第一讲:求线和圆的方程方法总结
第一讲 求直线和圆的方程方法总结
※求直线方程的若干方法:
直线是数学中最常见的图形,直线方程数学中最常用方程,该知识点与其他知识点的融合是最紧密的,考查的题型和方法也多样,这里总结复习几种不同的求直线方程的方法. 【关健词】直线方程 方法 一、知识要点概述:
1、直线的方程、方程的直线概念;
2、直线方程形式
(1)点斜式:直线过点00(,)x y 斜率为k ,直线方程:00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴直线; (2)斜截式:直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ,直线方程:y kx b =+,它不包括垂直于x 轴直线; (3)两点式:直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点,直线方程:1
21
121x x x x y y y y --=
--,它不包括垂直于坐标轴的直线;
(4)截距式:直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,直线方程:
1=+b
y
a x ,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线;
(5)一般式:任何直线均可写成0Ax By C ++=(A ,B 不同时为0)的形式. 提醒:(1)直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢?);(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.
直线两截距相等?直线的斜率为-1或直线过原点;
直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点; 直线两截距绝对值相等?直线的斜率为1±或直线过原点.
如过点(1,4)A ,且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条(答:3) 二、解题方法指导:
1、求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解直接写出直线方程 设直线方程的一些常用技巧:
(1)知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+;
(2)知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线);
(3)知直线过点00(,)x y ,当斜率k 存在时,常设其方程为00()y k x x y =-+,当斜率k 不存在时,则其方程为0x x =;
(4)与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=; (5)与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.
(6)经过两条直线0111=++C y B x A 和0222=++C y B x A 的交点的直线系方程为:
λ+++111C y B x A 0)(222=++C y B x A (λ为参数).
2、具体方法有:
⑴利用公式求直线方程;⑵通过直线系求直线方程;⑶借助相关点求直线方程——轨迹法; ⑷利用参数求直线方程;⑸通过分析结构求直线方程. 三、范例剖析 1、直接法
例1、直线l 在y 轴上的截距为3,且倾斜角α的正弦值为
4
5
,求直线l 的方程.
解: 4sin 5α=
Q ,3cos 5α=±Q ,∴直线的斜率43
k =± 故所求直线的方程为4
33
y x =±
+,即4390x y -+=或4390x y +-= 评注:由题意直接选择直线方程五种形式中的任何一个,写出形式适当的方程即为直接法.同时,求解本例时不要混淆概念,倾斜角应在[0,)π内,从而cos α有两个解. 2、待定系数法(公式法)
例2、过点P (2,1)作直线l 交y x ,正半轴于AB 两点,当||||PB PA ?取到最小值时,求直线l 的方程.
解法1:设直线l 的方程为:)0(),2(1≠-=-k x k y
令y =0解得k x 12-
=;令x =0,解得k y 21-=,∴A (k
1
2-,0),B (0,k 21-), ∴||||PB PA ?=)4)(11(22k k ++4248)1(4822
=?+≥++=k
k
当且仅当12
=k 即1±=k 时,||||PB PA ?取到最小值.又根据题意0 方法2:由题设,可令直线l 为:1(2)y k x -=-,分别令y =0和x =0 可得21 (,0)k A k -, B (0,1-2k ).∴2221 ||||1(2)4(121)k PA PB k k -?=+-+-- 442)2(2)1(22 2 22222==≥+=k k k k k k 当且仅当12 =k 即1k =±时,||PA PB ?u u u r u u u r 取最小值4. 又0k >Q ∴k =-1,这时直线l 的方程是x +y -3=0. 方法3:设直线l 方程为 1=+b y a x ,l 过(2,1)点∴112=+b a ∴2 -= a a b ∴22 ||||(2)14(1)PA PB a b ?=-++-u u u r u u u r 8)2(4)2(428)2(4)2(42 222+--≥+-+ -=a a a a 488=+=(以下略). 评述:此题在求解过程中运用了基本不等式,同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除k =1 的情形. 引申1:过点P (2,1)作直线l 交x 轴、y 轴正方向于A 、B ?AOB 的面积最小时的直线l 的方程. y B P(2,1) O A l 过点P (2,1) 221442(2)22a a a a -+=?--14( 2)22 a a =++- 14 [(2)4]22 a a =-++-14]42 ≥= 4 评注:由题意直接选择直线方程五种形式中最恰当的一种形式来假设方程,再求解方程,称为公式法.这里选择了截距式方程. 引申2:在本例条件下,求求直线l 在两坐标轴截距之和的最小值及其此时直线l 的方程. (参考数学试题精编P 54) 3、直线系法: 直线系的定义:具有某种共同性质的直线的集合,叫做直线系.它的方程叫做直线系方程. 例3. 求过02321=+- y x l : . (*)0)243()232(=--++-y x y x λ 即022)43()32(=-+--++λλλy x 因为所求直线与044=-+y x 平行,所以1 4 3432λ λ--= + (*),得:4、相关点法 : 利用相关点法求直线的方程实质上是轨迹法. 例4、 . 解:设所求的对称直线上任意一点坐标为(x ,y )关于直线l ??? ????-=?--=++-+?130********x x y y y y x x ,解得???????++=-+-=5354535 953 5400y x y y x x 5、参数法 例5、直线l 经过M (0,1),且被直线1l :x -3y +10=0和2l :2x +y -8=0所截得的线段恰以M 为中点, 求直线l 的方程. 解法1.:过点M 且与x 轴垂直的直线显然不合题意,故可设所求直线方程为y =kx +1,与已知直线1l ,2l 交于A ,B 两点,联立方程组:{{()11 ()3100280y kx y kx I II x y x y =+=+-+=+-=, 由(I )解得A x = 731k -,由(II )解得B x =7 2 k +,Q 点A 平分线段AB , 2A B M x x x ∴+= 即:731k -+72k +=0,解得14k =-,故所求直线的方程为:x +4y -4=0. 解法2:设l 交1l 于A (3t -10,t ),l 交2l 于B (u ,8-2u ),利用中点坐标公式得: ∴31002822 t u t t u -+=??=?+-=? , ∴A (-4,2) 由直线方程的两点式可得,直线l 的方程为:10 2140 y x --= ---,即x +4y -4=0. 解法3:设l 与已知直线1l ,2l 交于A ,B 两点,点 A (3t -10,t )在直线1l 上,则由中点坐标公式得A 关于M (0,1)的对称点B (10-3t ,2- t ),点B 在直线2l 上, ∴2(103)(2)802t t t -+--=?=, 以下同解法2,此处略. 解法4. 设所求直线方程为y =kx +1,代入方程(x -3y +10)·( 2x +y -8)=0得: ()()2 2 253287490k k x k --++-=,同解法1设所求直线与已知直线1 l ,2 l 交于A ,B 两点,由 题意:2 287253A B k x x k k ++=- --=2M x =0,可得:1 4 k =-,故所求直线的方程为:x +4y -4=0. 注意:本题所求直线过点M (0,1),故只要设出直线方程的点斜式,由题中另一条件即可确定斜率, 思路顺理成章.但是想在解题过程中不断地提高自己的逻辑思维能力以及分析问题,解决问题的能力,还应联系题中已知条件和相关知识,看能否找到新的解法,如解法2,解法3,而解法4在学习了后续知识后会有更深刻的体会. 6、结构分析法: 例6a 1x +b 1y +1=0a 2x +b 2y +1=0的交点为P (2,3),求过两点Q 1(a 1,b 1)、Q 2(a 2,b 2)(a 1≠2. 分析:利用点斜式或直线与方程的概念进行解答. 解:∵P (2,3)在已知直线上,2a 1+3b 1+1=0,2a 2+3b 2+1=0. ∴2(a 1-a 2)+3(b 1-b 2)=0,即2121a a b b --=-3 2 . ∴所求直线方程为y -b 1=-3 2 (x -a 1),∴2x +3y -(2a 1+3b 1)=0,即2x +3y +1=0. 解法2P (2,311222310,230a b a b ++=+=, 根据以上两式的结构特点易知: 2x +3y +1=0 故经过点A 、B 练习:若两条直线33222111=+=+y b x a l y b x a l :,:相交于点P (1,2),与)(22b a B ,的直线方程. P (1,23211=+b a 故经过点A 、B 巩固练习: 1、过点P (3,0AB 恰被P 点平分,求此直线方程. A 、 B ,因为A 又P (3,0)为AB 由B 03)22()6(=+-+-t t 由两点式得所求直线方程为0248=--y x . 2、一直线被两直线1l :064=++y x ,2l :0653=--y x 截得的线段的中点恰好是坐标原点,求该直线方程. 解:设所求直线与1l ,2l 的交点分别是A 、B ,设A (00,y x ),则B 点坐标为(00,y x --) 王新敞 因为A 、B 分别在1l ,2l 上,所以? ??=-+-=++06530 640000y x y x ②① ①+②得:0600=+y x ,即点A 在直线06=+y x 上,又直线06=+y x 过原点,所以直线l 的方程为06=+y x . 3、求过点P (2,3),并且在两轴上的截距相等的直线方程. 解:在两轴上的截距都是0时符合题意,此时直线方程为3x -2y =0 若截距不为0,则设直线方程为a y a x +=1 将点P (2,3)代入得a a 3 2+=1,解得a =5 ∴直线方程为 5 5y x +=1,即x +y =5. 4、直线方程0=++C By Ax 的系数A 、B 、C 满足什么关系时,这条直线有以下性质? (1)与两条坐标轴都相交;(2)只与x 轴相交;(3)只与y 轴相交; (4)是x 轴所在直线;(5)是y 轴所在直线. 答:(1)当A ≠0,B ≠0,直线与两条坐标轴都相交. (2)当A ≠0,B =0时,直线只与x 轴相交. (3)当A =0,B ≠0时,直线只与y 轴相交. (4)当A =0,B ≠0,C =0,直线是x 轴所在直线. (5)当A ≠0,B =0,C =0时,直线是y 轴所在直线. 5、求与直线l :5x -12y +6=0平行且到l 的距离为2的直线的方程. 解:设所求直线的方程为5x -12y +c =0.在直线5x -12y +6=0上取一点P 0(0, 2 1),点P 0到直线 5x -12y +c =0的距离为:d = 13 6) 12(52 1122 2 -= -++? -c c ,由题意得 13 6-c =2.所以c =32或c =-20. 所以所求直线的方程为5x -12y +32=0和5x -12y -20=0. ※求圆方程的若干方法 一、知识要点总结: 1、圆的方程形式: ⑴圆的标准方程:()()2 2 2 x a y b r -+-=. ⑵圆的一般方程:2 2 2 2 0(40)x y Dx Ey F D E F ++++=>+-, ⑶圆的参数方程: { cos sin x a r y b r θθ =+=+(θ为参数) ,其中圆心为(,)a b ,半径为r . 圆的参数方程的主要应用是三角换元:2 2 2 cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==;22x y t +≤ cos ,sin (0)x r y r r t θθ→==≤≤. ⑷()()1122,,,A x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--= 2方法总结: 求圆方程的主要方法是待定系数法,也经常数形结合来确定. 例1、圆C 与圆22 (1)1x y -+=关于直线y x =-对称,则圆C 的方程为____________ (答:2 2 (1)1x y ++=); 例2、圆心在直线32=-y x 上,且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________ (答:9)3()3(2 2 =-+-y x 或1)1()1(2 2 =++-y x ); 例3(以下各题参考数学精编p 63) 求过两圆22(3)13x y ++=和22(3)37x y ++=交点,且圆心在直线y =x -4上的圆的方程. 例4、求圆心在直线y =-2x 上,且与直线y =1-x 相切于点A (2,-1)的圆的方程. 例5、圆心在直线y =2x -7上的圆C 与y 轴交于点A (0,-4),B (0,-2),求圆的方程. 例6、半径为1的圆分别与y 轴正半轴和射线()3 0y x =≥相切,求圆的方程. 例7、设圆方程满足:①截y 轴所得弦长为2;②被x 轴分成两段圆弧,其弧长之比为3:1;③圆心到 直线l:x-2y=0,求该圆的方程.