作业参考答案

1．（习题10-3 ）试求体系的自振频率。

解：柔度法。先计算体系的柔度系数。 单位力作用下的弯矩如图。根据虚功原理：

21111111211

223233M M lh ds l h h h h h EI EI EI EI

δδ===???+???=∑? 体系的自振频率：2131322EI EI f m mlh h ml

ωωδππ==== 2. （习题10-6修改）图示刚架跨中有集中重量W ，刚架自重不计，

弹性模量为E 。试求竖向振动时的自振频率。

解：柔度法。先计算体系的柔度系数。 首先用力法计算单位力作用下的弯矩图。

力法方程：11110P X δ+?=

3

11111121222232223M M l l l l l l ds l EI EI EI EI

δ==?????+??=∑? 3

111124216P P M M l l l ds l EI EI EI

?==-???=-∑? 代入力法方程求得： 11113/16

P X δ=-?= 叠加法可得单位力作用下结构的弯矩如M 图所示。根据虚功原理体系的柔度系数为：

3

1123722243423224768P MM l l l l l l l l ds EI EI EI

δ??==????-???= ???∑? 体系的竖向振动的自振频率：

33176817687227EIg EIg f m Wl Wl

ωωδππ==== 3. 图示结构在柱顶有电动机，试求电动机转动时的最大水平位移和

柱端弯矩的幅值。已知电动机和结构的重量集中于柱顶，W=2kN, 电动机水平离心力()cos P P t F t θ=的幅值250P F N =，电动机的转速550/min n r =，柱的线刚度81 5.8810.EI i N cm h ==?。

解： 刚度法求解。体系的刚度系数：

6

61322122424 5.88102 3.92106

EI i k h h ??=?===? 体系的动力微分方程： cos cos P P F k my ky F t y y t m m θθ+=?

+= 体系的自振圆频率：633.92109.843.83/2010kg k rad s m W ω??=

===? 荷载频率： 22 3.1415955057.60/6060n rad s πθ??===

设方程的解为： max cos y y t θ=，代入动力方程可得：

()()

5max 22222509.88.77102000043.8357.60P F y m m ωθ-?===?-- 动弯矩幅值图： max max 1d M y M =

4. （习题10-17）求图示体系中弹簧支座的最大动反力。已知梁

0q m θω≠、()、和弹簧的刚度系数k ，且有EI=∞：

解： 刚度法求解。 体系的受力如图所示。根据达朗伯原理，则 033330sin 02232224B l l m l l l l M m kl l q t αααθ∑=??+?+?-??= 即： 222

09sin 08

q l ml kl t ααθ+-= 可得动力微分方程： 09sin 8q k t m m

ααθ+= 则体系的自振圆频率： k m ω= 设方程的解为： max sin t ααθ=，代入动力方程可得：

()22

00max max max 2299sin sin 88()

q q t t m m αθωαθθαωθ-+=?=- 则弹簧（C 点）的最大位移： 0max max 2298()C q l y l m αωθ==

- 弹簧的最大动反力为： 00max 2222998()8(1)k C q lk q l R ky m ωθθω

===-- 四、求图示体系中弹簧支座的最大动反力及梁的最大动位移。已知P 、θ和弹簧

的刚度系数k ，且有各杆=∞EI ，2k m θ=。 (20分)

解： 刚度法求解。 体系的受力如图所示。根据达朗伯原理，则 022sin 0B M ml l ml l k l l P t l αααθ∑=??+?+?-?=

即： 2224sin 0ml kl Pl t ααθ+-=

可得动力微分方程： 2sin 2k P t m ml

ααθ+=

（5分） 则体系的自振圆频率： ω= （3分） 设方程的解为： max sin t ααθ=，代入动力方程可得： （2分） ()22max max max 22sin sin 222()P t t ml

P P

kl ml αθωαθθαωθ-+=?=- （3分）

则梁（弹簧A 点）的最大动位移： max max 2A P y l k

α== （4分） 弹簧的最大动反力为： max k A R ky P == （3分）