初二数学最新教案-八年级数学反证法 精品
4.4反证法
教学目标
1．通过实例，体会反证法的含义．
2．了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题．
3．理解本节中关于两线相交与平行的又一判定方法．
重点和难点
本节教学的重点是反证法的含义和步骤．课本“合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度，是本节教学的难点．
教学过程
一、创设情境，导入新课
利用课本中《路旁苦李》这个话题，利用多媒体给出这个故事的动画场景．
（营造开放的讨论场面，引导学生接近并进入反证法的话题）
二、合作交流，探求新知
教师给出问题：如果当时你也在场，你会怎么办？王戎是怎么判断李子是苦的？你认为他的判断方法正确吗？
他运用的是什么样的推理方法？
学生活动：小组讨论，要求能自说其圆．
（教师既要赞许类似王戎式的学生的判断方法，但也要肯定选择直接去尝试实验的学生的判断方式，并以此为切入点引入课题）
教师板书课题：4.4 反证法．
三、理性概括，纳入系统
结合上面的问题情境，让学生讨论、归纳以下问题：
1．用自已的语言结合“路旁苦李”的故事阐述反证法的概念。
学生活动：讨论后举手回答，其他同学相互补充，教师作适当引导、调整．教师在课件中显示完整的反证法概念，简要板书反证法的概念：从假设所需证的命题的结论不成立出发，结合条件推出与已知条件或正确命题相矛盾的结论，说明假设错误，原命题成立的证明方法叫做反证法．
2.（教师把课本例题改编）填空：
已知：如右图，直线l 1，l 2，l 3在同一平面内，且l 1∥l 2，13与1
相交于点P.
求证：13与l 2相交． 证明：假设， ，
即 ∥ ，
又∵ ∥ （已知）， ∴ 过直线12外一点P 有两条直线11,13与直线12平行，
这与“ ”相矛盾， ∴ 假设不成立，即求证的命题成立，
∴ 13与12相交．
教师简单引导学生小结：证明两线相交的又一判定方法（课本黑体字）．
3．根据上述填空，讨论得出反证法的一般步骤：
（学生活动：讨论后举手回答，其他同学相互补充，教师一边引导一边板书反证法的一般证明步骤．） ①假设待证命题不成立，或命题的反面成立；②以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或正确命题相矛盾的结论；③这与“………”相矛盾；④所以所求证的命题成立，即……
四、学以致用，体验成功
1．由学生独立完成：课本“课内练习”第l 题．课本“作业题”第1题．
（教师引导学生把两个填空题与反证法的证明步骤再对照一遍，以加深印象．）
2．小组合作学习（课本第86页）：求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（1）你首选的是哪一种证明方法？
（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？
(3)能不用反证法证明吗？你准备怎样证明？
要求按问题解决的四个步骤进行：理解题意（画出图形，写出已知求证）；制订计划（选择证明方法，找出证明思路）；执行计划（写出证明过程）；回顾（比较两种证明方法的特点）．
（教师：①例后引导学生比较体会反证法的优点：当正面证明比较繁杂或较难证明时，用反证法证明是一种证明的思路．②本题的结论是课本黑体字，是判定两直线平行的又一判定定理．）
五、实践应用，知识迁移
1．学生独立完成课本“课内练习”第2题．
2．同伴（桌）合作完成课本“作业题”第3题．
由学生推荐两组学生实物投影（或上台板演：同伴一起上台，一人主笔，一人检查核对）解答过程，然后学生点评．点评内容包括：先是解答的同伴组自己阐述证明的设想或书写时的感想，再由他组同学进行证明思路的繁简性比较、证明过程的书写规范性补充．教师给予恰当的肯定与鼓励．
六、总结回顾，反思内化
学生小结：通过这节课的学习，学到了哪些知识，技巧或数学思想方法？
(1)我学到了……（由学生自己从知识、方法、技巧、体会等角度去自我小结评价）
例如，我学到了什么是反证法；反证法的证明步骤；当正面证明一个命题比较繁杂或困难时，可用反证法证明等．
教师也要特别强调反证法的证明书写步骤与规范格式，并根据学生的表现给予充分的肯定．
七、分层作业，延伸拓展
1．独立完成作业．
2.（小组合作选做）甲、乙、丙、丁、戊五人在运动会上分获一百米、二百米、跳高、跳远和铅球冠军，有四个人
猜测比赛结果：
A说：乙获铅球冠军，丁获跳高冠军；;B说：甲获百米冠军，戊获跳远冠军；;C说：丙获跳远冠军，丁获二百米冠军；D说：乙获跳高冠军，戊获铅球冠军．
其中每个人都只说对一句，说错一句．你知道五人各获哪项冠军吗？
3.（个人选做）搜集生活中用反证法来说明或解决问题的例子，鼓励学生自己编写贴子贴在教室墙上的交流栏内与同学交流．
教学效果预测
反证法的证明步骤学生应该能掌握得比较好，但假设的书写，对原命题结论的反面作为条件的运用，以及推出的结论与谁相矛盾对中下学生来说具有一定的困难，尽管上课强调书写格式和规范，但作业质量可能不一定会很理想，需要通过一定量作业的训练再纠正才能熟练．
高中数学-反证法练习
高中数学-反证法练习 基础达标(水平一) 1.若a,b,c不全为0,则只需(). A.abc≠0 B.a,b,c中至少有一个为0 C.a,b,c中只有一个是0 D.a,b,c中至少有一个不为0 【解析】a,b,c不全为0,即a,b,c中至少有一个不为0. 【答案】D 2.若两个数之和为正数,则这两个数(). A.一个是正数,一个是负数 B.都是正数 C.至少有一个是正数 D.都是负数 【解析】这两个数中至少有一个是正数.否则,若这两个数都不是正数,则它们的和一定是非正数,这与“两个数之和为正数”相矛盾,故选C. 【答案】C 3.有以下结论: ①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2; ②已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1. 下列说法中正确的是(). A.①与②的假设都错误 B.①与②的假设都正确 C.①的假设正确;②的假设错误 D.①的假设错误;②的假设正确 【解析】用反证法证明问题时,其假设是原命题的否定,故①的假设应为“p+q>2”;②的假设为“两根的绝对值不都小于1”.故①的假设错误,②的假设正确. 【答案】D 4.若a2+b2=c2,则a,b,c(). A.都是偶数 B.不可能都是偶数 C.都是奇数 D.不可能都是奇数 【解析】假设a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数,因此a2+b2为偶数,而c2为奇数,即 a2+b2≠c2,这与a2+b2=c2矛盾,所以假设不成立,所以a,b,c不可能都是奇数. 【答案】D 5.用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a且x≠b”时,应假设. 【解析】“x≠a且x≠b”形式的否定为“x=a或x=b”. 【答案】x=a或x=b 6.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤: ①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾,故假设错误; ②所以一个三角形不能有两个直角; ③假设△ABC中有两个直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°. 上述步骤的正确顺序为. 【解析】由反证法证明的步骤,知先反证,即③;再推出矛盾,即①;最后做出判断,肯定结论,即②.所以正确的顺序应为③①②.
华东师大初中八年级数学上册《反证法》教案
反证法 教学目标 1.通过实例,体会反证法的含义. 2.了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题. 3.通过利用反证法证明命题,体会逆向思维. 4.在观察、操作、推理等探索过程中,体验数学活动充满探索性和创造性;渗透事物之间的相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想. 重点 运用反证法进行推理论证. 难点 理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”. 教学过程 一、创设情景,导入新课 出示多媒体,展示《路旁苦李》的故事的动画场景,引入反证法的课题. 二、师生互动,探究新知 活动1 反证法的步骤. 教师给出问题:如果你当时也在场,你会怎么办?五戎是怎么判断李子是苦的?你认为他的判断正确吗? 学生讨论交流,选代表发言. 如果李子不是苦的,路旁的人很多,早就没有这么多李子.
教师出示,若a2+b2≠c2(a≤b≤c),则△ABC不是直角三角形,你能按照刚才五戎的方法推理吗? 学生活动,代表展示.若∠C是直角,则 a2+b2=c2,而a2+b2≠c2,这是不可能的,即△ABC不是直角三角形. 教师归纳 先假设结论的反面是正确的;然后经过演绎推理,推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾;从而说明假设不成立,进而得出原命题正确.即:一、反设;二、推理得矛盾;三、假设不成立,原命题正确. 活动2 用反证法证明. 教材P116例5. 教师活动 原命题结论的反向是什么?按照假设可以得到矛盾吗? 学生活动 独立完成,交流成果,发言展示. 教材P116例6. 教师活动 △ABC至少有一个内角小于或等于60°的反向是什么?按照假设可以推出矛盾吗? 【学生活动】 独立完成,交流成果,发言展示. 教师活动
人教版初二数学上册15.3分式方程(20210204030455)
15.3 分式方程 第1课时 【教学目标】 知识目标 1. 理解分式方程的意义. 2. 了解解分式方程的基本思路和解法. 3. 理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握分式方程的验根方法. 能力目标 经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识. 情感目标在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值. 【教学重难点】 重点:解分式方程的基本思路和解法. 难点:理解解分式方程时可能无解的原因. 【教学过程】 一、创设情境,导入新课 问题:一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h,它以最大航速沿江顺流航行90 km所用时间, 与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？ 分析:设江水的流速为v km/h,则轮船顺流航行的速度为(30+v) km/h,逆流航行的速度为(30-v) km/h,顺流航行90 km所用的时间为小时，逆流航行60 km所用的时间为小时?可列方程=. 这个方程和我们以前所见过的方程不同,它的主要特点是:分母中含有未知数,这种方程就是 我们今天要研究的分式方程? 二、探究新知 1?教师提出下列问题让学生探究： (1) 方程=与以前所学的整式方程有何不同? (2) 什么叫分式方程? (3) 如何解分式方程=呢?怎样检验所求未知数的值是原方程的解? (4) 你能结合上述探究活动归纳出解分式方程的基本思路和做法吗? (学生思考、讨论后在全班交流) 2?根据学生探究结果进行归纳： (1) 分式方程的定义(板书): 分母里含有未知数的方程叫分式方程?以前学过的方程都是整式方程练 习:判断下列各式哪个是分式方程? (1)x+y=5; (2)=; (3); (4)=0 在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程,(3)是分式,(4)是分式方程? (2) 解分式方程=的基本思路是:将分式方程化为整式方程?具体做法是: “去分母”,即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般思路和做法. 3.仿照上面解分式方程的做法,尝试解分式方程=,并检验所得的解,你发现了什么?与你的同
人教版初二数学上册分式方程的解法
教材版本：新人教版八年级数学上册15．3 分式方程 课题：15．3 分式方程 备课人：遵义市第十九中学江金财 教学目标： 知识与技能目标 1．了解分式方程的定义； 2．会解可化为一元一次方程的分式方程； 3．掌握解分式方程验根的方法，方法了解解分式方程产生增根的原因。过程与方法目标经历解分式方程中的过程，感受由分式方程转化为整式方程的过程，渗透转化、归纳的数学思想，发展学生分析问题和解决问题的能力。 情感与态度目标 1．通过背景材料引入，体会数学来源于生活，激发学生对生活的热爱；2．通过创设问题串，让学生仔细观察、对比、归纳，体会数学学习中的探索性和创造性，培养学生合作、交流以及数学的应用意识。 教学重点与难点 教学重点： 1．分式方程的解法。 2．转化、归纳思想在解分式方程（数学学习）中的重要运用。 教学难点： 理解解分式方程时可能无解的原因； 教学准备：粉笔、视频材料、PPT。 问题解决： 1．分式方程转化为整式方程的方法； 2．分式方程解的检验方法。 教学过程 课前背景展示： “我解决过的每一个问题都成为日后用以解决其他问题的法则．”——笛卡尔（著名数学家、物理学家、哲学家）。 播放视频：曹冲称象的故事。 一、问题导入 问题1 刚刚大家看了这个故事，大家知道吗？曹冲为何没有直接给大象称重？ 追问为何称得石头的重量，就能得到大象的重量？教师故事引入，以此说明“转化”思想在生活中的重要运用，过渡到
“转化”思想在数学学习中的重要运用 教师启头：今天就用转化的思想来学习解分式方程。 问题2认真观察，回答问题： x +1 x 3 2 1 4 1 3x 4; 2 2x=4; 3 ； 4 ； 5 厂二 3 2 x+1x x-2x-4 1. 哪些是方程? 2. 哪些是整式方程、哪些是分式方程？ 3. 在上述的方程之中，哪些方程的解为 x=2? 借助上述问题巩固分式方程、整式方程的定义、方程的解的定义。 二、问题探究 (1)复习巩固，建立新知 2 (x+1) =3x 去括号得：2x+2=3x 移项得：2x-3x=-2 合并同类项得：-x=-2 系数化为1得：x=2 问题 解一元一次方程的步骤是怎样的？ 师生总结：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化为 1。 问题你们都会解一元一次方程了，那么你们能解这样一个分式方程: 3 2 吗？ x 1 x 转化为分母不含字母的方程吗？ 解：方程两边同时乘以2x (x+3)，得 x+3=2? (2x ) 解这个整式方程，得x=1 检验：x=1 时，2x (x+3)工 0 所以，x=1是原分式方程的解。 追问 假如解得x=- 1，他是原方程的解吗? 解整式方程: X +1 = X 3 2 解：去分母(两边同时乘以 6）得: 追问 洙彳与宁.I 的分母区别是什么？你能不能将 3 =2 x 1 x
八年级数学上册 《立方根》教案
《立方根》教案 教学目标 (一)教学知识点 1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根. 2.能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算. 3.了解立方根的性质. 4.区分立方根与平方根的不同. (二)能力训练要求 1.在学了平方根的基础上，要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想. 2.发展学生的求同求异思维，使他们能在复杂环境中明辨是非. (三)情感与价值观要求 当今社会是科学飞速发展、信息千变万化的时代，每一个人都不可能把一生中要接触的知识全部学会，因此让他们会学知识比学会知识更重要，这就要从小培养良好的学习习惯，能自己解决的问题就自己解决，其中类比的学习方法就是一种重要的学习方法，本节课重点训练学生的类比思想的养成. 教学重点 立方根的概念. 教学难点 1.正确理解立方根的概念. 2.会求一个数的立方根. 3.区分立方根与平方根的不同之处. 教学方法 类比学习法. 教学过程 一、新课导入 上节课我们学习了平方根的定义，若x2=a，则x叫a的平方根，即x=±a. 若正方体的棱长为a，体积为8，根据正方体体积的公式得a3=8，那a叫8的什么呢？本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论，若x3=a，则x叫a的什么呢？ 二、新课讲解 1.请大家先回忆平方根的定义下面大家能不能再根据平方根的写法来类推立方根的记法呢？
若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x=±2a，读作x等于正、负二次根号a，简称为x等于正，负根号a.若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x=±3a，读作x等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号a. ［师］请大家对这位同学的回答展开讨论，小组总结后选代表发言. ［生甲］我认为这位同学回答得不对.如果x2=a，则x=±a，x3=a时，x=±a也成立的话，那如何区分平方根与立方根呢？ ［生乙］因为乘方与开方是互为逆运算，求立方根可通过逆运算立方来求，如x3=8，因为23=8，所以x=2，只有一个根而不是±2，所以立方根的个数不正确. ［师］大家的分析非常有道理，请认真看书第13、14页可知，若一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根(cube root；也叫三次方根)如2是8的立方根，记为x= 3a，读作x等于三次根号a. 开立方的定义 ［师］大家先回忆开平方的定义，再类推开立方的定义. ［生］求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，则求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数. (2)立方根的性质 ［师］2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8？ ［生］2的立方等于8，(－2)3=－8，所以没有其他的数的立方等于8. ［师］－3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是－27？ ［生］－3的立方等于－27，33=27，所以没有其他的数的立方等于－27. ［师］0的立方等于多少？0有几个立方根？ ［生］0的立方等于0，0有1个立方根是0. ［师］从刚才的讨论中，大家总结一下正数有几个立方根？0有几个立方根？负数有几个立方根？ ［生］正数有一个立方根，0有一个立方根是0，负数有一个立方根. ［师］对.正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的立方根有一个，是0. (3)平方根与立方根的区别与联系. ［师］我们已经学习了平方根与立方根的定义，并会求某些数的平方根和立方根，下面请大家说说它们的联系与区别. ［生］从定义来看，若一个数x的平方等于a，即x2=a，则x叫a的平方根；若一个数x的立方等于a，即x3=a，则x叫a的立方根，都是一个数x的乘方等于a，但一个是平方，另一个是立方. ［生］一个正数的平方根有两个，一个负数没有平方根，零的平方根有一个是零；一个
冀教版八年级数学上册教案《反证法》
《反证法》 反证法又称归谬法。反证的批判思想有助于学生正确的认识客观世界。中学阶段，是一个人形成价值观的重要阶段。 这些信息在学生头脑中留下各种是或非的印象，如何取其精华，去其糟粕？学生可以利用反证法。我们现行的教材中，许多的内容可以说是矛盾的，学生如果能正确的分析问题，不是被动的接受书本或是教师的灌输，对其今后的学习、工作，无疑将有很大的帮助。 在教学过程中，我们重视的不是学生如何解决矛盾，而是非常高兴地看到学生利用反证法对客观世界的认识提出了自己的问题，正是反证法教学所要教给学生的。这些正是学生学习数学应该学会的能力. 【知识与能力目标】 通过实例，体会反证法的含义，培养用反证法简单推理的技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。 【过程与方法目标】 了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。
【情感态度价值观目标】 在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。 【教学重点】 1、 理解反证法的概念，2 、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反 证法证明简单的命题。 【教学难点】 理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”。 直尺、三角板、多媒体课件等。 （一） 情境导入 师出示课件：路边苦李 王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子。小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动。 王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李。” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李。
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法? 我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维。反证法是数学中常用的一种方法。人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界。你能总结出以上这种证明方法的步骤吗? 假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗？这与事实矛盾吗？说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？所以，李子是苦的。其思维过程的表述如下图： 假设李子甜-树在道边则李子少-与与已知条件“树在道边而多子”产生矛盾-假设“李子甜”不成立-所以“树在道边而多子,此必为苦李”是正确的。 （二）探究新知 1.认识反证法 反证法：在证明一个命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法。 在证明一些命题为真命题时，一般用直接证明的方法，但有时候间接证明的方法可能更方便，反证法就是一种常见的间接证明方法。 在第九章中，我们已经知道”一个三角形中最多有一个直角”这个结论，我们怎样证明它呢？求证：一个三角形中最多有一个直角. 已知：如图，△ABC. 求证：在△ABC中，如果它含有直角，那么它只能有一个直角.
初二数学上册平方根与立方根专项练习题
初二数学上册平方根与立方根专项练习题 一、填空题： 1、144的算术平方根是 ， 16的平方根是 ； 2、327= ， 64-的立方根是 ； 3、7的平方根为 ， 21.1= ； 4、一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数是 ； 5、平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ； 6、当x= 时， 13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义； 7、若164=x ，则x= ；若813=n ，则n= ； 8、若 3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ； 9、若0|2|1=-++y x ，则x+y= ； 10若x 的算术平方根是4，则x=＿＿＿；若 3x =1，则x=＿＿＿； 11．若2)1(+x -9=0，则x=＿＿＿；若273x +125=0，则x=＿＿＿； 12．当x ＿＿＿时，代数式2x+6的值没有平方根； 13如果a 的算术平方根和算术立方根相等，则a 等于 ； 147在整数 和整数 之间，5在整数 和整数 之间。 二、选择题 11、若a x =2，则（ ） A 、x>0 B 、x ≥0 C 、a>0 D 、a ≥0 12、一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（ ） A 、大于0 B 、等于0 C 、小于0 D 、不能确定 13、一个正方形的边长为a ，面积为b ，则（ ） A 、a 是b 的平方根 B 、a 是b 的的算术平方根 C 、b a ±= D 、a b = 14、若a ≥0，则24a 的算术平方根是（ ） A 、2a B 、±2a C 、a 2 D 、| 2a | 15、若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ） A 、0
初中几何反证法专题(编辑)
初中几何反证法专题 学习要求 了解反证法的意义，懂得什么是反证法。 理解反证法的基本思路，并掌握反证法的一般证题步骤。 知识讲解 对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单介绍。 1．反证法的概念： 不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 2．反证法的基本思路： 首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。 3．反证法的一般步骤： (1)假设命题的结论不成立；
(2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾； (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正 确 简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。 例题： 例1．已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦（如图1），求证AB与CD不能互相平分。证明： 假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非⊙O直径，可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。 ∵OA＝OB，M是AB中点 （1） ∴OM⊥AB （等腰三角形底边上的中线垂直于底边） 同理可得： OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM 这与已知的定理相矛盾。 故AB与CD不能互相平分。 例2．已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的 中点，且MN＝（AD＋BC）。 求证：AD∥BC
浙教版八年级数学下册反证法作业练习
4.6 反证法 ◆基础练习 1．“a
8．如图，已知AB∥CD，求证：∠B+∠D+∠E=360°． 9．请举一个在日常生活中应用反证法的实际例子． ◆综合提高 10．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，?应先假设这个三角形中（ ） A ．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60° C ．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60° 11．若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45 °”时，应假设______________． 12．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补． 132是一个无理数．（说明：任何一个有理数均可表示成 b a 的形式，且a ，b 互质） 14、试写出下列命题的反面： （1）a 大于2 _____________;（2）a⊥b _______________. 15、用反证法证明“若22a b ≠，则a b ≠”的第一步是______________. 16、填空：在△ABC 中，若∠C 是直角，那么∠B 一定是锐角. 证明：假设结论不成立的，则∠B 是__________或_________. ①当∠B 是_______时，则__________,这与____________________矛盾； ②当∠B 是_______时，则__________,这与____________________矛盾.
八年级数学下册 4.4《反证法》学案 浙教版
八年级数学下册 4.4《反证法》学案浙教版 4、4 反证法 【学习目标】 1、理解反证法的含义与原理，掌握反证法的一般步骤； 2、会用反证法证明简单的代数命题和几何命题； 3、树立“正难则反”和“转换思维”的意识。 【学习过程】 1、阅读书中故事路边苦李王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?其思维过程的表述如下图：这种推理方法就是反证法。在证明一个命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法。 2、请你模仿推理：他运用了怎样的推理方法？在古希腊时，有三个哲学家，由于争论和天气的炎热感到疲倦，于是就在花园里的一棵大树下躺下休息睡着了。这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额，当他们醒过来后，彼此相看时都笑了。一会儿其中有一个人却突然不笑了，他是觉察到什么了？ 3、整体感知用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的。
这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定。既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了。概括地说就是要利用“结论的反面不成立”的证明来证明结论成立。４、请你写出下列结论的反面 1、a⊥b； 2、d是正数； 3、a≥0； 4、a∥b。答： ______________________________________________________５、完成课内练习１、６、例、求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交。已知：求证：证明：７、根据上述解答，归纳反证法证题的步骤。 ①假定结论不成立（即结论的反面成立）；②从假设出发，结合已知条件，经过推理论证，推出与已知条件或定义、定理、公理相矛盾；③由矛盾判定假设不正确；④肯定命题的结论成立。方法总结：证明一个命题是真命题有哪些方法? ８、当堂练习：书作业题 9、甲、乙、丙、丁、戊五人在运动会上分获一百米、二百米、跳高、跳远和铅球冠军，有四个人猜测比赛结果：A说：乙获铅球冠军，丁获跳高冠军； B说：甲获百米冠军，戊获跳远冠军；C说：丙获跳远冠军，丁获二百米冠军； D说：乙获跳高冠
中考数学解题方法反证法专题
中考数学解题方法反证法专题 在初中数学题目的求解过程中，当直接证明一个命题比较复杂麻烦，甚至不能证明时，我们可以采用反证法.反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬 反证法（结论的反面只有一种）与穷举反证法（结论的反面不只一种）. 用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论.反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大于/不大于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有（n-1）个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个. 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知
条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾. 至于什么问题宜用反证法？这是很难确切回答的问题.下面我们就结合实例归纳几种常使用反证法的 情况. 一、基本定理或初始命题的证明 在数学中，许多基本定理是使用反证法来证明的，例如“过直线外一点只有该直线的一条平行线”，“过平面外一点只有平面的一条垂线”.因为在证明这种基本定理时，由于除已经学过的公理及其推论外，在此之前所导出的定理不多或者与此命题相关的定理不多. 例1在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直.求证：a与b平行. 证明假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”. 不妨设直线a，b的交点为M，a，b与c的交点分别为P，Q，如图1所示，则∠PMQ>0°. 这样，△MPQ的内角和=∠PMQ+∠MPQ+∠PQM=∠PMQ+90°+90°>180°. 这与定理“三角形的内角和等于180°”相矛盾.说明假设不成立.
初二数学上册分式方程100
2x＋6 5 ———＝——— x2＋x 3x＋3 1 1 3 —－———＝———4 4x＋1 8x＋2 6 ———＋a＝7 x＋5 m 2 —－———＝0 x x＋3 30 90 ———＝———40＋v 70－v 1 8 —＝—— x x＋6 1 7 ———＝———x＋6 x－6 2 9 ———＝— x＋1 x
x 6 ———＋7＝———————x－5 (x－5)(x－3) 3 7 —＝—— 6x x＋7 x 9 ———＝————－6 x－3 3x＋12 7 8 ———＝——— x＋3 x2－9 8 4 ———＝———x2－7x x2＋7x 1 1 1 —＋—＋——＝3 4 5 2x 70 70 ———＝———30＋v 70＋v 9 8 —＝—— x x－5
x 5 ———＝———－4 x＋2 3x＋6 4 2 ———＝————6x－1 36x2－1 6 9 ———－———＝4 x2＋9x x2－9x x x＋8 ———＝——— x＋2 x－1 x＋6 4 ———－4＝———x＋2 2＋x 3x－3 6 ———＝——— x2－x 4x－4 1 2 5 —－———＝———2 2x－3 4x－6 8 ———＋a＝2 x－7
m 8 —＋———＝0 x x＋9 60 30 ———＝———40－v 60－v 5 6 —＝—— x x＋9 5 9 ———＝———x＋3 x＋3 5 8 ———＝— x－4 x x 4 ———＋4＝———————x＋9 (x－9)(x－5) 4 6 —＝—— 6x x－4 x 9 ———＝————＋4 x＋3 3x－15
华东师大版八上数学3.反证法教案
华东师大版八上数学3.反证法 【基本目标】 1.理解反证法. 2.会用反证法证明较简单的题. 【教学重点】 用反证法证明几何命题. 【教学难点】 反证法中渗透“正难则反”的思想. 一、创设情景，导入新课 出示多媒体，展示《路旁苦李》的故事的动画场景，引入反证法的课题. 二、师生互动，探究新知 活动 1反证法的步骤. 教师给出问题：如果你当时也在场，你会怎么办？五戎是怎么判断李子是苦的？你认为他的判断正确吗？ 学生讨论交流，选代表发言. 如果李子不是苦的，路旁的人很多，早就没有这么多李子. 教师出示，若a2+b2≠c2（a≤b≤c）,则△ABC不是直角三角形，你能按照刚才五戎的方法推理吗？ 学生活动，代表展示.若∠C是直角，则a2+b2=c2，而a2+b2≠c2，这是不可能的，即△ABC不是直角三角形. 【教师归纳】先假设结论的反面是正确的；然后经过演绎推理，推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原命题正确.即：一、反设；二、推理得矛盾；三、假设不成立，原命题正确. 活动2用反证法证明. 教材P116例5. 【教师活动】原命题结论的反向是什么？按照假设可以得到矛盾吗？
【学生活动】独立完成，交流成果，发言展示. 教材P116例6. 【教师活动】△ABC至少有一个内角小于或等于60°的反向是什么？按照假设可以推出矛盾吗？ 【学生活动】独立完成，交流成果，发言展示. 【教学说明】在几何命题中涉及到有“至少”“至多”“唯一”时，直接不易证明，可考虑反证法. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分,教师巡视并及时点评，主要是证明格式是否规范. 四、典例精析，拓展新知 例求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【教师活动】（1）你首选的是哪一种证明方法？（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？（3）能不用反证法证明吗？你准备怎样证明？ 要求按问题解决的四个步骤进行：理解题意（画出图形，写出已知求证）；制订计划（选择证明方法，找出证明思路）；执行计划（写出证明过程）. 【学生活动】讨论交流后独立完成. 五、运用新知，深化理解. 完成教材P117练习第1、2题. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 反证法是一种重要的证题方法，也是初中数学的难点，如何突破这一难点，并为学生更好地理解和掌握是需要教师精心设计的.在教学时应注意三个思维障
北师大版-数学-八年级上册-《立方根》教学设计
第二章实数 3．立方根 一、学生起点分析 学生已经学习了平方根的概念，掌握了求一个非负数的平方根和算术平方根的方法，明确了平方运算与开平方的互逆关系．学生在平方根学习活动中体会了类比的思想方法，为立方根的学习提供了一定的经验基础和学习方法．立方根的计算有着非常广泛的应用，有关空间形体的计算经常涉及开立方，因此本节知识是后续学习内容的基础． 二、教学任务分析 《立方根》是义务教育教科书北师大版八年级（上）第二章《实数》第三节．本节内容1个学时完成．主要是通过对立方根与平方根的类比，探索立方根的概念、计算和简单性质．因此，除了具体的知识技能以外，关注学生的学习方法培养，渗透数学思想方法也是教师教学过程中的关注点．为此本节课的三维教学目标是： ①了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算，了解立方根的性质；区分立方根与平方根的不同； ②经历对立方根的探究过程，在探究中学会解决立方根的一些基本方法和策略，培养逆向思维能力和分类讨论的意识．学生在经历用类比的方法学习立方根的有关知识过程中，领会类比思想； ③立方根概念、符号、运算及性质的探究过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神； 三、教学过程设计 本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设问题情境；第二环节：复习引入、类比学习；第三环节：初步探究；第四环节：尝试反馈，巩固练习；第五环节：深入探究；第六环节：课时小结；探究与思考；第七环节：作业布置及课外探究． 第一环节：创设问题情境 内容： 某化工厂使用半径为1m的一种球形储气罐储藏 气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积 是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐的多少倍？如果储气罐的体
人教版八年级上册分式方程练习及解析
第八讲 分式方程 考点综述： 中考对于分式方程的主要要求包括分式方程的概念以及解法，会检验分式方程的根，分式方程的应用也是中考考查的重点和热点。 典型例题： 例1：解方程： （1）（2007连云港） 11322x x x -=--- （2）（2007德州）解方程：120112x x x x -+=+- （3）（2007宁波）解方程21124x x x -=-- 解：（1）方程两边同乘(2)x -，得1(1)3(2)x x =----． 解这个方程，得2x =． 检验：当2x =时，20x -=，所以2x =是增根，原方程无解 （2）两边同乘以(1)(12)x x +-， 得(1)(12)2(1)0x x x x --++=； 整理，得510x -=； 解得 15 x = ． 经检验，15x =是原方程的根． （3）方程两边同乘(x-2)(x+2)，得 x(x+2)-(x 2-4)=1， 化简，得2x=－3 x=－3/2， 经检验，x=－3/2是原方程的根． 例2：（2007沈阳）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队 单独完成此项工程所需天数的45 ，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？ 解：设甲施工队单独完成此项工程需x 天， 则乙施工队单独完成此项工程需45 x 天， 根据题意，得 10x ＋1245x ＝1
解这个方程，得x ＝25 经检验，x ＝25是所列方程的根 当x ＝25时，45 x ＝20 答：甲、乙两个施工队单独完成此项工程分别需25天和20天． 实战演练： 1.（2008安徽）分式方程112 x x =+的解是（ ） A . x=1 B . x =－1 C . x=2 D . x =－2 2.（2008荆州）方程21011x x x -+=--的解是（ ） A .2 B .0 C .1 D .3 3.（2008西宁）“5·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？某原计划每天修x 米，所列方程正确的是（ ） A ．12012045x x -=+ B ． 12012045x x -=+ C ．12012045x x -=- D ．12012045x x -=- 4.（2008襄樊）当m = 时，关于x 的分式方程213 x m x +=--无解． 5.（2008大连）轮船顺水航行40千米所需的时间和逆水航行30千米所需的时间相同．已知水流速度为3千米/时，设轮船在静水中的速度为x 千米/时，可列方程为_________________________________． 6.（2008泰州）方程 22123=-+--x x x 的解是=x __________. 7.解方程： （1）（2008赤峰）2112323x x x -=-+ （2）（2008南京）22011 x x x -=+- 8.（2008咸宁） A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20千克，A 型机器人搬运1000千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
八年级数学上《分式及分式方程》期末复习专题试卷及答案
2016-2017学年度第一学期八年级数学 期末复习专题分式及分式方程 姓名：_______________班级：_______________得分：_______________ 一选择题： 1.在式子、、、、、中，分式的个数有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.用科学记数法表示0.000 000 000 000 002 56为（） A.0.256×10﹣14 B.2.56×10﹣15 C.0.256×10﹣15 D.256×10﹣17 3.如果分式中的与都扩大为原来的2倍，那么分式的值（） A.扩大为原来的2倍 B.缩小为原来的一半 C.不变 D.以上三种情况都有可能 4.下列各式变形正确的是（） A. B. C. D. 5.下列等式成立的是（） A.= B.= C.= D.=﹣ 6.下列关于分式的判断，正确的是（） A.当时，的值为零 B.无论为何值，的值总为正数 C.无论为何值，不可能得整数值 D.当时，有意义 7.x克盐溶解在克水中,取这种盐水m克,其中含盐( )克 A. B. C. D. 8.下列结论错误的是（） （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6） (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
9.用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是（） A. B. C. D. 10.若分式的值为0，则b的值是（） A.1 B.﹣1 C.±1 D.2 11.已知x2－4xy＋4y2＝0，则分式的值为（） A. B. C. D. 12.在正数范围内定义一种运算☆,其规则为☆＝,根据这个规则☆的解为（） A. B. C.或1 D.或 13.解关于x的方程（m2-1）x=m2-m-2(m2≠1) 的解应表示为（） （A）x=（B）x=（C）x=（D）以上答案都不对 14.若，则、、的大小关系是( ) A. B. C. D. 15.若实数满足1 初二数学立方根教学计划 教学目标： 一教学知识点 1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根. 2.能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算. 3.了解立方根的性质. 4.区分立方根与平方根的不同. 二能力训练要求 1.在学了平方根的基础上，要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想. 2.发展学生的求同求异思维，使他们能在复杂环境中明辨是非. 三情感与价值观要求 当今社会是科学飞速发展、信息千变万化的时代，每一个人都不可能把一生中要接触的知识全部学会，因此让他们会学知识比学会知识更重要，这就要从小培养良好的学习习惯，能自己解决的问题就自己解决，其中类比的学习方法就是一种重要的学习方法，本节课重点训练学生的类比思想的养成. 教学重点： 立方根的概念. 教学难点： 1.正确理解立方根的概念. 2.会求一个数的立方根. 3.区分立方根与平方根的不同之处. 教学方法： 类比学习法. 教学过程： Ⅰ.新课导入 上节课我们学习了平方根的定义，若x2=a，则x叫a的平方根，即x=± . 若正方体的棱长为a，体积为8，根据正方体体积的公式得a3=8，那a叫8的什么呢?本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论，若x3=a，则x叫a的什么呢? Ⅱ.新课讲解 1.请大家先回忆平方根的定义.下面大家能不能再根据平方根的写法来类推立方根的’记法呢? .若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x=± ，读作x等于正、负二次根号a，简称为x等于正，负根号a.若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x=± ，读作x 等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号a. [师]请大家对这位同学的回答展开讨论，小组总结后选代表发言. [生甲]我认为这位同学回答得不对.如果x2=a，则x=± ，x3=a时，x=± 也成立的话，那如何区分平方根与立方根呢? [生乙]因为乘方与开方是互为逆运算，求立方根可通过逆运算立方来求，如x3=8，因为23=8，所以x=2，只有一个根而不是±2，所以立方根的个数不正确. [师]大家的分析非常有道理，请认真看书第13、14页可知，若一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根cube root;也叫三次方根如2是8的立方根， 记为x= ，读作x等于三次根号a. 开立方的定义 [师]大家先回忆开平方的定义，再类推开立方的定义. [生]求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，则求一个数a的立方根的运算，叫做 开立方，其中a叫做被开方数. 2立方根的性质 [师]2的立方等于多少?是否有其他的数，它的立方也是8? [生]2的立方等于8，-23=-8，所以没有其他的数的立方等于8. [师]-3的立方等于多少?是否有其他的数，它的立方也是-27? [生]-3的立方等于-27，33=27，所以没有其他的数的立方等于-27. [师]0的立方等于多少?0有几个立方根? 《三角形的中位线》教案 教学目标 1、了解反证法的含义. 2、了解反证法的基本步骤. 3、会利用反证法证明简单命题． 4、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”. 教学重难点 本节教学的重点是反证法的含义和步骤. 课本“合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度，是本节教学的难点. 教学过程 一、情境导入 故事引入“反证法”：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么？王戎回答说:“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的？他运用了怎样的推理方法？ 我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维．反证法是数学中常用的一种方法．人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界． 那么什么叫反证法呢？(板书课题) 二、探究新知 (一)整体感知 在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法. 用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的．这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定．既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了．初二数学立方根教学计划
浙教版八年级数学下册 反证法教案