第2课时旋转体与简单组合体的结构特征

第2课时旋转体与简单组合体的结构特征

明目标、知重点 1.认识组成我们生活世界的各种各样的旋转体；2.认识和把握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征.

1.圆柱及其有关的概念

以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.

2.圆锥的概念

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.

3.圆台的概念

用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线呢.

4.球及其有关的概念

以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径.球常用表示球心的字母O表示.

5.简单组合体

(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的.

(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.

[情境导学]举世闻名的比萨斜塔是意大利的一个著名景点.它的构造从外形上看是由八个

圆柱组合成的一个组合体，我们周围的很多建筑物和它一样，也都是由一些简单几何体组合而成的组合体.本节我们就来学习旋转体与简单组合体的结构特征.

探究点一圆柱的结构特征

思考1如图所示的空间几何体叫做圆柱，那么圆柱是怎样形成的呢？与圆柱有关的几个概念是如何定义的？

答圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.圆柱用表示它的轴的字母表示，如下图中的圆柱表示为圆柱O′O.

思考2如图，平行于圆柱底面的截面，经过圆柱任意两条母线的截面分别是什么图形？

答分别是圆面、矩形.

探究点二圆锥的结构特征

思考1类比圆柱的定义，结合右图你能给圆锥下个定义吗？

答圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.

思考2类比圆柱的轴、底面、侧面、母线的定义，如何定义圆锥的轴、底面、侧面、母线

呢？

答如图，旋转轴叫做圆锥的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，斜边在旋转中的任何位置叫做圆锥侧面的母线.

思考3经过圆锥的任意两条母线的截面是什么图形？圆锥如何用字母表示？

答三角形.圆锥用表示它的轴的字母表示，如圆锥SO.

探究点三圆台的结构特征

思考1用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面与底面之间的部分叫做圆台.圆台可以由什么平面图形旋转而形成呢？

答圆台可以看作由直角梯形绕其垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体.

思考2与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线，它们的含义分别如何？圆台如何用字母表示？

答旋转轴叫做圆台的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆台的底面，斜边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面，斜边在旋转中的任何位置叫做圆台侧面的母线.

圆台用表示它的轴的字母表示，如下图的圆台表示为圆台O′O.

思考3圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？

答它们的相同点是：它们都是由平面图形旋转得到的；不同点是：圆柱和圆台有两个底面，圆锥只有一个底面，圆柱的两个底面是半径相等的圆，圆台的两个底面是半径不等的圆，圆锥只有一个底面；当底面发生变化时，它们能相互转化，即圆台的上底面扩大，使上下底面全等，就是圆柱；圆台的上底面缩为一个点就是圆锥.

例1用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长.

解设圆台的母线长为l，截得圆台的上、下底面半径分别为r,4r.

根据相似三角形的性质得，

3

3＋l ＝r

4r

，解得l ＝9 cm. 所以，圆台的母线长为9 cm.

反思与感悟 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程组而解得.

跟踪训练1 将例1中“截去的圆锥的母线长是3 cm ”改为“圆锥SO 的母线长为16 cm ”其余条件不变，则结果如何？ 解 由题意得：16－l 16＝r 4r

，

解得l ＝12 cm.即圆台的母线长为12 cm.

探究点四 球的结构特征

思考 类比圆柱、圆锥、圆台的定义，球是如何定义的？球心及球半径是指什么？如何用字母表示球？

答 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径.球常用表示球心的字母O 表示，如球O . 例2 判断下列各命题是否正确：

(1)三棱柱有6个顶点，三棱锥有4个顶点；

(2)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线； (3)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；

(4)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；

(5)到定点的距离等于定长的点的集合是球.

解 (1)错.由棱锥顶点的定义知，棱锥只有一个顶点. (2)错.由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴.

(3)错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简

单组合体，如图所示.

(4)正确.(5)错.应为球面.

反思与感悟对几何体定义的理解要准确，另外，要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地分析，多观察实物，提高空间想象能力.

跟踪训练2下列叙述中正确的个数是()

①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.

A.0

B.1

C.2

D.3

答案 A

解析①应以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可得到一个圆锥和一个圆台.故四种说法全不正确.

探究点五简单组合体的结构特征

思考1现实生活中的物体多数是由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.那么这些组合体是怎样构成的？

答简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，例如教材图1.1－11中(1)(2)物体表示的几何体；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如教材图1.1－11中(3)(4)物体表示的几何体.

思考2观察教材图1.1－11中(1)、(3)两物体所示的几何体，你能说出它们各由哪些简单几何体组合而成吗？

答(1)中物体所示的几何体由两个圆柱和两个圆台组合而成；(3)中物体所示的几何体由一

个长方体截去一个三棱锥而得到.

例3描述下列几何体的结构特征.

解图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图(2)所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图(3)所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.

反思与感悟组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成的，因此，要仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的几何结构特征，对原组合体进行分割.

跟踪训练3数学奥林匹克竞赛中，若你获得第一名，被授予如图所示的奖杯，那么，请你介绍一下你所得的奖杯是由哪些简单几何体组成的？

解奖杯最上部是球体，中间是四棱柱，最下部是四棱台，共有三部分拼接而成的.

1.下图是由哪个平面图形旋转得到的()

答案 D

2.下列说法正确的是()

A.圆锥的母线长等于底面圆直径

B.圆柱的母线与轴垂直

C.圆台的母线与轴平行

D.球的直径必过球心

答案 D

解析圆锥的母线长与底面直径无联系；圆柱的母线与轴平行；圆台的母线与轴不平行.

3.下面几何体的截面一定是圆面的是()

A.圆台

B.球

C.圆柱

D.棱柱

答案 B

解析截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球.

4.以下说法中：

①圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定小于1；

②矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱；

③过圆台侧面上每一点的母线都相等.

正确的序号为________.

答案①③

解析①正确，圆台是由圆锥截得的，截面是上底面，其面积小于下底面的面积.②错误，矩形绕其对角线所在直线旋转，不能围成圆柱.③正确，圆台的母线都相等.

5.如图所示的(1)、(2)图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？

解图(1)、图(2)旋转后的图形草图分别如图①、②所示.

其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4、一

个圆柱O 3O 4及一个圆台O 1O 3中挖去一个圆锥O 2O 1组成的. [呈重点、现规律] 1.本节所学几何体的类型

几何体???

????

????????

柱体?????

圆柱体

棱柱体??? 三棱柱四棱柱

……锥体?????

圆锥体棱锥体??? 三棱锥四棱锥……

台体?????

圆台体

棱台体??

? 三棱台

四棱台

……球体

简单组合体

2.注意两点

(1)圆台、棱台可以看作是用一平行于底面的平面去截圆锥、棱锥得到的底面与截面之间的部分；圆台的母线、棱台的侧棱延长后必交于同一点，若不满足该条件，则一定不是圆台或棱台.

(2)球面与球是两个不同的概念，球面是半圆以它的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面，也可以看作与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合.而球体不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的空间.

一、基础过关

1.下列说法正确的是()

A.直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥

B.夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体

C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台

D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线

答案 C

解析圆锥是直角三角形绕直角边旋转得到的，如果绕斜边旋转就不是圆锥，A不正确；夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故B不正确；通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线，故D不正确.

2.下列说法正确的是()

A.直线绕定直线旋转形成柱面

B.半圆绕定直线旋转形成球体

C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台

D.圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的

答案 D

解析两直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A不正确；半圆以直径所在直线为轴旋转形成球体，故B不正确；C不符合棱台的定义，所以应选D.

3.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是()

A.①②

B.①③

C.①④

D.①⑤

答案 D

解析一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分.

4.观察如图所示的四个几何体，其中判断正确的是()

A.a是棱台

B.b是圆台

C.c是棱锥

D.d不是棱柱

答案 C

解析a图不能恢复为棱锥；b图上底与下底不平行；d图是棱柱；所以选C.

5.如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的()

答案 A

解析此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成，是由A中的平面图形旋转而形成的.

6.请描述下列几何体的结构特征，并说出它的名称.

(1)由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其它面都是全等的矩形；

(2)如右图，一个圆环面绕着过圆心的直线l旋转180°.

解(1)特征：具有棱柱的特征，且侧面都是全等的矩形，底面是五边形.几何体为五棱柱.

(2)由两个同心的大球和小球，大球里去掉小球剩下的部分形成的几何体，即空心球.

7.

如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD

解如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体.

二、能力提升

8.下列说法错误的是()

A.一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成

B.一个圆台可以由两个圆台拼合而成

C.一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成

D.一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成

答案 C

解析用一个平行于底面的平面去截台体，就会得到两个台体，因此一个圆台可以由两个圆台拼合而成，一个四棱台也可以由两个四棱台拼合而成，故B，D选项说法是正确的.若在三棱锥的底面两边上任找两点，过这两点和三棱锥的顶点的截面，就会把三棱锥分成一个三棱锥和一个四棱锥，因此一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成，故选项A 的说法正确.

9.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的()

答案 B

解析 由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离，故正确答案为B.

10.已知球O 是棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 所得的截面面积为______________________________________________________________. 答案 π6

解析 由题意知△ACD 1是等边三角形，球与三边的中点都相切，平面ACD 1截球O 所得的截面即为△ACD 1的内切圆，三角形的边长为2，所以内切圆的半径r ＝13×32×2＝6

6，

所以圆的面积为π

6

.

11.以直角三角形的一条边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体有哪些？

解 假设直角三角形ABC 中，∠C ＝90°.以AC 边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图①所示.

当以BC 边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图②所示. 当以AB 边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图③所示. 12.圆台侧面的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍.求两底面的半径与两底面面积之和. 解

设圆台上底面半径为r ，则下底面半径为2r ，圆台上底面面积为S 1，下底面面积为S 2，两底面面积之和为S .

如图所示，∠ASO＝30°，

在Rt△SO′A′中，r

SA′

＝sin 30°，∴SA′＝2r.

在Rt△SOA中，2r

SA＝sin 30°，

∴SA＝4r.

又SA－SA′＝AA′，即4r－2r＝2a，∴r＝a.

∴S＝S1＋S2＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2.

∴圆台上底面半径为a，下底面半径为2a，两底面面积之和为5πa2.

三、探究与拓展

13.

如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM ＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求：

(1)绳子的最短长度的平方f(x)；

(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；

(3)f(x)的最大值.

解

将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆O 的周长，

∴L＝2πr＝2π.

∴∠ASM ＝L 2πl ×360°＝2π

2π×4

×360°＝90°.

(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM ，其值为AM ＝x 2＋16(0≤x ≤4).

∴f (x )＝AM 2＝x 2＋16(0≤x ≤4).

(2)绳子最短时，在展开图中作SR ⊥AM ，垂足为R ，则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离，

在△SAM 中，

∵S △SAM ＝12SA ·SM ＝1

2AM ·SR ，

∴SR ＝SA ·SM

AM

＝

4x

x 2

＋16

(0≤x ≤4)， 即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为

4x x 2

＋16

(0≤x ≤4).

(3)∵f (x )＝x 2＋16(0≤x ≤4)是增函数， ∴f (x )的最大值为f (4)＝32.