§1.1分析力学

第一章分析力学

到现在为止，我们所研究的力学问题，基本上是用牛顿运动定律来求解的。但用牛顿运动运动定律来求质点组的运动问题时，常常需要求解大量的微分方程组。如果质点组受到约束，则因约束反力都是未知的，所以并不能因此而减少，甚至是增加了问题的复杂性。十八、十九世纪，随着工业革命的迅速发展，在工程技术上迫切需要解决的又正好是这一类问题。因此迫切需要寻求另外的方法来处理这一问题。

1788年，拉格朗日写了一本大型著作《分析力学》，在这一本著作中，完全用数学分析的方法来解决所有的力学问题，而无需借助以往常用的几何方法，全书一张图也没有。在此基础上逐步发展成为一系列处理力学问题的新方法，称之为分析力学。

分析力学以拉格朗日和哈密顿等所建立的变分原理为基础，将力学的基本定律表示为分析数学的形式。通过分析的方法来解决任意力学体系的运动问题，它所涉及的量是标量。而牛顿力学涉及的量如力、速度、加速度等多为矢量。由此看来，分析力学和牛顿力学只是同一个力学领域应用不同的数学描述而已。对于自由质点和简单问题，两种方法无优劣（lie）之分，对复杂问题，分析力学的优越性就体现出来了。

分析力学是从能量的观点来研究力学问题，因而具有更广泛的应用价值。它广泛的应用于结构分析、机器动力学与振动、航天力学、多刚体系统、机器人动力学以及各种工程技术领域，也可推广应用于连续介质力学和相对论力学。许多新兴学科，如量子力学、相对论、电动力学、连续介质力学、天体力学、统计力学等等，都可以用到分析力学的理论和方法。但是，由于分析力学中的数学推理较多，在历史上也发生过一些不良倾向，容易使人忘记力学的物理实质，对此我们应当引以为戒。

§1.1 广义坐标

一、基本概念

1、力学体系

n 个相互作用着的质点构成的集合体。

2、 位形

质点系各质点在空间的位置的有序集合，它决定了质点的位置和形状，也就是位形是质点系在空间的位置状态。

3、约束

限制质点自由运动的条件。

几乎所有的力学系统都存在着约束。 例如, 刚体内任意两质点间距离不变,两个刚体用铰链连接, 轮子无滑动地滚动, 两个质点用不可伸长的绳连接等等.对状态的限制也就是对力学系统内各质点的位置和速度加以限制, 其数学表示式是

232311(,,,,;,,,,,)0n n f r r r r r r r r t = 约束方程

如果n 个质点所形成的力学体系中受有k 个限制其位置的约束，那就有k 个表示这种约束的方程，因此3n 个坐标中就只有3n k - 个是独立的．

4、约束分类

（1）几何约束与运动约束

几何约束：只限制质点或质点系在空间的位置的约束。即就是说约束仅对力学系统的几何位置加以限制, 而对各质点的速度没有限制的约束。例如，刚体内任意两点间的距离保持不变就是一种几何约束。又如单摆的摆长为一个固定值，与摆球的运动速度无关，是一种几何约束。

运动约束：除限制质点位置，还限制质点速度的约束。这种约束涉及力学系统运动情况, 即对速度也有限制。运动约束又叫微分约束。因约束方程中除含有坐标本身外，还含有坐标的微分。微分约束有时可经过积分变为几何约束。例如半径为R的圆柱在地面上沿着直线作无滑动地滚动. 这意味着着地点的速度为零.

（2）可解约束与不可解约束

不可解约束：不可以解除的约束称为不可解约束。就是质点始终不能脱离的那种约束。约束方程为等式。例如质点始终被约束在曲面(,,)0

f x y z=或(,,,)0

f x y z t=上，那么这种约束就是不可解约束。如质点与一刚性杆连接运动等

可解约束：可以解除的约束称为可解约束。如果质点虽然被约束在某一曲面上，但在某一方向可以脱离，这种约束就叫做可解约束。约束方程为不等式。例如在有下列约束(,,)

f x y z C

=，也可以在

≤时，质点可以在曲面(,,)

f x y z C

f x y z C

<的方向离开这一曲面。如质点被绳系住。

(,,)

（3）稳定约束与不稳定约束

稳定约束：如果限制系统位置的约束不是时间t的函数，则约束方程中不显含时间t，这种约束叫稳定约束。(,,)0

f x y z=。

不稳定约束：如果限制系统位置的约束是时间t的函数，则约束方程中将显含时间t，这种约束称为不稳定约束。(,,,)0

f x y z t=。

例如,当一质点和长为l的刚性杆相连时，如刚性杆的上端固定不动，其此点为坐标原点，则约束方程是2222

++=这就是稳定约束。如杆的上端沿水平

x y z l

直线以速度C运动，并取该直线上某定点为坐标原点，则约束方程是

2222

x Ct y z l

-++=这就是不稳定约束。

()

（4）完整约束与不完整约束

不能积分的约束叫做不完整约束，不能用等式表示的可解约束是另一种不完整约束，除这两种之外，其它约束都是完整约束。

5.完整系

凡只受完整约束的力学体系叫完整系。

6.不完整系

同时受有完整约束与不完整约束的力学体系，或只受不完整约束的力学体系都叫不完整系。

7.自由度s

单值地确定一个体系的位形所必须给出的独立量的数目叫做这体系的自由度。

一个自由质点在空间的位置可以用三个独立坐标来确定，我们说该自由质点有3个自由度。一般质点运动会受到约束限制，则其自由度数会减少。若有一个约束方程，确定其位置用两个独立坐标即可，则质点的自由度减少为2个。例如：一质点M 限制在球面的上半部运动，球心坐标为a b c

（，，），则约束方程：

2222

x a y b z c R

-+-+-=

()()()

=+

z c

该点在空间的位置由x和y就可确定，其自由度数为2.

一般讲，一个由n个质点组成的质点系，每个质点不受约束，系统的确定需要3n个独立坐标，则系统的自由度为3n。若受到k个约束作用，则其在空间的位置可由3n k-个坐标完全确定下来。系统的自由度为3n k-。

例如，由2个质点组成的体系的位形，一般要用6个坐标来决定；如果两个质点之间的距离受约束而保持不变，6个坐标之间要满足的约束条件是

2222121212()()()x x y y z z d -+-+-=

这里的111x y z （，，）和222x y z （，，）

分别为质点1及质点2的笛卡尔坐标，d 是两质点之间的距离。

二、广义坐标

对完整系统，系统的自由度数等于系统在空间中位置的独立坐标数目。 对于N 个质点组成的体系，如果有 k 个约束则体系的自由度为3s N k =-。需要用s 个独立坐标确定地描写体系的位形。我们把这些描述质点系在空间中位置的独立坐标，称为广义坐标。用123,,,

,s q q q q 来表示。广义坐标对时间的微商dq dt 称为广义速度，用123,,,,s q q q q 来表示。同一个体系可以选用不同的广义坐

标来描写体系的位形。