特殊平行四边形：动点问题
题型一：
特殊四边形：动点问题
1.已知直角梯形 ABCD 中，AD// BC, AB 丄BC, AD=2, BC=DC=5,点P 在BC 上移动，则当
PA+PD 取最小值时，△ APD 中边AP 上的高为( )
2?如图4,在梯形 ABCD 中，AD / BC, AD = 6, BC = 16, E 是BC 的中点.点P 以每秒1个单位
长度的速度从点 A 出发，沿AD 向点D 运动；点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点 C 出发，沿CB 向点B 运动?点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动?当运动时间t =____________________ 秒时, 以点P, Q, E , D 为顶点的四边形是平行四边形
3.如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC,E 是 BC 的中点，AD=5, BC=12 CD=< 2，/ C=45° , 点P 是BC 边上一动点，设 PB 长为x.
(1) _________________ 当x 的值为
时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为直角梯形
? ⑵当x 的值为 _________ 时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为平行四边形 .
(3)点P 在BC 边上运动的过程中，以点 P 、A 、D 、E 为顶点的四边形能否构成菱形试说明理
由?
4?在一个等腰梯形 ABCD 中，AD(1).t 为何值时, ⑵?四边形ABQP 能为等腰梯形吗如果能，求出 6?梯形 ABCD 中，AD / BC ,Z B=90°, AD=24cm , AB=8cm , BC=26cm ,动点 P 从点 A 开始, 沿AD 边，以1厘米/秒的速度向点D 运动；动点Q 从点C 开始，沿CB 边，以3厘米/秒的
速度向B 点运动。已知P 、Q 两点分别从A 、C 同时出发，，当其中一点到达端点时，另 点也随之停止A 、 i717 4 — B 、一」17
17
C 、1； 17 四边形 ABQP 为平行四边形
t 的值，如果不能，请说明理
运动。假设运动时间为t秒，问：
7.( 1)t为何值时，四边形PQCD是平行四边形
8.(2)在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗为什么
9.(3)t为何值时，四边形PQCD是直角梯形
10.(4)t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形
(5) t为何值APQ是等腰三角形
7.如图，在直角梯形ABCD中，/ B=90° AD II BC,且AD=4cm, AB=8cm, DC=10cm。若动点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿线段AD、DC向C点运动；动点Q从C点以每秒5cm的速度沿CB向B 点运动。当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动。设P、Q同时出发，并运动了t秒。
(1 )直角梯形ABCD的面积为___________ cm的平方.
(2) ____________ 当t= 秒时，四边形PQCD为平行四边形。
(3) ____________ 当t= 秒时，PQ=DC
(4)是否存在t，使得P点在线段DC上，且PQ丄DC (如图2所示)若存在，列出方程求出此时的t;若不存在，请说明理由。
&如图，在直角梯形ABCD 中，/ B=90°, AB || CD,且AB=4cm, BC=8cm, DC=10cm。若动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿线段AB、BC向C点运动；动点Q从C点以每秒1cm的速度沿CB向B 点运动。当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动。设P、Q同时出发，并运动了t秒。
(1 )直角梯形ABCD的面积为___________ cm的平方.
(2) ____________ 当t= 秒时，四边形PBCQ为平行四边形。
(3) ____________ 当t= 秒时，PQ=BC.
10.如图，在等腰梯形ABCD中，AB// CD其中AB=12 cm,CD=6cm梯形的高为4,点P从开始沿AB边向点B以每秒3cm的速度移动，点Q从开始沿CD边向点D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。设运动时间为t秒。
（1 ）求证：当t为何值时，四边形APQD是平行四边形；
（2）PQ是否可能平分对角线BD若能，求出当t为何值时PQ平分BD;若不能，请说明理由;
（3）若厶DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，求t的值。
Z
Q
\
7
/
/
P\
\
A
11.如图，在直角梯形ABCD中，AB（1）求CD的长。
⑵当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；
⑶在点P,点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2若存在,
请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由。
13.已知矩形ABCD 中,AB 4cm , BC 8cm , AC 的垂直平分线 EF 分别交AD 、BC
于点 E 、F ,垂足为0 .
(1)如图10-1,连接AF 、CE ?求证四边形AFCE 为菱形拼求AF 的长；
⑵如图10-2,动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿AFB 和 CDE 各边匀速运动一周? 即点P 自A T F T B T A 停止，点Q 自C T D T E C 停止.在运动过程中，
① 已知点P 的速度为每秒5cm,点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当 A 、C 、P 、Q 四
点为顶点的四边形是平行四边形时 ，求t 的值■
② 若点P 、Q 的运动路程分别为 a 、b (单位:cm,ab 0 ),已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点
的四边形是平行四边形，求a 与b 满足的数量关系式
14. 已知：如图，在梯形 ABCD 中，AB// DC, / B=90° BC=8cm, CD=24cm , AB=26Cm,点
P 从C 出发，以1cm/s 的速度向D 运动，点Q 从A 出发，以3cm/s 的速度向B 运 动，其 中一动点达到端点时，另一动点随之停止运动.从运动开始.
(1) 经过多少时间，四边形 AQPD 是平行四边形
(2) 经过多少时间，四边形 AQPD 成为等腰梯形
如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC, / B=90°, AD=16cm , AB=12cm , BC=21cm ,动点 P 从点
B 出发，沿射线B
C 的方向以每秒2cm 的速度运动，动点 Q 从点A 出发，在线段 A
D 上以每 秒1cm 的速度向点D 运动，点P , Q 分别从点B , A 同时出发，当点 Q 运动到点D 时，点P 随之停止运动，设运动的时间为 t (秒).
①当t 为何值时，四边形 PQDC 是平行四边形；
② 当t 为何值时，以C, D , Q , P 为顶点的梯形面积等于 60cm 2
③ 是否存在点卩，使厶PQD 是等腰三角形若存在，请求出所有满足要求的t 的值，若不存在, 请说明理由. (3 )在运动过程中, P 、Q 、B C 四点有可能构成正方形吗为什么
图 10-
15.如图，在梯形ABCD中，AD// BC, AD=6, DC=10, AB=5、'6，/ B=45° 动点M 从B 点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t秒.
16.(1) 求BC 的长.
17.(2)当MN // AB时，求t的值.
18.(3)A MNC可能为等腰三角形吗若能，请求出t的值；若不能，请说明理由.
(4)△ MNC可能为直角三角形吗若能，请求出t的值；若不能，请说明理由.
(5)△ MNC为20时，请求出t的值.
如图，直角梯形ABCD 中，AB// CD,/ A=90°, AB=4-3, AD=4, DC=4 3 2，点P 从点
A出发沿折线段AD-DC-CB以每秒3个单位长的速度向点_ B匀速运动，同时，点—Q从点—A出| 发沿射线AB方向以每秒2个单位长的速度匀速运动，当点P与点B重合时停止运动，点Q 也随之停止，设点P, Q的运动时间是t秒(t>0).
(1)当点P到达终点B时，求t的值；
(2)设厶APQ的面积为S,分别求出点P运动到AD、CD上时，S与t的函数关系式;
(3)当t为何值时，能使PQ// DB；
⑷当t为何值时，能使P、Q、D B四点构成的四边形是平行四边形。
初二平行四边形的动点问题提升
平行四边形中的动点问题 1.四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四个条件： ①AD ∥BC ；②AD=BC ；③OA=OC ；④OB=OD 2.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ， 点E ，F 分别是边AD ，AB 的中点，EF 交AC 于点H ，则的值为（ ） 平行四边形的判定： 定义： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 1．如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16． 动点P 从点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 同时从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t （秒）． （1）当t 为何值时，四边形PQCD 的面积是梯形ABCD 的面积的一半； （2）四边形PQCD 能为平行四边形吗？如果能，求出t 的值；如果不能，请说明理由． （3）四边形PQCD 能为等腰梯形吗？如果能，求出t 的值；如果不能，请说明理由． 解答：解：（1）由已知得：AQ=t ，QD=16﹣t ，BP=2t ，PC=21﹣2t ， 依题意，得 12)22116(2112)2(2 1?-+-=?+t t t t 解得； （2）能；当四边形PQDC 为平行四边形时， DQ=PC ，即16﹣t=21﹣2t 解得t=5；
专题：二次函数中的动点问题2(平行四边形存在性问题)
y x O 二次函数中的动点问题（二） 平行四边形的存在性问题 一、技巧提炼 1、二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像和性质 a ＞0 a ＜0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当x ＝ 时，y 有最 值是 当x ＝ 时，y 有最 值是 增减 性 在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 2、平行四边形模型探究 如图1，点A ()11,x y 、B ()22,x y 、C ()33,x y 是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中是否存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D 的坐标。 A B C x y 图1 图2 如图2，过A 、B 、C 分别作BC 、AC 、AB 的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。
由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。 3、平面直角坐标系中直线和直线l2: 当l1∥l2时k1= k2;当l1⊥l2时k1·k2= -1 4、二次函数中平行四边形的存在性问题： 解题思路：（1）先分类（2）再画图（3）后计算 二、精讲精练 1、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于C 点，且OA：OB：OC=1：3：3，△ABC的面积为6，（如图1） （1）求抛物线的解析式； （2）坐标平面内是否存在点M，使得以点M、A、B、C为顶点四边形是平行四边形若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，在直线BC上方的抛物线上是否存在一动点P，△BCP面积最大如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
平行四边形的动点问题(尖)
平行四边形的动点问题 1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B 出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造□PCOD．在线段OP延长线上一动点E，且满足PE=AO． （1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形； （2）当点P运动的时间为3 2 秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少？
2．如图，在?ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，OA=5cm ，E 、F 为直线BD 上的两个动点（点E 、F 始终在?ABCD 的外面），且DE=12OD ，BF=1 2 OB ，连接AE 、 CE 、CF 、AF ． （1）求证：四边形AFCE 为平行四边形． （2）若DE=13OD ，BF=1 3 OB ，上述结论还成立吗？由此你能得出什么结论？ （3）若CA 平分∠BCD ，∠AEC=60°，求四边形AECF 的周长． 3．平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若E 、F 是AC 上两动点，E 、F 分别从A 、C 两点同时以2cm/s 的相同的速度向C 、A 运动 （1）四边形DEBF 是平行四边形吗？说明你的理由． （2）若BD=10cm ，AC=18cm ，当运动时间t 为多少时，以D 、E 、B 、F 为顶点的四边形为矩形．
4．如图，M、N是平行四边形ABCD对角线BD上两点． （1）若BM=MN=DN，求证：四边形AMCN为平行四边形； （2）若M、N为对角线BD上的动点（均可与端点重合），设BD=12cm，点M 由点B向点D匀速运动，速度为2（cm/s），同时点N由点D向点B匀速运动，速度为a（cm/s），运动时间为t（s）．若要使四边形AMCN为平行四边形，求a 的值及t的取值范围． 5．如图，在?ABCD中，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，E，F分别是BC，AD上的两点，且BE=DF，连AE，BF，DE，CF分别交于点G，H． （1）求证：四边形GEHF是平行四边形． （2）若E，F分别是BC，AD上的两个动点，设BE=DF=x，试推断当x等于多少时，四边形GEHF是矩形．
动点问题中的平行四边形
动点问题中的平行四边形 教学内容：动点问题中的平行四边形 教学要求：1、利用平行四边形的有关知识解决动点中的相关问题 2、领会转化、数形结合、分类讨论的数学思想在动点问题中的应用. 教学过程 一、复习：1、平行四边形的性质与判定 2、几何作图的关键 二、新课 1、情境引入，探究已知三点确定平行四边形的第四个顶点。 1．1、张大伯家有一个直角三角形的池塘，如图1所示，张大伯打算把池塘在原有的基础上，把面积扩大一倍后变成一个平行四边形，你能帮张大伯找到这个平行四边形的第四个顶点么？并说出你的理由！ 图1 图2 1.2、小结方法：如何确定平行四边形的第四个顶点，你的依据是什么？ 1.3、趁热打铁： 如图2，在平面直角坐标系中，点A （1，0） , B （0，2）， 则平行四边形AOBC 的顶点C 的坐标为__________________
1.4、变式练习： 如图2，在平面直角坐标系中，点A（1，0）B（0，2），求以A、O、B、C 为顶点的平行四边形的顶点C坐标，则点C的坐标为____________________ ________________________________. 小结：如何求点的位置，你的依据是什么？ 1.5、举一返三 1、如图3，在梯形ABCD中，A D∥BC ,在AD边上有一点P从点A到点D运动，速度为每秒1个单位，在CB边上有一点Q从点C向点B运动，速度为每秒2个单位，已知AD=8,BC=12,若P、Q同时运动，当四边形ABQP是平行四边形时，P 运动多少秒时?
2、如图4，抛物线1417 452++-=x y 与直线y =12 1+x 交于A 、 B 点，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C (3，0).动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N . 设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为l 个单位，求l 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？
八下数学平行四边形中动点问题.doc
动点问题练习题 1．（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段MN 在△ ABC 的边 AB 上沿 AB 方向以1厘米/秒的速度向 B 点运动（运动开始时，点M 与点 A 重合，点 N 到 达点 B 时运动终止），过点 M 、N 分别作 AB 边的垂线，与△ ABC 的其它边交于P、 Q 两点，线 段 MN 运动的时间为t秒． 1、线段MN在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （ 2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S，运动的时间为t ．求四边形 MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． C Q P A M N B 2．如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AD 3， DC 5， AB 42，∠ B 45 ．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动．设运动的时间为t 秒． （ 1）求BC 的长． （ 2）当MN ∥ AB 时，求t 的值． （ 3）试探究：t 为何值时，△MNC为等腰三角形．A D N C B M
1．如图，在平面直角坐标系中，在四边形OABC中， OA∥ BC，点 A 的坐标为 (6， 0)，点 B 的 坐标为 (4，3)，点 C 在 y 轴的正半轴上．动点M 在 OA 上运动，从 O 点出发到 A 点；动点 N 在 AB 上运动，从 A 点出发到 B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒 1 个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)． (1)求线段 AB 的长；当 t 为何值时， MN ∥ OC？ y (2)设△ CMN 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数解析式， B C 并指出自变量 t 的取值范围； S 是否有最小值？ 若有最小值，最小值是多少？ N (3)连接 AC，那么是否存在这样的t，使 MN 与 AC 互相垂直？ 若存在，求出这时的 t 值；若不存在，请说明理由． O M x A 2．（河北卷）如图，在Rt△ ABC中，∠ C＝ 90°， AC＝ 12， BC＝ 16，动点 P 从点 A 出发沿 AC边向点C 以每秒 3 个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出发沿 CB边向点 B 以每秒 4 个单位长的速度运动． P， Q 分别从点 A， C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动 过程中，△ PCQ关于直线 PQ 对称的图形是△ PDQ．设运动时间为 t （秒）．（ 1）设四边形 PCQD的面积为 y，求 y 与 t 的函数关系式； （ 2） t 为何值时，四边形 PQBA 是梯形？ （ 3）是否存在时刻 t ，使得 PD∥ AB？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由； （ 4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得 PD⊥ AB？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤ t≤ 1；1＜ t≤ 2； 2＜ t≤ 3； 3＜ t≤ 4）；若不存在，请简要说明理由． A P D C Q B 3．（山东济宁）如图，A、B 分别为x 轴和 y 轴正半轴上的点。OA、 OB 的长分别是方程x2－ 14x＋ 48＝0 的两根 (OA＞OB)，直线 BC 平分∠为BC上一动点， P 点以每秒 1 个单位的速度从 B 点开始沿 BC 方向 移动。 (1) 设△ APB 和△ OPB的面积分别为S1、 S2，求 S1∶ S2的值； (2) 求直线 BC 的解析式； B (3)设 PA－ PO＝ m，P 点的移动时间为 t 。 ①当 0＜ t ≤4 5时，试求出 m 的取值范围； ②当 t ＞4 5时，你认为 m 的取值范围如何 (只要求写出结论 )？ O ABO 交 x 轴于 C 点， P y P x C A
二次函数中动点问题——平行四边形(练习)
2018年04月28日187****6232的初中数学组卷 一．解答题（共5小题） 1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0）和点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式和顶点E的坐标； （2）点C是否在以BE为直径的圆上？请说明理由； （3）点Q是抛物线对称轴上一动点，点R是抛物线上一动点，是否存在点Q、R，使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q、R 的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值； （3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E 作EF∥ND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．
3．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2． （1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式； （2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值； （3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ 的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． （4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
苏教版八下数学第九章平行四边形--折叠、动点问题
折叠问题 【矩形折叠问题】 1、矩形折叠问题：如图所示，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形，试说明理由． 2、（1）若AB=4，BC=8，求AF ． 3、（2）若对折使C 在AD 上，AB=6，BC=10，求AE ，DF 的长． 2、在矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，将图形沿着AC 对折，如图所示： （1）请说明△ABF ≌△CEF （2）求CEF S 3、在矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，将图形沿着EF 对折，使得B 点与D 点重合。 （1）说明DE=DF （2）、求DEG S △ （3）求EF 的长度。 4、如图①，将边长为4cm 的正方形纸片ABCD 沿EF 折叠（点E 、F 分别在边AB 、CD 上），使点B 落在AD 边上的点M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，连接EP ． （1）如图②，若M 为AD 边的中点， ①△AEM 的周长= cm ；②求证：EP=AE+DP ； （2）随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置（点M 不与A 、D 重合），△PDM 的周长是否发生变化？请说明理由．
能力训练 1、如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形。则展开后三角形的周长是。 2、如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°．现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为。 3、如图所示，把一长方形纸片MN折叠，点D、C分别落在D′，C′的位置。若∠AMD′=36°，则∠NFD′= 。 4、如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，记与点A重合的点为A′，则△A′BG的面积与该矩形面积的比为。 5、如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'处，点A对应点为A′，且B′C=3，则AM的长是（） A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5 6、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A′、D′处，则整个阴影部分图形的周长为（） A．18cm B．36cm C．40cm D．72cm 7、如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 8、小明尝试着将矩形ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M 处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为。
动点问题中的平行四边形.doc
动点问题中的平行四边形
动点问题中的平行四边形 教学内容：动点问题中的平行四边形 教学要求： 1、利用平行四边形的有关知识解决动点中的相关问题 2、领会转化、数形结合、分类讨论的数学思想在动点问题中的应用. 教学过程 一、复习： 1、平行四边形的性质与判定 2、几何作图的关键 二、新课 1、情境引入，探究已知三点确定平行四边形的第四个顶点。 1．1、张大伯家有一个直角三角形的池塘，如图 1 所示，张大伯打算把池塘在 原有的基础上，把面积扩大一倍后变成一个平行四边形，你能帮张大伯找到这 个平行四边形的第四个顶点么？并说出你的理由！ B B y C A O A x 图1图2 1.2、小结方法：如何确定平行四边形的第四个顶点，你的依据是什么？ 1.3、趁热打铁： 如图 2，在平面直角坐标系中，点 A （1，0） , B（ 0， 2），则 平行四边形 AOBC 的顶点 C 的坐标为 __________________
1.4、变式练习： 如图 2，在平面直角坐标系中，点A（1，0）B（0，2），求以 A、O、 B、 C 为顶点的平行四边形的顶点 C 坐标，则点 C 的坐标为 ____________________ ________________________________. 小结：如何求点的位置，你的依据是什么？ 1.5、举一返三 1、如图 3，在梯形 ABCD 中， AD∥BC, 在 AD边上有一点 P 从点 A 到点 D运动， 速度为每秒 1 个单位，在 CB边上有一点 Q从点 C 向点 B 运动，速度为每秒 2 个 单位，已知 AD=8,BC=12,若 P、Q 同时运动，当四边形ABQP是平行四边形时， P 运动多少秒时 ? A D C B 图 3
初二平行四边形的动点问题学案 (含答案经典)
第十一讲平行四边形中的动点问题时间：年月日刘满江老师学生姓名：一、兴趣导入 二、学前测试 1．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（） 2.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件： ①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD
交AC于点H，则的值为（） ∴= 三、方法培养： 知识要点： 平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形 平行四边形的性质：边：对边平行且相等 角：内角和为______,外角和___________，邻角______,对角__________ 对角线：互相平分 平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离叫 性质：平行线之间的距离处处相等。 推广：夹在两条平行线之间平行线段相等 平行四边形的判定： 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 例11．如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16． 动点P 从点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 同时 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t （秒）． （1）当t 为何值时，四边形PQCD 的面积是梯形ABCD 的面积的一半； （2）四边形PQCD 能为平行四边形吗？如果能，求出t 的值；如果不能，请说明理由． （3）四边形PQCD 能为等腰梯形吗？如果能，求出t 的值；如果不能，请说明理由． 考点：等腰梯形的判定；平行四边形的判定；直角梯形。 专题：动点型。 分析：（1）根据：路程=速度×时间，表示线段的长度，再利用：S 梯形ABPQ =S 梯形PQDC ，列方程求解； （2）只要能满足DQ=PC 即可，由此建立等量关系，列方程求解； （3）当四边形PQCD 为等腰梯形时，作PE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足为E 、F ，需要满足QE=CF ， 由此建立等量关系，列方程求解． 解答：解：（1）由已知得：AQ=t ，QD=16﹣t ，BP=2t ，PC=21﹣2t ， 依题意，得 12)22116(21 12)2(2 1?-+-=?+t t t t 解得 ； （2）能；当四边形PQDC 为平行四边形时， DQ=PC ，即16﹣t=21﹣2t 解得t=5； （3）不能 作QE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足为E 、F ， 当四边形PQCD 为等腰梯形时，PE=CF ， 即t ﹣2t=21﹣16 解得t=﹣5，不合实际． 点评：本题考查了梯形计算面积的方法，根据平行四边形、等腰梯形的性质列方程求解的问题． 变式练习：如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P 从点 B 出发，沿射线B C 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 同时从点A 出发，在线段A D 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t （秒）． （1）设△DPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式； （2）当t 为何值时，四边形PCDQ 是平行四边形？ （3）分别求出当t 为何值时，①PD=PQ ，②DQ=PQ ． 考点：直角梯形；勾股定理；平行四边形的判定与性质。 解答：（1）解：直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，BC=21，AB=12，AD=16， 依题意AQ=t ，BP=2t ，则DQ=16﹣t ，PC=21﹣2t ， 过点P 作PE ⊥AD 于E ， 则四边形ADPE 是矩形，PE=AB=12， ∴S △DPQ =DQ ?AB=（16﹣t ）×12=﹣6t+96． （2）当四边形PCDQ 是平行四边形时，PC=DQ ，
2016挑战中考数学压轴题因动点产生的平行四边形问题
因动点产生的平行四边形问题 例1 2015年成都市中考第28题 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC． （1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； （2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为5 4，求a的值； （3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 图1 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“15成都28”，拖动点E在直线AD上方的抛物线上运动，可以体验到，当EC⊥AC时，△ACE的面积最大．点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动点H在y轴正半轴运动，观察点Q和Q′，可以看到点Q和点Q′都可以落在抛物线上． 思路点拨 1．过点E作x轴的垂线交AD于F，那么△AEF与△CEF是共底的两个三角形． 2．以AD为分类标准讨论矩形，当AD为边时，AD与QP平行且相等，对角线AP＝QD；当AD为对角线时，AD与PQ互相平分且相等． 满分解答 （1）由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)． 由CD＝4AC，得x D＝4．所以D(4, 5a)． 由A(－1, 0)、D(4, 5a)，得直线l的函数表达式为y＝ax＋a． （2）如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F． 设E(x, ax2－2ax－3a)，F(x, ax＋a)，那么EF＝y E－y F＝ax2－3ax－4a． 由S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝11 ()() 22 E A E C E F x x EF x x ---
因动点产生的平行四边形问题(中考压轴题)
因动点产生的平行四边形问题 例 1 2012年福州市中考第21题 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______； （2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度； （3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长． 图1 图2 动感体验 请打开几何画板文件名“12福州21”，拖动左图中的点P运动，可以体验到，PQ的中点M的运动路径是一条线段．拖动右图中的点Q运动，可以体验到，当PQ//AB时，四边形PDBQ为菱形． 请打开超级画板文件名“12福州21”，拖动点Q向上运动，可以体验到，PQ的中点M 的运动路径是一条线段．点击动画按钮的左部，Q的速度变成1.07，可以体验到，当PQ//AB 时，四边形PDBQ为菱形．点击动画按钮的中部，Q的速度变成1. 思路点拨 1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点P 运动的时间t，再根据PQ//AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度．2．探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径． 满分解答 （1）QB＝8－2t，PD＝4 3 t． （2）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交 BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形． 过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8． 在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝
特殊的平行四边形动点专题
1.如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t. （1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；： (2)①当t为______s时，四边形ACFE是菱形； ②当t为______s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形． 2.在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在射线BC上运动，∠EAF=60°，点F在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），求证：EC+CF=AB；（2）当点E在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明． 3.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB 边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为______时，四边形AMDN是矩形； ②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形． （第4题） 4.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．
6.如图，已知菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD 上的一个动点P （不与 B 、D 重合）分别向直线AB 、AD 作垂线，垂足分别为E 、F ． （1）BD 的长是______； （2）连接PC ，当PE+PF+PC 取得最小值时，此时PB 的长是______． 8.如图，已知矩形ABCD ，AD=4，CD=10，P 是AB 上一动点，M 、N 、E 分别是PD 、 PC 、CD 的中点． （1）求证：四边形PMEN 是平行四边形； （2）请直接写出当AP 为何值时，四边形PMEN 是菱形； （3）四边形PMEN 有可能是矩形吗？若有可能，求出AP 的长；若不可能，请说 明理由． 5.如图所示，在?ABCD 中，AC ⊥BC ，AC=BC=2，动点P 从点A 出发沿AC 向终点C 移动，过点P 分别作PM ∥AB ，PN ∥AD ，连结AM ，设AP=x ，△AMP 的面积为y ． （1）四边形PMCN 是不是菱形，请说明理由． （2）写出y 与x 之间的函数关系式． 7.如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点，PO 的延长线交BC 于Q 。 （1）求证：OP=OQ ； （2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）。设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形。 （第7题） （第8题）
八年级数学 四边形动点问题及难题
动点问题及四边形难题 1如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4）， 点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式； （2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）； 2.已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系， A B C ，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，， ，，，，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒． （1）求直线BC 的解析式； （2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的 27 ？ （3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；
3.如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 4. 如图，已知AD 与BC 相交于E ，∠1＝∠2＝∠3，BD ＝CD ，∠ADB ＝90°，CH ⊥AB 于H ，CH 交AD 于F. （1）求证：CD ∥AB ； （2）求证：△BDE ≌△ACE ； （3）若O 为AB 中点，求证：OF ＝1 2 BE. 5、如图1―4―2l ，在边长为a 的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，E 是异于A 、D 两点的动点，F 是CD 上的动点，满足A E ＋CF=a ，说明：不论E 、F 怎样移动，三角形BEF 总是正三角形．
动点问题与平行四边形(1)
基本图形一： 在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点A 的坐标为（1,1），点B 的坐标为（5,1），点D 的坐标为（2,4），则点C 的坐标为（ ） 基本图形二： 在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是平行四边形，点A 的坐标为（-3,0），点B 的坐标为（0，-2），点C 在x 轴上，点D 在抛物线2 1026y x x =-+上，求C,D 的坐标. 基本图形三： 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1,4），点B 的坐标为（3，1），点C 的坐标为（6,6），在直角坐标系中再找一点D ，使得以A,B,C,D 为顶点的四边形为平行四边形.求所有符合条件的点D 的坐标.
例一：如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴,y轴的正半轴上,且OA=4,OC=3,若抛物线经过O,A两点,且顶点在BC边上,对称轴交BE于点F,点D,E的坐标分别为(3,0),(0,1). (1)求抛物线的解析式； (2)猜想△EDB的形状并加以证明； (3)点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由。
例二：如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-3,0），（0,6）。动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造平行四边形ABCD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒。（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标。 （2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形。 （3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分别在一，四象限，在运动过程中，设平行四边形PCOD的面积为S。 ①当点M，N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值； ②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围。
第十八章专题：《平行四边形》动点问题(一)—练习版
第十八章专题：《平行四边形》动点问题（一） 1. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，点P 在线段DB 上，点M 是边AC 的中点，连 接MP ，作∠MPQ=90°，点Q 在边BC 上，若AC=6，BC=8，则（ ） A ．当CQ=4时，点P 与点D 重合 B ．当CQ=4时，∠MPA=30° C ．当PD=5 7时，CQ=4 D ．当PM=PQ 时，CQ=4 2. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，点F 在AD 上， AF=6cm ，BF=12cm ，∠FBM=∠CBM ，点E 是BC 的中点，若点P 以1cm/秒的速度从点A 出发，沿AD 向点F 运动；点Q 同时以2cm/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 运动到F 点时停止运动，点Q 也同时停止运动．当点P 运动 时，以点P 、Q 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形． 3. 已知四边形ABCD ，∠ABC=45°，∠C=∠D=90°，含30°角（∠P=30°）的直角三角板PMN （如图） 在图中平移，直角边MN ⊥BC ，顶点M 、N 分别在边AD 、BC 上，延长NM 到点Q ，使QM=PB ．若BC=10，CD=3，则当点M 从点A 平移到点D 的过程中，点Q 的运动路径长为__________。 4. 在矩形ABCD 中，AB=6cm ，AD=8cm ，动点P 从点A 以1cm/s 的速度在线段AD 上向点D 运动，动 点Q 以相同的速度从点C 在线段CB 上向点B 运动，P 、Q 同时运动，当运动时间t= 时，四边形PBQD 是菱形． 5. 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两个动点，P 是正方形四边上的任意一点，且AB=4， EF=2，设AE=x ．当△PEF 是等腰三角形时，下列关于P 点个数的说法中，一定正确的是（ ） ①当x=0（即E 、A 两点重合）时，P 点有6个； ②当0＜x ＜42-2时，P 点最多有9个 ③当P 点有8个时，x=22-2； ④当△PEF 是等边三角形时，P 点有4个
平行四边形中的动点问题
平行四边形中的动点问题 动点题是近年来中考的的一个热点问题,解这类题目要“以静制动”，即把动态问题,变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量Ｘ、Y 的变化情况并找出相关常量，第二,按照图形中的几何性质及相互关系,找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求,依据几何、代数知识解出。第三,确定自变量的取值范围，画出相应的图象。 一、例题: 如图,在平行四边形AB ＣD 中,A Ｄ=4 c ｍ,∠A ＝60°,ＢD ⊥AD. 一动点Ｐ从A 出发,以每秒１ c ｍ的速度沿A →B →Ｃ的路线匀速运动，过点P 作直线ＰM ，使PM ⊥AD . (1) 当点Ｐ运动2秒时,设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE 的面积; (２) 当点P 运动2秒时，另一动点Ｑ也从A 出发沿A →Ｂ→C 的路线运动,且在A Ｂ上以每秒1 ｃm 的速度匀速运动,在BC 上以每秒2 cm 的速度匀速运动. 过Q 作直线QN ，使Q Ｎ∥ＰM ． 设点Q 运动的时间为t 秒(０≤t ≤10),直线PM 与Q Ｎ截平行四边形ＡB ＣD 所得图形的面积为S c ｍ2 . ① 求Ｓ关于ｔ的函数关系式；② (附加题） 求S 的最大值。 E D C B A M P 解题思路： 第（1)问比较简单,就是一个静态问题当点Ｐ运动2秒时，ＡP=２ｃm, 由∠A=60°,知AE=1， ∴ＳΔAPE =2 3 第(2)问就是一个动态问题了，题目要求面积与运动时间的函数关系式，这就需要我们根据题目，综合分析，分类讨论. P 点从A →Ｂ→C 一共用了１2秒,走了12 ｃｍ， Q 点从A →B 用了8秒，B →C 用了2秒， 所以t 的取值范围是 ０≤t ≤10 不变量：Ｐ、Q 点走过的总路程都是12cm,P 点的速度不变,所以A Ｐ始终为:ｔ+2 若速度有变化，总路程 =变化前的路程+变化后的路程=变化前的速度×变化点所用时间＋变化后的速度×(ｔ－变化点所用时间）. 如当8≤t ≤1０时，点Q 所走的路程A Ｑ=1×8＋２（t-８)＝2t-８ ① 当0≤t ≤6时，点P 与点Q 都在ＡB 上运动, 设PM 与AD 交于点G,QN 与AD 交于点Ｆ, 则ＡQ=t,ＡF=2t ,QF=t 2 3，AP=t+2,ＡＧ＝１+2t ，ＰG ＝t 233+. ∴此时两平行线截平行四边形A ＢCD 是一个直角梯形, 其面积为（ＰG+ QF ）×AG ÷２ Ｓ＝2 323+t . 当６≤ｔ≤８时，点P 在ＢC 上运动，点Q 仍在ＡB 上运动． 设ＰM 与D Ｃ交于点G,ＱN 与AD 交于点F, 则ＡＱ=ｔ，AF= 2t ,ＤＦ=4-2t (总量减部分量), QF ＝t 2 3，AP ＝ｔ+２,ＢＰ=t-6(总量减部分量）,
中考数学压轴题专题解析---平行四边形动点问题
中考数学压轴题专题解析---平行四边形动点问题这节课我们学什么 1.动点平行四边形三定一动方法； 2.动点平行四边形两定两动方法； 知识框图
典型例题分析 1、 动点平行四边形三定一动方法； 例1. 已知抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠，过点)0,3(-A ，)0,1(B ，)3,0(C 三点 （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为P ，求PAC ∠正切值； （3）若以A 、P 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标． 【答案：（1）由题意得：?? ???==++=+-3 0039c c b a c b a 解得：?????=-=-=321 c b a ∴322 +--=x x y （2）322+--=x x y 4)1(2 ++-=x ∴)4,1(-P ∴52=PA ，2= PC ， 23=AC ∵222AC PC PA +=∴090=∠PCA ∴3 1 232tan ===∠AC PC PAC （3）∵直线AC 的解析式是：3+=x y 直线AP 的解析式是：62+=x y 直线PC 的解析式是：3+-=x y 当AC 是平行四边形的一条对角线时：直线MC 的解析式是：32+=x y 直线AM 的解析式是：3--=x y ∴)1,2(--M 当PC 是平行四边形的一条对角线时：同理可得∴)7,2(M 当AP 是平行四边形的一条对角线时：∴)1,4(-M
∴)1,2(--M 或)7,2(M 或)1,4(-M 】 例2. 如图，在平面直角坐标系中，直线2 43 y mx m = -与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C 在线段AB 上，且2AOB AOC S S ??=． （1）求点C 的坐标（用含有m 的代数式表示）； （2）将AOC ?沿x 轴翻折，当点C 的对应点C ′恰好落在抛物 线 22 183 y x mx m = ++上时，求该抛物线的表达式； （3）设点M 为（2）中所求抛物线上一点，当以A 、O 、C 、M 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标． 【答案：（1）(3,2)C m - （2 ）该抛物线的表达式为21832 y x x = -- （3）点M 的坐标为或或】 2、 动点平行四边形两定两动方法； 例3. 如图，抛物线32++=bx ax y 与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、 B 两点，3 1 tan =∠OCA ，6=?ABC S ． （1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式及顶点坐标； xOy (3, ( -
初二数学《平行四边形中的动点问题》(附练习及答案)
四边形中的动点问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或直线上运动的一类开放性题目。解决这类问题关键是动中求静,灵活运用有关数学知识。 数学思想：分类思想、函数思想、方程思想、数形结合思想、转化思想，其注重对几何图形运动变化能力的考查。 这类类问题从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力。解决这类问题首先要在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要画出图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程；其次在变化中找到不变量的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 动点问题题型方法归纳：动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。 下面就四边形中的动点问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB ＝60°，则矩形ABCD的面积是_____________ 2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH 的面积为________ （第1题）（第2题）（第3题） 3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为____________ 4、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0 < t ≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF. (1)求证：AE＝DF； (2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由