3.4 轴对称场的有限元分析

3.4 轴对称场的有限元分析

3.4.1轴对称场的变分问题 1. 典型边值问题

若以z 轴为对称轴线，则轴对称场过z 轴的任意半平面中场的分布形态都是一样的，这就是说，如果建立圆柱坐标，场的分布只相关于ρ和z 坐标，而与角度φ坐标无关，

即()()z u r u ,ρ=

，于是三维场就可以转化为轴对称场来计算。

(1) 标量场的边值问题： 与二维场中的表述情况一样：

???

?

?

?

???=??=Ω

∈-=?Γ

Γ22

21

f

n u u u f u o β

(2) 用矢量磁位A

描述的恒定磁场边值问题：

A

应满足的旋度旋度方程

J A

μ=????

展开上式

z z e A e A A A e A A A 22222222121?+???? ?

???+-?+???? ????--?φρφφραρρφρρφρρ ()

z z e J e J e J ++-=φφρρμ

在轴对称场中，只可能有 ()φφφφρe z J e J J

,==，则

()φ

φφφρe z A e A A

,==

代入控制方程

φφφμρ

J A A -=-

?22

1

再考虑磁感应强度

∵ ()()z z z z e B e B e A e z A A z e e e A B +=??+??-=??????

=

??=ρρφρφφ

φρ

ρρρρρρφρρρ110

① 设z A )(

??为切向分量，ρe 方向即为其法向分量方向，有

()21f H B n A t

t

=-=-=??γ

ρρα 是第二类边界条件

② 在二维平面场中等A 线即B 线，但轴对称场中B

线的微分方程：

()()00

=+?+?=?dz e d e e B e B l d B z z z

ρρρρ ()0d d =+-φφρρe B e z B z

()()011=??+??ρρ

ρρρρφφd A dz z A ?

()()()0d d d ==??+

??φφφρρρ

ρρA A z z

A

c A =φρ 线B

?

是第一类边界条件。

∴ 以A

表示的轴对称恒定磁场边值问题为：

2. 等价变分问题

(1) 以标量位描述的场(包含静电场、恒定电场和无电流区的恒定磁场)

???ΩΓΩΓ-Ω-Ω?=

2

22

)(21)(ud f fud d u u F ββ

其中

z z

u

u u e e ??+??=

?ρρ z d d d d αρρ=Ω

l s d d d d αρ==Γ

泛函

(){}{}

??

?

???--??

?

????

?

?????????????

????+?

??

? ????=π

ππ

α

ρβαρραρρρ

β22

2222

2

d d d d d d d d 21

o

l o

s

o s l u f z fu z z u u u F 中出现π2因子，于是等价变分问题为：

()??

?????==-??????????-????

??????? ????+??? ????=??o l s l u u dl u f dz d fu z u r u u F 1

2222min 2212ρβπρρβπ 即

(2) 以A 描述的恒定磁场：

二维场中有z z e J J

=，z z e A A =，相应变分问题

???????==??? ??---???

????????? ????+??? ????=???o

l s l S A A dl A f A f JAdxdy dxdy y A x A A F 1212222min 21121)(μμ 因y A B x ??=，x

A B y ??-=，上述变分问题中的泛函可改写为：

()?????

? ??---=S l S l A f A f y x JA y x B A F 2d 211d d d d 22122μμ

式中：第一项表示以S 为底面积、轴向单位长为高的体积内贮存的磁场能量，第三项反映第三类边界条件对磁场的影响。按类比，并考虑π2因子，轴对称场中的等价变分问题

3.4.2 轴对称场中标量位的有限元方程

对于轴对称场域，实际的计算区域在子午面上，对按三角形单元剖分，积分在oz ρ坐标面上进行，π2因子相乘可形成以三角单元为半截面的旋转体积，所以实际积分只需以ρ代替x ，以z 代替y 坐标即可。

1. 轴对称场中三角形三节点单元的形状函数：

其中j m m j i z z a ρρ-=，m j i z z b -=，j m i c ρρ-=，再按逆时钟轮换下标的方式可得其余的系数，?为三角单元的面积，其特性仍有：

()()

()

??

?≠===j i j i z N ij j j i 0

1

δρ, 单元插值函数

e

T e u N u ][][~= e e e m j

i

m j i e T e u B u c c c

b b b u N u ][][][21][]][[]~[=??

?

????=?=? 式中：][][m j i T

e N N N N =，[]??

??

??????

=?z T

ρ

。 2. 泛函中第一项单元分析

()[][][][][][][][]{}

[]e

S e T

e T e e e T

e T e S S e u z B B u z u B B u z u

u F e

e

e

???

=?=?=d d 22

1d d 221d d 2

221ρρβπρρβπρρβ

π~

单元系数矩阵：

[][][]?=e

S

e T

e e z B B k d d 2ρρβπ 式中e B ][的元素已不是z ,ρ的坐标函数，利用积分公式：

即以单元重心点的c ρ近似代替ρ

其中：

()()()()m j i q p c c b b c c b b k q p q p C q p q p m j i e pq

,,=+?

?=+++?=、426β

πρρρρβπ

3. 泛函第二项单元分析

()()[][][]{}

[]e S

T e S e T e e e u z N f z u N f u F u F e

e

??===d d 2d d 222ρρπρρπ~ 对应的e p ][

[][]?=e

S e

e z N

f p d d 2ρρπ

设单元中e f f =，取重心点处的c ρ代替ρ，得：

4. 泛函中第三项单元分析

()?=2

22l ez dl u f u F ρβπ

在2l 边上对u

进行线性插值，令

o

l l

t = m

j tu u t u +-=)1(~ 对ρ也进行线性插值

()m j t t ρρρ+-=1

令)(2l jm 上e f f 22=，则

()()[]()[]()()[]

()[

]{

}

??+-+-+-=+-+-=1

22

21

23d 1112d 112o

m m j j m j

o e

o

o m j m j e e t

u t t t u t t t l f t

l t t tu u t f u F ρρρρπβρρπβ~

()1

3

3

2

3

2

3

233232312???

?????????????+???? ??-+?????????? ??-+--=m m j j m j e o u t t t u t t t f l ρρρρπβ

[][][][]e

T e

e m j m j e o p u u

f l '=++=ρρρρβπ

2203

2

式中：

5. 综合集成

先将单元分析的矩阵全域化：

e e k k ][][→、e e p p ][][→、e e p p ][]['='

∴ )(][][][][]][[][2

1

][][][][])[][(][21][][][][][][][2

1)]~()~()~([)~()()(3

21i T T e

T e T e T e

T e T e

T e e e e e u F p u p u u k u p u p u u k u p u p u u k u u F u F u F u F u F u F ='--='∑-∑-∑='∑-∑-∑=++∑=∑=∑=T 由多元函数极值理论：

),2,1(0)

(o i

i N i u u F ==??

得有限元方程

][][]][[p p u k '+=

应当指出：由场的轴对称性，计算域只是过z 轴的半平面内的一部份，若对称轴z 也

是场域的边界，其上应是第二类齐次边界：0=??ρ

u

。 可将标位轴对称场与二维平面场的有限元方程相比较，其系数矩阵元素，已知列向量元素在计算方向的不同点。 3.4.3 矢量位轴对称场的有限元方程 1. 剖分与插值

将场域剖分为0Z 个单元，0N 个节点。任取一单元，取A 的插值函数：

e

T e l l A N A N A ][][~=∑= 式中e N ][仍为三角形单元三节点内插所得基函数序列。 2. 分析泛函的第一项

?

=se e z B F d d 2122

1ρρμ

π

∵

()[]e T e

A z N z A z A

B ????????-=??-=??-=~

ρρρ1

()[]e T e

c c c z A N A A A A A A B ???

?????+=??+=??+=??=ρρρρρρρρρ~

~ 1

∴ [][]???

???????????? ??????????++???? ??????????=e S e T e c c e T e e z A N A A z N F d d 212221ρρρρμπ 又考虑：?=

?C Se z ρρρ d d ，经过推导整得

e e T

e e A k A A F ][][][2

1)~(1=

式中：

3. 分析泛函的第二项

()()

?==

so

e e z ρA J A F A F d d 222ρπ~

~

设e J J

=在单元中为常数，A ~用重心点的c A 代替，ρ用重心点的c

ρ代替： ∴

()

()m j i c e C C e Se

C e e A A A J A J dz A J A F ++?=?

==?ρπρπρρπ23

1

2d 22~

[][][]e

T

e c e c e c

e m j i p A J J J A A A =??

???????=ρπρπρπ323

2

32

∴

4. 分析泛函中的第三项

()???

?

??-=2d 21122213e l e l A f A f A F ρμπ 在jm 边上A 和ρ作线性插值： m j tA A t A A +-==)1(~

()m

j t t ρρρρ+-==1~ 代入)(3A F e 中：

()

()[]()[]()[]()()()()()()()()[]}

()[][]e T

e m j m m j m j j m j o m m j m m j j j m m m

m j m j j m j m j j j o o m j m j m j e p A A A A A f l t

A t A t t tA t A t f A t A A t t A t t A t t A A t t A t f l t l t t tA A t f tA A t f A F '-??

???????? ??++++??? ??+=-------+-+-+???-+-+-=+-??????+--+-=

??2212222

3222

102

222311

022

133********d 11112111212

2d 111212ρρρρρρμπρρρρρρρρρρμπρρμπ

][~

式中的e p ]['目标量位轴对称场单元分析中的e p ]['。

∴ ()

[]()()[][][]e T

e e m j e o m j e o m j e o m j e o T e e p A A

f l f l f l f l A A F '-?

??

???

?

????

??????

????? ??+++?

?? ??+=ρρμπρρμπρρμπρρμπ326063************~ [][][][][][][][][][]e T e T e

T e e e T

e p A A k A p A A k A '-'='-'=

2

121 式中：

5. 总体集成

),,2,1()

()(o l

l e l l N l A A F A A F =??∑=??

[][][][][][][]

[]()[][][]()

='∑+∑-'∑+∑='∑-'∑+∑-∑=????????e

e e e

e e e e e e l p p A k k p A k p A k A F

∴

][]][[p A k =