弹性力学基本方程和岩石力学介绍

第二章 弹性力学的基本原理

§2.1 应力分析

2.1.1应力与应力张量

应力被定义为：用假想截面将物体截开，在截面上一点P 的周围取一微元S ?, 设S ?的外法线为ν, S ?上的力为T ?，如极限ν???T S T S =→/lim 0

存在，则称νT 为P 点在该截面上的应力矢量。

考察三个面为与坐标面平行的截面(即以321,,x x x 三个坐标轴为法线的三个截面), )3()2()1( , ,T T T 分别表示三个截面上的应力矢量。每一个应力矢量又分解为沿三个坐标轴的应力分量，有

j ij i e T σ=)( (i ,j =1,2,3) (2.1)

这里的张量运算形式满足“求和约定”，即凡是同一指标字母在乘积中出现两次时，则理解为对所有同类求和，即j ij e σ应理解为∑=3

1j j ij e σ。这样的求和指标j 称之为假指标或哑指标。由此得到

九个应力分量表示一点的应力状态，这九个分量组成应力张量：

?

??

??

??=333231232221131211σσσσσσσσσσij 或???

?

?

??=zz zy zx yz yy yx

xz xy xx ij στττστττσσ (2.2) 在本书第一章致第九章，应力分量符号(正负号)规定如下：对于正应力，我们规定张应力为正，压应力为负。对于剪应力，如果截面外法向与坐标轴的正方向一致，则沿坐标轴正方向的剪应力为正，反之为负。如果沿截面外法向与坐标轴的正方向相反，则沿坐标轴正方向的剪应力为负。

2.1.2 柯西(Cauchy)方程

记S 为过P 点的外法向为n 的斜截面。外法线n 的方向可由其方向余弦记为),,cos(11x n n =α

),cos(22x n n =α, ),cos(33x n n =α。

设此斜截面ABC ?的面积为S , 则如图2.1, 过此点所取的小四面体OABC 另外三个面为与坐标面平行的截面(即以321,,x x x 三个坐标轴为法线的三个截面), 其面积分别为

???

??

?=?=?=?=?=?=333222111),cos(:),cos(:),cos(:n n n S x S S OAB S x S S OAC S x S S OBC α?α?α?n n n (2.3) 此截面上的应力矢量记为)(n T , 即

j n j n T e T )()(= (2.4)

另外三个面上的应力矢量分别为)1(T -, )2(T -, )3(T -。 考虑此微元(四面体OABC 的平衡，其平衡方程为

()031

3)3(2)2(1)1()(=??+?+?+?-?h S S S S S n f T T T T (2.5)

其中f 为作用于此单元上的体力，h 为O 点至截面ABC 的垂直距离，h S ?3

1

为此微元的体积。当

此四面体微元无限缩小时, 上式中最后一项为更高阶的无穷小量，可略去不计，从而得

3)3(2)2(1)1()(n n n n ααα?+?+?=T T T T (2.6)

将(2.1)代入, 就得到

j ni ij n e T ασ=)( (2.7) 与(2.4)比较就得到)(n T 的坐标分量与应力分量间的关系为：

ij ni n j T σα=)( (2.8) 这就是柯西(Cauchy)公式，写成矩阵形式就是

???

?

? ??????? ??=????? ??321333231232221131211)(3)(2)(1n n n n n n T T T ααασσσσσσσσσ 或

???

?

?

??????? ??=?????? ??n m l T T T zz zy zx

yz yy yx xz xy xx n z n y n x στττστττσ)()

()( (2.9)

斜截面上总应力在法线方向上的分量(正应力)为

ij nj ni n j nj T σααασν==)( (2.10) 或将321 , ,n n n ααα写成l , m , n ,

312312332222112222σσσσσσσνnl mn lm n m l +++++= (2.11)

切线方向上的分量(剪应力)

()

()()()

22)(3

2)(2

2)(1

22

)(νννσστ-++=

-=

n n n n T T T T

(2.12)

2.1.3 坐标变换

建立新的正交坐标系1x ', 2

x ', 3x ', 并将上面所述的斜截面作为一个新的坐标面1x ', 新坐标轴1x ', 2

x ', 3x '与原坐标轴1x , 2x , 3x 之间的夹角余弦如下表示：

则上面的应力矢量成为)1('

T 将应力分量从原坐标系xyz o -变换到新坐标系'''z y x o -，(2.10)

成为

ij j i j j T σααασ11)1(111''''''== (2.13)

同理

图2.1

??

?

??====''''''''''''ij j i j j ij j i j j T T σααασσααασ31)

1(33121)1(221 (2.14) 一般地，有

ij j j i i i j j j j i T σααασ''''''==)( (2.15)

上式为应力张量坐标变换式, 用矩阵表示为

????

?

??????? ??????? ??=????? ??'''''''''''''''''333231322221131211333231232221131211332313322212312111'3'3'2'3'1'3'3'2'2'2'1'2'3'1'2'1'1'1αααααααααστττστττσααααααααασσσσσσσσσ (2.16) 上式用在具体计算时比较方便。在理论推导中，用应力张量的变换符号表示比较方便： 其中αi i '为新坐标中x i ’与旧坐标中x i 之间夹角的方向余弦。

剪应力互等定理:

设体积微元(小长方体)的三个边长各为dx 1、dx 2、dx 3, 作用于此体积元上所有的力(包括惯性力)对于任一轴的矩的代数和必然为零。因而得

ji ij σσ= (2.17)

这就是剪应力互等定理。它表明，应力张量是对称张量。

2.1.4 主应力与应力张量不变量

如果在某一截面上剪应力为零，则该截面的法向称为主方向，相应的截面称为主平面。主平面的正应力为主应力。设方向n 为主方向，其方向余弦为)(321n n n 、、, 此面上的主应力为σ, 则

??

?

??

?=?=?=3)(32)(21)(1n T n T n T n n n σσσ (2.18) 将上式代入柯西公式(2.7), 得

??

?

??

=-++=+-+=++-0)(0)(0)(333232131323222221313212111n n n n n n n n n σσσσσσσσσσσσ (2.20) 上式写成张量形式就是：

()0=-i ij ij

ασδσ

(2.21)

其中ij δ为克罗耐克尔(Kroneker)符号：

?

??≠==j i j i ij 0

1δ

因为321n n n 、、不能同时为零，所以(2.20)的系数行列式必须为零。得

0)

()()

(223231

23221213

12

11=---i i i σσσσσσσσσσσσ (2.22) 上式写成张量形式就是： ()0det =-ij ij σδσ (2.23)

将(2.22)的行列式展开后得

032213=-+-I I I i σσσ (2.24)

方程(2.13)称为应力状态特征方程，其三个系数分别为

??

???

?

???

??

=+

+=++=33323123

222113

1211311133133333223222221121123322111 σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσI I I (2.25)

特征方程(2.24)在坐标变换时保持不变，即它的三个系数I 1, I 2, I 3不随坐标系的变化而改变，I 1, I 2, I 3分别称之为应力张量的第一、第二、第三不变量。解特征方程求得三个实根就是主应力, 通常取

321σσσ≥≥。将其值代入方程组(2.20), 并和条件12

32221=++n n n 联立, 即可求得对应于每一个主

应力i σ)3,2,1(=i 的主方向

()()321321,,1

,,w w w H

n n n i =

=n )3,2,1(=i (2.26) 其中

()()()()???

??

??++=+-+-=+-=+-=2

123222111212221123

131211232231222131,,

,w w w H w w w i i i i σσσσσσσσσσσσσσσσ )3,2,1(=i (2.27)

上述过程在数学上实际就是求应力张量矩阵的特征值和特征向量。 如果选择主方向为坐标轴321,,x x x , 则应力张量不变量(2.25)可化简为

??

?

??

=++=++=3

21313322123

211σσσσσσσσσσσσI I I (2.28)

2.1.5最大剪应力

可以证明，三个最大剪应力分别为

??

?

??

-±=-±=-±=)()()(13131322123212112σστσστσστ (2.29)

这些剪应力所在的截面平行某一主轴面而与另外两个主轴成45°夹角。 最大剪应力在塑性力学的屈服准则和断裂力学的Dugdale 模型中会用到。

2.1.6 应力圆(Mohr 圆)

记N σ为某一截面上的正应力，τ为该截面上的剪应力。Mohr 圆为τσ-N 平面上的一个圆，

这个圆的圆心C 的坐标为??? ??+0,22211σσ, 半径为2

122

22112σσσ+??

? ??-。圆上的一点表示某一截面上的应力。该点的横坐标表示该截面上的正应力，纵坐标表示该截面上的剪应力。这个圆用方程

表示就是：

2

122

221122221122σσστσσσ+??

? ??-=+??? ??+-N (2.30)

图2.2显示了Mohr 圆，其中A 点代表以1x 轴为法线的截面上的应力),(1211σσ。该截面的法线与第一主方向的夹角为'α。延长AC 交Mohr 圆于D 点。D 点代表以1x 轴为法线的截面上的应力

),(2122σσ。令0=τ, 从(2.17)式可以得出Mohr 圆与横轴的两个交点的横坐标为

2

122

221122112122σσσσσσσ+??? ??-±+=

?

????? (2.31) 这正是两个主应力，和解特征方程(2.24)得到的结果是一致的。规定AC 和横轴的夹角为'2α,

CB

?-=

2'2cos 22

11σσα， CB

12

'2sin σα=

22

1112

2'2tg σσσα-=

(2.32)

'

sin 'cos '

2cos 2

2

'2cos 2

22

12

12

111ασασασσσσασ+=-+

+=

+=CB OC

'

cos 'sin '

2cos 2

2

'2cos 22212

12

122ασασασσσσασ+=--

+=

-=CB OC

'cos 'sin )( '2sin 2112αασσασ-==CB

这个结果和用坐标变换的方法求得的结果一致。从A 点顺时针沿圆周移动，扫过圆心角α2后至B 点。现在我们来计算B 点的坐标),(τσN 的值。

α

σασσσσα

ασσασσσσααααασσσσααααασ2sin 2cos 2

2 2sin '2tg 22cos 22 )2sin '2sin 2cos '2(cos '2cos 22

)2'2cos('

2cos )

2'2cos(1222

11221122

112211221122112211?+-++=?-+-++=+?-++=-+

=-+=+=CE

OC CB OC CF OC N 图2.2 平面应力的应力圆

(Mohr 圆)

α

σασσααααασσαατ2cos 2sin 2

)2sin '2cos 2cos '2(sin '2cos 2 )

2'2sin(1222112211+??

? ?

?--=--=-?=CB

上述结果中的N σ与τ和坐标变换方法结果比较，可以看出，B 点正代表图2.3中HK 面逆时针转过α角后的LM 截面上的应力情况。

还可以做通过（1σ，0）、（3σ，0）两点的圆以及（2σ，0）和（3σ，0）两点的圆，构成三维应力圆。详细的论述可参见尹祥础(1985)。

2.1.7 应力张量分解为球张量和偏(斜)张量

应力张量可以进行如下的分解:

ij ij ij S +=δσσ0 (2.33)

上式中右侧第一项称为应力球张量，

ii σσσσσ3

1)(313322110=++= (2.34)

称为平均应力，第二项称为应力偏(斜)张量，简称应力偏量。应力球张量是一种三个主应力彼此

相等的特殊应力状态，有时称之为静水压应力状态。应力偏张量常用ij S 表示各个分量，写成张量形式就是

ij ij ij S δσσ0-= (2.35)

其特征方程为

032213=---J S J S J S (2.36)

仿(2.25)的步骤，不难证明

图2.3 平面应力的应力

分析

??

??

?

???

?

?????

???

??+-===-=-+-+-=+++-+-+-=+

+==++=2

00233332312322211312113202202

1323222123122321221133233222221111

1331

333332232222211211233221112,23

3 ])()()[(61 )

(])()()[(6

1 0

σστσσσσσσσσσσσσI I S S S S S S S S S J I σσσσS S S S S S S S S S S S J S S S J (2.37)

上式中的0τ为八面体上的剪应力。式中的321,,J J J 称为应力偏量的三个不变量。

2.1.8 正八面体上的正应力与剪应力

取三个主方向为坐标轴，法线n 与三个坐标轴夹角相等的截面称为等倾面。等倾面法线的三个方向余弦n m l ,,绝对值相等。根据12

2

2

=++n m l 可得3/1||||||===n m l 。在空间共有八

个这样的等倾面，它们组成一个正八面体。

由式(2.11)可知此正八面体各面上的正应力均相等，恰等于平均应力0σ，

3

31)(311

3210I ii =

=++=σσσσσ (2.38) 各等倾面上的应力矢量)

(n T

的模为

)(3

1)()(2

322212322212)(σσσσσσ++=++=n m l T n

不难证明，各等倾面上的剪应力0τ为

22

023*******)(203

2)(31

)(J T n =-++=-=σσσσστ

])()()[(12

1

213232221σσσσ-+-+-=

σσ (2.39) 2.1.9 平衡方程与运动方程

考虑固体中任意一点O 与其相邻点的组成的微元的平衡(运动)，其平衡(运动)方程归纳如下:

??

????

???

???? ????==+??+??+?????? ????==+??+??+?????? ????==+??+??+??2323333232131222

23232221212121313212111000t u f x x x t u f x x x t u f x x x ρσσσρσσσρσσσ (2.40) 写成张量形式就是

)(0,i i j ij u

f ρσ==+ 3,2,1=i (2.41) 上式中符号“，j ”表示将它前面的量对j x 求偏导数, i u 为质点沿i x 方向的位移。

2.1.10 应力的单位

应力的标准化单位为Pascal, 简称Pa, 1Pa=1N/m 2, 1MPa=106Pa, 1GPa=109Pa 。以前文献上常用的几种单位属于应废除单位，包括：1bar=106dyne/cm 2, 1Psi=1Pound/inch 2, 他们和标准化单位之间的换算关系是：1bar=0.1MPa=14.5psi 。

§2.2 应 变

2.2.1 应变与应变张量

一般的情形下，物体内空间关系采用),,(z y x 坐标系, 位移分量采用w v u ,,表示。在讨论张量关系时采用等效的),,(321x x x 坐标系, 位移分量采用321,,u u u 表示。以边长为321,,dx dx dx 的体积微元在x 1ox 2平面的投影为例(图2.4)。考察平行于x 轴的线段微元AB, 长度为dx 1。A 点的坐标为(x 1, x 2)。变形后移至A’B’。A 点在x 1, x 2方向的位移各为u 1, u 2, 而B 点在x 1, x 2方向的位移各为

1111dx x u u ??+

, 11

22dx x u

u ??+

所以，线元AB 的伸长量在轴上的投影为

11

1

dx x u ?? 在小变形的情形(应变分量远小于1)，线段元素AB 平行于x 轴的伸长量为

111dx x u ??, 相对伸长量1

1x u

??即是平行x 轴的线形变分量，用11ε表示。同样, 我们可以得到平行于x 2轴及x 3轴的线形变分量22ε及33ε:

1

1

11x u ??=

ε, 2222x u ??=ε, 3333x u ??=ε (2.42)

剪应变表示的是线元之间夹角的变化。如图2.4, 考察直角BAC ∠(分别与x 1、x 2轴平行的线元1dx , 2dx 组成的夹角)的变化。变形后，直角BAC 变为'''C A B ∠。角度的改变量(减小量为正)为βα+。由图2.4可知，

)

1(tan 111112

1

εα+??=-dx dx x u

根据小变形的条件，111<<ε, 因而

1

2

x u ??=

α 图 2.4 体积微元在

x 1ox 2平面的投影

同理, 2

1

x u ??=

β 用符号2/)(2112βαεε+==表示剪应变, 同理得出:

??

?

??

?

??

???

??+??==??+??==??+??==)(21)(21)(

21133113313223322321122112x u x u x u x u x u x u εεεεεε (2.43)

上述分量和11ε、22ε、33ε共同组成应变张量

?

??

??

??=333231232221131211εεεεεεεεεεij , 或???

?

?

??=zz zy zx

yz yy yx

xz xy xx ij εεεεεεεεεε (2.44) 写成张量形式就是：

()j i i j ij u u ,,2

1

+=

ε (2.45) 应变分量符号的另一种常用的表示为:

????

? ??3332

21

31

2123122211

132

1122

111εγγγεγγγε (2.46) 其中

()ij j i i j ij u u εγ2,,=+=

ij γ称为角应变，和剪应变ij ε虽然概念相同, 但数量相差一倍。

应变ε为无量纲量。在实际中，一般用微应变(με)或毫应变(εm )为计量单位。εμε6101-=,

εε3101-=m 。小应变是指1<<ε的应变量。

2.2.2 转动与转动张量

转动张量记为:

)(ij ω=R (2.47)

与位移的关系是：

3

2

1

3

2

1

3

2

1

rot 2u u u x x ??

????ωx e e e =

u =u ??= (2.48) 直角坐标内：

ω????????????=-?? ?

??+-?? ???+-?? ????????

?12322311331221123u x u x u x u x u x u x e e e = k k e ω

其中

()i j j i ij u u ,,21

-=

ω 3,2,1,=j i (2.49) 显然有ji ij ωω-=, 且当j i =时,

0=ij ω. 因此ij ω是反对称张量, 且只有三个独立分量。

ij ijk k e ωω2

1-= (2.50)

其中ijk e 为置换符号

0332331223221113112333222111=========e e e e e e e e e 1312231123===e e e 1132321213-===e e e

由图2.5可以看出转动张量的意义。图中AC AB =, 1

2

x u ??=α表示AB 边变形后的角度偏转(逆时针), 2

1

x u ??=

β表示AC 边变形后的角度偏转(顺时针)。而δ则为角平分线AD 的角度偏转。 ???

?

????-

??=-=----=211221)(2

1)45()90(21

x u x u βααβαδ (2.51) 它表示该体积微元绕3x 轴的转动，并且与(2.49)式中的3ω一致。

2.2.3 位移导数张量及其分解

位移的导数张量，以符号r u d d / 表示

j

i ij x u d d ??=

???

??r u (2.52) 根据张量分解定理，可以将位移导数张量分解为对称张量与反对称张量

???

?

????-??+???? ????+??=???? ????=?

?? ??i

j

j i i

j

j i j i ij x u x u x u x u x u d d 2121r u R D += (2.53)

上式右边的第一个张量D 是对称张量，第二个张量R 是反对称张量。D 反映了该点(或体积微元)的变形情况, 就是前面讨论的变形张量，R 反映了该点(或体积微元)的转动情况, 就是前面讨论的转动张量。

转旋和旋转张量是个研究不够的问题. 顾浩鼎和陈运泰 (1987)利用转动和转动张量讨论了II 型断层剪切破裂过程中的转动问题，并解释了地震震中附近观察到的“地旋运”现象。

2.2.4 坐标轴旋转时应变分量的变换

设新坐标轴x ’, y ’, z ’与原坐标轴x , y , z 之间的余弦l, m, n 如下表示：

x

y z 'x

l 1 m 1 n 1 'y l 2 m 2 n 2 'z

l 3

m 3

n 3

利用矢量的基本关系和微分学中的方向导数可以证明，坐标轴旋转时应变张量的变换公式为

图2.5

j j i i ij j i ααεε= (2.54)

上式在形式上和应力张量的坐标变换式(2.6)完全相同。因此，由应力张量坐标变换所得到的一系列结论，我们都可以从(2.54)出发得到，如应变圆、应变张量的不变量、主应变、主方向、最大剪应变等都与应力分析中相应的内容完全相似，只需在有关公式中将应力分量ij σ改成ij ε就行了。

2.2.5 主应变及应变张量不变量

和应力分析类似，这个过程在数学上实际就是求应变张量矩阵的特征值ε和特征向量

),,(n3n2n1ααα。ε为主应变, 满足方程组

0321333231232221

131211=???

?

? ??????? ??---n n n αααεεεεεεεεεεε

ε (2.55) 因为n3n2n1,,ααα不能同时为零，所以(2.55)的系数行列式必须为零。得

022323123221213

1211=---i

i i εεεεεεεεεεεε (2.56) 将上面的行列式展开后得

0'''32213=-+-I I I i εεε (2.57)

其中三个系数I’1, I’2, I’3分别为为应变张量的第一、第二、第三不变量 ??

???

?

???

??

='+

+=++=33323123222113

12113

11133133333223222221121123322111' 'εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεI I I (2.58)

解特征方程求得三个实根就是主应变1ε、2ε、3ε。

令V , V ’各代表体积微元变形前后的体积。为方便起见，沿三个主方向取出一个小体积长方体元，设体元的三个边长分别为a,b,c 。 变形后的边长为a a ?+，b b ?+, c c ?+, 该点的体积膨胀系数为V V V /)'(-=θ。注意到a a /1?ε=，b b /2?ε=，c c /3?ε=，

[]abc abc c c b b a a /))()((-+++=???θ

321133221321εεεεεεεεεεεε++++++= (2.59)

去掉高阶小量，就得到

321εεεθ++= (2.60)

显然，θ=1'I 。

将1ε,2ε,3ε的值代入方程组(2.55), 并和条件12

32221=++n n n ααα联立, 即可求得对应于每一

个主应变i ε的主方向

()

()3211

,,3

2

1

,q ,q q H

n n n i =

=αααn )3,2,1(=i (2.61)

其中

()()()()???

????++=+-+-=+-=+-=2

123222111

212221123

131211232

231222131q q q H ,εεεεεεq ,

εεεεεq ,εεεεεq i i i i )3,2,1(=i (2.62)

2.2.6 应变张量分解为球张量和偏斜张量

应变张量分解为球张量与偏斜张量的和：

ij ij ij ∑+=δεε0 (2.61)

上式中等式右侧第一个张量是应变张量球张量。

33'10θε==I

应变张量的这一部分说明了一点(体积微元)的体积变化。

式(2.61)右侧的第二个张量称为应变偏(斜张)量，以(ij ∑)表示。因此有

ij ij ij δεε?-=∑0 (2.62)

应变偏量的三个不变量分别以1'J 、2'J 、3'J 表示，且第一不变量

0'1==ii J ∑

所以应变偏量不包含体积变化。应变偏量也可以分解为五个纯剪切变形之和。因此应变偏量反映了一点邻域内的形状改变。

2.2.7 变形协调方程

变形协调方程的意义是：用形变积分得到位移是单值函数。满足它的必要条件是：物体内部任何一个体积微元在变形之后仍能保持相互的连续性。满足它的充分条件则要求用形变积分得到位移与积分路径无关。从这两个命题都可以导出变形协调方程。

变形协调方程可以统一写成：

εεεεij kl kl ij ik jl jl ik ''''+=+ (2.63)

共81个，其中只有6个是独立的：

,22112

22

122222112x x x x ??ε??ε??ε?=+ ,22

112

2212222

2112x x x x ??ε??ε??ε?=+ ,21

331

22

311221332x x x x ??ε??ε??ε?=+ 2133

23122311

2331322

23122311

232321123122311231,,x x x x x x x x x x x x x x x x x x ??ε???ε??ε??ε????ε???ε??ε??ε????ε???ε??ε??ε??=???? ??-+=???? ??+-=???? ?

?++- 2.2.8 有限变形－可加应变

在地质构造中，我们所看到的多数是很大的变形。这些变形量用微小应变来描述显然不合理。

以单轴拉伸为例。设试件原长度为0l , 受力后的长度为N l , 则相对伸长量表示为

00l l

l N -∈= (2.64)

在许多情况下，所谓原长度并不是指无变形的初始长度，而是指某一变形阶段说的。设变形过程中的长度划分为0l , 1l , 2l ……, N l 。每个阶段的相对伸长为

0011l l l -=

∈, 1122l l

l -=∈, …, 1

1---=∈i i i i l l l … (2.65) 显然, ∑=∈∈≠N

i i 0

, 只有当变形很小, 分母中的i l 一律可以取为0l 时，才得到

∑=∈∈=N

i i 0

(2.66)

因此(2.64)式对变形的定义称为条件应变。如果将上述变形各个阶段划分得无限小，则得到相对变形的另一种表示为

l

dl

d =∈

~ (2.67) 其中dl 为瞬时伸长, l 为瞬时长度。于是总应变为

???

? ??==∈?0*ln ~*0

l l l

dl l l (2.68) 应变的各个阶段可以表示为

???? ??=∈011ln ~l l , ???? ??=∈122ln ~l l , …, ???

? ??=∈-1ln ~i i i l l … (2.69)

而

∑=∈=???? ??=∈N

i i l l 1

0*ln ~ (2.70) 可以成立。(2.67)所定义的应变称为可加应变，或对数应变。最早由卢多维克提出，由Hencky 进行了系统研究，所以也称之为Hencky 应变。(2.68)可以写成 )1

l n (1ln ln ~00*0*ε+=???

? ??-+=???? ??=∈l l l l l (2.71) 将上式展开为Tayler 级数, 就得到

???-+-=∈

32!

31!21~εεε (2.72) 显然，当00→-l l , ε≈∈

~, 对数应变退化为微小应变。 在研究体积膨胀时，按(2.58)式,

321133221321εεεεεεεεεεεεθ++++++=

321

I I I '+'+'= (2.73) 因此，有限变形与应变张量的三个不变量有关。只有在微小变形的情况下，2

I '和3I '与1I '相比可以忽略，才能得到

ii I εθ='=1 (2.74)

如果采用可加应变，则按(2.58)式前的假设，变形前的体积为

c b a V ??=0

变形后的体积为

111c b a V ??=

3

211111110~~~ln ln ln ln ln ~

∈+∈+∈=++=????==c

c b b a a c b a c b a V V θ (2.75) 这样的表达式也是很简单的。

2.2.9 有限变形的两种表示方法

描写有限变形必须考虑描述连续介质变形的两种方法－拉格朗日方法和欧拉方法。拉格朗日方法以变形前物体内各点的坐标为自变量，而欧拉方法则以变形后物体内各点的坐标为自变量。在流体力学中多采用欧拉方法。对于固体力学的小变形来说，两者的结果没有什么差别，但对于有限变形来说结果则不同。

有关拉格朗日方法和欧拉方法及其相互变换，可参见尹祥础(1985), 这里不再详述。

§2.3线性弹性

应力与应变的关系通常称之为本构关系或本构方程。在弹性力学中，应力分量与应变分量间成一一对应的关系, 且通常为线性关系，称之为广义虎克定律。

弹性是指应力分量本身与应变分量本身之间存在一一对应的关系。但这种关系不一定是线性的。在少数情况下，材料是弹性的，但却是非线性的，这类问题称之为非线性弹性力学问题。本章只涉及线性弹性力学。

2.3.1 广义虎克定律

由弹性变形过程是一个可逆过程这个前提出发，依据热力学分析，可以得到应力分量ij σ是应变分量ij ε的单值函数的结论。加上小变形的假设，可将应力函数按泰勒展开，并略去二阶及二阶以上的高阶小量。我们还假定物体未变形时内部没有应力，得到

kl ijkl ij c εσ= (2.76) 式中ijkl c 称为广义弹性常数。(2.76)式也可以写成

kl ijkl ij b σε= (2.77)

式中ijkl b 称为柔性系数。

2.3.2 线弹性体的应变能

由于弹性变形过程的可逆性，由热力学可以证明，它必定存在态函数－应变能密度)(ij W ε

ij ij d dW εσ= (2.78)

由上式可以导出格林关系式

ij

ij W

εσ??=

(2.79) 对于线弹性体，应变能密度为

ij ij W εσ2

1

= (2.80)

上式称为克拉贝龙公式。将(2.76)代入，得到

kl ij ijkl c W εε2

1

= (2.81)

§2.4 各向同性物体的广义虎克定律

2.4.1 一般的表示

(2.76)式中ijkl c 为一个四阶张量，共81个元素。由于形变张量是对称的，所以将指标i 与j ,k 与l 互易，或将j ,j 与k ,l 成对地互易之后，乘积kl ij εε并不改变。由此可见，张量ijkl c 也可以有这个性质，即当指标互易时具有如下的对称性质:

klij ijlk jikl ijkl c c c c === (2.82)

经计算可证实，四阶张量的分量中具有以上对称性质的分量，在一般情形中有21个。因此，对极端各向异性的材料，也只有21个独立的弹性常数。至于具有三个正交的弹性对称面的物体，则具有9个独立的弹性常数，这样的物体称为正交各向异性体。正交各向异性体的弹性系数矩阵具有如下的形式：

?????????

?

?

?6655

44

3323221312

11000000000000c c c c c c c c c 对称 对于各向同性体，利用坐标轮换时应变能的不变性和坐标轴选取的任意性可以证明，独立的弹性

常数减少到只有2个。

各向同性材料的弹性常数矩阵为

?????????

? ?

?+++μμ

μ

μ

λλμ

λλλμ

λ000

000

200020002对称

广义虎克定律可写为

.

2,2,2,2,

2,2121233333131222223231111μεσλθμεσμεσλθμεσμεσλθμεσ=+==+==+= (2.83) 或者简写为

ij ij ij λθδμεσ+=2 (2.84)

其中321332211εεεεεεεθ++=++==ii 为体积应变或应变张量的第一不变量，ij δ为Kroneker 符号。

广义虎克定律也可以写成以应力分量表示应变分量的形式：

??

??????+-=

ij ij ij I δμλλ

σμε1)23(21 (2.85) 其中3322111σσσσ++==ii I 为应力张量的第一不变量。

3.2考虑温度(膨胀)效应时的广义虎克定律

设初始温度为0T , 温度升高至T 时必定产生膨胀。广义虎克定律(2.85)可改写为

ij ij ij ij δT T αI )()23(2101-+??

??????+-=

δμλλ

σμε (2.86) 或

ij ij ij ij T T δβλθδμεσ)(20--+= (2.87)

式(2.86)、(2.87)称之为虎克定律的杜哈默－纽曼形式。其中α为各向同性材料的线膨胀系数。

α、β有如下关系:

ν

α

β21-=

E (2.88) §2.5弹性常数及其相互之间的关系

常用的弹性常数有λ、μ、E 、ν、K 。其中λ和μ以前称为拉梅常数， μ又称为剪切模量或刚性模量。E 称为杨氏弹性模量，ν称为泊松比或横向变形系数，K 称为体积弹性模量。

μ可以利用纯剪切试验直接测得， 此时τσ=12， 其余应力分量均为零， 根据(2.83),

μτε2/12=。因此测得τ和12ε即可求得μ。

E 和ν可以利用单轴拉伸试验测得，此时σσ=11，其余0312*******=====σσσσσ。令

11111σE

ε=， 11113322σE ν

εεε-=-== (2.89)

由广义虎克定律(2.83)

???

?

?+=+=+=λθμελθμελθμεσ3322111120202 (2.90) 将上三式相加得到

)23/(11μλσθ+=

将上式代入(2.90)的第一式得到

μλμλμ++=

)

23(E (2.91)

代入(2.90)的第二式或第三式得到

)

(2μλλ

ν+=

(2.92)

(2.91)、(2.92)也可以化为

)21)(1(νννλ-+=

E ， )

1(2νμ+=E

(2.93)

利用(2.93)可将虎克定律表示为如下更常用的形式

[][][]）（）

（）（221133331133222233221111111σσνσεσσνσεσσνσε+-=+-=+-=E

E E ?????

????+=+=+=121231312323111σνεσνεσνεE E E

(2.94) 或

ij ij ij E

E δσν

σνε031-+= (2.95)

其中3/3/)(13322110I =++=σσσσ，1I 为应力张量第一不变量，ij δ为Kroneker 符号

定义体积变形模量K 为

θ/p K -= (2.96)

可推出五个弹性常数之间的关系, 结果如下：

,9)3(313 )21)(1(323)2(212E

K E K K K E K E E --=+=-+=-=--=-=νννννμμμμνμνλ

E K KE K E K -=+-=+=-=-=93)1(2)21(3 )1(2)(232)21(νννλννλμ

K

E

K K K E K 63)3(223 123)(2-=+-=-=-=+=μμμνλμλλν

)21(339)1(2 3)(9)21)(1()23(νμ

μνμλλνννλμλμλμ-=+=+=--=-+=++=K K K K K K E

.)

21(3)3(3 )21(3)1(23)1(32νμμννμννλμλ-=-=-+=+=+=E

E E K (2.97)

.12+ ,21ν

ν

μλλνμλμ-=-=+ (2.98)

§2.6体积改变定律与形状改变定律

应力张量和应变张量都可以分解为球张量和偏张量。

A.体积改变定律：应力球张量与应变球张量成正比，比例系数为3K 。即

ij ij K δεδσ003= (2.99)

B. 形状改变定律：应力偏量与应变偏量成正比，比例系数为2μ。即

ij ij S ∑μ2= (2.100)

上式不难由广义虎克定律导出。

§2.7各向同性物体的应变能密度

将虎克定律(2.83)代入克拉贝龙公式(2.80)得到

)(2)(2

1 2

312232122332222112εεεμεεεμλθ++++++=W

)])(1(2)(2[21 231223212113333222211233222211σσσνσσσσσσνσσσ++++++-++=E

(2.101) 上式可改写为

ij ij ij ij W ∑∑μθμλεμελθ?++=?+=22)3

2

(2121

F V W W += (2.102)

其中V W 为体积变形应变能：

22

1

θK W v =

(2.102a) F W 为形状改变应变能(畸变能)：

ij ij F W ∑∑=μ

](6)()()[(3

2

31223212211332332222211εεεεεεεεεμ

+++-+-+-=

[]

213232221)()()(121

σσσσσσμ

-+-+-=

(2.102b) 在考虑温度(膨胀)效应时, 应变能为

θβεμεθλ

)(2

02T T W ij ij --?+=

(2.103)

§2.8 应变能定理(克拉贝龙定理)

应变能定理：如果弹性体在无限缓慢加载的条件下，始终处于平衡状态时，弹性体内的应变能等于在变形过程中所作的功。 证明：外力功

2

1 21

21A A ds u T dv u f A V S i i i i +=+=

?????

体力面力所作的功分别为1A 和2A 。利用柯西公式j ij i T ασ=。其中j α为边界外一点外法线的方向余弦。面力所的功2A 为

??=

S

j i ij ds u A ασ21

2 利用高斯定理，

????????

?

????+??+??=++V S dv x R x Q x P ds R Q P 321321)(ααα

?????????+==V

j i ij V i j ij V j i ij dv u dv u dv u A ,,,221

21 )(21σσσ

由平衡方程可知，i j ij f -=,σ, 又由应变与位移的关系式)(2

1

,,i j j i ij u u +=

ε，并利用ji ij σσ=， )(21)(21,,,,,i j ji j i ij j i ij j i ij j i ij u u u u u σσσσσ+=+= （第二项互换符号, 其和不变）

)(2

1

21,,i j j i ij j,i ij i,j ij u u )u σu (σ+=+=σ

ij ij εσ= (2.104)

所以得 ??????+-=V

ij ij V i i dv dv u f A εσ21

212 因此

21A A A +=

U Wdv dv V

V ij ij ===??????εσ21

* (2.105)

§2.9 功的互换定理(贝蒂定理及马克斯威尔定理)

* 克拉贝龙定理原来的表述方式是：在不变力的作用下，外力的功等于弹性体内应变能的两倍。即

U

A F 2= (2.105’)

上式中

U

A F 2=代表不变的外力作用下，外力对弹性体所作的功。

这里按钱伟长、叶开源著“弹性力学”和尹祥础著“固体力学”中的表述方法,。这种表述方法可能更容易接

受些。

设有两组力(包括体积力及边界上的面积力)作用于同一弹性体上，在力的作用下各自产生相应的应力、应变及位移。

第一组力

第二组力

面力： i T ' i T " 体积力： i f ' i f " 位移： i u '

i u "

应变： i 'ε i "ε

应力：

i 'σ

i "σ

贝蒂定理: 第一组力对第二组力产生的位移(指在第一组力的各个作用点上的位移)所做的功，等于第二组力对第一组力产生的位移所做的功。 证明：第一组力对第二组力产生的位移所做的功为12A ,

??????????+=+++++=S

i i V

i i S

V

ds

u T dv u f ds

u T u T u T dv u f u f u f A "'"' )"'"'"'()"'"'"'(33221133221112

利用应变能定理的推导方法(利用柯西公式和高斯定理，将面积分化为体积分，利用平衡方程及ij σ，ij ε的对称性)，可得

???=V

ij ij dv A "'εσ12

同理可得第二组力产生的位移所作的功为

???=V

ij ij dv A '"εσ21

利用广义虎克定律

kl ijkl ij c ''εσ= kl ijkl ij c ""εσ=

???=V

ij kl ijkl dv c A "'εε12

???=V

ij kl ijkl dv c A '"εε21

因为klij ijkl C C =所以

2112A A = (2.106)

定理证毕。当贝蒂互换定理中的外载荷限于表面集中力时，就得到马克斯威尔互换定理。功的互换定理在断裂力学证明贝克纳尔公式时将被使用。

§2.10 卡斯提杨诺定理

在一组弹性体上加上两组力。

第一组：体力i f 及面力i i T T δ+所引起的位移记为i u ' 第二组：体力i f 及面力i i T T δ+所引起的位移记为i u " 利用贝蒂功的互换定理，

2112A A =，

?????+=V

S

i i i i ds u T dv u f A ""12

?????++=V

S

i i i i i ds u T T dv u f A ')('δ21

即

??????????++=+V

S

i i i i i V

S

i i i

i ds u T T dv u f ds u T dv u f ')('""

δ (a)

再根据应变能定理，第一组力及第二组力作用于物体时所对应的应变能分别为'U ，"U 。

?????+=V S

i i i i ds u T u f U '21

'21'， (b)

?????++=

V S

i i i i i ds u T T u f U ")(21

"21"δ (c) 将(b)、(c)代入(a)得

ds u u T U U i S

i )"'()'"(2??+=-δ

当0→i T δ时，U U U δ=-'"， i i u u "'→。因此得

???=S

i i ds u T U δδ (2.107)

上式为卡斯提杨诺定理的普遍形式。集中力作用下的卡斯提杨诺定理也很常用。设集中力

),,(321F F F F i 作用于弹性体，令i i i F F F δ+→，而其余面力、体力均不发生变化，则式(2.107)将变

为如下形式()i i F ds T δδ→

i i F u U δδ?=,

从而得

i

i F U

u ??=

(2.108) 这就是集中力作用下的卡斯提杨诺定理。在断裂力学的COD 公式证明中会用到。

以上几节只介绍了一些在断裂力学中遇到的弹性力学的若干原理或定理。至于弹性力学问题的建立和一般原理，读者可以参阅通用的弹性力学书籍。