数学分析知识点总结定积分
第一篇 分析基础 1.1收敛序列
(收敛序列的定义)
定义:设}{n x 是实数序列,a 是实数,如果对任意0>ε都存在自然数N ,使得只要N n >,就有
ε<-a x n
那么}{n x 收敛,且以a 为极限,称为序列}{n x 收敛收敛于a ,记为
a x n =lim 或者)(+∞→→n a x n
定理1:如果序列}{n x 有极限,那么它的极限是唯一的。
定理2(夹逼原理):设}{n x ,}{n y 和}{n z 都是实数序列,满足条件
N n z y x n n n ∈?≤≤,
如果a z x n n ==lim lim ,那么}{n y 也是收敛序列,且有
a y n =lim
定理3:设}{n x 是实数序列,a 是实数,则以下三陈述等价
(1) 序列}{n x 以a 为极限; (2) {}n x a -是无穷小序列; (3) 存在无穷小序列{}n a 使得
,
1,2,.n n x a a n =+=
(收敛序列性质)
定理4:收敛序列}{n x 是有界的。 定理5:
(1)设a x n =lim ,则a x n =lim 。
(2)设a x n =lim ,b y n =lim ,则b a y x n n ±=±)lim(。 (3)设a x n =lim ,b y n =lim ,则ab y x n n =)lim(。
(4)设0≠n x ,0lim ≠=a x n ,则a
x n 11lim
=。 (5)设0≠n x ,0lim ≠=a x n ,b y n =lim ,则lim lim
lim n n n n y y b x x a
==。 (收敛序列与不等式)
定理6:如果lim lim n n x y <,那么存在0N N ∈,使得0n N >时有
n n x y <
定理7:如果}{n x 和{}n y 都是收敛序列,且满足
0,
,n n x y n N ≤?>
那么
lim lim n n x y ≤
1.2 收敛原理
(单调序列定义)
定义:(1)若实数序列}{n x 满足
1,,n n x x n N +≤?∈
则称}{n x 是递增的或者单调上升的,记为
{}.n x ↑
(2)若实数序列{}n y 满足
1,,n n y y n N +≥?∈
则称{}n y 是递减的或者单调下降的,记为
{}n y ↓
(3)单调上升的序列和单调下降的序列统称为单调序列。
定理1:递增序列}{n x 收敛的充分必要条件是它有上界,其上确界记为sup{}n x 。 定理1推论:递减序列{}n y 收敛的充分必要条件是它有下界,其下确界记为inf{}n x 。 扩展:因为一个序列的收敛性及其极限值都只与这序列的尾部(即从某一项之后的项)有关,所以定理1和它的推论中单调性条件可以虚弱为“从某一项之后单调”,即为
10,
,n n x x n N +≤?>
及
10,
,n n y y n N +≥?>
(自然对数的底e )
自然对数的底e 通过下面这个式子求得
1lim 1n
n e n →+∞
??
=+ ???
我们先来证明序列11n
n x n ??
=+ ???是收敛的。
(1)序列11n
n x n ??
=+ ???
是单调上升的。
111112111(1)(1)(1)
2!3!1121(1)(1)(1)!1121(1)(1)(1)
!n
n x n n n n k k n n n n n n n n
??
=+=++-+-- ???
-++----++---
1
1111112111(1)(1)(1)12!13!111121(1)(1)(1)
!1111121(1)(1)(1)
!111112(1)(1)(1)(1)!111
n n x n n n n k k n n n n n n n n n n n n n ++?
?=+=++
-+-- ?
++++??
-++---+++-++---++++---++++ 对比n x 和1n x +的展开式,1n x +前面1n +项的每一项都比n x 中相应项要大,即
112
1112
1
(1)(1)(1)(1)(1)(1)!11
1!k k k n n n k n n
n
-----
>---
+++ 除此之外1n x +还比n x 在最后多一个正项。因此我们得出n x 是单调上升的,即
1,,n n x x n N +∈
(2)序列11n
n x n ??
=+ ???
是有上界的。
21111121
111(1)(1)(1)
(1)2!!111
11222
1112
113
111122
n
n n
n
n x n n n n n n
-??
=+=++-++---
???
<+++++??- ?
??=+<+=--
序列11n
n x n ??
=+ ???
是单调上升且有上界,因此必是收敛的,此收敛值用e 表示。通过计算机
模拟,我们可以得到e 的近似值,前几位是2.718281828459045…
在数学中,以e 为底的对数称为自然对数,e 称为自然对数的底,正实数x 的自然对数通常记为ln x ,log x 或者log e x 。
(闭区间套原理)
定理2(闭区间套原理):如果实数序列{}n a 和{}n b (或闭区间序列[]{}
,n n a b )满足条件 (1)[][]11,,n n n n a b a b --?(或者11,1n n n n a a b b n --≤≤≤?>) (2)()lim 0n n b a -= 那么
(i )闭区间序列[]{}
,n n a b 形成一个闭区间套。 (ii )实数序列{}n a 和{}n b 收敛于相同的极限值c 。
lim lim n n a b c ==
(iii )c 是满足以下条件的唯一实数值。
,n n a c b n N ≤≤?∈
证明:
(ii )由条件(1)可得
111n n n n a a b b b --≤≤≤≤≤
我们可以看到{}n a 单调上升而有上界,{}n b 单调下降而有下界,因此{}n a 和{}n b 都是收敛序列。由条件(2)可得()lim lim lim 0n n n n b a b a -=-=,因此实数序列{}n a 和{}n b 收敛于相同的极限值。
lim lim n n a b c ==
(iii )因为
{}{}sup inf n n c a b ==
所以显然有
,n n a c b n N ≤≤?∈
假如还有一个实数'c 满足
',n n a c b n N ≤≤?∈
由于
lim lim n n a b c ==
那么根据夹逼准则,有
'lim 'lim lim n n c c a b c ====
则证明了c 是唯一的。
(Bolzano-Weierstrass 定理) 定义:设{}n x 是实数序列,而
1231k k n n n n n +<<<
<<<
是一串严格递增的自然数,则
1231,,,,,,
k k n n n n n x x x x x +
也形成一个实数序列。我们把序列{}
k n x 叫做序列{}n x 的子序列(或部分序列),要注意的是子序列{}
k n x 的序号是 k 。
定理3:设序列{}n x 收敛于a ,则它的任何子序列{}
k n x 也都收敛于同一极限a 。 证明:对于任意0ε>,存在0N N ∈,使得只要0n N >,就有
n x a ε-<
当0k N >时就有0k n k N ≥>,因而此时有
k n x a ε-<
定理4(Bolzano-Weierstrass ):设{}n x 是有界序列,则它具有收敛的子序列。
(柯西收敛原理)
柯西序列定义:如果序列{}n x 满足条件:对于任意0ε>,存在0N N ∈,使得当0,m n N >时,就有
m n x x ε-<
则此序列为柯西序列,又称基本序列。 引理:柯西序列{}n x 是有界的。
证明:对于任意1ε=,存在0N N ∈,使得当0,m n N >时,就有
1m n x x -<
于是对于0n N >,我们有
0001111n n N N N x x x x x +++≤-+<+
若记
{
}
00121max ,,
,,1N N K x x x x +=+
则有
,n x K n N ≤?∈
定理5(收敛原理):序列{}n x 收敛的必要充分条件是:对任意0ε>,存在0N N ∈,使得当0,m n N >时,就有
m n x x ε-<
换句话说:
序列{}n x 收敛?{}n x 序列是柯西序列
1.3 无穷大
定义:(1)设{}n x 是实数序列,如果对任意正实数E ,存在自然数N ,使得当n N >时就有
n x E >
那我们就说实数序列{}n x 发散于+∞,记为
lim n x =+∞
(2)设{}n y 是实数序列,如果对任意正实数E ,存在自然数N ,使得当n N >时就有
n y E <-
那我们就说实数序列{}n y 发散于-∞,记为
lim n y =-∞
(3)设{}n z 是实数序列,如果序列{}
n z 发散于+∞,即l i m n z =+∞,那么我们就称{}n z 为无穷大序列,记为
lim n z =∞
注记:(1)若集合E R ?无上界,则记
sup E =+∞
(2)若集合F R ?无下界,则记
sup F =-∞
定理1:单调序列必定有(有穷的或无穷的)极限,具体而言是: (1)递增序列{}n x 有极限,且
{}lim sup n n x x =
(2)递减序列{}n y 有极限,且
{}lim inf n n y y =
定理2:设{}n x 和{}n y 是实数序列,满足条件
,
n n x y n N ≤?∈
则有:
(1)如果lim n x =+∞,那么lim n y =+∞; (2)如果lim n y =-∞,那么lim n x =-∞。
定理3:如果lim n x =+∞(或-∞,或∞),那么对于{}n x 的任意子序列{}
k n x 也有
lim k n x =+∞(或-∞,或∞)
定理4:设0,n x n N ≠?∈,则
{}n x 是无穷大序列?1n x
??
????
是无穷小序列 扩充的实数系:{,}R R =?-∞+∞
定理5:实数序列{}n x 至多只能有一个极限。 扩充的实数系R 中的运算: (1)如果x R ∈,那么
()()x x +±∞=±∞+=±∞
()x -±∞=∞
(2)如果x R ∈,0x >,那么
()()x x ?±∞=±∞?=±∞
如果y R ∈,0y <,那么
()()y y ?±∞=±∞?=∞
(3)如果x R ∈,那么
0x x ==+∞-∞
(4)()()+∞++∞=+∞,()()+∞--∞=+∞
()()-∞+-∞=-∞,()()-∞-+∞=-∞ ()()+∞?+∞=+∞,()()-∞?-∞=+∞ ()()()()+∞?-∞=-∞?+∞=-∞
(5)除此之外,其余都没有定义。
1.4 函数的极限
0x 点的η领域:00000(,)(,){|||},,,0U x x x x R x x x R ηηηηηη=-+=∈-<∈> 0x 点的去心η领域:
000000(,)(,)\{|0||},,,0U x x x x x R x x x R ηηηηηη=-+=∈<-<∈>
+∞的去心H 领域:(,)(,){|},,0U H H x R x H H R H +∞=+∞=∈>∈> -∞的去心H 领域:(,)(,){|},,0U H H x R x H H R H -∞=-∞-=∈<-∈>
统一叙述:对于a R ∈,我们用()U a 表示a 的某个去心邻域,当a 为有穷实数时,()U a 的形式为(,)U a η,当a =±∞时,()U a 的形式为(,)U H ±∞。
函数极限的序列式定义:设,a A R ∈(a 和A 都可以是有穷实数或者±∞),并设函数()f x 在a 的某个去心邻域()U a 上有定义。如果对于任何满足条件n x a →的序列{}()n x U a ?,相应的函数值序列{()}f x 都以A 为极限,那么我们说当x a →时,函数()f x 的极限为A ,记为
lim ()x a
f x A →=
简单例子如:l i m s i n s i n x a
x
a →=;lim cos cos x a
x a →=;lim ||||x a
x a →=;lim x a
x a →=;
1lim sin
0x x x →=,因为1|sin |||x x x ≤;0lim 1sin x x x →=,因为cos 1sin x x x <
<;sin lim 0x x
x
→∞=,因为sin 1
||||
x x x ≤。
定理1:函数极限lim ()x a
f x →是唯一的。
定理2(夹逼原理):设()f x ,()g x 和()h x 在a 的某个去心邻域()U a 上有定义,并且满足不等式
()()(),()f x g x h x x U a ≤≤?∈
如果
lim ()lim ()x a
x a
f x h x A →→==
那么
lim ()x a
g x A →=
定理3:关于函数的极限,有以下的运算法则:
lim(()())lim ()lim ()x a
x a
x a
f x
g x f x g x →→→±=±
lim(()())lim ()lim ()x a
x a
x a
f x
g x f x g x →→→=?
lim ()()lim ()lim ()
x a
x a x a
g x g x f x f x →→→= 定理4(复合函数求极限):设函数g 在b 点的某个去心邻域()U b 上有定义,lim ()y b
g y c →=。
又设函数f 在a 点的某个去心邻域()U a 上有定义,f 把()U a 中的点映射到()U b 之中(用记号表示就是:(())()f U a U b ?)并且lim ()x a
f x b →=,则有
lim (())x a
g f x c →=
多项式函数与有理数分式函数求极限的法则如下: (1)设()P x 是任意多项式,a R ∈,则
lim ()()x a
P x P a →=
(2)设()P x 是任意多项式,()Q x 是非零多项式a R ∈,()Q a 不都是0,则
()()
lim
()()
x a P x P a Q x Q a →=
(3)设
1011
0100(),
(),0,0
m m m n
n n P x a x a x a Q x b x b x
b a b --=+++=++
+≠≠,则
00,
()lim ,()
0,
x m n a P x m n Q x b m n
→∞?+∞>??==???
100100,()lim lim ,()0,
m m m n x x n n
m n a
a a a P x x x x
m n b b Q x b b x x m n
-→∞→∞?
+∞>?
??+++ ??=== ?? ??++
+?
??
1.5单侧极限
定义(序列方式):设R A R a ∈∈,,并设函数)(x f 在),(a a η-有定义。如果对任意满足条件a x n →的序列),(}{a a x n η-?,相应的函数值序列)}({n x f 都以A 为极限,那么我们就说:-
→a x 时函数)(x f 的极限为A ,记为
A x f a x =-
→)(lim
定义(δε-方式):设R A a ∈,,并设函数)(x f 在),(a a η-有定义。如果对任意0>ε,存在0>δ,使得只要
a x a <<-δ
就有
ε<-|)(|A x f
那么我们就说:-
→a x 时函数)(x f 的极限为A ,记为
A x f a x =-
→)(lim
定义(δε-方式,特殊的+∞=?A R A ,):设R a ∈,并设函数)(x f 在),(a a η-有定义。如果对任意0>E ,存在0>δ,使得只要
a x a <<-δ
就有
E x f >)(
那么我们就说:-
→a x 时函数)(x f 的极限为∞+,记为
+∞=-
→)(lim x f a x
可用类似的方式来定义+
→a x 的极限。
定理1:设R a ∈,并设函数)(x f 在a 点的去心邻域),(ηa U
上有定义。则极限)(lim x f a
x →存
在的充分必要条件是两个单侧极限存在并且相等:
A x f x f a
x a x ==+-
→→)(lim )(lim
当这条件满足时,我们有
A x f a
x =→)(lim
单调函数定义:设函数f 在集合R S ?上有定义。
(1)如果对任意S x x ∈21,,21x x <,都有
)()(21x f x f ≤
那么我们就说函数f 在集合S 上是递增的或者单调上升的。 (2)如果对任意S x x ∈21,,21x x <,都有
)()(21x f x f ≥
那么我们就说函数f 在集合S 上是递减的或者单调下降的。 (3)单调上升函数与单调下降函数统称为单调函数。
1.6 连续与间断
定义I :设函数)(x f 在0x 点的邻域),(0ηx U 上有定义。如果对任何满足条件0x x n →的序列),(}{0ηx U x n ?,都有
)()(lim 00
x f x f n x x n =→
那么我们就说函数f 在0x 点连续,或者说0x 点事函数f 的连续点。
定义II :设函数)(x f 在0x 点的邻域),(0ηx U 上有定义。如果对任意0>ε,存在0>δ,使得只要δ<-||0x x ,就有
ε<-|)()(|0x f x f
那么我们就说函数f 在0x 点连续,或者说0x 点事函数f 的连续点。
定理1:设函数f 在0x 点连续,则存在0>δ,使得函数f 在),(0δx U 上有界。(证明过程参考函数极限)
定理2:设函数)(x f 和)(x g 在0x 点连续,则 (1))()(x g x f ±在0x 点连续; (2))()(x g x f ?在0x 点连续; (3)
)
()
(x g x f 在使得0)(0≠x g 的0x 处连续; (4))(x cg 在0x 点连续。
定理3:设函数)(x f 在0x 点连续,则函数|)(|x f 也在0x 点连续. 证明:|)()(|||)(||)(||00x f x f x f x f -≤-,余下易证。
定理4:设函数)(x f 和)(x g 在0x 点连续。如果00()()f x g x <,那么存在0δ>,使得对于0(,)x U x δ∈有
()()f x g x <
定理5(复合函数的连续性):设函数)(x f 在0x 点连续,函数()g y 在00()y f x =点连续,那么复合函数(())g f x 在0x 点连续.
定义单侧连续:设函数)(x f 在00(,]x x η-上有定义,如果
0lim ()()x x f x f x -
→=
那么我们就说函数)(x f 在0x 点左侧连续。类似的可以定义右侧连续。引入记号
00()lim (),()lim ()x x x x f x f x f x f x -+
-+→→== 我们知道极限存在的充分必要条件是两个单侧极限存在并且相等(这个相等值为极限值A ,不一定是该点的函数值0()f x ),可以写成
00()()f x f x A -+
==
但是如果在0x 点左连续和右连续,则说明在0x 点两个单侧极限存在并且相等,且这个相等的值一定是该点的函数值0()f x ),可以写成
000()()()f x f x f x -+==
)(x f 在0x 点左连续和右连续是)(x f 在0x 点连续的充分必要条件。
简单的说就是:
00000()()()()()
f x x f x x f x x f x x f x ??在点连续在点左连续,右连续
在点连续在点两个单侧极限存在,且值为
定理6:设函数)(x f 在0(,)U x η上有定义,则)(x f 在0x 点连续的充分必要条件是
000()()()f x f x f x -+==
反过来说,如果)(x f 在0(,)U x η上有定义,但)(x f 在0x 点不连续,则称0x 为间断点。有情形I 和情形II ,这两种情形下0x 点分别成为第一类间断点和第二类间断点。 情形I (第一类间断点):两个单侧极限都存在,但
00()()f x f x -+
≠
或者
000()()()f x f x f x -+=≠
情形II (第二类间断点):至少一个单侧极限不存在。
注意:单侧极限存在并不代表单侧连续,如果)(x f 在0x 点单侧极限存在,并且此极限值等于)(x f 在0x 点的函数值0()f x ,那么就说)(x f 在0x 点单侧连续。
简单的例子,例如函数
sin ,0()0,
0x
x f x x
x ?≠?
=??=? (0)(0)(0)f f f -+=≠,0为第一类间断点。如果改成
sin ,0()1,
0x
x f x x
x ?≠?
=??=? (0)(0)(0)1f f f -+===,则0是连续点。
例如函数
1
sin ,
0()0,
0x f x x
x ?≠?=??=? 左右侧不连续,故0是第二类间断点。
狄里克莱(Dirichlet )函数
1,()0,
x D x x ?=?
?如果是有理数
如果是无理数
任何x R ∈都是函数D 的第二类间断点。 黎曼(Riemann )函数
1,,0()0,
q x p q q R x x >?=?
?如果是既约分数如果是无理数
所有五里店都是黎曼函数的连续点;所有有利点都是第一类间断点。
1.7 闭区间上连续函数的重要性质
函数在闭区间上连续的定义:如果函数f 在闭区间[,]a b 上有定义,在每一点(,)x a b ∈连续,在a 点右侧连续,在b 点左侧连续,那么我们就说函数f 在闭区间[,]a b 上连续。
引理:设{}[,]n x a b ?,0n x x →,则0[,]x a b ∈。
定理1:设函数f 在闭区间[,]a b 上连续。如果()f a 与()f b 异号,那么必定存在一点
(,)c a b ∈,使得
()0f c =
定理2(介值定理):设函数f 在闭区间[,]a b 上连续。如果闭区间的两端点的函数值
()f a α=与()f b β=不相等,那么在这两点之间函数f 能够取得介于α与β之间的任意
值γ。这就是说,如果()()f a f b γ<<,那么存在(,)c a b ∈,使得
()f c γ=
定理3:设函数f 在闭区间[,]a b 上连续,则f 在闭区间[,]a b 上有界。
定理4(最大值与最小值定理):设函数f 在闭区间[,]a b 上连续,M ,m 分别是函数f 在闭区间[,]a b 上的最大值与最小值,记
[,]
[,]
sup (),inf ()x a b x a b M f x m f x ∈∈==
则存在',''[,]x x a b ∈,使得
('),
('')f x M f x m ==
一致连续定义:设E 是R 的一个子集,函数f 在E 上有定义,如果对任意0ε>,存在0δ>,使得只要
1212,,||x x E x x δ∈-<
就有
12|()()|f x f x ε-<
那么j 我们就说函数f 在E 上是一致连续的。
定理5(一致连续性定理):如果函数f 在闭区间[,]I a b =连续,那么它在I 上是一致连续的。
1.8 单调函数和反函数
引理:集合J R ?是一个区间的充分必要条件为:对于任意两个实数,J αβ∈,介于α和β之间的任何实数γ也一定属于J 。
定理1:如果函数f 在区间I 上连续,那么
(){()|}J f I f x x I ==∈
也是一个区间。
定理2:如果函数f 在区间I 上单调。则函数f 在区间I 上连续的充分必要条件为:()f I 也是一个区间。
反函数定义:设函数f 在区间I 上连续,则()J f I =也是一个区间。如果函数f 在区间I 上严格单调,那么f 是从I 到()J f I =的一一对应。这时,对任意()y J f I ∈=,恰好只有一个x I ∈能使得()f x y =。我们定义一个函数g 如下:对任意的y J ∈,函数值()g y 规定为由关系()f x y =所决定的唯一的x I ∈。这样定义的函数g 称为是函数f 的反函数,记为
1g f -=
我们看到,函数f 及其反函数1
g f -=满足如下关系:
()()g y f f x y =?=
定理3:设函数f 在区间I 上严格单调并且连续,则它的反函数1
g f -=在区间()J f I =上
严格单调并且连续。
1.9 指数函数,对数函数和初等函数连续性小结
定理1:设,1a R a ∈>,则有 (1)lim x
x a →∞
=+∞
(2)lim 0x
x a →-∞
=
定理2:初等函数在其有定义的范围内是连续的。
高考文科数学知识点总结
原命题若p 则q 逆命题 若q 则p 互为逆否 互 逆否互 为逆 否否 互 集合与简易逻辑 知识回顾: (一) 集合 1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用. 2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 3 ⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.含绝对值不等式的解法 (1)公式法:c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. (2)定义法:用“零点分区间法”分类讨论. (3)几何法:根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论; 2 (三)简易逻辑 1、命题的定义:可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题: “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单命题;由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式:p 或q(记作“p ∨q ” );p 且q(记作“p ∧q ” );非p(记作“┑q ” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 (1)“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相反;
(2)“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真,其他情况时为假; (3)“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假,其他情况时为真. 4、四种命题的形式: 原命题:若P 则q ; 逆命题:若q 则p ; 否命题:若┑P 则┑q ;逆否命题:若┑q 则┑p 。 6、如果已知p ?q 那么我们说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件,记为p ?q. 函数 知识回顾: (一) 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素,因为这二者确定后,值域也就相应得到确定,因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. (二)函数的性质 ⒈函数的单调性 定义:对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1
高考理科数学知识点整理
高中数学知识点总结 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 中元素各表示什么? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 (答:,,)-? ?? ???1013 3. 注意下列性质: (3)德摩根定律: 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 的取值范围。 若为真,当且仅当、均为真p q p q ∧ 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗?映射f :A →B ,是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许B 中有元素无原象。) 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型?
10. 如何求复合函数的定义域? 义域是_____________。[] - a a (答:,) 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗? 12. 反函数存在的条件是什么?(一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗? (①反解x;②互换x、y;③注明定义域) 13. 反函数的性质有哪些? ①互为反函数的图象关于直线y=x对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性; 14. 如何用定义证明函数的单调性?(取值、作差、判正负) 如何判断复合函数的单调性? ∴……)
15. 如何利用导数判断函数的单调性? 值是() A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 ∴a的最大值为3) 16. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义域关于原点对称) 注意如下结论: (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
高中数学导数与积分知识点
高中数学教案—导数、定积分 一.课标要求: 1.导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 (2)导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ,y=x ,y=x 2,y=x 3 ,y=1/x ,y=x 的导数; ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax+b ))的导数; ③ 会使用导数公式表。 (3)导数在研究函数中的应用 ① 结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间; ② 结合函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 (4)生活中的优化问题举例 例如,使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用。 (5)定积分与微积分基本定理 ① 通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等),从问题情境中了解定积分的实际背景;借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念; ② 通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系),直观了解微积分基本定理的含义。 (6)数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料,并进行交流;体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二.命题走向 导数是高中数学中重要的内容,是解决实际问题的强有力的数学工具,运用导数的有关知识,研究函数的性质:单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样,以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用,也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来,综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三.要点精讲 1.导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?,那么函数y 相应地有增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0),比值 x y ??叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率,即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时, x y ??有极限,我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导,并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数,记作f’(x 0)或y’|0x x =。
高等数学定积分应用
第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题,其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式,而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求: 使学生掌握定积分计算基本技巧;使学生用所学的定积分的微元法(元素法)去解决各种领域中的一些实际问题; 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等) 二、本章各节教学内容及学时分配: 第一节 定积分的元素法 1课时 第二节 定积分在几何学上的应用 3课时 第三节 定积分在物理学上的应用 2课时 三、本章教学内容的重点难点: 找出未知量的元素(微元)的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 6.1定积分的微小元素法 一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法,定积分的定义 面积A ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f )()(lim 1 ξλ 面积元素dA =dx x f )( 2、计算面积的元素法步骤: (1)画出图形; (2)将这个图形分割成n 个部分,这n 个部分的近似于矩形或者扇形; (3)计算出面积元素; (4)在面积元素前面添加积分号,确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。 三、作业35 6.2定积分在几何中的应用
一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一 面积元素dA =dx x x )]()([12??-,面积 A = x x x b a d )]()([12??-? 第一步:在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=,)(2x y ?=. 第二步:在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =,b x =;不够时由)(1x ?)(2x ?=解出, b x a ≤≤,)()(21x y x ??≤≤,面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二 面积元素dA =dy y y )]()([12??-,面积 A = y y y d c d )]()([12??-? 第一步:在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=,)(2y x ?=. 第二步:在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =,d y =;不够时由)(1y ?)(2y ?=解出, d y c ≤≤,)()(21y x y ??≤≤,面积S =y y y d c d )]()([12??-? 例1 求22-=x y ,12+=x y 围成的面积 解?????+=-=1 222x y x y ,1222+=-x x ,1-=x ,3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ,于是 面积?--=+-=--+=3 1 313223 210)331 ()]2()12[(x x x dx x x 例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积 解 由25.0y x =,4+=y x 得,4,2=-=y y ,当42<<-y 时 45.02+ 数学选修2-2知识点总结 一、导数 1.函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1:其中x ?是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或 0|'x x y =,即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率; 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度; 6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导(可积),则有: f x,() 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式,得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式,得x的范围,就是递减区间; [注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格,检查/() f x在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如 常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1.d x ax b +? =1 ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ+?=11 ()(1) ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3.d x x ax b +? =21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2d x x ax b +? =22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5.d () x x ax b +?=1ln ax b C b x +-+ 6.2 d () x x ax b +?=21ln a ax b C bx b x +-++ 7.2d ()x x ax b +? =21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8.22 d ()x x ax b +?=2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9.2 d ()x x ax b +? = 211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10.x C + 11.x ?=2 2(3215ax b C a -+ 12.x x ?=2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13.x =22 (23ax b C a - 14.2x =2223 2(34815a x abx b C a -+ 15 . =(0) (0) C b C b ?+>< 16 . 2a b - 17 .x =b +18 .x =2a x -+ (三)含有22x a ±的积分 19.22d x x a +?=1arctan x C a a + 20.22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21.22 d x x a -? =1ln 2x a C a x a -++ (四)含有2(0)ax b a +>的积分 22.2d x ax b +? =(0) (0) C b C b ?+>+< 23.2 d x x ax b +? =2 1ln 2ax b C a ++ 24.22d x x ax b +?=2d x b x a a ax b -+? 25.2d ()x x ax b +?=2 2 1ln 2x C b ax b ++ 26.22d ()x x ax b +? =21d a x bx b ax b --+? 高考前重点知识回顾 第一章-集合 (一)、集合:集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质:①任何一个集合是它本身的子集,记为A A ?; ②空集是任何集合的子集,记为A ?φ; ③空集是任何非空集合的真子集; ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n -1个. n 个元素的非空真子集有2n -2个. [注]①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算:交、并、补.{|,} {|}{,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?I U U 交:且并:或补:且C (三)简易逻辑 构成复合命题的形式:p 或q(记作“p ∨q ” );p 且q(记作“p ∧q ” );非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系: 原命题:若P 则q ; 逆命题:若q 则p ; 否命题:若┑P 则┑q ;逆否命题:若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真,它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真,它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真,它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件,记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 (1)定义域: (2)值域: (3)奇偶性:(在整个定义域内考虑) ①定义:①偶函数:)()(x f x f =-,②奇函数:)()(x f x f -=- ②判断方法步骤:a.求出定义域;b.判断定义域是否关于原点对称; c.求)(x f -; d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 (4)函数的单调性 定义:对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1 定积分知识点总结 北京航空航天大学 李权州 一、定积分定义与基本性质 1.定积分定义 设有一函数f(x)给定在某一区间[a,b]上. 我们在a 与b 之间插入一些分点b x x x x a n =<<<<=...210. 而将该区间任意分为若干段. 以||||π表示差数 )1,...,1,0(1-=-=?+n i x x x i i i 中最大者. 在每个分区间],[1+i i x x 中各取一个任意的点i x ξ=. )1,...,1,0(1-=≤≤+n i x x i i i ξ 而做成总和 ∑-=?=1 0)(n i i i x f ξσ 然后建立这个总和的极限概念: σπ0 ||||lim →=I 另用""δε-语言进行定义: 0>?ε,0>?δ,在||||πδ<时,恒有 εσ<-||I 则称该总和σ在0→λ时有极限I . 总和σ在0→λ时的极限即f(x)在区间a 到b 上的定积分,符号表示为 ?=b a dx x f I )( 2.性质 设f(x),g(x)在[a,b]上可积,则有下列性质 (1) 积分的保序性 如果任意)(),(],,[x g x f b a x ∈,则??≥b a b a dx x g dx x f ,)()( 特别地,如果任意,0)(],,[≥∈x f b a x 则?≥b a dx x f 0)( (2) 积分的线性性质 ???±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()())()((βαβα 特别地,有??=b a b a x f c dx x cf )()(. 设f(x)在[a,b]上可积,且连续, (1)设c 为[a,b]区间中的一个常数,则满足 ???+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()( 实际上,将a,b,c 三点互换位置,等式仍然成立. (4)存在],[b a ∈θ,使得 )()()(θf a b dx x f b a -=? 二、达布定理 1.达布和 分别以i m 和i M 表示函数f(x)在区间],[1+i i x x 里的下确界及上确界并且做总和 ∑∑=+=+-=-=n i i i i n i i i i x x m f S x x M f S 1 11 1)(),(,)(),(ππ ),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布上和,),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布下 和 特别地,当f(x)连续时,这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者,因为在这种情形下f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界. 回到一般情况,有上下界定义知道 i i i M f m ≤≤)(ξ 将这些不等式逐项各乘以i x ?(i x ?是正数)并依i 求其总和,可以得到 [全国通用]高中数学高考知识点总结 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如:集合,,,、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么? 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 {} {}如:集合,A x x x B x ax =--===||22301 若,则实数的值构成的集合为B A a ? (答:,,)-?????? 1013 3. 注意下列性质: {} ()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n ()若,;2A B A B A A B B ??==I Y (3)德摩根定律: ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==, 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 如:已知关于的不等式的解集为,若且,求实数x ax x a M M M a --<∈?50352 的取值范围。 ()(∵,∴ ·∵,∴ ·,,)335305555015392522∈----≥?∈??????M a a M a a a Y 5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”,“且”和()()∨∧“非”().? 若为真,当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真,当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真,当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗?映射f :A →B ,是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许B 中有元素无原象。) 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型? () ()例:函数的定义域是y x x x =--432lg ()()() (答:,,,)022334Y Y 10. 如何求复合函数的定义域? 整理全面《高中数学知识点归纳总结》 教师版高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容: 必修课程由5个模块组成: 必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。必修3:算法初步、统计、概率。 必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。 必修5:解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列: 系列1:由2个模块组成。 选修1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2:由3个模块组成。 选修2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2:导数及其应用,推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3:计数原理、随机变量及其分布列, 统计案例。 系列3:由6个专题组成。 选修3—1:数学史选讲。 选修3—2:信息安全与密码。 选修3—3:球面上的几何。 选修3—4:对称与群。 选修3—5:欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6:三等分角与数域扩充。系列4:由10个专题组成。 选修4—1:几何证明选讲。 选修4—2:矩阵与变换。 选修4—3:数列与差分。 选修4—4:坐标系与参数方程。 选修4—5:不等式选讲。 选修4—6:初等数论初步。 选修4—7:优选法与试验设计初步。 选修4—8:统筹法与图论初步。 选修4—9:风险与决策。 选修4—10:开关电路与布尔代数。 2.重难点及考点: 重点:函数,数列,三角函数,平面向 量,圆锥曲线,立体几何,导数难点:函数、圆锥曲线 高考相关考点: ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数:映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列:数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数:有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量:有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式:概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程:直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程:椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用 数学选修2-2导数及其应用(定积分)知识点必记 1.函数的平均变化率是什么? 答:平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1:其中x ?是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么? 答:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或0|'x x y =,即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么? 答:函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么? 答:(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些? 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些? 导数的应用及定积分 (一)导数及其应用 1.函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx =lim Δx → f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx .我们称它为函数y =f (x )在x =x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′|x =x 0,即f ′(x 0)=lim Δx →0 Δy Δx =lim Δx → f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx 。 2.导数的几何意义 函数y =f (x )在x =x 0处的导数,就是曲线y =f (x )在x =x 0处的切线的斜率 ,即k =f ′(x 0)=lim Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0) Δx . 3.函数的导数 对于函数y =f (x ),当x =x 0时,f ′(x 0)是一个确定的数.当x 变化时,f ′(x )便是一个关于x 的函数,我们称它为函数y =f (x )的导函数(简称为导数),即f ′(x )=y ′=lim Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0) Δx . 4.函数y =f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x)在点x =x 0处的函数值,即f ′(x 0)=f ′(x)|x =x 0。 5.常见函数的导数 (x n )′=__________.(1 x )′=__________.(sin x )′=__________.(cos x )′=__________. (a x )′=__________.(e x )′=__________.(log a x )′=__________.(ln x )′=__________. (1)设函数f (x )、g (x )是可导函数,则: (f (x )±g (x ))′=________________;(f (x )·g (x ))′=_________________. (2)设函数f (x )、g (x )是可导函数,且g (x )≠0,?? ?? f (x ) g (x )′=___________________. (3)复合函数y =f(g(x))的导数和函数y =f(u),u =g(x)的导数间的关系为yx ′=y u ′·u x ′.即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 6.函数的单调性 设函数y =f(x)在区间(a ,b)内可导, (1)如果在区间(a ,b)内,f ′(x)>0,则f(x)在此区间单调__________; (2)如果在区间(a ,b)内,f ′(x)<0,则f(x)在此区间内单调__________. (2)如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么这个函数在这个范围内变化较__________,其图象比较__________. 7.函数的极值 1. 求 dx e x ?-2ln 01。5.解:设t e x =-1,即)1ln(2+=t x ,有dt t t dx 122+= 当0=x 时,0=t ;当2ln =x 时,1=t 。 dt t dt t t dx e x )111(21211021 0222ln 0???+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π- =-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。 .解:两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(,则此区域的面积 31)3132()(1 0323210=-=-=?x x dx x x S 3. 求反常积分 ?+∞-+222x x dx 。 解:dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3 12lim 222222+--=-+=-+???+∞→+∞→+∞ 4ln 3 1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b b 5、 4. 设???≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ,求?-22)(dx x f 解:原式=??-+0 22 0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分 6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。 解:两曲线交点为(-1,1)(3,9)-------2分 面积?--+=3122)32(dx x x S π ---------5分 =17 256 7. 计算定积分2 2π π -? 8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续,且()1b a f x dx =?,求() b a f a b x dx +-?。 答案:解:令u a b x =+-,则当x a =时,u b =;当x b =时,u a =,且d x d u =-, 故 ()b a f a b x dx +-?=()a b f u du -? =()1b a f x dx =?。 高考数学必考知识点总结归纳 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如:集合,,,、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么? 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。?注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 {} {}如:集合,A x x x B x ax =--===||22301 若,则实数的值构成的集合为 B A a ? (答:,,)-??? ??? 1013 3. 注意下列性质: {} ()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n (3)德摩根定律: ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==, 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 的取值范围。 5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”,“且”和()()∨∧“非”().? 若为真,当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真,当且仅当、至少有一个为真 ∨ p q p q ?p p 若为真,当且仅当为假 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗?映射f:A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许B中有元素无原象。) 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型? 10. 如何求复合函数的定义域? [] 0义域是_。 >->=+- f x a b b a F(x f x f x 如:函数的定义域是,,,则函数的定 ())()() [] - a a (答:,) 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗? 12. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗? 高中数学常见题型解法归纳 求定积分的方法 【知识要点】 一、曲边梯形的定义 我们把由直线,,0x a x b y ===和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形. 二、曲边梯形的面积的求法 分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限 三、定积分的概念 一般地,设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间,每个小区间长度为x D (b a x n -D =),在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ,作和式:1 1 ()()n n n i i i i b a S f x x f n ξ==-= ?=∑∑ 如果x D 无限接近于0(亦即n →+∞)时,上述和式n S 无限趋近于常数S ,那么称该常数S 为函数 ()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记为:()b a S f x dx =?, 其中 ? 是积分号,b 是积分上限,a 是积分下限,()f x 是被积函数,x 是积分变量,[,]a b 是积分区间,()f x dx 是被积式. 说明:(1)定积分 ()b a f x dx ? 是一个常数,可以是正数,也可以是负数,也可以是零,即n S 无限趋 近的常数S (n →+∞时)记为 ()b a f x dx ? ,而不是n S . (2)用定义求定积分的一般方法是:①分割:n 等分区间[],a b ;②近似代替:取点[]1,i i i x x ξ-∈;③ 求和:1 ()n i i b a f n ξ=-∑;④取极限:()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? 四、定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质1()()()b b a a kf x dx k f x dx k =??为常数(定积分的线性性质); 性质2 1212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±? ??(定积分的线性性质); 河南省高中数学知识点总结 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如:集合,,,、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|l g |l g (,)|l g 中元素各表示什么? 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 { } {} 如:集合,A x x x B x a x =--===||2 2301 若,则实数的值构成的集合为B Aa ? (答:,,)-? ?? ? ?? 1013 3. 注意下列性质: {} ()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n ()若,;2A B A B A A B B ??== (3)德摩根定律: ()()()()()()C C C C C C U U UU U U A B A B A B A B ==, 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 如:已知关于的不等式的解集为,若且,求实数x a x x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()(∵,∴·∵,∴·,,)335 30 555 50 15392522∈----≥?∈?? ?? ??M a a M a a a 5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”,“且”和 ()()∨∧ “非”().? 若为真,当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真,当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真,当且仅当为假?p p 高中数学定积分知识点Newly compiled on November 23, 2020 数学选修2-2知识点总结 一、导数 1.函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111 212 注1:其中x ?是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或0|'x x y =,即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率; 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度; 5、常见的函数导数 6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ,()g x 均可导(可积),则有: 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式,得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式,得x的范围,就是递减区间; [注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表 f x在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大格,检查/() 值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤:求) f在[]b a,上的最大值与最小值的步骤如下: (x a,上的极值; ⑴求) (x f在[]b ⑵将) f a f b比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小 f的各极值与(),() (x 值。[注]:实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点; 9.求曲边梯形的思想和步骤(“以直代曲”的思想) 10.定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 高中数学高考知识点总结 一、集合与函数 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如:集合,,,、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么? 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 3. 注意下列性质: {} ()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n ()若,;2A B A B A A B B ??==I Y (3)德摩根定律: ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==, 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 如:已知关于的不等式的解集为,若且,求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()(∵,∴ ·∵,∴ ·,,)335 30555 50 1539252 2∈----≥?∈? ? ????M a a M a a a Y 5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”,“且”和()()∨∧“非”().? 若为真,当且仅当、均为真 p q p q ∧ , 若为真,当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真,当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗?映射f :A →B ,是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许B 中有元素无原象。) 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型? ()() 例:函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()( ) (答:,,,)022334Y Y 10. 如何求复合函数的定义域? [ ] 如:函数的定义域是,,,则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0义域是_。 [](答:,)a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗? ( ) 如:,求f x e x f x x +=+1(). 令,则t x t = +≥10 ∴x t =-2 1 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210 12. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗? (①反解x ;②互换x 、y ;③注明定义域) () () 如:求函数的反函数f x x x x x ()=+≥-? ???1002 ()() (答:)f x x x x x -=->--????1110() 13. 反函数的性质有哪些? ①互为反函数的图象关于直线y =x 对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性;高中数学定积分知识点
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