中央电大离散数学(本科)考试试题
1
中央电大离散数学（本科）考试试题
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1．若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( a )．
A ．A ?
B ，且A ∈B B ．B ?A ，且A ∈B
C ．A ?B ，且A ?B
D ．A ?B ，且A ∈B
2．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图一所示，则下列结论成立的是 ( d )．
图一
A ．（a ）是强连通的
B ．（b ）是强连通的
C ．（c ）是强连通的
D ．（d ）是强连通的
3．设图G 的邻接矩阵为 ????????????????010*******
000011100100110 则G 的边数为( b )．
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
4．无向简单图G 是棵树，当且仅当( a )．
A ．G 连通且边数比结点数少1
B ．G 连通且结点数比边数少1
C ．G 的边数比结点数少1
D ．G 中没有回路．
5．下列公式 ( c )为重言式．
A ．?P ∧?Q ?P ∨Q
B ．(Q →(P ∨Q)) ?(?Q ∧(P ∨Q))
C ．(P →(?Q →P))?(?P →(P →Q))
D ．(?P ∨(P ∧Q)) ?Q
1．若集合A ={a ，b }，B ={ a ，b ，{ a ，b }}，则（ a ）．
A ．A ?
B ，且A ∈B B ．A ∈B ，但A ?B
C ．A ?B ，但A ?B
D ．A ?B ，且A ?B
2．集合A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R ={
C ．传递且对称的
D ．反自反且传递的
3．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，则R 1∪R 2，R 1∩R 2，R 1-R 2中自反关系有（ b ）个．
A ．0
B ．2
C ．1
D ．3
4．如图一所示，以下说法正确的是 ( d ) ．
A ．{(a, e )}是割边
B ．{(a, e )}是边割集
C ．{(a, e ) ,(b, c )}是边割集
D ．{(d , e )}是边割集
图一
5．设A （x ）：x 是人，B （x ）：x 是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（ c ）．
A ．(?x)(A(x)∧B(x))
B ．┐(?x)(A(x)∧B(x))
C ．┐(?x)(A(x) →B(x))
D ．┐(?x)(A(x)∧┐B(x))
1．设A ={a , b }，B ={1, 2}，R 1，R 2，R 3是A 到B 的二元关系，且R 1={, }，R 2={, , }，R 3={, }，则（ b ）不是从A 到B 的函数．
A ．R 1和R 2
B ．R 2
C ．R 3
D ．R 1和R 3
2．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}，则集合B 的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( b )．
A ．8、2、8、2
B ．无、2、无、2
C ．6、2、6、2
D ．8、1、6、1
3．若集合A 的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（ a ）．
A ．1024
B ．10
C ．100
D ．1
4．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ c ）时，K n 中存在欧拉回路．
A ．m 为奇数
B ．n 为偶数
C ．n 为奇数
D ．m 为偶数
5．已知图G 的邻接矩阵为
2
，
则G 有（ d ）．
A ．5点，8边
B ．6点，7边
C ．6点，8边
D ．5点，7边
1．若集合A ＝{ a ，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( c )．
A ．{a ，{a}}∈A
B ．{2}?A
C ．{a}?A
D ．?∈A
2．设图G ＝
C ．E v V v 2)deg(=∑∈
D ．
E v V v =∑
∈)deg(
3．命题公式（P ∨Q ）→R 的析取范式是 ( d )
A ．?（P ∨Q ）∨R
B ．（P ∧Q ）∨R
C ．（P ∨Q ）∨R
D ．（?P ∧?Q ）∨R
4．如图一所示，以下说法正确的是 ( a )．
A ．e 是割点
B ．{a, e}是点割集
C ．{b, e}是点割集
D ．{d}是点割集
5．下列等价公式成立的为( b )．
A ．?P ∧?Q ?P ∨Q
B ．P →(?Q →P) ??P →(P →Q)
C ．Q →(P ∨Q) ??Q ∧(P ∨Q)
D ．?P ∨(P ∧Q) ?Q
1．若G 是一个汉密尔顿图，则G 一定是( d )．
A ．平面图
B ．对偶图
C ．欧拉图
D ．连通图
2．集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={
A ．不是自反的
B ．不是对称的
C ．传递的
D ．反自反
3．设集合A={1，2，3，4，5}，偏序关系≤是A 上的整除关系，则偏序集上的元素5是集合A 的（ b ）．
A ．最大元
B ．极大元
C ．最小元
D ．极小元
4．图G 如图一所示，以下说法正确的是 ( c ) ．
A ．{(a, d)}是割边
B ．{(a, d)}是边割集
C ．{(a, d) ,(b, d)}是边割集
D ．{(b, d)}是边割集
图一
5．设A （x ）：x 是人，B （x ）：x 是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（ a ）． A ．(?x)(A(x)∧B(x)) B ．(?x)(A(x)∧B(x))
C ．┐(?x)(A(x) →B(x))
D ．┐(?x)(A(x)∧┐B(x))
1．若集合A ＝{ a ，{a}}，则下列表述正确的是( a )．
A ．{a}?A
B ．{{{a}}}?A
C ．{a ，{a}}∈A
D ．?∈A
2．命题公式（P ∨Q ）的合取范式是 ( c )
A ．（P ∧Q ）
B ．（P ∧Q ）∨（P ∨Q ）
C ．（P ∨Q ）
D ．?（?P ∧?Q ）
3．无向树T 有8个结点，则T 的边数为( b )．
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
4．图G 如图一所示，以下说法正确的是 ( b )．
A ．a 是割点
B ．{b, c}是点割集
C ．{b, d}是点割集
D ．{c}是点割集
图一
5．下列公式成立的为( d )．
A ．?P ∧?Q ? P ∨Q
B ．P →?Q ? ?P →Q
C ．Q →P ? P
D ．?P ∧(P ∨Q)?Q
1．“小于5的非负整数集合”采用描述法表示为___a___．
3 A ．{x ∣x ∈N, x<5 } B ．{x ∣x ∈R, x<5 }
C ．{x ∣x ∈Z, x<5 }
D ．{x ∣x ∈Q, x<5 }
2．设R1，R2是集合A={a,b,c,d}上的两个关系，其中R1={(a,a),(b,b),(b,c), (d,d)}，R2={(a,a),(b,b),(b,c),(c,b),(d,d)}，则R2是R1的__b____闭包．
A ．自反
B ．对称
C ．传递
D ．以上答案都不对
3．设函数f ：R →R ，f(a)=2a+1；g ：R →R ，g(a)=a2，则___c___有反函数．
A ．f g
B ．g f
C ．f
D ．g
4．已知图G 的邻接矩阵为???????? ??01111101011100010001
11010，则图G 有___d___．
A ．5点，8边
B ．6点，7边
C ．6点，8边
D ．5点7边
5．无向完全图K4是___a___．
A ．汉密尔顿图
B ．欧拉图
C ．非平面图
D ．树
6．在5个结点的完全二叉树中，若有4条边，则有___b___片树叶．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
7．无向树T 有7片树叶，3个3度结点，其余的都是4度结点，则T 有__c___个4度结点．
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
8．与命题公式P →（Q →R ）等值的公式是___a___．
A ．(P ∧Q)→R
B ．(P ∨Q)→R
C ．(P →Q)→R
D ．P →(Q ∨R) 9．谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中量词?x 的辖域是___b___． A ．))()((y yR x P x ?∨? B ．)()(y yR x P ?∨ C ．P(x) D ．)(x Q 10．谓词公式
))()(()(x xQ x Q x x xP ??→??→?的类型是___c___． A ．蕴涵式 B ．永假式
C ．永真式
D ．非永真的可满足式
1．设A={1,2,3,4}，B={1,3}，C={-1,0,1,2}，则___a___．
A ．A
B ? B ．
C B ?
C ．A B ∈
D ．C B ∈
2．若集合A 的元素个数为10，则其幂集的元素个数为___b___．
A ．1000
B ．1024
C ．1
D ．10 3．设集合A={1,2}，B={a,b}，C={α}，则
=??C B A )(__c____． A ．{<1,a,α>,<1,b,α>,<2,a,α>,<2,b,α>}
B ．{<1,
C ．{<<1,a>,α>,<<1,b>,α>,<<2,a>,α>,<<2,b>,α>}
D ．{{1,2},{a,b},{α}}
4．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B={2, 4, 6}，则集合B 的最大元、最小元、上界、下界依次为___d___．
A ．8、1、6、1
B ． 8、2、8、2
C ．6、2、6、2
D ．无、2、无、2
5．有5个结点的无向完全图K5的边数为___a___．
A ．10
B ．20
C ．5
D ．25
6．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当___b___时，K n 中存在欧拉回路．
A ．n 为偶数
B ．n 为奇数
C ．m 为偶数
D ．m 为奇数
7．一棵无向树T 有5片树叶，3个2度分支点，其余的分支点都是3度顶点，则T 有__c___个顶点．
A ．3
B ．8
C ．11
D ．13
8．命题公式（P ∨Q ）→R 的析取范式是___b___．
A ．（?P ∧?Q ）∨R
B ． ?（P ∨Q ）∨R
C ．（P ∧Q ）∨R
D ．（P ∨Q ）∨R
9．下列等价公式成立的是___b___．
A ．?P ∧?Q ?P ∨Q
B ． P →(?Q →P) ??P →(P →Q)
C ．?P ∨(P ∧Q) ?Q
D ．Q →(P ∨Q) ??Q ∧(P ∨Q) 10．谓词公式
))()(()(x xQ x Q x x xP ??→??→?的类型是__c____． A ．蕴涵式 B ．永假式
C ．永真式
D ．非永真的可满足式
二、填空题（每小题3分，本题共15分）
6．命题公式)(P Q P ∨→的真值是 T （或1） ．
7．若图G=
8．给定一个序列集合{000，001，01，10，0}，若去掉其中的元素 0 ，则该序列集合构成前
4
缀码．
9．已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为 5 ．
10．(?x )(P (x )→Q (x )∨R (x ，y ))中的自由变元为R (x ，y )中的y
6．若集合A 的元素个数为10，则其幂集的元素个数为 1024 ．
7．设A ={a ，b ，c }，B ={1，2}，作f ：A →B ，则不同的函数个数为 8 ．
8．若A ={1,2}，R ={
9．结点数v 与边数e 满足 e=v -1 关系的无向连通图就是树．
6．设集合A ＝{a ，b }，那么集合A 的幂集是{?,{a ,b },{a },{b }}．
7．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，则R 1∪R 2，R 1∩R 2，R 1-R 2中自反关系有 2 个．
8．设图G 是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G 中删去 4 条边后使之变成树．
9．设连通平面图G 的结点数为5，边数为6，则面数为 3 ．
10．设个体域D ＝{a , b }，则谓词公式(?x )A (x )∧（?x ）B （x ）消去量词后的等值式为(A (a )∧A (b ))∧(B （a ）∨B （b ）) ．
6．设集合A ={0, 1, 2, 3}，B ={2, 3, 4, 5}，R 是A 到B 的二元关系， },,{B A y x B y A x y x R ?∈∈∈><=且且
则R 的有序对集合为{<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>}，<3, 3>．
7．设G 是连通平面图，v , e , r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ，e 和r 满足的关系式v -e +r =2 ．
8．设G ＝
9．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通且所有结点的度数全为偶数
10．设个体域D ＝{1,2}，则谓词公式)(x xA ?消去量词后的等值式为A (1)∨A (2)
6．命题公式)(P Q P ∨→的真值是 T （或1） ．
7．若图G=
8．给定一个序列集合{000，001，01，10，0}，若去掉其中的元素 0 ，则该序列集合构成前缀码．
9．已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为 5 ．
10．(?x )(P (x )→Q (x )∨R (x ，y ))中的自由变元为R (x ，y )中的y
6．若集合A 的元素个数为10，则其幂集的元素个数为 1024 ．
7．设A ={a ，b ，c }，B ={1，2}，作f ：A →B ，则不同的函数个数为 8 ．
8．若A ={1,2}，R ={
9．结点数v 与边数e 满足 e=v -1 关系的无向连通图就是树．
10．设个体域D ＝{a , b , c }，则谓词公式(?x )A (x )消去量词后的等值式为A (a ) ∧A (b )∧A （c ）
6．若集合A={1，3，5，7}，B ={2，4，6，8}，则A ∩B =空集（或?） ．
7．设集合A ={1，2，3}上的函数分别为：f ={<1,2>,<2,1>,<3,3>,}，g ={<1,3>,<2,2>,<3,2>,}，则复合函数g ?f ={<1, 2>, <2, 3>, <3, 2>,}
8．设G 是一个图，结点集合为V ，边集合为E ，则G 的结点度数之和为2|E |（或“边数的两倍”）
9．无向连通图G 的结点数为v ，边数为e ，则G 当v 与e 满足 e=v -1 关系时是树．
10．设个体域D ＝{1, 2, 3}， P (x )为“x 小于2”，则谓词公式(?x )P (x ) 的真值为假（或F ，或0） ．
6．设集合A ={2, 3, 4}，B ={1, 2, 3, 4}，R 是A 到B 的二元关系，
},{y x B y A x y x R ≤∈∈><=且且
则R 的有序对集合为{<2, 2>，<2, 3>，<2, 4>，<3, 3>}，<3, 4>，<4, 4>}
7．如果R 是非空集合A 上的等价关系，a ∈A ，b ∈A ，则可推知R 中至少包含，< b , b >等元素．
8．设G ＝
9．设G 是具有n 个结点m 条边k 个面的连通平面图，则m 等于n +k -2
10．设个体域D ＝{1, 2}，A (x )为“x 大于1”，则谓词公式()()x A x ?的真值为真（或T ，或1）
11．设集合A ={1,2,3}，用列举法写出A 上的恒等关系I A ，全关系E A ：
I A = __ I A ={<1,1>,<2,2>,<3,3>}；
E A ={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>}
12．设集合A ＝{a ，b }，那么集合A 的幂集是{?,{a },{b },{a ,b }}
13．设集合A ={1,2,3}，B ={a ,b }，从A 到B 的两个二元关系R ={<1,a >,<2,b >,
<3,a >}，S ={<1,a >,<2,a >,<3,a >}，则R -S =_ R -S ={<2,b >}．
14．设G 是连通平面图，v , e , r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ，e 和r 满足的关系式v -e +r =2．
15．无向连通图G 是欧拉图的充分必要条件是结点度数均为偶数．
16．设G ＝
17．设G 是完全二叉树，G 有15个结点，其中有8个是树叶，则G 有____14___条边，G 的总度数是___28_____，G 的分支点数是____7____．
18．设P ，Q 的真值为1，R ，S 的真值为0，则命题公式Q S R Q P ∧∨∧∨)(的真值为___0_____．
19．命题公式)(R Q P →∧的合取范式为)(R Q P ∨?∧析取范式为)()(R P Q P ∧∨?∨
20．设个体域为整数集，公式)0(=+??y x y x 真值为___1_____．
11．设集合A ={1,2,3,4}，B ={3,4,5,6}，则：
=B A ___{3,4}_____，=B A _____{1,2,3,4,5,6}_____．
12．设集合A 有n 个元素，那么A 的幂集合P (A )的元素个数为 ．
5
13．设集合A ={a ,b ,c ,d }，B ={x ,y ,z }，R ={,,,
则关系矩阵M R ＝??????? ??010*********． 14．设集合A ={a ,b ,c ,d ,e }，A 上的二元关系R ={,
17．设正则二叉树有n 个分支点，且内部通路长度总和为I ，外部通路长度总和为E ，则有E =___ I +2n
18．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则命题公式)()(S Q R P ∨→∨的真值为_____1___．
19．已知命题公式为G ＝(?P ∨Q )→R ，则命题公式G 的析取范式是(P ∧?Q )∨R
20．谓词命题公式(?x )(P (x )→Q (x )∨R (x ，y ))中的约束变元为___x___．
三、逻辑公式翻译（每小题4分，本题共12分）
11．将语句“如果所有人今天都去参加活动，则明天的会议取消．”翻译成命题公式．
设P ：所有人今天都去参加活动，Q ：明天的会议取消， （1分）
P → Q ． （4分）
12．将语句“今天没有人来．” 翻译成命题公式．
设 P ：今天有人来， （1分）
? P ． （4分）
13．将语句“有人去上课．” 翻译成谓词公式．
设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去上课， （1分）
(?x)(P(x) ∧Q(x))． （4分）
11．将语句“如果你去了，那么他就不去．”翻译成命题公式．
设P ：你去，Q ：他去， （1分）
P →?Q ． （4分）
12．将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．
设P ：小王去旅游，Q ：小李去旅游， （1分）
P ∧Q ． （4分）
13．将语句“所有人都去工作．”翻译成谓词公式．
设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去工作， （1分）
(?x)(P(x)→Q(x))． （4分）
11．将语句“他不去学校．”翻译成命题公式．
设P ：他去学校， （1分）
? P ． （4分）
12．将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．
设 P ：他去旅游，Q ：他有时间， （1分）
P →Q ． （4分）
13．将语句“所有的人都学习努力．”翻译成命题公式．
设P(x)：x 是人，Q(x)：x 学习努力， （1分）
（?x ）(P(x)→Q(x))． （3分）
11．将语句“尽管他接受了这个任务，但他没有完成好．”翻译成命题公式．
设P ：他接受了这个任务，Q ：他完成好了这个任务， （2分）
P ∧? Q ． （6分）
12．将语句“今天没有下雨．”翻译成命题公式．
设P ：今天下雨， （2分）
? P ． （6分）
11．将语句“他是学生．”翻译成命题公式．
设P ：他是学生， （2分）
则命题公式为： P ． （6分）
12．将语句“如果明天不下雨，我们就去郊游．”翻译成命题公式．
设P ：明天下雨，Q ：我们就去郊游， （2分）
则命题公式为：? P → Q ． （6分）
11．将语句“今天考试，明天放假．”翻译成命题公式．
设P ：今天考试，Q ：明天放假． （2分）
则命题公式为：P ∧Q ． （6分）
12．将语句“我去旅游，仅当我有时间．”翻译成命题公式．
设P ：我去旅游，Q ：我有时间， （2分）
则命题公式为：P →Q ． （6分）
⑴ 将语句“如果明天不下雨，我们就去春游．”翻译成命题公式．
⑵ 将语句“有人去上课．” 翻译成谓词公式．
⑴设命题P 表示“明天下雨”，命题Q 表示“我们就去春游”.
则原语句可以表示成命题公式 ?P→Q . （5分）
⑵设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去上课
则原语句可以表示成谓词公式 (?x)(P(x) ∧Q(x))．
四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）
14．┐P ∧（P →┐Q ）∨P 为永真式．
正确． （3分）
┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是由┐P ∧（P →┐Q ）与P 组成的析取式，
如果P 的值为真，则┐P ∧（P →┐Q ）∨P 为真， （5分）
6 如果P 的值为假，则┐P 与P →┐Q 为真，即┐P ∧（P →┐Q ）为真，
也即┐P ∧（P →┐Q ）∨P 为真，
所以┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是永真式． （7分）
15．若偏序集的哈斯图如图一所示，则集合A 的最大元为a ，最小元不存在．
正确． （3分）
对于集合A 的任意元素x ，均有
14．如果R1和R2是A 上的自反关系，则R1∪R2是自反的．
正确． （3分）
R1和R2是自反的，?x ∈A ，
则
所以R1∪R2是自反的． （7分）
15．如图二所示的图G 存在一条欧拉回路．
正确． （3分）
因为图G 为连通的，且其中每个顶点的度数为偶数． （7分）
14．设N 、R 分别为自然数集与实数集，f ：N →R ，f (x)=x+6，则f 是单射．
正确． （3分）
设x1，x2为自然数且x1≠x2，则有f(x1)= x1+6≠ x2+6= f(x2)，故f 为单射． （7分）
15．设G 是一个有6个结点14条边的连通图，则G 为平面图．
错误． （3分）
不满足“设G 是一个有v 个结点e 条边的连通简单平面图，若v ≥3，则e ≤3v-6．”
13．下面的推理是否正确，试予以说明．
(1) （?x ）F （x ）→G （x ） 前提引入
(2) F （y ）→G （y ） US （1）．
错误． （3分）
（2）应为F （y ）→G （x ），换名时，约束变元与自由变元不能混淆． （7分）
14．若偏序集的哈斯图如图二所示，则集合A 的最大元为a ，最小元不存在．
错误． （3分） 集合A 的最大元不存在，a 是极大元． （7分）
13．下面的推理是否正确，试予以说明．
(1) （?x ）F （x ）→G （x ） 前提引入
(2) F （y ）→G （y ） US （1）．
错误． （3分）
（2）应为F （y ）→G （x ），换名时，约束变元与自由变元不能混淆． （7分）
14．如图二所示的图G 存在一条欧拉回路．
错误． （3分）
因为图G 为中包含度数为奇数的结点． （7分）
13．如果图G 是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G 是欧拉图．
错误． （3分）
当图G 不连通时图G 不为欧拉图． （7分）
14．若偏序集的哈斯图如图二所示，则集合A 的最大元为a ，最小元是f ．
v 1
v
图二
7
图二
错误． （3分）
集合A 的最大元与最小元不存在，
a 是极大元，f 是极小元，．
五．计算题（每小题12分，本题共36分）
16．设集合A={1，2，3，4}，R={
（1）写出R 的有序对表示；
（2）画出R 的关系图；
（3）说明R 满足自反性，不满足传递性．
（1）R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>} （3分）
（2）关系图为
（6分）
（3）因为<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>均属于R ，即A 的每个元素构成的有序对均在R 中，故R 在A 上是自反的。 （9分）
因有<2,3>与<3,4>属于R ，但<2,4>不属于R ，所以R 在A 上不是传递的。
17．求P →Q ∨R 的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．
P →（R ∨Q ）
?┐P ∨(R ∨Q)
? ┐P ∨Q ∨R （析取、合取、主合取范式） （9分）
?(┐P ∧┐Q ∧┐R)∨(┐P ∧┐Q ∧R) ∨(┐P ∧Q ∧R) ∨(P ∧┐Q ∧┐R)
∨(P ∧┐Q ∧R) ∨(P ∧Q ∧┐R) ∨(P ∧Q ∧R) （主析取范式） （12分）
18．设图G=
画出G 的图形表示；
写出其邻接矩阵；
(3) 求出每个结点的度数；
(4) 画出图G 的补图的图形．
（1）关系图
（3分）
（2）邻接矩阵
???????
?????????0110010110
110110110100110 （6分） （3）deg(v 1)=2
deg(v 2)=3
deg(v 3)=4 deg(v 4)=3 deg(v 5)=2
（9分）
（4）补图
16．设谓词公式)(),()),,(),((y F z y yR z x y zQ y x P x ??∧?→?，试 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 ο ο ο ο
v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 ο ο ο ο ο
8
（1）写出量词的辖域； （2）指出该公式的自由变元和约束变元．
（1）?x 量词的辖域为)),,(),((z x y zQ y x P ?→， （2分）
?z 量词的辖域为),,(z x y Q , （4分）
?y 量词的辖域为),(z y R ． （6分）
（2）自由变元为)),,(),((z x y zQ y x P ?→与)(y F 中的y ，以及),(z y R 中的z
约束变元为x 与),,(z x y Q 中的z ，以及),(z y R 中的y ． （12分）
17．设A ={{1},{2},1,2}，B ={1,2,{1,2}}，试计算
（1）（A -B ）； （2）（A ∩B ）； （3）A ×B ．
（1）A -B ={{1},{2}} （4分）
（2）A ∩B ={1,2} （8分）
（3）A×B={<{1},1>，<{1},2>，<{1},{1,2}>，<{2},1>，<{2},2>，
<{2},{1,2}>，<1,1>，<1,2>，<1, {1,2}>，<2,1>，<2,2>,
<2, {1,2}>}
18．设G=
（1）给出G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵；
（3）求出每个结点的度数； （4）画出其补图的图形．
1）G 的图形表示为：
（3分）
（2）邻接矩阵：
????????????????0110010110
110110110000100 （6分）
（3）v1，v2，v3，v4，v5结点的度数依次为1，2，4，3，2 （9分）
（4）补图如下：
16．试求出（P ∨Q ）→R 的析取范式，合取范式，主合取范式．
（P ∨Q ）→R ?┐(P ∨Q)∨R ? (┐P ∧┐Q)∨R （析取范式） （3分）
? (┐P ∨R)∧ (┐Q ∨R)（合取范式） （6分）
? ((┐P ∨R)∨(Q ∧┐Q))∧ ((┐Q ∨R)∨(P ∧┐P))
? (┐P ∨R ∨Q)∧(┐P ∨R ∨┐Q)∧ (┐Q ∨R ∨P)
∧(┐Q ∨R ∨┐P)
? (┐P ∨Q ∨R)∧(┐P ∨┐Q ∨R)∧ (P ∨┐Q ∨R)
（主合取范式） （12分）
17．设A={{a, b}, 1, 2}，B={ a, b, {1}, 1}，试计算
（1）（A -B ） （2）（A ∪B ） （3）（A ∪B ）-（A ∩B ）．
（1）（A -B ）={{a, b}, 2} （4分）
（2）（A ∪B ）={{a, b}, 1, 2, a, b, {1}} （8分）
（3）（A ∪B ）-（A ∩B ）={{a, b}, 2, a, b, {1}} （12分）
18．图G=
（1）画出G 的图形；
（2）写出G 的邻接矩阵；
（3）求出G 权最小的生成树及其权值．
（1）G 的图形表示为：
（3分）
（2）邻接矩阵：
9
????????????????0111110110
110011*********
（3）粗线表示最小的生成树，
（10分）
权为7： （12分）
15．求（P ∨Q ）→（R ∨Q ）的合取范式．
（P ∨Q ）→（R ∨Q ）
??（P ∨Q ）∨（R ∨Q ） （4分）
?(?P ∧?Q)∨（R ∨Q ）
?(?P ∨R ∨Q)∧(?Q ∨R ∨Q)
?(?P ∨R ∨Q) ∧R 合取范式 （12分）
16．设A={0，1，2，3，4}，R={
R=?, （2分）
S={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>} （4分）
R ?S=?， （6分）
R-1=?， （8分）
S-1= S ， （10分）
r(R)=IA ． （12分）
17．画一棵带权为1, 2, 2, 3, 4的最优二叉树,计算它们的权．
（10分） 权为1?3+2?3+2?2+3?2+4?2=27 （12分）
15．求（P ∨Q ）→R 的析取范式与合取范式． （P ∨Q ）→R ? ?（P ∨Q ）∨R （4分）
? (?P ∧?Q)∨R （析取范式） （8分）
? (?P ∨R)∧(?Q ∨R) （合取范式） （12分）
16．设A={0，1，2，3}，R={
R=?, S={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<2,0>} （3分）
R ?S=?， （6分）
S -1= S ， （9分）
r(R)=IA={<0,0>,<1,1>,<2,2>,<3,3>}． （12分）
17．画一棵带权为1, 2, 2, 3, 4的最优二叉树,计算它们的权．
最优二叉树如图三所示
（10分） 图三 权为1?3+2?3+2?2+3?2+4?2=27 （12分） 15．设谓词公式)),,()(),()((z x y B z y x A x ?→?，试
（1）写出量词的辖域； （2）指出该公式的自由变元和约束变元．
（1）?x 量词的辖域为
)),,()(),((z x y B z y x A ?→， （3分） ?z 量词的辖域为),,(z x y B , （6分）
（2）自由变元为
)),,()(),((z x y B z y x A ?→中的y ， （9分） 约束变元为x 与z ． （12分）
16．设集合A={{1},1,2}，B={1,{1,2}}，试计算
（1）（A -B ）； （2）（A ∩B ）； （3）A×B ．
ο ο ο ο ο ο ο ο 1 2 2 3 3 4 7 5 12 ο ο ο ο ο ο ο οο 1 2
2 3 3 4 7 5 12
10
（1）A -B ={{1},2} （4分）
（2）A ∩B ={1} （8分）
（3）A×B={<{1},1>，<{1},{1,2}>，<1,1>，<1, {1,2}>，<2,1>，<2, {1,2}>} （12分）
17．设G=
（1）给出G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵；
（3）求出每个结点的度数； （4）画出其补图的图形．
（1）G 的图形表示为(如图三)：
（3分）
（2）邻接矩阵：
????????????????0110
101111000100 （6分）
（3）v1，v2，v3，v4结点的度数依次为1，2，3，2 （9分）
（4）补图如图四所示：
21．化简下列集合表示式： )()())(()(C B A C B A C B A C B A ---- = )()~()~()~~(C B A C B A C B A C B A = ))(~)(())(~)~((C C B A C C B A ? = ))(())~((E B A E B A 设E 为全集 = )()~(B A B A = )(~B B A = E A = A 22．设},21|{R x x x A ∈≤≤=，},0|{R y y y B ∈≥=，求B A ?，A B ?，并画出其图像．
⑴ B A ?=},0|{},21|{R y y y R x x x ∈≥?∈≤≤
=},,0,21|,{R y x y x y x ∈≥≤≤>< B A ?的图像如下图1所示的阴影部分．
图1 图2
⑵A B ?=},21|{},0|{R x x x R y y y ∈≤≤?∈≥
=},,0,21|,{R y x y x x y ∈≥≤≤><
A B ?的图像如上图2所示的阴影部分．
23．设G=
⑴ 给出G 的图形表示；
⑵ 画出其补图的图形．
．⑴ G 的图形表示见图3；⑵ G 的补图的图形，见图
4
11
图3 图4
24．构造权为2，3，4，4，5，5，7的最优树。
最优树如下图5所示．
21．设A ，B 和C 是全集E 的子集，化简下列集合表示式： )(~)~()(C B A C B A C B A )(~)~()(C B A C B A C B A = )(~)()~()(C B A C B A C B A C B A = ))()~(())~()((C B A A B B C A = ))(())((C B E E C A = )()(C B C A = C B A )( 22．设A ＝{1,2,3}，用列举法给出A 上的恒等关系I A ，全关系E A ，A 上的小于关系 },,{y x A y x y x L A <∧∈><= 及其逆关系和关系矩阵. }3,3,2,2,1,1{><><><=A I （2分） }3,3,2,3,1,3,3,2,2,2,1,2,3,1,2,1,1,1{><><><><><><><><><=A E （2分） }3,2,3,1,2,1{><><><=A L （2分） L A 的逆关系}2,3,1,3,1,2{1><><><=-
A L （2分）
????? ??=000100110A L M ????
? ??=-0110010001A L M . （2分） 23．图G =
⑴ 写出G 的邻接矩阵；
⑵ 画出G 的权最小的生成树以及计算出其权值．
⑴ G 的邻接矩阵为： （4分）
????????????????????011000101111110010
010001011001010110 ⑵ G 的权最小的生成树如右上图1所示． （4分） 最小的生成树的权为：1+1+5+2+3=12． （2分） 六、证明题（本题共8分）
19．试证明（?x ）（P （x ）∧R （x ））? （?x ）P （x ）∧（?x ）R （x ）．
图1
12 证明：
（1）（?x ）（P （x ）∧R （x ）） P
（2）P （a ）∧R （a ） ES(1) （2分）
（3）P （a ） T(2)I
（4）（?x ）P （x ） EG(3) （4分）
（5）R （a ） T(2)I
（6）（?x ）R （x ） EG(5) （6分）
（7）（?x ）P （x ）∧（?x ）R （x ） T(5)(6)I （2分）
19．试证明集合等式A ? (B ?C)=(A ?B) ? (A ?C) ．
证明：设S= A ? (B ?C)，T=(A ?B) ? (A ?C)，若x ∈S ，则x ∈A 或x ∈B ?C ，即 x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ．
也即x ∈A ?B 且 x ∈A ?C ，即 x ∈T ，所以S ?T ． （4分）
反之，若x ∈T ，则x ∈A ?B 且 x ∈A ?C ，
即x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ，
也即x ∈A 或x ∈B ?C ，即x ∈S ，所以T ?S ．
因此T=S ．
19．试证明集合等式A ? (B ?C)=(A ?B) ? (A ?C)．
证明：设S= A ? (B ?C)，T=(A ?B) ? (A ?C)，若x ∈S ，则x ∈A 或x ∈B ?C ，即 x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ．
也即x ∈A ?B 且 x ∈A ?C ，即 x ∈T ，所以S ?T ． （4分）
反之，若x ∈T ，则x ∈A ?B 且 x ∈A ?C ，
即x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ， 也即x ∈A 或x ∈B ?C ，即x ∈S ，所以T ?S ．
18．设G 是一个n 阶无向简单图，n 是大于等于2的奇数．证明G 与G 中的奇数度顶点个数相等(G 是G 的补图)．
证明：因为n 是奇数，所以n 阶完全图每个顶点度数为偶数， （3分）
因此，若G 中顶点v 的度数为奇数，则在G 中v 的度数一定也是奇数， （6分）
所以G 与G 中的奇数度顶点个数相等． （8分）
18．试证明集合等式A ? (B ?C)=(A ?B) ? (A ?C) ．
证明：设S= A ? (B ?C)，T=(A ?B) ? (A ?C)，若x ∈S ，则x ∈A 或x ∈B ?C ，即 x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ．
也即x ∈A ?B 且 x ∈A ?C ，即 x ∈T ，所以S ?T ． （4分）
反之，若x ∈T ，则x ∈A ?B 且 x ∈A ?C ， 即x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ，
也即x ∈A 或x ∈B ?C ，即x ∈S ，所以T ?S ．
因此T=S ．
18．设A ，B 是任意集合，试证明：若A ?A=B ?B ，则A=B ．
证明：设x ∈A ，则
因为A ?A=B ?B ，故
所以A ?B ． （5分）
设x ∈B ，则
因为A ?A=B ?B ，故
故得A=B ． （8分）
试证明（?x ）（P （x ）∧R （x ））? （?x ）P （x ）∧（?x ）R （x ）．
证明：
⑴（?x ）（P （x ）∧R （x ）） P ⑵ P （a ）∧R （a ） ES(1) ⑶ P （a ） T(2)I ⑷（?x ）P （x ） EG(3) ⑸ R （a ） T(2)I ⑹（?x ）R （x ） EG(5) ⑺（?x ）P （x ）∧（?x ）R （x ） T(5)(6)I 26．试证明 )()()()(x P x x P x ????? 成立。
证明：设公式中的个体变元为a 1，a 2，…，a n ，即个体域E ={a 1，a 2，…，a n }，则有： ))()()(()()(21n a P a P a P x P x ∧∧∧???? )()()(21n a P a P a P ?∨∨?∨?? )()(x P x ???
25．设T 是正则二叉树，有t 片树叶，证明T 的阶数n =2t -1．
证明：根据正则二叉树的概念和握手定理得
⑴ n =t +i ，i 为分支点数 ⑵ n =m +1 ，m 为T 的边数 ⑶ m =2i （正则二叉树的定义） 由⑵和⑶可解得 i =21-n 代入⑴，解出 n =2t -1. 26．试证明 ))()(())()((B x A x B x A x →??→? 成立。 B x A x B x A x ∨???→?)()())()(( B x A x ∨???))()(( ))()((B x A x ∨??? ))()((B x A x →??
吉林大学离散数学精品试卷
2006-2007学年第2学期 2005级《离散数学2》期末考试试题(A卷) 考试时间：2007年6月班级_______________________ 学号_____________________ 姓名_____________________ 请将答案写在答题纸上，写明题号，不必抄题，字迹工整、清晰； 请在答题纸和试题纸上都写上你的班级，学号和姓名，交卷时请将试题纸、答题纸和草纸一并交上来。 一.综合体(30分，每题3分) 1. 求( 1 3 5 ) (2 5 4 ) (3 4 ) 2. 只有两个生成元的循环群一定是有限循环群吗？并说明理由。 3. 有限循环群中是否一定存在周期与群的元数相等的元素？ 4. 下面哪个是域GF( 16)的真子域 (A)GF (6) ;(B)GF ⑷;(C)GF(8);(D)GF(16) 5. 有限布尔代数的元素个数必定是如下哪个形式？ (A)2n;(B)n 2 ;(C)2 n;(D)4n. 6. 下列代数系统(S, *)中，哪个是群？ (A) S={0,1,3,5},* 是模7的乘法；(B) S是有理数集合，*运算是普通乘法； (C) S是整数集合，*是普通乘法；(D) S={1,3,4,9},* 是模11的乘法。 7. 设A={0,1,2,3,4},运算为模5加法，请给出A的所有子群。 8. n元恒等置换是奇置换还是偶置换？对换呢？ 9?请给出一个有余，但不是分配格的例子。 10.设R是模12的整数环，R={0,1,2,…,11},下面哪一个是极大理想： (A) 6R; (B)2R; (C)4R; (D)8R 二.计算题(25分，每题5分) 1. 计算分圆多项式①24(X). 2. 设(Z,+)为整数加法群，(C*,??)为非零复数的乘法群，令 f: n -i n ,是Z到C*中的同态映射，请求出f的同态核。 3. 在R上求出x+2除2X5+4X3+3X2+1所得的商式和余式。 4. 设G是3次对称群，H是由I和(13)作成的子群，求H得所有右陪集。 5. 设A={0,1,2,3,4,5}, 运算为模6加法，请给出A中所有元素的周期。 三.(10分)证明或者反驳：f(x)=3x 5+5X2+1 四.(10分)设(G, *)是群，(A, *)和(B，*)是它的两个子群，C={a*b|a € A, b€ B}.证明：若*满足交换律，则(C, *)也是(G，*)的子群。 五.(10分)设Z是整数集合，X={(a,b)|a,b € Z},定义X上的二元运算①和。 如下：对任意(ab) ,(a 2,b2)€ X,有： (a1b"e (a2,b2)= (a+a?,b1+b2), (a1bJ O (a2,b2)= (ax a2,b 1X b)，其中，+，x分别是整数加法与乘法。 证明：(X，?，O)是环，如果此环有零因子请给出它们
离散数学考试试题(A卷及答案)
离散数学考试试题（A卷及答案） 一、（10分）证明?(A∨B)→?(P∨Q)，P，(B→A)∨?P A。 证明：(1)?(A∨B)→?(P∨Q) P (2)(P∨Q)→(A∨B) T(1)，E (3)P P (4)A∨B T(2)(3)，I (5)(B→A)∨?P P (6)B→A T(3)(5)，I (7)A∨?B T(6)，E (8)(A∨B)∧(A∨?B) T(4)(7)，I (9)A∧(B∨?B) T(8)，E (10)A T(9)，E 二、（10分）甲、乙、丙、丁4个人有且仅有2个人参加围棋优胜比赛。关于谁参加竞赛，下列4种判断都是正确的： (1)甲和乙只有一人参加； (2)丙参加，丁必参加； (3)乙或丁至多参加一人； (4)丁不参加，甲也不会参加。 请推出哪两个人参加了围棋比赛。 解符号化命题，设A：甲参加了比赛；B：乙参加了比赛；C：丙参加了比赛；D：丁参加了比赛。 依题意有， (1)甲和乙只有一人参加，符号化为A⊕B?(?A∧B)∨(A∧?B)； (2)丙参加，丁必参加，符号化为C→D； (3)乙或丁至多参加一人，符号化为?(B∧D)； (4)丁不参加，甲也不会参加，符号化为?D→?A。 所以原命题为：(A⊕B)∧(C→D)∧(?(B∧D))∧(?D→?A) ?((?A∧B)∨(A∧?B))∧(?C∨D)∧(?B∨?D)∧(D∨?A) ?((?A∧B∧?C)∨(A∧?B∧?C)∨(?A∧B∧D)∨(A∧?B∧D))∧((?B∧D)∨(?B∧?A)∨(?D∧?A)) ?(A∧?B∧?C∧D)∨(A∧?B∧D)∨(?A∧B∧?C∧?D)?T 但依据题意条件，有且仅有两人参加竞赛，故?A∧B∧?C∧?D为F。所以只有：(A∧?B∧?C∧D)∨(A∧?B∧D)?T，即甲、丁参加了围棋比赛。 三、（10分）指出下列推理中，在哪些步骤上有错误？为什么？给出正确的推理形式。 (1)?x(P(x)→Q(x)) P (2)P(y)→Q(y) T(1)，US (3)?xP(x) P (4)P(y) T(3)，ES (5)Q(y) T(2)(4)，I (6)?xQ(x) T(5)，EG 解 (4)中ES错，因为对存在量词限制的变元x引用ES规则，只能将x换成某个个体常元c，而不能将其改为自由变元。所以应将(4)中P(y)改为P(c)，c为个体常元。 正确的推理过程为： (1)?xP(x) P (2)P(c) T(1)，ES (3)?x(P(x)→Q(x)) P (4)P(c)→Q(c) T(3)，US (5)Q(c) T(2)(4)，I (6)?xQ(x) T(5)，EG 四、（10分）设A＝{a，b，c}，试给出A上的一个二元关系R，使其同时不满足自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。 解设R＝{
离散数学期末考试试卷(A卷)
离散数学期末考试试卷(A卷) 一、判断题：（每题2分，共10分） （1） （1） （2）对任意的命题公式, 若, 则 （0） （3）设是集合上的等价关系, 是由诱导的上的等价关系，则。（1） （4）任意一个命题公式都与某一个只含合取和析取两种联结词的命题公式等价。 （0） （5）设是上的关系，分别表示的对称和传递闭包，则 （0） 二、填空题：（每题2分，共10分） (１) 空集的幂集的幂集为（）。 (２) 写出的对偶式（）。 （３）设是我校本科生全体构成的集合，两位同学等价当且仅当他们在 同一个班，则等价类的个数为（），同学小王所在 的等价类为（）。 （４）设是上的关系，则满足下列性质的哪几条：自反的，对称的，传递的，反自反的，反对称的。 （） (5)写出命题公式的两种等价公式( ）。 三、用命题公式符号化下列命题（１）（２）（３），用谓词公式符号化下列命题（４）（５）（６）。（12分） （１）（１）仅当今晚有时间，我去看电影。 （２）（２）假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书。 （3）你能通你能通过考试，除非你不复习。 （４）（４）并非发光的都是金子。 （５）（５）有些男同志，既是教练员，又是国家选手。 （６）（６）有一个数比任何数都大。 四、设，给定上的两个关系和分别是
（１）（１）写出 和 的关系矩阵。（２）求 及 （1２分） 五、求 的主析取范式和主合取范式。（１０分） 六、设 是 到 的关系， 是 到 的关系，证明： （8分） 七、设 是一个等价关系，设 对某一个 ,有 ，证明： 也是一个等价关系。（10分） 八、（1０分）用命题推理理论来论证 下述推证是否有效？ 甲、乙、丙、丁四人参加比赛，如果甲获胜，则乙失败；如果丙获胜，则乙也获 胜，如果甲不获胜，则丁不失败。所以，如果丙获胜，则丁不失败。 九、（１０分） 用谓词推理理论来论证下述推证。 任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车，每一个人或喜欢乘汽车，或喜欢骑 自行车（可能这两种都喜欢）。有的人不爱骑自行车，因而有的人不爱步行 (论 域是人)。 十、(8分) 利用命题公式求解下列问题。 甲、乙、丙、丁四人参加考试后，有人问他们，谁的成绩最好， 甲说：“不是我，”乙说：“是丁，”丙说：“是乙，” 丁说：“不是我。” 四人的回答只有一人符合实际，问若只有一人成绩最 好，是谁？ 离散数学期末考试试卷答案(A 卷) 一、判断题：（每题2分，共10分） （1）}}{{}{x x x -∈ （ ∨） (2) 对任意的命题公式C B A ,,, 若 C B C A ∧?∧, 则B A ? ( ? ) （3）设R 是集合A 上的等价关系, L 是由 R A 诱导的A 上的等价关系，则L R =。 ( ∨ ) （4） 任意一个命题公式都与某一个只含合取和析取两种联结词的命题公式等 价。 （ ? ） （5）设R 是A 上的关系，)(),(R t R s 分别表示R 的对称和传递闭包，则 )()(R st R ts ? （ ? ） 二、填空题：（每题2分，共10分）
大学本科高等数学《离散数学》试题及答案
本科高等数学离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)
1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项，这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则，T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 3.谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 4.集合 1.N ，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A 中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A ，以集合A 的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A 有n 个元素，幂集P(A)有n 2个元素，|P(A)|=||2A =n 2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 5.关系 1.若集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，则笛卡尔A ×B 的基数为mn ，A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系； 2.若集合A 有n 个元素，则|A ×A|=2n ，A 上有22n 个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4.前域(domR)：所有元素x 组成的集合； 后域(ranR)：所有元素y 组成的集合； 5.自反闭包：r(R)=RU Ix ; 对称闭包：s(R)=RU 1-R ; 传递闭包：t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系：集合A 上的二元关系R 满足自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系； 7.偏序关系：集合A 上的关系R 满足自反性，反对称性和传递性，则称R 是A 上的一个偏序关系； 8.covA={
中央电大法学本科专业详细介绍
一、中央电大法学（本科）专业具备能力 适应社会主义建设需要,德、智、体全面发展,系统掌握法学知识,熟悉我国法律、法规,达到相当于全日制高等学校法学专业四年制本科毕业的水平,能在国家机关、企事业单位和社会团体,特别是能在司法机关、行政机关、仲裁机构和法律服务机构从事法律工作的应用型高等法律专门人才。 二、河南电大法学（本科）专业培养目标 适应社会主义法治建设需要,系统掌握法学知识,熟悉我国法律、行政法规,具有依法行政意识和能力,能在国家机关、企事业单位和社会团体,特别是能在行政执法机关和法律服务机构从事法律工作的应用型高等法律专门人才。 三、中央电大法学（本科）专业课程设置 （一）、课程介绍 课程共分为7部分，分别为公共基础课、专业基础课、专业课、专业拓展课、通识课、综合实践、补修课。 （二）、公共基础课详细介绍 1、统设必修课:国家开放大学学习指南、英语Ⅱ(1)、英语Ⅱ(2)、计算机应用基础(本)、民族理论与民族政策。 2、选修课:大学语文(1)、大学语文(2)、英语Ⅲ(1)、英语Ⅲ(2)、学位论文指南。 （三）、专业基础课详细介绍 1、统设必修课:中国法制史、国际公法、国际私法、国际经济法、商法、知识产权法。
2、选修课:中国法律思想史、外国法制史、涉外经济法总论。 （四）、专业课介绍 1、统设必修课:劳动法学、合同法、法律文书。 2、选修课:证据学、婚姻家庭法学、税法、国家赔偿法、国际贸易法、国际投资法、国际商法与实务、竞争法、公司法、财政金融法、现代产权法律制度专题等 （五）、专业拓展课 财务管理、期货交易实务、商务谈判实务、工商企业经营管理、现代管理综合专题、房地产评估等。其中工商企业经营管理与现代管理综合专题为相似课程。 （六）、通识课详细介绍 通识课设置及通识教育是中央电大人才培养的特色之一,是实施素质教育的具体措施,通识课模块课程不得免修免考;已取得电大毕业证书的学生,若再次注册学习电大相关专业,原修专业已注册过的通识课程,在新修专业中不得再次注册学习(在教务管理系统中此类课程将不能实现注册)和申请办理课程免修免考,此模块最低毕业学分通过修读本模块的其他通识课程获得. (七)综合实践课详细介绍 综合实践课由地方电大根据中央电大制定的实践环节教学大纲 组织实施。该环节不得免修。 （八）、补修课
太原理工大学离散数学试题
一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝__{3}__________________; ρ(A) - ρ(B)＝___________________{3},{1,3},{2,3},{123}______ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = _____2^(n^2)_____________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是__自反，对称，传递 ____________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2= {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。 16. 设谓词的定义域为{a, b},将表达式?xR(x)→?xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公
2018国家开放大学离散数学本形考任务答案
离散数学作业4 离散数学图论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业． 要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择： 1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅． 2. 在线提交word文档 3. 自备答题纸，将答题过程手工书写，并拍照上传． 一、填空题 1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是15 ． 2．设给定图G(如右由图所示)，则图G的点割集是 { f }，{ e,c} ． 3．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则 G的结点度数之和等于边数的两倍． 4．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且不含奇数度结 点． 5．设G=
8．结点数v与边数e满足e=v - 1 关系的无向连通图就是树． 9．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去条边后使之变成树． 10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i = 4 ． 二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．） 1．如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路． 答：错误。应叙述为：“如果图G是无向连通图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路。” 2．如下图所示的图G存在一条欧拉回路． 答：错误。因为图中存在奇数度结点，所以不存在欧拉回路。 3．如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．
离散数学试卷二十三试题与答案
试卷二十三试题与答案 一、单项选择题：（每小题1分，本大题共10分） 1．命题公式)(P Q P ∨→是（ ）。 A 、 矛盾式； B 、可满足式； C 、重言式； D 、等价式。 2．下列各式中哪个不成立（ ）。 A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?； B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?； C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∧??∧?； D 、Q x xP Q x P x ∧??∧?)())((。 3．谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中的 x 是（ ）。 A 、自由变元； B 、约束变元； C 、既是自由变元又是约束变元； D 、既不是自由变元又不是约束变元。 4．在0 Φ之间应填入（ ）符号。 A 、= ； B 、?； C 、∈； D 、?。 5．设< A ， > 是偏序集，A B ?，下面结论正确的是（ ）。 A 、 B 的极大元B b ∈且唯一； B 、B 的极大元A b ∈且不唯一； C 、B 的上界B b ∈且不唯一； D 、B 的上确界A b ∈且唯一。 6．在自然数集N 上，下列（ ）运算是可结合的。 （对任意N b a ∈,） A 、b a b a -=*； B 、),max(b a b a =*； C 、b a b a 5+=*； D 、b a b a -=*。 7．Q 为有理数集N ，Q 上定义运算*为a*b = a + b – ab ,则的幺元为（ ）。 A 、a ； B 、b ； C 、1； D 、0。 8．给定下列序列，（ ）可以构成无向简单图的结点度数序列。 A 、（1，1，2，2，3）； B 、（1，1，2，2，2）； C 、（0，1，3，3，3）； D 、（1，3，4，4，5）。 9．设G 是简单有向图，可达矩阵P(G)刻划下列 （ ）关系。 A 、点与边； B 、边与点； C 、点与点； D 、边与边。 10．一颗树有两个2度结点，1个3度结点和3个4度结点，则1度结点数为（ ）。 A 、5； B 、7； C 、9； D 、8。
离散数学期末考试试题及答案
离散数学期末考试试题及答案 一、（单项选择题） 本大题共15小题，每小题3分，共45分在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、在由3个元素组成的集合上，可以有种不同的关系。 [A] 3 [B] 8 [C]9 [D]27 2、设A1,2,3,5,8,B1,2,5,7,则AB 。 [A] 3,8 [B]3 [C]8 [D]3,8 3、若X是Y的子集，则一定有。 [A]X不属于Y [B]X∈Y [C]X真包含于Y [D]X∩Y=X 4、下列关系中是等价关系的是。 [A]不等关系 [B]空关系 [C]全关系 [D]偏序关系 5、对于一个从集合A到集合B的映射，下列表述中错误的是。 [A]对A的每个元素都要有象 [B] 对A的每个元素都只有一个象 [C]对B的每个元素都有原象 [D] 对B的元素可以有不止一个原象 6、设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为。 [A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q 7、设A={a,b,c},则A到A的双射共有。 [A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个 8、一个连通G具有以下何种条件时，能一笔画出：即从某结点出发，经过中每边仅一次回到该结点。
[A] G没有奇数度结点 [B] G有1个奇数度结点 [C] G有2个奇数度结点 [D] G没有或有2个奇数度结点 9、设〈G,*〉是群，且|G|>1，则下列命题不成立的’是。 [A] G中有幺元 [B] G中么元是唯一的 [C] G中任一元素有逆元 [D] G中除了幺元外无其他幂等元 10、令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为 [A] p→┐q [B] p∨┐q [C] p∧q [D] p∧┐q 11、设G=的结点集为V={v1,v2,v3},边集为E={,}.则G的割点集是。 [A]{v1} [B]{v2} [C]{v3} [D]{v2,v3} 12、下面4个推理定律中，不正确的为。 [A]A=>A∨B 附加律[B]A∨B∧┐A=>B 析取三段论 [C]A→B∧A=>B 假言推理[D]A→B∧┐B=>A 拒取式 13、在右边中过v1,v2的初级回路有多少条 [A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4 14、若R,,是环，且R中乘法适合消去律，则R是。 [A]无零因子环 [C]整环 [B]除环 [D]域 15、无向G中有16条边，且每个结点的度数均为2，则结点数是。 [A]8 [B]16 [C]4 [D]32 二、（判断题） 本大题共8小题，每小题3分，共24分正确的填T，错误的填F，填在答题卷相应题号处。 16、是空集。