初等数学研究(程晓亮刘影)版课后习题答案

初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案 第一章 数

1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数

bi a +. 2（略）

3从数的起源至今，总共经历了五次扩充：

为了保证在自然数集中除法的封闭性，像b ax =的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集.

公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集.

为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集.

直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集.

虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集.

4证明：设集合D C B A ,,,两两没有公共元素d c b a ,,,分别是非空有限集D C B A ,,,的基数，根据定义，若b a >，则存在非空有限集'A ，使得B A A ~'?；若d c ≥从而必存在非空有限集'C ，使得D C C ~'?，所以)(C A ?)(D B ??所以集合

C A ?的基数c a +大于集合

D B ?的基数d b +，所以d b c a +>+.

5（1）解：按照自然数序数理论加法定义，

15

55555155155)25(2535''=++=++?=+?=+?=?=? （2）解：按照自然数序数理论乘法定义

8

7)6(])15[()15()25(2535'''''''''===+=+=+=+=+ 6证明：?1当2=n 时，命题成立.（反证法）

()()()()()()()0

1121,

1111

1

11,1

11101111111,,2,1,0111,,2,1,0)2(2121221212

12

12

1

2

1212

2

22

12

12

122

111

112

111212

222121≥++-+?

≥++-++≥

+-+-≥

++++∴≥???? ??-++???? ??-+???? ??->-=-++-+-=+++++=>+=≥+++=+++=>≥=?+++++++++++++++++k k k k k k k k k k k k k k k i k k k k k k i k k i a k a k k a k k a k k a k

a a k

a a a a a k a a a a a a a a a a a a a a a a a a k i a k n k

a a a a a a k i a k k n ，即要证由归纳假设，得，且得，，且时，由当。

。，且成立，即时假设 7证明：?1当8=n 时，命题成立.（538+=）

?2设),7(N k k k n ∈>=时命题成立.

k 角邮资可能是：（1）完全用3角的邮票来支付；（2）至少用一张5角的邮票来支付.

在（1）下，3角的邮票至少有3张.把它们换成两张5角的邮票便可支付1+k 角的邮票.

在（2）下，把一张5角的邮票换成两张3角的邮票便可以支付1+k 角的邮票.

综合?1、?2，命题对于不小于8的所有自然数成立.

8证明：（1）()()()32164,2133,12++==+===f f f

（2）()()()12

1

121-=

-+++=n n n n f ?1当4,3,2=n 时，命题成立.

?2假设),7(N k k k n ∈>=时命题成立，即()()12

1

-=

k k k f .那么1+=k n 时，原k 条直线有)1(2

1

-k k 个交点.由条件知，第1+k 条直线与原k 条直线各有一个交点，

且互不相同.故新增k 个交点，所以()()()()[]1112

1

1-++=+=+k k k k f k f .

综合?1、?2，命题对于不小于2的所有自然数成立.

9举例：正整数集N 上定义的整除关系“|”满足半序关系.

证明：（1）（自反性）任意的正整数x ，总有x x |； （2）（反对称性）如果x y y x |,|，那么y x =；

（3）（传递性）如果z y y x |,|，那么z x |. 通常意义的小于等于也构成半序关系，同理可证.

10证明：设N M ?，且 ①M ∈1

②若M a ∈，则M a ∈'.

若N M ≠.

令A 是所有不属于M 的自然数组成的集合，则A 是N 的非空子集，按照最小数原理，A 中有最小数，设为b .由①知1≠b ，于是存在自然数c ，使b c ='，这样就有b c <，所以M c ∈，但根据②有M c ∈'，这与M b ?矛盾.所以N M =. 11证明：（1）根据自然数减法定义有，c d c d b a b a =-+-+=)(),(，两式相加得：c b a b d c d a +-+=-++)()(，于是)()()()(b a c b d c d a -++=-++， 若d c b a -=-，则c b d a +=+ 若c b d a +=+，则d c b a -=-

（2）)()()(d b d c b a ++-+-c a d c d b a b +=-++-+=)()( （3）先证bc ac c b a -=-)(

事实上，由ac c b a b c b a bc =-+=-+)]([)( 可知要证明的自然数乘法对减法的分配律成立.

由此，为了证明（3），只要证明)()()()(bc ad bd ac d c b d c a +-+=---， 根据（1）上式就是)()()()(bd ac d c b bc ad d c a ++-=++- 于是只要证明ac bc bc ac +=+

显然，这个等式是成立的，所以（3）成立.

12证明：（1）根据自然数除法定义有c d

c

d b a b a =??=,，两式相乘，得

b

a

bc d c ad ?=?，所以有：若bc ad =，则d c b a =；若d c b a =，则bc ad =

（2）bc ad d c

d b b a b d d c b a bd +=?+?=+)()()(，根据除法定义，（2）成立.

（3）ac d

c

d b a b d c b a bd =??=?))(()(，根据除法定义，（3）成立.

13证明：'''''''')()(n m m n m n n m +=+=+=+.

14证明：设N b a ∈?,，下，下面证明b a b a b a <>=,,三种关系有且仅有一个成立.

（1）先证明三个关系中至多有一个成立.

假若它们中至少有两个成立，若令b a b a >=,同时成立，则存在*N k ∈，使得：k a k b a +=+=

于是a a >，与a a =矛盾.

同理可证，任意两种关系均不能同时成立. （2）再证明三中关系中至少有一个成立.

取定a ，设M 是使三个关系中至少有一个成立的所有b 的集合，当1=b 时，若1=a ，则b a =成立；若1≠a ，则存在*N k ∈，使得k b k k a +=+==1'，这时b a >成立.因此M ∈1.

假若M b ∈，即三个关系中至少有一个成立.

当b a <时，存在*N m ∈，使得m a b +=，则''')(m a m a b +=+=，即'

b a <成立.

当b a >时，存在*N k ∈，使得k b a +=，若1=k ，就有'1b b a =+=； 若1≠k ，就有*N l ∈，且'l k =，使得l b l b l b a +=++=+=''1，即'b a >成立.

综上，M b ∈'，从而*N M =. 15证明：nby nax by ax n n +=+=)(，

bny ab bn ab n a |,|,|∴∴ ，anx ab an ab n b |,|,|∴∴

n nby nax ab =+∴|

16证明：因为))(()(c a d b bc ad cd ab --=+-+，

且cd ab c a +-|，))((|c a d b c a ---，所以))((|c a d b cd ab c a ---+-，即

bc ad c a +-|

17证明：因为)1)(1(121++++-=---p p p p p p p p ，而有限个奇数的乘积仍是奇数，奇数个奇数的和也是奇数，因而121++++--p p p p p 是奇数， 于是Z s s p p p ∈+-=-),12)(1(1，同理有Z t t q q q ∈++=+),12)(1(1，

两式相加：)1)(()1)(1(2+++=++-=+t s q p t s p q p q p ，所以)(|q p q p q p ++.

18解：因为3153=+q p ，所以p 3和q 5必为一奇一偶. 若p 3为偶数，可验证质数5,2==q p ，则1

3l o g

2+q p

1

532

l o g 2+?=8

1

l o g

2

=3-= 若q 5为偶数，可验证质数2,7==q p ，则1

3log 2

+q p

1237log 2

+?=0= 所以031

3log 2

或-=+q p

. 19证明：根据减法是加法的逆运算知，设b a ,是有理数，b a -是这样一个数，它与b 的和等于a ．即a b b a =+-)(．但是，我们有 ])[()]([b b a b b a +-+=+-+(加法结合律)

a a =+=0

因此，)(b a -+这个确定的有理数，它与b 的和等于a ， )(b a b a -+=-∴

又如果差为x ，则有a b x =+，于是，两边同加)(b -有： )()(b a b b x -+=-++ )()]([b a b b x -+=-++ )(b a x -+=

即差只能是)(b a -+，定理得证． 20证明：做差，0332>-=-+a b a b a ，03

)

(232<-=-+b a b b a . 所以有b b

a a <+<

3

2 21证明：首先证明y x ≤当且仅当y x y ≤≤-.

事实上，若y x ≤，当0≥x 时，y x x ≤=且y x -≥，即y x y ≤≤-;当0

0≥x 时，y x x ≤=;当0

下面来证明：b a b a b a +≤+≤-.

事实上，对于b a ,显然有： a a a ≤≤- b b b ≤≤-

故有b a b a b a +≤+≤+-)(. 由上面的讨论知，b a b a +≤+.

另一方面，b b a b b a b b a a ++=-++≤-+=. 故b a b a b a +≤+≤-.

22证明:(反证法)设,q

p

e =

其中q p ,是正整数,不妨假定q p ,互素, 取自然数q n >,用!n 乘下列级数表达式两边: ++++=!

31

!21!

111e ,得:

++++++

++-++=)

2)(1(11113)1(!!!n n n n n n n e n 令13)1(!!++-++= n n n n a n , +++++=

)

2)(1(111n n n b n 于是n n b a e n +=!,则e n !应为正整数, n a e n -!应为整数. 但是

))

3)(2(1211(110 ++++++=

2)1(2))2(1211(1122+<++=+++++≤

n n n n n n 因为1>n ,故10<

23证明：假设1,1),(,≠==

q q p q

p

a n

两边n 次方得n n

q

p a =，

但是,1),(=q p 所以1,1),(≠=n n n q q p ，所以a 不是整数，这与已知条件矛盾， 所以n a 是无理数. 24证明：假设N q Z p q

p

b a ∈∈=

,,log ， 所以q p b a =，因为1),(=b a ，所以1),(=q p b a

但是当0≤p 时，上式明显不成立；当0>p 时，上式与1),(=q p b a 矛盾.所以，

b a log 不是有理数，又可以证明b a log 是实数，所以b a log 是无理数. 25证明：假设方程有有理数根1,1),(,>==

q q p q

p

x ，将q p x =其代入方程，可得：

)(12211---+++-=n n n n n q a q p a p a q p ，由此可知q 的任何素数因子r 必可整除n p ，因此r 必可整除p ，从而知r 为p 与q 的公因子，但是1),(=q p ，所以1=r ，所以1=q ，这与1>q 矛盾.所以整系数代数方程011=+++-n n n a x a x 的任何非整实根均为无理数.

26按照字典排序法，先比较实部，再比较虚部. 27证明：将三次本原单位根ω=x 或2ω分别代入)(x f ：

1)(2313++=++n m f ωωω012=++=ωω 1)()()(2321322++=++n m f ωωω012=++=ωω

因此，)(x f 含有因式)(),(2ωω--x x ，而)()(2ωω-?-x x 012=++=x x 所以)(|)1(2x f x x ++

28证明（反证法）：若π与3.8的和是有理数a ，即a =+8.3π，则π=-8.3a . 因为全体有理数称为一个域，对减法运算封闭，所以差8.3-a 仍是有理数，与π是无理数矛盾，所以π与3.8的和是无理数.

29两个无理数的商可能是有理数.例如：2是无理数，易证22也是无理数，

Z ∈=22

22

30不能，因为无理数对四则运算不封闭.例如022=-.

31解：由于xyi y x y x y x xyi y x yi x z )(44)()2()(222222222244-+--=+-=+= 所以4z 是纯虚数的条件是04)(22222=--y x y x ，0)(422≠-xy y x 即0,)21(≠±±=y y x

32证明：设1C 是C 的任一子域，R C ?1，且在1C 中方程12-=z 有解j z =. 按照题意，要证明C C =1.因为C C ?1，所以只需要证明C C ?1. 由1C j ∈，C C ?1，知C j ∈，依C 的四则运算律，有

0))((22=--+=+-j ij ji i j i j i

于是，j i =或j i -=.任取C ∈ω，由),(,R y x yi x ∈+=ω， 知yj x +=ω或yj x -=ω

又由于1,,C j y x ∈，而1C 是域，于是1C ∈ω，因此C C ?1.

第二章习题及答案 1．设0,x > 证明

ln(1).1x

x x x

<+<+ 证明 取()ln(1).f x x =+ 在(0,)x 上有导数1

().1f x x

'=

+利用微分中值定理()(0)ln(1)ln(10)1

(),0.001f x f x f x x x ξξξ

-+-+'=

==<<--+

即ln(1).1x x ξ+=

+ 又因11

ln(1)1,11x x ξ

+=<<++ 因此有

ln(1).1x x x x <+<+ 2．若,,x y z 均为实数, 且2

2

2

2

1(0),.2

x y z a a x y z a ++=>++=

求证:

2220,0,0.333

x a y a z a ≤≤

≤≤≤≤ 证明 由22221()2x y a x y a ++--=有22

21()()0.4

x y a x y ay a +-+-+= 其判别

式22

21()4()04

y a y ay a ?=---+≥(因x R ∈). 从而, 2320y ay -≤即20.3y a ≤≤

同理可证22

0,0.33x a z a ≤≤≤≤

3．设,,a b c 表示一个三角形三边的长, 求证:

222()()()3.a b c a b c a b c a b c abc +-++-++-≤

证明不失一般性, 设,a b c ≥≥ 令,,a c m b c n =+=+ 则0.m n ≥≥ 有

2223()()()

abc a b c a b c a b c a b c -+--+--+-()()()()()()

a a

b a

c b b c b a c c a c b =--+--+--()()()()c m m n m c n n n m cmn =+-++-+22()[()()]0.m n c m n m n cmn =--+-+≥

∴222()()()3.a b c a b c a b c a b c abc +-++-++-≤

4．设,,x y R ∈ 且22

1.x y +≤求证

: 222x xy y +-≤

证明 设222,x y λ+= 则由题设可知, 1,λ≤ 并可设cos ,sin .x x λθλθ==于是

222x xy y +-222(cos 2cos sin sin )

λθθθθ=+

-2(cos 2sin 2)).4

π

λθθλθ=+=+

∴222x xy y +-≤

5．已知1,1,a b << 求证

1.1a b

ab

+<+

证明 欲证

11a b

ab

+<+成立, 只需2(

)11a b ab +<+, 即证22()(1)a b ab +<+. 则只需2

2

(1)()0,ab a b +-+> 也就是22

2

2

10,a b a b +--> 即证

22(1)(1)0.a b --> 而1,1,a b << 所以22(1)(1)0a b -->成立. 命题得证.

6．若

1

1(0),n i i i a a ==>∑ 求1

11

()().n

n i i i a n a n

=+

≥+∏

证明 21122211111111

...n a a a n a n a n a +

=++++

项

22(1)n n ≥+

2222222222221111...(1)n n a a n a n a n a n a +

=++++≥+项

…… ……

2222221111...(1)n n n n n n n n a a n a n a n a n a +

=++++≥+项

以上诸式, 当且仅当1

(1,2,...,)i a i n n

=

=是等号成立.

诸式两端相乘得21212111()()...()(1)n n n n n a a a n a a a +

++≥+

由已知11n

i i a ==∑

2311211,()....n n n n

n n a a a --≤≥

21212111()()...()(1)n n n n n a a a n a a a +++≥+ 即111()().n

n i i i

a n a n =+≥+∏ 等号当且仅当121

...n a a a n

====

时成立. 7．证明: 函数8

5

2

()10.f x x x x x =-+-+> 证明 (1) 当(,0)x ∈-∞时, 显然()0;f x >

(2) 当(0,1)x ∈时, 8

2

3

()(1)(1)0;f x x x x x =+-+->

(3) [1,)x ∈+∞时, 53

()(1)(1)10.f x x x x x =-+-+>

综合(1), (2), (3)可知, 可知()f x 恒正. 8．证明 若1(1,2,...,),i a i n ≥=则1

12122(...1)(1)(1)...(1).n n n a a a a a a -+≥+++

证明 用数学归纳法证明如下: 当1n =时, 命题显然成立;

假设命题对n 成立, 我们来证明它对1n +也成立, 注意到1(1,2,...,).i a i n ≥=

1

11

1

1

11

1

1

1

(1)(1)2(1)2(1)

n n n n

n n i

n i i i n i i i i a a

a a a a ++--++====+≤+?+=+++∏∏∏∏

11

11

1

2[1()]n n n i i n i i a a a +-+===+++∏∏1111

11

1

1

1

2[(1)(11)]

n n n n

n i i i i n i i i i a a a a a +++-+=====+++--++∏∏∏∏111

1

11

11

2(1)2(1)

n n n n

n i i i n i i i a a a a +++-+====+-+--∏∏∏11

111

1

2(1)2[(1)(1)]n n

n

n i i n n i i a a a a +-++===+----∏∏11

1

1

2(1)2(1)[1)

n n

n

n i n i i i a a a +-===+---∏∏1

1

2(1).n n

i i a +=≤+∏

故命题对1n +成立.

9．设1(1,2,...,),i a i n ≥= 求证121

2(1)(1...).1n

n

i n i a a a a n =+≥+++++∏

证明

11

1(1)2(1)2n

n

n

i i

i i a a ==-+=+∏∏112(1)2n n i i a =-≥+∑112(1)1n

n

i i a n =-≥++∑112[(1(1)]1n

n

i i n a n ==?++-+∑1

2(1).1n

n i i a n =++∑

10．设0,x y z ++=求证: 3332223

6()().x y z x y z ++≤++

证明 显然0x y z ===是平凡情形. 假定,,x y z 不全为零, 不妨设0,0.x y ><由

(),z x y =-+ 得3333.x y z xyz ++= 记

3332222

2

6()5421622

xy xy

I x y z x y z z =++==

???3

22322216(22)3xy xy z z xy ??++ ?≤=+ ? ?

???

.

再注意到2

2

2

2

()22,x y x y xy z xy +=+-=+ 因而2

2

2

2

22,z xy x y z +=++ 这就是所要证的不等式.

11．已知,a b 为小于1的正数, 求证

:

证明 设1234,(1),(1),(1)(1),z a bi z a bi z a b i z a b i =+=-+=+-=-+-

则

1z =

2z =

3z =

4z =12341234z z z z z z z z +++≥++

+22i =+=

∴≥

12．设,,,abc R +∈求证: ,n n n p q r q r p r p q a b c a b c a b c a b c ++≥++其中,,,n N p q r ∈, 且.p q r n ++=

证明,n n n

p

q r

pa qb rc a b c n ++= 同理,n n n q r

p

qa rb pc a b c n

++≤

.n n n

r p q ra pb qc a b c n ++≤ 三式相加, 即得.n n n p q r q r p r p q

a b c a b c a b c a b c ++≥++

13．设,,,a b c R +

∈求证: 3

3

3

2

2

2

.a b c a b b c c a ++≥++

证明 该不等式关于,,a b c 对称, 不妨设,a b c ≥≥则由左式-右式

222()()()a a b b b c c c a =-+-+-222()()()a a b b b c c c b b a =-+-+-+-2222()()()()0.a c a b b c b c =--+--≥

故3

3

3

2

2

2

.a b c a b b c c a ++≥++

14．已知0,a b >>

证

由于0,a b >>

0>

,

0,>

只要证

,a b a b -<-

<

0,>

<

由于0,a b >> 此不等式显然成立.

15．若2,p R p ∈<且不等式()2

222log log 12log x p x x p ++>+恒成立, 求实数x 的取值范围.

解 令2log ,x a =将不等式转化为: 2

(1)210,a p a a -+-+>令

2()(1)21,f p a p a a =-+-+ 则()0f p >恒成立, 等价于: ()0,

(2)0.

f p f >??

->? 2

2

2(1)210,2(1)210.

a a a a a a ?-+-+>???--+-+>?? 解不等式组得: 1

3180.2

a a x x ><-?><<或或 16．设e 是自然对数的底,

π是圆周率, 求证.e e ππ>

证明 因为2

ln ln ln ln 1ln ,e

e

e e x

x x

d dx

e x

x x π

πππ

π-??-=

== ???

?

? 又当(,)x e π∈时, 21ln 0,x x -< 所以21ln 0.e x dx x π-

π

> 从而有.e e ππ> 17．当x 为何值时,

229x <+成立? 解 先将不等式分母有理化,

有

2

2

??=

2(122x ==++

因此原不等式同解于不等式组112021004522298x x x x x x ?

+≥?>-???

≠?≠???++<+?<

??

解得

145

0.28

x x -≤<≠且 即原不等式的解集为1450028x x x x ????

-

≤<≤

?. 19．已知01,a a >≠且解关于x 的不等式1

log (1) 1.a x

-> 解 原不等式1log (1)log .a a a x

?-> （1）当1a >时，原不等式

1110,111100.111.

x x a a x x x a a x

?->-??-??->?

??

（2）当01a <<时，原不等式110,11.111.

x

x a a x

?->????<

-?-

品都需要在A ，B 两种设备上加工，在每台A ，B 上加工一件甲所需工时分别为1时、2时，加工一件乙所需工时分别为2时、1时，A ，B 两种设备每月有效使用台时数分别为400和500. 如何安排生产可使收入最大？

解 这个问题的数学模型是二元线性规划.

设甲、乙两种产品的产量分别为,x y 件，约束条件是2400,2500,0,0.

x y x y x y +≤??+≤?

?≥??≥?，目标函数是

32f x y =+. 要求出适当的,x y ，使32f x y =+取得最大值

.

（该图来至高中数学课程标准，需重做）

先要画出可行域，如图。考虑32,x y a a +=是参数，将它变形为3,22

a

y x =-+这是斜率为3

2

-

，随a 变化的一族直线。2a 是直线在y 轴上截距，当2a 最大时a 最大，当然直

线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数取得最大值.在这个问题中，使32x y +取得最大值的(,)x y 是两直线2500x y +=与2400x y +=的交点(200,100).

因此，甲、乙两种产品的每月产时不时分别为200、100件时，可得最大收入800千元.

21．n 个机器人在一条流水线上工作, 加工后需送检验台, 检验合格后再送下一道工序. 问检验台设置在流水线上什么位置时, 才能使机器人送验时, 才能使机器人所走距离之和最短? 也即耗时最少?

解 不妨设n 个机器人位于同一条数轴上, 每个机器人所在的位置(点)的坐标为

(1,2,...,),i x i n =检验台所在之点的坐标为的坐标为x , 那么机器人送验所走的距离之和为

1234()...s x x x x x x x x x =-+-+-++-(x 为实数), ()s x 何时最小?

为了探索问题的内在规律, 不妨从简单的情形开始考虑.

当2n =时, 检验台放在这二个机器人之间的任何位置都一样. 3n =时, 检验台放在第二个机器人所在点时最小.

通过上述试验, 当n 为奇数时, 检验台应放在正中间的机器人所在的地点; 当n 为偶数时, 检验台应放在最中间两个机器人之间任何位置.

22．已知函数3()31f x ax x =-+对于[1,1]x ∈-总有()0f x ≥成立, 求实数a 的值. 解 显然当0a ≤时不成立, 故0.a > 2()33,f x ax '=- 令()0,f x '=

解得x =

当x =时, ()f x 取得极小值. [1,1]x ∈-总有()0f x ≥

成立等价于(1)0,

0.

f f -≥???≥?? 即4,

4.a a ≤??≥?

从而 4.a = 23．已知()lg(1),f x x =+()2lg(2)g x x t =+(t R ∈是实数). (1)当1t =-时, 解不等式()();f x g x ≤

(2)如果[0,1]x ∈, ()()f x g x ≤恒成立, 求参数t 的取值范围.

解 (1) 原不等式等价于210,20,1(21).x x t x x ?+>?+>??+≤-?即21,2

450.x x x ?>???-≥?则1,250.

4x x x ?>????≤≥??或 5.4x ∴≥ 所以原不等式的解集为5.4x x ?

?

≥

???

?

(2) [0,1]x ∈时, ()()f x g x ≤恒成立, 即[0,1]x ∈时, 有210,210,1(2).x x x x t ?+>?

->??+≤+?

即

10,2,

2x t x t x ?+>?

>-??

≥-+?恒成立, 故[0,1]x ∈时

, 2t x ≥-+.

于是问题转化成求函数2[0,1]y x x =-∈的最大值.

令u =

则21,[1x u u =-∈ 则2117

22()48

y x u =-+=--+在

上是减函数.

故当1,u = 即0x =时, 2x -. t ∴的取值范围是[1,].+∞

24．某工厂统计资料显示, 一种产品次品率p 与日产量

*(,80100,)x x N x ∈≤≤单位：件之间的关系如下表所示:

其中()p x n x

=-(n 为常数). 已知一件正品盈利k 元, 生产一件次品损失3元(k 为不定常

数).

(1)求出n , 并将该厂的日盈利额y (元)表示为日生产量x (件)的函数; (2)为获取最大盈利, 该厂日生产量应定为多少? 解 (1)根据列表数据, 可得1

108.()(80100,*).108n p x x x N x

=∴=≤≤∈-由题意,

当日生产量为x 时, 次品数为

1

,108x x

?-正品数为

1(1),108x x -?-111(1).1083108y k x k x x x

∴=?-?-??-- 整理得14(3)3108y k x x =-

- (80100,*).x x N ≤≤∈

(2) 令*

108,[8,28],.x t x t N -=∈∈14(108)(3)3y k t t =

--11443283()3k t t ??=-+????

1256

(3283212).33

k k ≤-??= 当且仅当144

,t t

= 即12t =时取得最大盈利. 此时96.x = 25．设函数().x

e f x x = (1) 求函数()f x 的单调区间; (2) 若0,k > 求不等式()(1)()0f x k x f x '+->的解集.

解 (1) ()f x 的定义域为(,0)

(0,),-∞+∞22111(),x x x x

x f x e e e e x x x

-'=-

+?=令()0,f x '=得 1.x =0x <时, ()0,01f x x '<<<时, ()0,f x '<1x >时, ()0.f x '>

()f x ∴的单调增区间是[1,),+∞单调减区间是(,0),(0,1].-∞

(2) 由2

(1)(1)()(1)()0,x

x kx f x k x f x e x --+'+-=

?> 得(1)(1)0,x kx --+<故当

01k <<时, 解集是11;x x k ?

?

<<

????

当1k =时, 解集是;? 当1k >时, 解集是11.x x k ??<

26．设函数(),f x x x a b b =-+

为常数且3,b < 对于任意[0,1],()0x f x ∈<恒成立, 求实数a 的取值范围.

解 从去绝对值展开讨论.

当0a ≤时, 2

0x ax b -+<对[0,1]x ∈恒成立, 0,

1.a a b ≤?∴?>+?

当1a ≥时, 2

0x ax b -++<对[0,1]x ∈恒成立

, 1,13,a b a ≥??∴-≤

或1,1,1.a b a b ≥??<-??<-?

当01a <<时, 2

0x ax b -+<对[0,1]x ∈恒成立且2

0x ax b -++<对[0,1]x ∈恒成

立, 2

01,01,1.40.a a a b a b <<<++

1,40.

a a

b a b ?<+??+

∴0,1.a a b ≤??

>+?或1,

1,1.a b a b ≥??<-??<-?或2

01,1,40.

a a

b a b ?<

>+??+

当1

14

b -≤≤-

时化简可得1,a b a ≤≤?+≤<或11

即b a +≤<1

当1

34

b -

≤<

时化简可得1b a ???+<<或或或或

即1b a +<<

27．设a 为实数, 函数2

()2().f x x x a x a =+--(1)若(0)1,f ≥求a 的取值范围; (2)

求()f x 的最小值. 解 (1)

(0)1,0,f a a a =--≥∴-> 即0.a <由21a ≥知1,a ≤- 因此a 的取值范

围为(,1].-∞-

(2) 记()f x 的最小值为()g a . 我们有

2()2()f x x x a x a =+--2

22223(),,33

()2,.a a x x a x a a x a ?-+

>?=??+-≤?

①当0a ≥时, 22()2,()2,f a a f x a -=-∴≥-此时22().3

g a a =

②当0a <时, 22().33a f a =若x a >, 则22

222()3();333

a a a f x x =-+

≥若,x a ≤则2222

220,()()22.3

x a a f x x a a a a +≤<=+-≥>

此时22().3g a a =

综上得, 222,0,

()2,0.3

a a g a a a ?-≥?

=?

28．已知函数()12,f x x x =-+-且不等式()a b a b a f x ++-≥对

0,,a a b R ≠∈恒成立, 求实数x 的取值范围.

解 由()a b a b a f x ++-≥且0a ≠得

().a b a b

f x a

++-≥又因为

2a b a b a b a b

a a

++-++-≥=, 则只要2().f x ≥ 解不等式122x x -+-≤得

15.22

x ≤≤ 29．已知实数,,,a b c d 满足2222

3,2365,a b c d a b c d +++=+++=试求实数a 的取值范围.

解 由柯西不等式得2

2

2

1

11

(236)()236

b c d +++

+2(),b c d ≥++ 即2222236().b c d b c d ++≥++由条件可得225(3),a a -≥- 解得12,a ≤≤

当且仅当==

. 当1,2b =

1,3c =16d =时, max 2;a =当21

1,,33

b c d ===时, min 1.a =

故所求实数a 的取值范围是[1,2]

30．已知函数()()f x x R ∈满足下列条件, 对任意实数12,x x 都有

2121212()()[()()],x x x x f x f x λ-≤-- 1212()(),f x f x x x -≤-其中λ是大于0的常

数, 设实数0,,a a b 满足0()0f a =和().b a f a λ=-

(1)证明: 1,λ≤并且不存在00,b a ≠使得0()0;f b = (2)证明: 22200()(1)();b a a a λ-≤-- (3)证明: 222()(1)().f b f a λ≤-

证 (1)任取1212,,,x x R x x ∈≠则由2121212()()[()()](1)x x x x f x f x λ-≤-- 及

1212()(),(2)f x f x x x -≤- 可知

21212121212()()[()()]()()x x x x f x f x x x f x f x λ-≤--≤-- 2

12,x x ≤-从而 1.λ≤

假设有00,b a =使得0()0,f b =则由(1)式知

20000000()()[()()]0,a b a b f a f b λ<-≤--=产生矛盾. 所以不存在00,b a ≠使得0()0.f b =

证(2) 由(),(3)b a f a λ=- 可知

222220000()[()]()2()()().(4)b a a a f a a a a a f a f a λλλ-=--=---+

由0()0f a =和(1)式, 得20000()()()[()()](),(5)a a f a a a f a f a a a λ-=--≥- 由0()0f a =和(2)式, 得22200()[()()](),(6)f a f a f a a a =-≤- 将(5)(6)代入(4)式得222222200000()()2()()(1)().b a a a a a a a a a λλλ-=---+-=--

证(3) 易知a b ≠时, ()()()()

1,1,()

f a f b f a f b a b f a λλλ--≤

≤≤≤-故

22()()

,11,()()

f b f b f a f a λλλλ≤

≤-≤≤-2()(1)(),f b f a λ≤-当a b =此式也成立, 则222()(1)().f b f a λ≤-

第三章习题及答案

1．如果1122()()()...()0,k k F x f x f x f x ==那么方程()0F x =的解集等于下列各个方程：12()0,()0,...,()0k f x f x f x ===的解集的并集, 其中每一个解都属于这k 个方程的定义域的交集.

解 设()F x 的定义域为,()i M f x 的定义域(1,2,...,),i M i k = 因为

12()()()...(),k F x f x f x f x = 所以, 12....k M M M M =又设()0F x =的交集为,A

1;x A ∈()0i f x =的解集为(1,2,...,).i B i k =因为1,x A M ∈?所以 11

2....k x M M M ∈ 因为1()0,F x =于是有1122()()...()0,k k f x f x f x =这个等式的左

端至少有一个因式等于零, 这表明11

2....k x B B B ∈ 反之易证1

2....k B B B A ?

2．设121...,()(,][,).n n a a a f x a a <<<-∞+∞ 当max (),1,2,...,i A f a i n >=时, 不等

式

1

n

i i x a A =-<∑

的解集为1

1.n

n

i

i

i i a a A A x

x n n n n ==??

???

?-<<+????

???

?

∑∑ 证明 因()f x 的图象在区间1[,](1,2,...,1)i i a a i n +=-上都是线段, 又

max ()(1,2,...,),i A f a i n >= 则在区间1[,]i i a a +上, ()f x 的图象是一条射线

1,n

i i y nx a ==-+∑,x a < 且当x →-∞时, ().f x →+∞同理, ()f x 在1[,)i a ++∞上是一条

射线1

,n

i i y nx a ==-

∑ 且x →+∞时,

()f x →+∞.

从而函数1

n

i

i y x a

==

-∑的图象与直线y A =的交点只能是在1(,]a -∞与[,)n a +∞内,

将y A =与1

n

i i y nx a ==-+

∑和1

,n

i i y nx a ==-∑ 分别联立求得交点横坐标为1

n

i

i a

A

x n

n

==

-

∑