简单的幂函数

示范教案{§5简单的幂函数}

§5 简单的幂函数 整体设计 教学分析 教材从整数指数的幂函数自然引入，给出定义后，也只是推广到其他整数指数的情况，但是要指出x 为其他实数时仍有意义，留待第三章解决．对于函数的奇偶性，虽然给出了一般定义，但是应该知道，教材重在从图上看出图像的对称性，着重从对称的角度应用这一性质，也就是说，对奇偶性的要求是低的，习题不需要过难，要循序渐进． 值得注意的是尽量用信息技术画幂函数的图像，通过它们的图像，让学生自己归纳出它们的性质． 三维目标 1．了解指数是整数的简单幂函数的概念，巩固画函数图像的方法，培养学生识图和画图的能力． 2．会利用定义证明简单函数的奇偶性，提高学生的逻辑思维能力． 3．了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法，培养学生分析问题和解决问题的能力． 重点难点 教学重点是幂函数的概念，奇函数和偶函数的概念． 教学难点是判断函数的奇偶性． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(1)如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S ＝a 2，这里S 是a 的函数． (2)如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积V ＝a 3，这里V 是a 的函数． (3)如果正方形场地面积为S ，那么正方形的边长a ＝S 12 ，这里a 是S 的函数． 以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边是指数式，且底数都是变量) 这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给它们起一个名字的话，你将会给它们起个什么名字呢？(变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式) 思路 2.我们已经熟悉正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数，教师板书引出课题． 推进新课 新知探究 提出问题 ①给出下列函数，y ＝x ，y ＝12 x ，y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x 3，考察这些解析式的特点. ②根据①，如果让我们起一个名字的话，你将会给它们起个什么名字呢？请给出一个一般性的结论. ③函数y ＝x ，y ＝ 1x 的图像对称性有什么共同点？ ④函数y ＝x ，y ＝1x 的解析式满足f －x ＝－f x 吗？ ⑤函数y ＝x 2 ，y ＝|x |的图像对称性有什么共同点？ ⑥函数y ＝x 2，y ＝|x |的解析式满足f －x ＝f x 吗？ 活动：①主要看函数的变量的位置和解析式的形式． ②总结出解析式的共性后，类比前面的式子，起出一个名字．

2.5简单的幂函数(北师大版教案)

5 简单的幂函数 教学目标： 1．了解指数是整数的幂函数的概念; 2．学会利用定义证明简单函数的奇偶性,了解用函数的奇偶性画函数图象和研究函数的方法； 3．培养学生从特殊归纳出一般的意识，培养学生利用图像研究函数奇偶性的能力。 重点难点： 1．教学重点：幂函数的概念，奇偶函数的概念 . 2．教学难点：幂函数图像性质，研究函数奇偶性。 教学过程： 一、情景引入 (1)如果张红买了每千克1元的蔬菜x 千克,那么她需要支付y x = (2)如果正方形的边长为x ,那么正方形的面积2y x = (3)如果立方体的边长为x ,那么立方体的体积3y x = (4)如果正方形的面积为x ，那么正方形的边长y = (5)如果某人x 秒内骑车行进1千米那么他骑车的平均速度1 y x = 以上问题中的函数有什么共同特征？ y x = 2y x = 3y x = y =12 ()y x = 1 y x = 1()y x -= 答：底数是自变量x,只是指数不同. 二、知识探究

1、幂函数的定义：如果一个函数，底数是自变量x ,指数是常量,即y x α=（α是常数)，这样的函数叫幂函数. 具体特点:①底数是自变量 ②指数是常量 ③x α的系数是1 判一判：判断下列函数是否为幂函数. (1)m y ax = 2(2)y x x =+ 3n y x =（） 5(4)(2)y x =- 2 (5)2 y x = 21 (6)y x = 仅(3)⑹是幂函数 2、画出函数3y x =的图像，讨论其图像特征（单调性、对称性等） 解：列表： 描点连线： 图像特征: ⑴单调性: 在R 上是增加的 ⑵对称性: 函数图像关于原点对称 并且对任意x , ()()()3 3f x x x f x -=-=-=- 即()()f x f x -=-，像这样的函数叫作奇函数 奇函数的特点： ⑴定义域关于原点对称 ⑵对于定义域中的任意的x ，都有()()f x f x -=- ３、观察函数()2f x x =，讨论图像特征 函数图像关于y 轴对称，并且对任意x , ()()()2 2f x x x f x -=-==

北师大版必修一数学5.1简单的幂函数

安边中学 高一 年级 1学期 数学 学科导学稿 执笔人： 邹英 总第 课时 备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间： 2013.9 集体备课 个人空间 一、课题：2.5简单的幂函数 二、学习目标 1、理解幂函数的概念，会利用定义证明简单函数的奇偶性； 2、了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法； 3、类比研究一般函数的方法，研究幂函数的图像和性质； 4、进一步渗透数形结合与类比的思想方法，体会幂函数的变化； 三、教学过程 【温故知新】 在初中我们已经熟悉这3种函数的解析式： 21),)(1(,x y x y x y x y ====- 问题1、请指出这3个函数解析式的异同点。 【导学释疑】 幂函数的概念：如果一个函数，底数是 ，指数是 。 问题1、判断下列函数是否为幂函数. （1）4()f x x = ； （2）3()(2)f x x =-； （3）31y x x -=-； （4）5y x -= ； （5）2y x -=- ； （6）3 2y x -=。 【巩固提升】 例1画出函数3()f x x =的图像，讨论其单调性。 解：先列出x ，y 的对应值表 再用描点法画出图像。 练习、利用同样的方法画出函数2)(x x f =的图像，讨论其单调性。 x y

问题2、观察3()f x x =的图像，图像关于______对称；观察2()f x x =的图像，图像关于_______对称。 函数的奇偶性： （1）奇函数： （2）偶函数： 例2、判断函数 5()2f x x =-、4()2g x x =+及2()23 h x x x =++的奇偶性。 注：函数具有奇偶性的前提是：定义域关于__________对称。 【检测反馈】 1、函数y=f(x)是奇函数，在[a,b]上是减少的，则它在[-b,-a]上是（ ） A.增加的 B .减少的 C.先增后减 D.先减后增 2、判断下列函数的奇偶性 35(1)()f x x x =+ (]2(2)(),3,3f x x x =∈- 2(3)()33f x x =- 3、见教材P 50页动手实践。 4、已知 2 1 21()(22)23m f x m m x n -=+-+-是幂函数，求m,n 的值 【学生小结】 反 思 栏

北师大版 5 简单的幂函数学导学案

课题5 简单的幂函数 自主备课 一、学习目标 1、了解简单幂函数的概念； 会利用定义证明简单幂函数的奇偶性 2、了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法。 3、 学习重点：幂函数的概念和奇偶函数的概念 4、 学习难点：简单的幂函数的图像性质。函数奇偶性的判断。 二、教学过程 幂函数的概念： 1、形如 的函数叫幂函数，它的形式非常严格． ①前面的系数是1； ②底数自变量x ； ③指数是常数a; ④只有一项 例如：11 2 3 2,,,,y x y x y x y x y x -=====常见的幂函数： 2、在坐标系中画函数图象：y=x 、y ＝x 2、y ＝x 3、y ＝x 2 1、y ＝x 1- 幂函数的图像和性质与幂指数α有关， ①当α>0时，过0（0，0），（1,1）且在[0，＋∞)上为增函数， ②当α<0时，过（1,1），且在(0，＋∞)上为减函数. 奇偶函数的概念 一般地，函数()f x 图像关于原点对称的函数叫奇函数。如f(x)=x 3 函数()f x 图像关于y 轴对称的函数叫偶函数。如f(x)=x 2 当函数()f x 是奇函数或者是偶函数时，称函数()f x 具有

判断函数奇偶性方法 图像法__________________________________________________ ___________________________________________________ 定义法（1）定义域是否关于原点对称； （2）对定义域中任意x，①当有f(-x)=f(x)时，称f(x)是奇函数；②当有f(-x)=-f(x)时，称f(x)是偶函数。 问题：1、二次函数都是偶函数吗？ 2、一次函数都是奇函数吗？ 例题讲解 例题1、画出函数3 =的图像，并讨论单调性。 f x x () x ... -2 -1 1 -0 12 1 2 ... 2 f x... () 54 =+ 例2、判断=-2和的奇偶性 f x x g x x ()()2 2 例3、已知f(x)的定义域为R的奇函数，当时x>0时，f(x)=x-2x （1）求函数f(x)在R上的解析式 （2）画f(x)的图像

简单的幂函数说课稿

《简单的幂函数》说课稿 各位同事好！ 下面我将要为大家说课的课题是简单的幂函数。 一、说教材 1、教材的地位和作用： 《简单的幂函数》选自高一数学新教材必修1第2章第5节。从教材地位看，是对学生熟悉的特殊的正反比例函数和二次函数2x y 等在解析式的形式上共有特征的函数的推广；从研究方法上看本节突出幂指数从特殊到一般的推广，为后续学习做了铺垫。对于函数的奇偶性教材重在从图像上看出对称性，着重从对称的角度应用这一性质（本教材对函数的奇偶性有淡化的趋势，这一点可以从编排上看出）。通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触过的函数，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升。 2、教学目标： 根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标： （1）基础知识目标： ①理解幂函数的概念。 ②结合几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和简单性质。 ③会利用定义证明简单函数的奇偶性，了解利用奇偶性画函数图像的方法。 （2）能力训练目标： ①通过观察、总结幂函数的性质，培养学生抽象概括和识图能力。 ②使学生进一步体会数形结合的思想。 （3）情感态度与价值观 ①通过熟悉的例子消除陌生感引出幂函数的概念，从而引起学生注意，激发学生的学习兴趣。 ②利用多媒体，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。 ③培养学生从特殊归纳出一般的意识，培养学生利用图像研究函数奇偶性的能力。并引导学生发现数学中的对称美，让学生在画图与识图中获得学习的快乐。 3、教学重点与难点 重点：幂函数的概念、奇偶函数的概念。 难点：简单幂函数的图像性质；正确判断函数的奇偶性。 注：把简单幂函数的图像性质设计为难点之一，是考虑到性质得出不易，主要是通过几何画板演示及学生观察得到。 下面，为了讲清重点、突破难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈： 二、说教法

§5简单的幂函数教案

§5 简单的幂函数 教学目标 1.了解指数是整数的简单幂函数的概念，巩固画函数图象的方法，培养学生识图和画图的能力． 2．会利用定义证明简单函数的奇偶性，提高学生的逻辑思维能力． ３．了解利用奇偶性画函数图象和研究函数的方法，培养学生分析问题和解决问题的能力． 重点难点 教学重点是幂函数的概念，奇函数和偶函数的概念． 教学难点是判断函数的奇偶性． 教学过程 导入新课 我们已经熟悉了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数（课题）． 新课推进 【问题1】 观察下列函数，x y =，2 1x y =，2x y =，1-=x y ，3 x y =，它们的解 析式有何共同的特点？ （通过观察发现这些函数的自变量在底数位置，指数都是常数，解析式右边都是幂．） 我们就给这种类型的函数起个名字叫幂函数，如果我们用字母α来表示函数的指数，就可以得到一般的式子。即幂函数的定义： 一般地，形如y x α =()R α∈的函数称为幂函数，其中x 为自变量，α为常数． （在中学阶段我们只关注1=α，2，3，2 1 ，1-这几种情形，在第三章中将对2 1 x y =作一些讨论．） 【定义解读】理解幂函数的定义时，必须记住已下三点： （１） 幂的底数是自变量； （２） 幂的指数是一个常数，它可以取任意实数； （３） 幂值前面的系数为1，否则不幂函数． 【例１】下列函数是幂函数的为( ) ①y ＝1 x 2；②y ＝2x 2；③y ＝x 2＋x ；④y ＝(x －2)3；⑤y ＝1. A ．①⑤ B ．② C ．① D ．①②④ 【思路探究】 紧扣幂函数的概念，y ＝x α的形式是解题的关键． 【自主解答】 函数y ＝1 x 2可写成y ＝x －2的形式，是幂函数；y ＝2x 2的系数不是1，y

教案《简单的幂函数》

§2.5 简单的幂函数 教学目标：知识目标： 1. 通过具体实例了解幂函数的概念、图像和简单性质 2. 掌握奇函数，偶函数的概念及函数奇偶性的判断方法 能力目标：理解研究函数图像通过函数的奇偶性去研究； 情感、态度、价值观： 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性 教学重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质 教学难点：画五个具体幂函数的图像并由图像概括其性质，体会图像的变化规律 教学过程： 一、幂函数概念 一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数．（举例） 二、幂函数的图像 作出下列函数的图像：（1）x y =； （2）2 1x y =； （3）2x y =； （4）1-=x y ； （5）3x y =． 三、观察发现 问题1. 观察3x y =的图像，说出它有哪些特征？ 奇函数：对任意的x ，若f (-x )=-f (x )，则称为奇函数。 奇函数的图像关于原点对称。 问题2：观察2x y =的图像，说出它有哪些特征？ 偶函数：对任意的x ，若f (-x )=f (x )，则称为偶函数。 偶函数的图像关于y 轴对称。 课堂练习：判断52)(x x f -=和2)(4+=x x f 的奇偶性。 （见课本P50例2）

四、奇偶性判断方法小结： 1.定义法； 2.图像法 五、动手实践 课本P50页动手实践题 六、基本训练题： 讨论下列函数的奇偶性： （1）12)(24++=x x x f （2）x x x x f 12)(3++= （3）c bx ax x f ++=2)( （4）x a x x f + =2)( 七、拓展性训练题 1. 已知函数32)1()(2++-=mx x m x f 是偶函数，则)(x f 在(-∞,0]上是（ ） A.增加的 B .减少的 C.先增后减 D.先减后增 2. 已知函数)(x f 是奇函数，在[a ,b ]上是减少的，则它在[-b ,-a ]上是（） A.增加的 B .减少的 C.先增后减 D.先减后增 八．课堂小结： 1. 幂函数的概念 2. 奇函数、偶函数的概念 3. 函数的奇偶性及其判断方法 九．课后作业： P51 A 组1，2， 3（1）（2）， 4

简单的幂函数

§5. 简单的幂函数 学习目标 （1）了解指数是整数的幂函数的概念; (2) 学会利用定义证明简单函数的奇偶性,了解用函数的奇偶性画函数图象和研究函数的方法； (3) 培养学生从特殊归纳出一般的意识，培养学生利用图像研究函数奇偶性的能力。 重点、难点 重点：幂函数的概念，奇偶函数的概念 难点：幂函数图像性质，研究函数奇偶性。 学习过程 一、情景引入 (1)如果张红买了每千克1元的蔬菜x 千克,那么她需要支付y x = (2)如果正方形的边长为x ,那么正方形的面积2y x = (3)如果立方体的边长为x ,那么立方体的体积3y x = (4)如果正方形的面积为x ，那么正方形的边长y x = (5)如果某人x 秒内骑车行进1千米那么他骑车的平均速度1y x = 以上问题中的函数有什么共同特征？ y x = 2 y x = 3 y x = y x = 12 ()y x = 1 y x = 1()y x -= 共同特征：底数是自变量x,只是指数不同. 二、知识探究 1、幂函数的定义：如果一个函数，底数是自变量x ,指数是常量,即y x α=（α是常数)，这样的函数叫幂函数. 具体特点:①底数是自变量 ②指数是常量 ③x α的系数是1 判一判：判断下列函数是否为幂函数.

(1)m y ax = 2(2)y x x =+ 3n y x =（） 5(4)(2)y x =- 2(5)2y x = 21 (6)y x = 仅(3)⑹是幂函数 2、 画出函数3y x =的图像，讨论其图像特征（单调性、对称性等） 解：列表： x … 2- 1- 1 2- 0 12 1 2 … y … 8- 1- 1 8 - 18 1 8 … 描点连线： 图像特征: ⑴单调性: 在R 上是增加的 ⑵对称性: 函数图像关于原点对称 并且对任意x , ()()()3 3 f x x x f x -=-=-=- 即()()f x f x -=-，像这样的函数叫作奇函数 奇函数的特点： ⑴定义域关于原点对称 ⑵对于定义域中的任意的x ，都有()()f x f x -=- 3、观察函数()2f x x =，讨论图像特征 函数图像关于y 轴对称，并且对任意x , ()()()2 2f x x x f x -=-== 即()()f x f x -=，像这样的函数叫作偶函数 偶函数的特点： ⑴定义域关于原点对称 ⑵对于定义域中的任意的x ，都有 ()()f x f x -= 注：①如果函数()y f x =是奇函数或偶函数，我们就说函数()y f x =具有奇偶 x y o 1x y o 1-1-1

简单的幂函数(教学设计)

§5 简单的幂函数（第1课时） 交大二附中刘正伟 一、课标三维目标： 1．知识技能：了解简单幂函数的概念；通过具体实例了解幂函数的图象和性质， 并能进行初步的应用. 2．过程与方法：通过作函数图像，让学生体会幂函数图像的特点，会利用定义证 明简单函数的奇偶性，了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方 法。 3．情感、态度、价值观：进一步渗透数形结合与类比的思想方法；培养从特殊归 纳出一般的意识，体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对 称性。 二、教学重点与难点： 重点：幂函数的概念，函数奇、偶性的概念。 难点：判断函数的奇偶性。 三、学法指导： 通过数形结合，类比、观察、思考、交流、讨论，理解幂函数的概念和函数的奇偶性。 四、教学方法： 对奇偶性要求不高，题目不需要过难，尽量用多媒体和计算机画函数的图像，重 在从图上看出图像关于谁对称，着重从对称的角度应用这一性质，培养学生自己归 纳总结的能力。 五、教学过程： （一）创设情境（生活实例中抽象出几个数学模型） 1.如果张红购买每千克1元的蔬菜x千克,那么她需要付的钱数 p=x元,这里p是s的函数. 2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数. 3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数 4.如果正方形场地的面积为S,那么正方形的边长a=S1/2,这里a是S的函数. 5.如果某人t s内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度 v=t-1km/s,这里v 是t的函数. 【思考】上述函数解析式有什么形式特征？具有什么共同点？（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，板书课题并归纳幂函数的定义。） （二）探究幂函数的概念、图象和性质

数学高一必修1 第二章5 简单的幂函数 课时作业

[学业水平训练] 1．下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)单调递增的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝x － 1 C ．y ＝x 12 D ．y ＝x 1 3 解析：选D.y ＝x 2为偶函数，y ＝x 1 2是非奇非偶函数，y ＝x －1在(0，＋∞)单调递减，故 选D. 2．(2014·南昌高一检测)设幂函数f (x )的图像经过点(13，3)，设0＜a ＜1，则f (a )与f (1 a ) 的大小关系是( ) A ．f (1a )＜f (a ) B ．f (1a )＝f (a ) C ．f (1 a )＞f (a ) D ．不能确定 解析：选A.令y ＝x α，由题意得3＝(1 3 )α， ∴α＝－12，∴y ＝x －1 2 在(0，＋∞)递减， ∵0＜a ＜1，∴1 a ＞1＞a ， 故f (a )＞f (1 a )． 3．(2014·泉州高一检测)若函数f (x )＝(x －1)(x －a )为偶函数，则实数a ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 解析：选B.偶函数f (x )＝(x －1)(x －a )与x 轴的交点关于y 轴对称，∴a ＝－1. 4．图中的曲线是四个幂函数在第一象限的图像，记曲线C 1，C 2，C 3，C 4对应幂函数的幂指数分别为a ，b ，c ，d ，则a ，b ，c ，d 的大小顺序正确的一组是( ) A ．a >b >c >d B ．c >d >a >b C ．a >b >d >c D ．a >d >b >a 解析：选A.因为在第一象限内，曲线C 1，C 2的函数值随x 的增大而增大，所以a >0，b >0；又因为C 1的图像是下凸的，C 2的图像是上凸的，所以a >1,0b >c >d . 5．函数y ＝x －2 x －1 的大致图像是( )

知识讲解_简单的幂函数_提高

简单的幂函数 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况. 2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题。 3.理解函数的奇偶性定义，会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 4.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】 要点一、幂函数概念 形如()y x R α α=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数. 要点诠释： 幂函数必须是形如()y x R α α=∈的函数，幂函数底数为单一的自变量x ，系数为1，指数为常数.例如： ()2 423,1,2y x y x y x ==+=-等都不是幂函数. 要点二、幂函数的图象及性质 1.作出下列函数的图象： (1)x y =；(2)2 1x y =；(3)2x y =；(4)1-=x y ；(5)3 x y =． 要点诠释： 幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： (1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)； (2)0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸； (3)0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 2.作幂函数图象的步骤如下: (1)先作出第一象限内的图象； (2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成； 若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据y 轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 3.幂函数解析式的确定 (1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．