2，，则A．S是σ的无偏估计量． B．S是σ的最大似然估计量． C．S是σ的相合估计量(即一致估计量)． D．S与相互独立． 正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计 4．设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2均未知．现 北京工业大学2013-2014学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。数据结果保留3位小数。 考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版（或第四版）高等教育出版社，不能携带和查阅任何其他书籍、纸张、资料等。考试时允许使用计算器。 考试时间120分钟。 一、（10分）设学生某次考试成绩服从正态分布),(2σμN ，现从中随机抽取36位的考试成绩, 算得平均分为66.5，标准差为15分。问在显著性水平0.05下，从样本看， (1)是否接受“70=μ”的假设？ (2)是否接受“2216≤σ”的假设？ 解：已知 05.0,36,15,5.66====αn S X （1）70:,70:10≠=μμH H 由书中结论知，检验问题的拒绝域为 )1(702 -≥-n t n S X α 4.136 1570 5.6670=-= -n S X ，查表得0301.2)35()1(025.02 ==-t n t α，所以，接受原假设。 ， （2）22122016:,16:>≤σσH H 检验问题的拒绝域为 )1(16 )1(2 2 2-≥-n S n αχ 7617.301615)136(16)1(2 222=-=-S n ，802.49)136()1(2 05.02=-=-χχαn ，所以，接受原假设。 二、（15分）在某公路上观察汽车通过情况，取15秒为一个时间单位，记下锅炉汽车 分布？(显著性水平取0.05α=) 解：805.0200 14113282681920ˆ=*+*+*+*+*==x λ 并组后k=4,而此处r=1,故自由度为k-r-1=2, 200.932-200=0.932<991.5)2(2 05.0=χ,所以是Poisson 分布 三、（15分）为考察某种维尼纶纤维的耐水性能，安排了一组试验，测得甲醇浓度x (1)建立“缩醇化度” y 对甲醇浓度x 的一元线性回归方程； (2)对建立的回归方程进行显著性检验：（取01.0=α）； (3)在0x =36时，给出相应的y 的预测区间（取01.0=α）。 解答： 《概率论与数理统计》工 考试试卷 考试说明： 考试方式：闭卷 考试时间： 承诺：本人已学习了《北京工业大学考场规则》和《北京工业大学学生违纪处分条例》，承诺在考试过程中自觉遵守有关规定，服从监考教师管理，诚信考试，做到不违纪、不作弊、不替考。若有违反，愿接受相应的处分。 承诺人： 学号： 班号： 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 注：本试卷共 六 大题，共 6 页，满分100分，考试时必须使用卷后附加的统一答题纸或草稿纸。 卷 面 成 绩 汇 总 表（阅卷教师填写） 1．设A ，B 为随机事件，且P （A ）= 0.7，P (A -B ) = 0.3，则P （AB ）= 。 2．已知5.0)(,4.0)(,3.0)(===B A P B P A P ，则)|(B A B P ⋃ = 。 3．设A ，B 为随机事件，则 A 与B 互斥的充要条件是 ； A 与 B 相互独立的充要条件是 。 4．设 X 服从参数为λ的泊松分布，且 P{X=0}=1/2 ，则λ= ； (3)E X += ； Var(21)X += 。 5. 设),(~p n B X ,已知28.1)(, 6.1)(==X Var X E , 则n = ； p= 。 6. 若2~(1,)X N σ，且{}020.9544P X <<=，则{}0P X <= 。 7. 已知随机变量X 的概率密度为 ⎪⎩⎪ ⎨⎧ >+=其它0 0)1(2)(2x x x f π， 则X Y ln = 的概 率密度)(y f Y = 。 “概率论与数理统计”课程(工)试题答案 一、填空题（每空2分,共30分） 1．设,A B 为事件，()0.4, ()0.6P A P A B ==。当A 与B 互不相容时, =)(B P 0.2 ；当A 与B 相互独立时,=)(B P 1/3 。 2．设连续型随机变量X 的分布函数为0.5,0, ()0,0.x a be x F x x -⎧+≥=⎨<⎩ 其中a 与b 为常数，则 a = 1 ， b = -1 。 3．设随机变量X 服从参数为λ 的泊松分布，且{1}{2}P X P X ===，则=λ 2 ,E X =（） 2 。 4．设随机变量21,X X 相互独立，且1X ～2(3, 3)N ，2X ～2(1, 2)N 。令212X X X -=, 则E (X )= 1 , ()Var X = 25 。进一步，记)(x Φ为标准正态分布的分布函数，且 (1)0.8413Φ=，(2)0.9772Φ=，则{411}P X -<<＝ 0.8185 。 5．设)2(,,,21>n X X X n 为抽自正态总体),(2σμN 的随机样本，记 ∑∑==--==n i i n i i X X n S X n X 1 22 1)(11,1. 则X ～ N (μ,σ2 /n) ， 2/)(S X n μ-～n-t 1 ， 22/)1(σS n -～ 2 1 -n χ。 6．设125, ,X X 是抽自总体2~(,)X N μσ的随机样本，经计算得25, =0.09x s =。根据本 试卷第6页上的t 分布表与2χ分布表，得未知参数μ的置信系数为0.95的置信区间为[4.876166, 5.123834]，2 σ的置信系数为0.95的置信区间为[0.05487, 0.17418]。 二、解答题 (每小题14分，共70分) 1． 根据世界卫生组织数据，我国居民肺癌患病率为38.46人/10万人。另外根据我国《居 民营养与健康状况调查》结果，居民吸烟率为31%，而根据医学研究发现，吸烟者患肺癌的概率是不吸烟者的10.8倍。 (1). 求不吸烟者患肺癌的概率与吸烟者患肺癌的概率各是多少； (2). 随机抽取一位居民做检查后，发现其患有肺癌。求这个居民是吸烟者的概率。 解 随机抽取一位居民，用B 1表示其吸烟，B 2表示不吸烟，A 表示患有肺癌。则 P (A )=38.46/100000=410846.3-⨯，P (B 1)=0.31, P (B 2)=0.69. 再设P (A |B 2)=x , 则P (A | B 1)=10.8×P (A | B 2)=10.8x 。 (1). 由全概率公式，得 , 038.4 69.08.1031.0 )|(）B ()|(）B ()(10846.322114x x x B A P P B A P P A P =+⨯=+==⨯- 解上述方程，得5105345.9-⨯=x 。所以，P (A |B 2)=5105345.9-⨯=x , 即9.5245人/10万人；P (A | B 1)=3100286.1-⨯, 即102.86人/10万人。 (2). 由贝叶斯(或条件概率)公式，得 北 京 交 通 大 学 2012~2013学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷） 参 考 答 案 某些标准正态分布的数值 其中()x Φ是标准正态分布的分布函数． 一．（本题满分5分） 口袋中有10个球，分别标有号码1到10，从中任意取出4个球．求最小号码是5的概率． 解： 设=A “取出4个球，最小号码是5”． 10个球取出4个球，有取法410C 种．………….2分 若最小号码是5，有取法35C 种，因此 ()21 1 210104103 5===C C A P ．………….3分 二．（本题满分5分） 一间宿舍住有5位同学，求他们之中至少有两位的生日在同一个月份的概率． 解： 设=A “5位同学至少有两位的生日在同一月份”． 5位同学，每一位在12个月份中任意选择，共有512种可能．………….2分 考虑A 的逆事件A ，它表示5位同学中，没有两位的生日是同一月份的． 则 ()()6181.012 1155 12 =-=-=P A P A P ．………….3分 三．（本题满分8分）， 已知男人中%5的是色盲患者，女人中色盲患者占%25.0，今从男女比例为21:22的人群中随机地 挑选一人，发现是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 解： 设=A “任选一人为男性”，=B “任选一人是色盲患者”． 所求概率为()B A P ．由Bayes 公式，得 ()()() ()()()() A B P A P A B P A P A B P A P B A P += ………….3分 9544.00025.043 21 05.0432205.04322 =⨯+⨯⨯=．………….5分 四．（本题满分8分） 在一小时内，甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是9.0，8.0和85.0，而且这三台机床是否需要维修是相互独立的．求在一小时内 ⑴ 至少有一台机床不需要维修的概率；（4分） ⑵ 至多只有一台机床需要维修的概率．（4分） 解： 设{ }甲机床需要维修=A ，{}乙机床需要维修=B ，{}丙机床需要维修=C ．则 ⑴ {}() () C B A P C B A P P ⋃⋃-=⋃⋃=1维修至少有一台机床不需要…….2分 ()()()388.085.08.09.011=⨯⨯-=-=C P B P A P ．………….2分 ⑵ {}()C B A C B A C B A C B A P P ⋃⋃⋃=修至多有一台机床需要维………….2分 ()()()()C B A P C B A P C B A P C B A P +++= ()()()()()()()()()()()()C P B P A P C P B P A P C P B P A P C P B P A P +++= 059.085.02.01.015.08.01.015.02.09.015.02.01.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．…….2分 五．（本题满分8分） 试确定常数a ，b ，c ，d 的值，使得函数 ()⎪⎩ ⎪ ⎨⎧>≤≤++<=e x d e x d cx x bx x a x F 1ln 1 为一连续型随机变量的分布函数． 绝密 ★ 考试结束前 全国2013年10月高等教育自学考试 概率论与数理统计(经管类)试题 课程代码：04183 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。 2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。 1.设A,B 为随机事件，则事件“A ,B 至少有一个发生”可表示为 A.AB B.AB C.A B D.A B 2.设随机变量2~(,)X N μσ，Φ()x 为标准正态分布函数，则{}P X x >= A.Φ(x ) B.1-Φ(x ) C.Φx μσ-⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.1-Φx μσ-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3.设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ,则X ~ A.211(,)N μσ B.221()N μσ C.212(,)N μσ D.222(,)N μσ 4.设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为 0 a 0.2 1 0.2 b 且{1|0}0.5P Y X ===,则 A. a =0.2, b =0.4 B. a =0.4, b =0.2 C. a =0.1, b =0.5 D. a =0.5, b =0.1 5.设随机变量~(,)X B n p ，且()E X =2.4，()D X =1.44，则 A. n =4, p =0.6 B. n =6, p =0.4 C. n =8, p =0.3 D. n =24, p =0.1 6.设随机变量2~(,)X N μσ，Y 服从参数为(0)λλ>的指数分布，则下列结论中不正确．．．的是 A.1 ()E X Y μ λ += B.22 1 ()D X Y σλ+=+ C.1 (),()E X E Y μλ == D.22 1 (),()D X D Y σλ == 7.设总体X 服从[0,θ]上的均匀分布（参数θ未知），12,,,n x x x 为来自X 的样本，则下列随机变量中是统计量的为 A. 1 1n i i x n =∑ B. 11n i i x n θ=-∑ C. 1 1()n i i x E X n =-∑ D. 2 11 1()n i x D X n =-∑ 8.设12,,,n x x x 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，其中μ未知，x 为样本均值，则2σ的无偏估计量为 A. 11()1n i i x n μ=--∑2 B. 11()n i i x n μ=-∑2 C. 1 1()1n i i x x n =--∑ 2 D.1 1()n i i x x n =-∑ 2 9.设H 0为假设检验的原假设，则显著性水平α等于 A.P {接受H 0|H 0不成立} B. P {拒绝H 0|H 0成立} C. P {拒绝H 0|H 0不成立} D. P {接受H 0|H 0成立} 10.设总体2~(,)X N μσ，其中2σ未知，12,, ,n x x x 为来自X 的样本，x 为样本均值，s 为样本标准差.在显著性水平 α下检验假设0010:,:H H μμμμ=≠. 令x t = A. 2 ||(1)a t t n <- B.2 ||()a t t n < C. 2 ||(1)a t t n >- D.2 ||()a t t n > 非选择题部分 注意事项： 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 11.设随机事件A 与B 相互独立，且()0,(|)0.6P B P A B >=，则()P A =______. 12.甲、乙两个气象台独立地进行天气预报，它们预报准确的概率分别是0.8和0.7，则在一次预报中两个气象台都2012级概率论与数理统计课程考试卷A(含参考答案626)
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