直线和双曲线的位置关系.doc

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直线和双曲线的位置关系

1．经过点 P 1

,2

2

(A)4条

且与双曲线 4x 2

y 2 1仅有一个公共点的直线有（

）

(B)3条 (C)2条 (D)1条

2．直线 y= kx 与双曲线 4x 2 y 2 16 不可能（

）

（A ）相交

（ B ）只有一个交点 （C ）相离

（ D ）有两个公共点

3 ．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做 双曲线的通径，则双曲线

y 2 x 2 的通径长是

16

1

9

(A)

9 9 (C) 9

(D) 10

4

(B)

2

4．若一直线 l 平行于双曲线的一条渐近线，则 l 与双曲线的公共点个数为

．

解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，

应注意直线与双曲线不是

相切

5 ． 经 过 双曲 线 x 2 y 2

8的右焦点且斜率为 2 的直线被双曲线截得的线段的长

是

．

x 2 y 2

4，且 l 的斜率为 2，求直线 l 的方程．

6．直线 l 在双曲线

1上截得的弦长为

3 2

三、典例精析

题型一：直线与双曲线的位置关系

1. 如果直线 y

kx 1 与双曲线 x 2 y 2 4 没有公共点，求 k 的取值范围．有两个公共点

呢？

解，所以△ = (b

)

2

4 0 ， 所以

b

2 ， e c

a 2

b 2 1 ( b )2

5 ，故选 D.

a

a

a

a

a

2． (2010 安·徽 )若直线 y ＝ kx ＋2 与双曲线 x 2－y 2

＝ 6 的右支交于不同的两点，则

k 的取值范

围是 ( )

A.

15 , 15 B.

0, 15

C.

15 ,0 D.

15, 1 3 3

3

3

3

1 k

2 0

解：由

y ＝ kx ＋2，

得 (1－ k 2)x 2－4kx － 10＝0，∴ 16k 2

4 1 k 2

10

x 2－ y 2＝ 6

，解得

x 1 x 2 0

x 1 x 2 0

15

－ 3

x 2 y 2

1 有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们

3、过点 P( 7,5) 与双曲线 25

7

的方程。

题型二：直线与双曲线的相交弦问题

4. 过双曲线 x 2

y 2 1的左焦点 F 1 ，作倾斜角为 的弦 AB ，求⑴ AB ；⑵ F 2 AB 的周

3 6

长（ F 2 为双曲线的右焦点） 。

5. 已知双曲线方程为3x2y2 3 ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．

解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出 k 值对判别式△ >0 进行验证即可．

6. 双曲线方程为3x2 y 2 3 .

问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明

理由．

7、已知中心在原点，顶点A1 , A2在x轴上，离心率为21

的双曲线经过点P(6,6) 3

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）动直线 l 经过A1PA2的重心 G ，与双曲线交于不同的两点M , N，问是否存在直线 l 使G 平分线段 MN 。试证明你的结论。

题型三： 求双曲线方程

8. 已知焦点在 x 轴上的双曲线上一点

P ，到双曲线两个焦点的距离分别为

4 和 8，直线

y x 2 被双曲线截得的弦长为 20 2 ，求此双曲线的标准方程．

9、设双曲线 C :

x 2

y 2

2

1 a 0 与直线 l : x y 1相交于不同的点

A 、B.

a

⑴求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围；

⑵设直线 l 与 y 轴的交点为 P ，且 PA 5

PB ，求 a 的值。

12

2

解： (1)将 y ＝－ x ＋ 1 代入双曲线

x

2－ y

2

＝ 1 中得 (1－ a 2)x 2＋ 2a 2x － 2a 2＝ 0 ① 由题设条 a

件知，

1－a 2 ≠0 ，解得 0

率 e ＝

1＋ a 2 ＝

1

4a 4＋ 8a 2 1－ a 2

a

a 2＋ 1，

>0

∵ 0

6

且 e ≠ 2.

2

→

→

(2)设 A(x 1 ，y

1)，B(x 2

，y

＝ 5 ， ∴ (x ，y －1)＝ 5 ，y － 1)．∴ x

1

2) ，P(0,1)． ∵ PA

12

PB

1

1 12(x 2

2

＝ 5 x 2，

12

∵ x 1、 x 2 是方程①的两根，且 1－ a 2

≠0， ∴ 17 x 2 ＝－ 2a 2 2， 5 x 22＝－ 2a 2 2，

12 1－ a 12

1－ a

2

∵ a>0，∴ a ＝

17

.

消去 x 2 得，－

2a 2＝ 289，

1－ a 60

13

10. 已知双曲线的焦点为

F 1 c,0 ， F 2 c,0 ，过 F 2 且斜率为

3

的直线交双曲线于

P 、 Q

5

两点，若 OP

OQ (其中 O 为原点）， PQ

4 ，求双曲线方程。

11. 双曲线的中心为原点

O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 l 1， l 2 ，经过右焦点 F 垂直

于 l 1 的直线分别交 l 1， l 2 于 A ， B 两点．已知 OA 、AB 、OB 成等差数

列，且 BF 与 FA 同

向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为

4，求双曲线的方程．

解：（Ⅰ）设

O A

m

d AB m

， OB m d

由勾股定理可得：

，

( m 2

2

( m

2

d )

m d)

得： d

1

m ， tan AOF

b

， tan AOB tan 2 AOF AB

4 4 2

b

a

OA

3

4

b 1

5

由倍角公式

a

，解得

2

3 a

,则离心率 e

．

1

b

2

2

a

（Ⅱ）过 F 直线方程为

y

a ( x c ) , 与双曲线方程

x

2 y 2 1 联立，将 a 2b c5b

b a 2 b 2 ，

代入，

化

简

有

1 2 x

2

x 2 5

1

4b

b

2

2

4

1 a

x 1 x 2

1

a ( x 1 x 2 )2 4x 1 x 2

b

b

32 5b 2 4

28b 2

将数值代入，有 4

5 , 解 得 b 3

故所求的双曲线方程为

15

5

x 2

y 2 1。

36 9

x 2 y 2

12、已知双曲线 a 2－ b 2＝1(b>a>0) ，O 为坐标原点， 离心率 e ＝ 2，点 M( 5， 3)在双曲线上． (1) 求双曲线的方程； (2) 若直线 l 与双曲线交于 P ，Q 两点，且 OP OQ 0 .求 1 2＋ 1

2

|OP|

|OQ|

的值．

x 2 y 2

解： (1)∵e ＝2 ，∴c ＝ 2a ，b 2＝ c 2－ a 2 ＝3a 2，双曲线方程为 a 2－ 3a 2＝ 1，即 3x 2－ y 2＝ 3a 2

.

∵点 M( 5， 3) 在双曲线上，∴ 15－ 3＝ 3a 2 .∴a 2

＝ 4.

x 2 y 2

∴所求双曲线的方程为 4 －

12＝ 1.

x 2 2

y

(2)设直线 OP 的方程为 y ＝kx(k ≠ 0)，联立 4 － 12＝ 1，得

x 2

12 2 2

1

3 k 2 ∴|OP|2＝ x 2＋ y 2＝ 12 k ＋ 1

2 . 则 OQ 的方程为 y ＝－ k x ，

y 212k 3－ k

3 k 2

12 1 1

12 k 2＋ 1

3－ k 2＋ 3k 2－ 1

2＋2k 2

2

k 2

1 1 同理有 |OQ| ＝ 1 ＝ 3k 2－ 1 ， ∴|OP|2＋ |OQ|2＝ 1

2 k 2＋ 1 ＝ 12 k 2

＋ 1

3 k 2

1 ＝ 6.

13． (2012 上海 )在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C 1： 2x 2－y 2

＝1.

(1) 过 C 1 的左顶点引 C 1 的一条渐近线的平行线， 求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角

形的面积；

(2) 设斜率为 1 的直线 l 交 C 1 于 P 、 Q 两点．若 l 与圆 x 2＋ y 2＝ 1 相切，求证： OP ⊥OQ ；

(3) 设椭圆 C 2：4x 2＋ y 2＝ 1.若 M 、 N 分别是 C 1 、C 2 上的动点，且 OM ⊥ ON ，求证： O 到直线

MN 的距离是定值．

解： (1) 双曲线 C 1：

x 2

y

2

1，左顶点 A

2

,0 ，渐近线方程为： y ＝ ± 2x. 1

2

2

过点 A 与渐近线 y ＝ 2x 平行的直线方程为

y

2 x

2

，即 y ＝ 2x ＋ 1.

2

2

y

2x

y

1 2 解方程组

，得 4

. ∴所求三角形的面积为

y

2 x 1

1

S ＝2|OA||y|＝ 8 .

y

2

(2)证明：设直线 PQ 的方程是 y ＝ x ＋ b ，∵直线 PQ 与已知圆相切，∴

|b|

＝ 1，即 b 2＝

2

2.

y x b

得 x 2－ 2bx － b 2

－ 1＝ 0. x 1 x 2 2b 由

2 y 2 1 设 P(x 1， y 1)、 Q( x 2， y 2)，则

1 b 2

2x

x 1x 2

又 y 1y 2＝ (x 1＋b)( x 2＋ b)，

2 2 2 2 2

故

∴ OP OQ ＝ x 1x 2＋ y 1 y 2＝ 2x 1x 2＋ b(x 1＋ x 2)＋ b ＝ 2( － 1－ b )＋ 2b ＋ b ＝ b － 2 ＝ 0. OP ⊥OQ.

2

，则 O 到直线 MN 的距离为

3 (3)证明：当直线 ON 垂直于 x 轴时， |ON|＝ 1，|OM|＝ 2

3

.

当直线 ON 不垂直于 x 轴时，设直线

ON 的方程为 y ＝ kx(显然 k

2

)，

2

则直线 OM 的方程为 y ＝－ 1

x.

y

kx

x 2

4 1 k 2

由

得

2

2

k

4 x y 1 y

2

k 2

4 k 2

2

1＋ k 2 2

1＋ k 2

设 O 到直线 MN 的距离为 d.

∴|ON| ＝

4＋ k 2.同理

|OM| ＝

2

.

2k － 1

2

2 2

2

2

1 1 1

3k 2＋ 3

3

∵ (|OM | ＋ |ON| )d ＝ |OM | |ON| ， ∴d 2＝ |OM|2＋

|ON|2 ＝ k

2＋ 1 ＝ 3，即 d ＝ 3

.

综上， O 到直线 MN 的距离是定值．

五、能力提升

1．若不论 k 为何值，直线 y=k(x-2)+b 与双曲线 x 2

y 2

1 总有公共点，则 b 的取值范围是

（ ）

(A)

3,3

(B)[ 3,3]

(C)

2,2 (D)2,2

2．过双曲线 x 2

y 2 1的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A 、 B 两点，若 |AB|=4 ，则这样的

2

直线 l 有（

）

(A)1 条

(B)2 条 (C)3 条 (D)4 条

3．过点 P

1,

b

的直线 l 与双曲线

x 2

y 2 1 a 0, b 0 有且仅有一个公共点， 且这

a

a 2

b 2

个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于（ ）

(A)2 (B)4

(C) 1或 2

(D)2或 4

4. 已知双曲线

x

2

y 2 1 a 0, b 0 的右焦点为 F ，若过点 F 且倾斜角为 45 的直线与

a 2

b 2

双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（

）

(A) (1， 2]

(B)（1， 2)

(C) [2， +∞ )

(D) (2，+∞ )

6 ．直线

l : y

kx

2 与双曲线

C : x 2

y 2

6 的右支交于不同两点，则

k 的取值范围

是

．

7. 已知倾斜角为

的直线

l 被双曲线

x 2

4y

2

60 截得的弦长 AB 8 2 ，求直线

l 的方

4

程．

8. 设直线

x 2 y 2 a

b

相交于 A 、B 两点，且弦 AB 中

l : y 3x 1

与双曲线于

2

b 2

1

0, 0

a

点的横坐标为

1

．

2

a 2

(1)求 b 2 的值； (2)求双曲线离心率．

x 2 y 2 a

b

的离心率 e 1

2 ，左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ，

9. 已知双曲线

b 2

1

0, 0 a

2

左准线为 l ，能否在双曲线的左支上找到一点

P ，使得 PF 1 是 P 到 l 的距离 d 与 PF 2 的等比

中项？