八年级命题与证明(知识点典型例题,动态几何问题)

第四章命题与证明

知识回顾：

1一般地，能明确指出概念含义或特征的句子，称为定义。

（定义必须是严密的，诸如“一些”，“大概”，“差不多”等不能在定义中出现）

2. 判断一件事情的句子，叫做命题。

命题必须是一个完整的句子，且必须对某件事情作出“是什么”或“不是什么”的判断。正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。（注意：错误的命题也是命题）

3. 命题的构成：命题由题设（或条件）和结论两部分构成。

命题表述的标准形式是：“如果……那么……”；或“若……，则……”

一般地，“如果（若）……”是题设部分，“那么（则）……”是结论部分。 4公理与定理

公理与定理都是真命题．

经过人们长期实践中总结出来的，并作为判定其他命题真假的依据，这样的真命题叫公理．（公理是不需要证明的基本事实）

从公理或其他真命题出发，通过逻辑推理来判断一个命题是正确的，并可进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫定理．

5 证明：

根据题设的条件以及定义、公理、定理等，经过逻辑推理来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫证明．

6 反证法与举反例证明假命题

反证法的步骤为：先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理、推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设的不成立，从而得出原结论是正确的． 若要证明一个命题为假命题，只要举出一个反例来说明命题不成立即可．

但所举的反例要简单、明确、有说服力．

【典型例题】：

例3. 判断下列语句，是不是命题，如果是，请判断它是真命题还是假命题。

（1）画线段AB 的中垂线。

（2）两条直线相交，有几个交点？

（3）如果a//b ，b//c ，那么a//c 。

（4）两个角不相等，则它们不是对顶角。

（5）已知一个数能被4整除，这个数一定能被8整除。

（6）同位角相等。

例1. 判断下列命题的真伪．如果是假命题，请举出一个反例．

①若a>b ，则b

1a 1< ②两个锐角的和是个锐角

③同位角相等，两直线平行

④一个角的补角大于这个角

解：①假命题．比如当a ＝2，b ＝－3时，就有3

121->． ②假命题．比如30°和80°均为锐角，但30°+80°>90°

③真命题．

④假命题．比如：130°的补角是70°，但70°<130°

（注：举反例说明命题为假只需举一个反例即可）

例2. 下列各命题中是假命题的是（ ）

A. 推理过程叫做证明

B. 定理都是命题

C. 命题都是公理

D. 公理都是命题

解：C

例6. 已知：（如图）MN//PQ ，AC ⊥PQ ，BD 、AC 相交于点E ，且DE ＝2AB ．

求证：∠DBC ＝3

1∠ABC ． M D A N

Q C B

证明：取DE 的中点G ，连结AG

∵AC ⊥PQ MN//PQ （已知）

∴∠CAD ＝90°（两直线平行，同旁内角互补）

又G 为DE 中点 ∴AG ＝DG ＝DE 2

1．（直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半） ∵DE ＝2AB

∴AG=AB

∴∠ABD ＝∠AGB ＝2∠ADG=2∠DBC （等腰三角形底角相等，与三角形外角定理） ∴∠DBC ＝3

1∠ABC 例7、反正法

1证明几何量之间的关系

：已知：四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，)(2

1CD AB EF +=。 求证：CD AB //。

证明：假设AB 不平行于CD 。如图，连结AC ，取AC 的中点G ，连结EG 、FG 。 ∵E 、F 、G 分别是AD 、BC 、AC 的中点，

∴CD GE //，CD GE 21=；AB GF //，AB GF 2

1=。 ∵AB 不平行于CD ，

∴GE 和GF 不共线，GE 、GF 、EF 组成一个三角形。

∴EF GF GE >+ ① 但EF CD AB GF GE =+=+)(21 ② ①与②矛盾。 ∴CD AB //

2、证明“唯一性”问题

在几何中需要证明符合某种条件的点、线、面只有一个时，称为“唯一性”问题。 A

B C D E F

G

例3：过平面α上的点A 的直线α⊥a ，求证：a 是唯一的。

证明：假设a 不是唯一的，则过A 至少还有一条直线b ，α⊥b

∵a 、b 是相交直线，

∴a 、b 可以确定一个平面β。

设α和β相交于过点A 的直线c 。

∵α⊥a ，α⊥b ，

∴c a ⊥，c b ⊥。

这样在平面β内，过点A 就有两条直线垂直于c ，这与定理产生矛盾。

所以，a 是唯一的。

【练习题】

1. 判断下列命题是真还是假命题，简要说明理由．

（1）同一个角的邻补角是对顶角

（2）三条直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，c ⊥b ，则a//c

（3）若延长线段AB ，延长射线CD 后它们仍不相交，则这条线段与这条射线互相平行

（4）点到直线的距离即是点到直线的垂线段

（5）若同旁内角不互补，则这两条直线不平行

（6）推论是真命题

（7）是9的倍数的数，它一定也是3的倍数

（8）若一个数能被5整除，则它一定也能被10整除

（9）只有开方开不尽的式子才是二次根式

（10）当m ≥0时，解不等式mx ≥n ，得到解集m

n x ≤ 6. 如图，已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB+BD ＝AC

求证：∠B ＝2∠C ．

B D C

*8. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BE ＝CE ，过点E 作GH ⊥AD ，交AC 、以及AD 、AB 的延长线于H 、F 、G ．

求证：AC ＝2BG+AB

A

B H

G C D E F

1. （1）√ （2）√ （3）× （4）× （5）√

（6）√ （7）√ （8）× （9）× （10）×，理由略

6. 提示：延长AB 到点E ，使BE ＝BD ，连结ED ，证明△AED ?△ACD

8. 提示：过B 作BN//AC ，证明△AGH 为等腰三角形，则BG ＝BN

又证明△BNE ?△CHE ，∴BN ＝HC ＝BG

∴AC ＝AH+HC ＝AB+BG+HC ＝AB+2BG

八年级下学期几何动态问题

1.已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．

（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；

（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．

2.如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于

R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．

（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；

（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的C P Q B A M N A

B C

D E R P

H Q

值；若不存在，请说明理由．

3.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。

（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

（3）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

4.如图，在梯形ABCD中，AD BC

∥，3

AD=，5

DC=，10

BC=，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．

N

C

M

B

（1）当MN AB

∥时，求t的值；

（2）试探究：t为何值时，MNC

△为等腰三角形．