线性代数答案赵树嫄主编
线性代数习题
习题一（A ）
1，（6）
2222
2
2222
2
2
12(1)4111(1)2111t t
t t
t t t t t
t t --+++==+--++ （7）
1log 0log 1
b a a
b =
2，（3）－7
（4）0
4，234
10001k k k k k -=-=，0k =或者1k =．
5，23140240,0210x
x x x x x x
=-≠≠≠且．
8,（1）4 （2）7 （3）13
（4） N( n(n-1)…21 )＝（n-1）+(n-2)+…+2+1=(1)
2
n n - 10, 列号为3k42l,故k 、l 可以选1或5；若k=1,l=5,则N(31425)=3,为负号；故k=1,l=5.
12，（1）不等于零的项为132234411a a a a =
（2）(234...1)11223341,1...(1)!(1)N n n n n n a a a a a n n --=-=-！ 13，（3）
2112342153521534215100061230
61230002809229092280921000280921000
c c r r --=
（4）将各列加到第一列，
2()
2()2()x y y
x y D x y x y
x x y x
y
++=+++1
2()1
1y x y x y x
y x y
x
+=+---
12()0
0y x y
x y x y x y
x
+=+---332()x y =-+ 17，（1）从第二行开始每行加上第一行，得到
1
1
11
1111
11110222 (811)
1
10022
1111
0002
-===-----. （2）433221,,r r r r r r ---…
431111
111
112340123
(113)
6
10013
6
14102001410
r r -== （3）各列之和相等，各行加到第一行…
18，（3）
21
34312441
224011201
1201120
42413541350
3550
164
232
2
312331230
483001052205120510
2110211r r r r r r r r r r --------+-----=+---------+
4334433424
241
120112*********
1640
1640
164
1010
10
002100210002720
21100
1370
0114
r r r r r r r r r r r r ------+---------------
3411200164
10
01140
0027
r r ----?--270=-
20，第一行加到各行得到上三角形行列式，
1230
262!0
032000n
n n n n
=L L L L L L L L L
21，各行之和相等，将各列加到第一列并且提出公因式(1)n x -
11
0(1)1010x x x x x x x
n x x x x x x
x -L L L
L L L L L L L
从第二行开始各行减去第一行得到 11110
00
(1)(1)(1)(1)(1)00000
00n n n n x x x x x n x n x x n x x x
-----=--=----L L L
L L L L L L L
22，最后一列分别乘以121,,...n a a a ----再分别加到第1，2，…n-1列得到上三角形行列式
11223122313112101001()()...()00010
1
n n n n n n
n n x a a a a a a a x a a a a a x a a a x a x a x a x a ------------=----L L L L L L L L L L L
23，按第一列展开
122110311000111111110
000000000000000000000
000
0n n n n n n
a a a a D a a a a a a a +--=-+L
L L L L L L
L L L L L L L L L L L L L L L
L
L
11
222
431
1111111111000
000000000000...(1)00000000
00
n n
n a a a a a a a a +--++-L L L
L L L L L L L L L L L L L L L L L L L
L
01223413412311201
1
..................()n
n n n n n i i
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -==----=-∑
24，将第二列加第一列，然后第三列加第二列，….第n 列加第n-1列，最后按第一行展开。
D =
12200 (000)
...00....................................000 (1)
2
1
...
1
1n n a a a a a ---1200...0000...00....................................000 (01)
2
3...
1
n
a a a n
n --=
-+
12(1)(1)...n n n a a a =-+.
25，（1）
21
43
2
2
2222
1123112312220100(1)(4)023
1
5
23
1
5
2
3
190
04r r r r x x x x x x ----=--=--垐垐?噲垐?
1
2
x x =±=± （2）各行之和相等… （3）与22题类似…
（4）当0,1,2,3,...2x n =-时，代入行列式都会使行列式有两行相同，所以它们都是方程的根。
28，414243441
4
1
4
1
4
2112
(6)212(6)030180600
111111
1111A A A A --+++=
=--=--=-
29,111213141
111
d c b b
A A A A b b b
b
c
d
a d
+++=
其中1，3两行对应成比例，所以为零. 32，从第二行开始每一行乘以（－1）加到上一行然后按第一列展开
12340111111231011111122001111
130001112000011
1
1
1
n n x x n x D x x n x x x x x
x
x x
x
x
----==--L L L L L L L L
L L L L L L L L L L L L L L L
L
1
111111*********(1)000110
00
11n x
x x +--=--L L L L L L L L L L L
1
1121,2 (1)
0000001000000
10000
(1)(1)0010000000000
11
i i r r n n n i n x
x x x x x x x x x
+-++-=---????→-=--←????-L
L L L L L L 33，按第一列展开
1000000000
0000000000000000000
n a b a b a b a b a a D a a b a b b
a
b
a
-????→=
←????L L L L L L L L L L L L L L L L L L 按第一列展开阶
1
0000000000000000
n b a
b a b b b a
b
+L L L L L L L L L ＋（－1）1n n n
a b +=+（－1）
34，原方程化为
21211
123122
(2)(4)00212002x x x x x x x x ==--….
35,
12
34
11
1
1
0111111111
111001
1
1
11
1
11r r r r x x
x
x x y y y
y
y
--+--???→←???+--
2211001100
111100
0011
0011
1
1
110
0x x xy
xy
x y y y
--===--＝0 解得0x =或者0y =
36，
11111213
(21)(11)(12)(31)(32)(31)4814191
8
127
-=++-+--=--（范德蒙行列式） 37，解
12
2322222
22
22
11()()11a b x b x a a x
b a
x a x a c c x a b x a
a b b a x b a b c c
x a b x a a b b x a a b b +++--++---=----------- 2121111
()()00()()()
x a
r r a x b a x a b a x b a x a b x a a b
x a a b b ++--++=---++-------- ()()()()x a b a x b x b a =++---
40，（3）D=63，D 1=63，D 2=126， D 3=189
123
1
23x x x =??
=??=? （6）D=20，D 1=60，D 2=-80， D 3=-－20，D 4=20
12
343411
x x x x =??=-??
=-??=? 42，∵221069
12412458201822---=---2323
3330182205
--=-=-=--
∴原方程仅有零解。
43，令1
1
22
113102112
11
k
k k k --=
---(2)(1)6k k =---2340k k =--=， 得 1k =-或4k =；故当1k =-或4k =时原齐次方程组有非零解。 44，原齐次方程组的系数行列式
1120011310(2)(1)0211
2
1
1
k k k k k k -+-=
-=+-≠--
即当1k ≠且2k ≠-时原齐次方程组仅有零解。
习题二（A）
2，（1）
1315 38282
37913 A B
??
??-=??
??
??
－
（2）
141387 232525
2165 A B
??
??
=??
??
??＋－－
（3）
3111
4040
1335 x B A
-
??
??=-=--
??
??
----
??
（4）由(2A—Y)+2(B—Y)=0得3Y=2（A+B）
∴
2
()
3
Y A B
=+
5533
2
0202
3
1133
??
??
=??
??
??
1010
22
33
44
00
33
22
22
33
??
??
??
??
=
??
??
??
??
??
3，因为
2324
20
274
x u v
A B C
x y y v
+-+
??
+-==
??
-++-+
??
得方程组230
27
240
40
x u
x y
v
y v
+-=
?
?-++
?
?
+=
?
?-+=
?
解得x＝－5，y＝－6，u＝4，v＝－2
5，（2）
1041 431??????
－
－－
（3）
123
246
369
??
??
??
??
??
14
（7）
10
5117629
15
161532
02
??
????
??
????
??
????
??
??
－
－－
＝
11，（1）设
a c
X
b d
??
??
??
＝，则
2546
1321
a c
b d
-
??????
=
??????
??????
2525463321a b c d a b c d ++-????
=????++????，得到方程组 25432
a b a b +=??
+=?解得2
0a b =??=?， 与25631c d c d +=??+=?－解得23
8c d =??=?－.
2230
8X ??
????－＝. （2）54245974X ??
????
????
－－＝－－2－－ （3）设x X y z ??????????＝，111221131116x y z -??????
??????-=??????????????????， 2236x y z x y z x y z +-=??-++=??++=?
，解得132x y z =??=??=?于是132X ??????
????＝. 13．设所有可交换的矩阵为a b X c d ??=????则11110101a b a b c d c d ????????
=????????????????
， a c b d a a b c d c c d +++????=????+????解得0
a
b
c d a
???
?=??=?从而0a b X a ??=????. 16，（3）因为111111000000??????
=??????
??????，所以11110000n
????=????????. （4）因为2
1111111201010101????????
==????????????????用数学归纳法可以推得 1110101n
n ????
=????
????
. （5）因为2
111111221121111112211??????????
===????????????????????
故可以推出
111111111...211111111n
n -????????==????????????????
. 20，334()mA m A m m m -=-=-=- 21，122(2)2T T n T n n A A mA m A m +===.
28，因为()()T T T T T T A A A A A A ==，所以T AA 为对称矩阵.
因为()()T T T T T T AA A A AA ==，所以T AA 为对称矩阵.
31, (1)，原矩阵为1
211
12241
23
431
3244421120
32A A A B A B A B B B A A A B A B A B B -??
+???????
?==-?
???????+????????-??
，其中 1112021111A B --??????
==????
??-??????
[]1224121010111101112A B A B -????????????
+=+-=+=????????????----????????????； [][]3100331A B ??
==????
；
[][][][][][]3244103210220A B A B ??
+=+-=+-=-????；
（3），记原矩阵为00aI
I cI I bI dI ????
?
???????
，则有 00aI I cI I bI dI ?????????
??? 2
2
22aI acI I
cI bdI ??=??+?? ()aI
acI
I
c b
d I ??=??+??
001000
1
a ac
a ac c bd c bd ??
????=??
+??+??
．
33，312313234242A A A A A A A A --=--- 12
31
2
34288A A A A A A =-=-=-
34，（2）因为0a b
ad bc c d =-≠，所以1
1a b d b c d c a ad bc --????
=????--????
. （4）因为1A =-，故可逆.*143153164A -????=-????--??，1143153164A ---??
??=--??
??-??
. （6）因为12...0n A a a a =≠,故可逆. 1211...(12...)ii i i n A a a a a a i n -+==,
23*
121 (00)
n
n a a a A a a a -??
?= ?
?
??O
,111100
n a A a -??
??
?
?
=?????????
?
O . 40, (1)1
254635462231321122108X -----??????????
===??????????
-??????????
. (21
1
10
113111113542224322104321114521251111253197412
2X -????---????????
??????
????==--=--????????????????????---????
????
--????) (3)1
1
10331112211
11211333236
1116621
10
22X -?
?
-
??-?????????
?
????????
?
?=-==??????????????????????????????-???
?
. 42, 由2AX I A X +=+得到2AX X A I -=-,()()()A I X A I A I -=-+,
1()()()()I A I A I X A I A I ----=--()A I +
201140022X A I -??
??=+=??
????
. 44, 两边同乘以121()()()(...)k k I A I A I A I A A A I A I ----=-++++=-=. 45, 由2240A A I --=得到()(3)A I A I I +-=,于是A I +可逆并且
1()3A I A I -+=-. 51, 因为12A -=, 1*1113112216(3)22()33327
A A A A A A A ------=
-=-=-=-. 52, 111311
2()2()(2)(8)3122
T T A B B A B A -----=-=-=-??=-.
53, (3),初等行变换得到
2
13211231233135
13
112112112101100321055011011010120012003001001r r r r r r r r r r r r --+-+----??????????
?????????????→-??→-???→-???→??????????
??????????----??????????
(6),131310101300000121050100????????
????????--→→→????????
????????-????????
. 54, (1)
2312211231
2223100110010101021110010043120011011121001011011043120r r r r r r r r r r ??-++-??????
??????-???→-???→????????????--??????
2342133
4101021100143011011010153001164001164r r r r r r r +-+---????
???????→???→--????????----????, 所以 1
223143110153121164---????
????-=--????
????--????
. (4), 135710001
0020131100123010001230100001200100
01200100
001000100010001--????
?????
??
?→????
???
?
????
100013112001000121001000120
0010001--????-??→??
-??
??
,
1
1357131120012301210012001200010001----????
????-????=????-????
????
. 55, (1),41544154200410026158200401540154????????
→→→????????--????????, 10254X A B -??==??
-??
. (2), 111111111013025202520016101301220122--??????
??????-→-→-??????
??????--?????? 10091009001601014010140016????
????→-→-????
????--????, 19146X A B -??
??==-????-??
. 56,
101301101301100522110110011211010432012014001223001223--??????
??????-→----→--????????????--??????
, 1522(2)432223B A I A ---??
??=-=--??
??-??
. 57, (1) 1234123412450411110120000????
????-→-????
????????
,秩为2. (3)
11
2
1
011
2
1
011
2
1
011
2
1
0224200000000000030013061103
04100
04000
04003
001030010300100000----????????
????????-?
??
??
??
?→→→????????
----?
??
??
??
?
???????? 秩为3.
(4)秩为3.
58, 初等行变换得到11
1111121010231001λλ????????→????
????+-????
,因为秩为2必有 10λ-=, 1λ=.
59，1
11111110112001100123100001a a a ????????????→→-??????
??????+-??????
当1,()2;a r A ==当1,()3a r A ≠=．
60, 112111
2112101423110464A a a b b --????????=-→-????
????---????
, 因为()2r A =,所以第二第三两行成比例从而得到
464
142b a --==
-解得1a =-, 2b =-
习题三（A ）
1，
用消元法解下列线性方程组 （1）123123
123123233350433136
x x x x x x x x x x x x -+=??+-=??-+=??+-=-?
解
213
3131361313613136315031500834
180153(,)4113411301353270135327131362133072915072915A b -------????????
????????----?
???????=→→→????????----????????-----????????
1313
61
31361
31360
153015301530012120
0110
0110
0660*******------??????
??????------?
??
??
?→→→??????
--???
??
?
--??????
，回代， 131361
2
31
00101530153010200110
0110
0110
0000
0000000--????????????----???
??
?→→??????
???
??
?
??????
，方程组有唯一解：123
121x x x =??
=??=? （2）123412341
2342121255
x x x x x x x x x x x x -++=??
-+-=-??-+-=?
解：1211112111(,)12111000221215500064A b --????????=---→--????????---????1211100022000010-??
??→--??????
，
系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3；方程组无解．
（3）123412341234101222x x x x x x x x x x x x ?
?-+-=?
--+=???--+=-?
解： （A ，ｂ）＝
11111111111111111111
0002210011213000001122003322????--??
????----?
???????--→--→-???????????
?-----??????
???? 11100210011200000?
?
-???
???→-?
????????
?
，得到同解方程组12123434
11221122
x x x x x x x x ??
-==+????→????-==+???? 设21x c =，42x c =，则得到一般解为
1121
32
42
1212x c x c x c x c ?
=+??
=??
?=+??=? （6）12451234
12345123453020426340242470
x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--=??-+-=??-++-=??+-+-=?
解：A ＝
110311103111
311121002221022214263406615000093242470221050
0000------??????
??????------??????→→??????
----??????
----??????
711
311
1
061501110110261100010001330
00000
0000?
?---????
??
????---?
?
--
????→→???
?-???
?
-
???
?
????????，得到同解的方程组
13523545706506103x x x x x x x x ?+-=???--=???-=??， 1
3523
54576
5613x x x x x x x x ?
=-+??
?
=+???=??
令31x c =，52x c =， 得到1
122123142
5276
5613x c c x c c x c x c x c ?
=-+??
?=+??
=???=?
?=??
2， 确定a,b 的值使下列线性方程组有解，并求其解
（2）12312321231ax x x x ax x a x x ax a
?++=?
++=??++=?
解： 方程的系数行列式D=211
11(1)(2)11a a a a a =-+
当2a ≠-且a ≠１时，0D ≠,方程有唯一解,
212
1111(1)(1)1D a
a a a a a
==--+，222
11
1
1(1)1a
D a
a a a
==-， 2232
111(1)(1)11a D a a a a a ==-+，于是得1
223121212a x a x a a a x a +?=-?+?
?
=?+??=
?+?
＋2+
当1a =时,方程组为1231x x x ++=，1231x x x ＝－－＋，方程组有无穷多解，
11221
3
2+1
x c c x c x c
=--??
=??=?；
当2a =时，方程组为12312312
3212224
x x x x x x x x x -++=??
-+=-??+-=?，其增广矩阵为
（A ， b ）＝211121111212121211240003--????
????--→--????????-????
，r(A)=2,r(A ，b)=3,方程组无 解．
补充，123231
2321(1)0(1)32ax bx x b x x ax bx b x b
++=??
-+=??++-=-?
解：2121(,)0110011013200122a
b a b A b b b a b b b b b ????????=-→-????
????-----????
①0,1a b ≠≠±当时有唯一解，此时，增广矩阵为
5302201122001b a b b b b b b -????????→-??????????１＋ｂ－０＋－＋１＋500201122001b a b b b -????
??
??→????
??????１＋ｂ－０＋－＋１＋，解为12
3
521221b x a x b b x b -?=???=???=??
(１＋ｂ)－＋－＋＋； ②当a ≠0,且b=1时,有无穷多解，1
230c x a x c x -?
=??
=??=??
１
③当a =0,且b=1有无穷多解，123
10x c x x =??
=??=?
④a =0,且b=-1有无穷多解，123130
x c x x =???
=-??
=??
3, (1) 12343254(23,18,17)αααα+-+= (2) 123452(12,12,11)αααα+--=
4，（1）(1,5,2,0)(3,5,7,9)(4,0,5,9)ξβα=--=---=-，
（2）13511275)(3,5,7,9)(1,5,2,0)(7,5,,)22222ηαβ-=--=-=(3
6，（1）（a ）设112233k k k αααβ++=，
得123(1,0,1)(1,1,1)(0,1,1)(3,5,6)k k k ++--=-
化为方程组123110301151116k k k ??????
??????-=??????
??????--??????
， 1
12311030113110115111514111610169k k k ---????????????
????????????=-=-=????????????????????????----????????????
∴ 12311149βααα=-++
（b ）对矩阵123T
T T
T αααβ???
?进行初等行变换：
1
1031
00110115010141
1
1
60
1
9-????
????-→???
?????--????
可得 12311149βααα=-++
（2） 123425βεεεε=-++． 9，由题设得到
112233*********αβαβαβ-??????
??????-=??????
??????-??????
，∴1
112233*********αβαβαβ--????????????=-????????????-??????＝1231
1
022110
22110
22βββ????
??????
??????????????????
即1121122αββ=
+，2231122αββ=+，31311
22
αββ=+． 10，（1）矩阵为1021231235025025012102025000-??--????????????-→-→-?????
?????--??????
??
，可知
312522
ααα=-- ；线性相关．
（2）矩阵为1321
321
321
12001201332700200
011
4
10
1
30
0????????????---?
????
?→→??????-??????--??????
，线性无关． 11，由对应向量构成的矩阵的行列式等于 11220nn a a a ≠L ，线性无关．
12，由对应向量构成的矩阵112233*********βαβαβα-????????????=????????????-??????
， ∵ 2
11
11
3000
--=，∴1β,2β3β 线性相关．
13, 证明:令11212312312()()...(...)0s s k k k k ααααααααα++++++++++=, 整理得到1122(...)(...)...0s s s s k k k k k ααα+++++++++=.
因为12,,...,s ααα线性无关, 所以有
12...0...0. 0
s s
s k k k k k +++=??+++=??
??=?, 解得1200.........0s k k k =??=???
?=?, 从而向量组11212,,...,...s αααααα++++线性无关.
14，令2
1
2060111
k
k k k =--=-２，k=3,-2
当≠≠k 3且k -2时，线性无关；当k=3或-2时，线性相关．
16，（1）对矩阵1234T
T T T A αααα??=?
?施以初等行变换，得到
1002100
2010101010013001311100
000????
????--????→????
????
--????， ∴123,,ααα是极大线性无关组，412αα=－233αα+