北师大版八年级下册第四章因式分解导学案
北师大版八年级下册第四章导学案
4.1分解因式
学习目标、重点、难点
【学习目标】 1、分解因式的定义；
2、分解因式与整式乘法的关系； 【重点难点】 1、分解因式的定义；
2、分解因式与整式乘法的关系.
知识概览图
分解因式??
?关系
分解因式与整式乘法的分解因式的意义
新课导引
观察下列运算：993-99＝99×(992-1)＝99×9800＝98×99×l00.
【问题探究】 从上面的运算过程，你知道这是运用了什么方法使复杂的计算过程简单化了吗? 【解答】上面计算过程中运用了分解因式，使计算过程简单化了. 教材精华
知识点1 分解因式的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.例如：ax +ay ＝a (x +y )，a 2-2ab +b 2＝(a -b )2等，都是分解因式.
理解分解因式的定义应注意以下三点：（1）分解因式的结果要用积的形式表示.（2）每个因式必须是整式.且每个因式的次数都不能高于原来多项式的次数.（3）必须分解到每个多项式都不能再分解为止.分解时要注意分解因式所在的数集，本章仅限于在有理数范围内分解因式.
知识点2 分解因式与整式乘法的关系
如果把整式乘法看作一个变形过程.那么多项式的分解因式就是它的逆过程，如果把多项式的分解因式看作一个变形过程，那么整式乘法就是分解因式的逆过程，因此多项式的分解因式与整式乘法互为逆过程.这种互逆过程一方面说明了两者之间的密切联系，另—方面义说明了两者之间的
根本区别.例如：ma +mb +na +nb
分解因式整式乘法
(a +b )(m +n ).
知识拓展 解因式与整式乘法是互逆过程.
课堂检测
基本概念题
1、下列从左边到右边的变形中，哪些是分解因式?哪些不是?为什么? （1）24x 2y ＝4x ·6xy ;
（2）（x +5）（x -5）＝x 2-25；
（3）x 2+2x -3＝（x +3）（x -1）； （4）9x 2-6x +l ＝3x （3x -2）+l ；
（5）31ax +31bx ＝3
1
x （a +b ）.
基础知识应用题 2、计算下列各式. （1）3a 2(a +2)； （2）(a+x ) (a -x )； （3）(x -4)2；
（4）ab (a -b -1)； （5）(x +2)(x -3)；
（6）(2a -3b )2.
综合应用题
3、已知x 2+2x +p 可以分解为（x -3）（x +5），求p 的值.
探索创新题
4、计算19.97×95+19.97×5的最简便方法是 （ ）
A.19.97×95+19.97×5＝19.97×（95+5）
B.19.97×95+19.97×5＝5×（19.97×19十19.97）
C.19.97×95+19.97×5＝1897.15+99.85
D.19.97×95+19.97×5＝19.97×5×（19+1）
体验中考
1、下列分解因式正确的是（）
A. 2x2-xy-x＝2x（x-y-1）
B. –xy2+2xy-3y＝-y（xy-2x-3）
C. x（x-y）-y（x-y）＝(x-y)2
D. x2-x-3＝x（x-1）-3
学后反思
附：课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析此题应根据分解因式的概念来解决.
解：（1）不是分解因式.因为分解因式是把一个多项式化成几个整式的积的形式，而24x2y是一个单项式.
（2）不是分解因式.因为等号左边的（x+5）（x-5）是几个整式的积的形式.而等号右边的x2-25是一个多项式.
（3）是分解因式，因为等号左边的x 2+2x -3是—个多项式.且等号右边的（x +3）（x -1）是两个整式的积的形式.
（4）不是分解因式.因为等号左边的9x 2-6x +1虽然是一个多项式，但等号右边的 3x (3x -2)+1不是几个整式的积的形式.
（5）是分解因式.因为等号左边的31ax +31bx 是一个多项式，且等号右边的3
1
x (a+b)是整式的积
的形式.
【解题策略】 解此题的关键是看它分解的“对象”和分解的“结果”，分解因式的“对象”应是多项式，分解因式的“结果”只能是整式的积的形式
2、分析 此题应运用乘法公式来计算，目的是了解整式乘法与分解因式互为逆过程. 解：（1）3a 2（a +2）＝3a 3+6a 2.
（2）（a+x ）（a -x ）＝a 2-ax +ax -x 2＝a 2-x 2
（3）(x -4)2＝（x -4）（x -4）＝x 2-4x -4x +16＝x 2-8x +16. （4）ab （a -b -1）＝a 2b -ab 2-ab
（5）（x +2）（x -3）＝x 2-3x +2x -6＝x 2-x -6.
（6）（2a -3b ）2＝（2a -3b ）（2a -3b ）＝4a 2-6ab -6ab +9b 2＝4a -12ab +9b 2.
【解题策略】 利用整式乘法的相关性质、公式计算.注意理解分解因式与整式乘法的互逆关系.
3、分析 由于分解因式与整式乘法互为逆过程.并且分解前、后的两个代数式是相等的，所以可以利用整式乘法解决此题.
解：根据题意，得x 2+2x +p ＝（x -3）（x +5）. 因为（x -3）（x +5）＝x 2+2x -15， 所以（x 2+2x +p ＝x 2+2x -15.所以p ＝-15.
【解题策略】 解决这类问题时，一般都是根据分解前、后的两个代数式相等得到等式.再利用整式乘法确定某些字母的值.
4、分析 练习此题的目的是为下一节学习提公因式法打下基础.选A. 【解题策略】 解此类型题可考虑以前学习的乘法分配律的逆用.
体验中考
1、分析 根据分解因式与整式乘法的关系验证.故选C 【解题策略】 运用整式乘法的运算来验证.
4.2提公因式法
学习目标、重点、难点
【学习目标】 1、分解因式的意义；
2、确定公因式，提公因式法；
3、提因公因式法分解因式的步骤.
【重点难点】
1、确定公因式，提公因式法；
2、提因公因式法分解因式的步骤.
知识概览图
分解因式???提公因式法
分解因式的意义
新课导引
观察下列运算：2π×0.23+2π×0.36+2π×0.41≈6.28×0.23+6.28×0.36+6.28×0.41=1.444+2.2608+2.5748=6.28.（π≈3.14）
问题探究 上面的运算太麻烦，我们可以这样运算；
2π×0.23+2π×0.36+2π×0.41=2π×（0.23+0.36+0.41）=2π≈2×3.14=6.28，那么这是运用了什么方法使运算简单化了呢?
解答我们运用的是分解因式中的提公因式法进行计算的
教材精华
知识点1 公因式的概念
我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．
拓展公因式是指多项式各项都含有的公共的因式，例如：多项式ma+mb+mc中，m是此多项式的公因式．
知识点2 确定公因式
准确地确定公因式，是运用提公因式法分解因式的关键，如何确定公因式呢?可分两步进行：
(1)确定公因式的数字因数．当各项系数都是整数时，它们的最大公约数就是公因式的数字因数.
(2)确定公因式的字母及其指数．公因式的字母应是多项式各项都含有的字母，其指数取最低的。
例如：多项式-4a3b3+8a2b2-2ab的公因式是2ab(也可以是-2ab)，多项式2(m-n)2+m(m-n)的公因式是m-n.
知识点3 提公因式法
确定了一个多项式的公因式后，这个公因式就是分解因式的结果中的一个因式，再根据单项式乘以单项式、单项式乘以多项式的运算法则，就可确定出结果中的另一个因式．例如：-24x2y-12xy2+28y3=-4y(6x2+3xy-7y2);x(x-y)2+y(y-x)2＝x(x-y)2+y(x-y)2＝(x-y)2(x+y)．
这种分解因式的方法，就是提公因式法．具体定义如下：
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法．
拓展(1)提公因式法的关键是确定公因式，但提出公因式后，还应准确地确定另一个因式．(2)提公因式的依据是逆用乘法分配律．(3)应用提公因式法要防止出现以下错误：①漏项；②变错符号；③没有整体思想．
知识点4 提因公因式法分解因式的步骤
(1)找出多项式中各项的公因式．
(2)提出公因式，并确定另一个因式，确定另一个因式时，可用原多项式除以公因式，所得的
商即是另一个因式．
课堂检测
基本概念题
1、找出下列各组式子中的公因式. (1)4a 3，8a 2b 2，-30a 2bc ； (2)4x (y +1)2，8x (y +1)(y-1)；
(3)12x n y 2n ，16x 2-1y n+1.(n 为大于1的整数)
2、指出下列分解因式中的错误，并加以改正. （1）4a 6b -8a 7b =4a 6(b -2ab ); （2）8xy 2-16x 3y 2+8x 2y 2=8xy 2(-2x 2+x ); （3）15mn +5m 2=15mn (1+n
m 3).
基础知识应用题 3、先分解因式，再求值.
（1）15x 2(y +4)-30x (y +4)，其中x =2，y =-2；
（2）已知a -b+c =0，求(a +b -c )(a -b +c )-(b -a +c )(b -a -x )的值.
综合应用题
4、某地区根据地理位置及气候特点，在大棚种植上采用了如下结构：占地呈矩形，四周为砖墙，上为玻璃屋顶，设矩形的长、宽分别为a，b，且前沿墙高为c．后沿墙高为d．
(1)求这座大棚砖墙的而积S；
(2)如果a＝6.6 m，b＝3.4 m，c＝0.5 m．d＝1.5 m．计算砖墙的面积．
探索创新题
5、已知多项式n2-n.
（1）求出当n＝0，1，2，3，4时，这个代数式的值；
（2）猜想n2-n的值能否为奇数；
（3）借助分解因式证明你的猜想．
体验中考
1、分解因式ax-ay＝.
2、若m，n互为相反数，则5m+5n-5＝.
学后反思
附：课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析多项式的各项都含有的因式是公因式，公因式的系数是各项系数的最大公约数．各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母因式．
解：(1)公因式是2a2.
(2)公因式是4x(y+1)．
(3)公因式是4x n-1y n+1．
【解题策略】字母的指数中含有字母时，要判断出哪个指数是最小的．如(3)中，当n为大于1的整数时．2n＞n+1．因此公固式中字母y的指数是n+1．
2、分析（1）应提取4a6b,而不应提取4a6.（2）提取公因式后右边括号里缺了一项，（3）应提取5m，而不是15mn.
解：（1）4a6b-8a7b=4a6b(1-2a).
（2）8xy2-16x3y2+8x2y2=8xy2(1-2x2+x).
（3）15mn+5m2=5m(3n+m).
【解题策略】确定公因式要抓住两点：①取各项系数的最大公约数为公因式的数字因数；②取各项都含有的字母，并且取指数最低的为字母因式.
3、分析此题是提取公因式法在计算中的进一步应用，先利用分解因式化简，再代入数值.
解：（1）15x2(y+4)-30x(y+4)=15x(y+4)(x-2)，
当x=2，y=-2时，原式=15×2×(-2+4) ×(2-2)=0，
（2）(a+b-c)(a-b+c)-(b-a+c)(b-a-c)
=(a+b-c)(a-b+c)-(b-a+c)(a-b+c)
=(a-b-c)(a+b-c+b-a+c)
=2b(a-b+c)=0.
【解题策略】解此题的关键是准确确定公因式，再运用提公因式法进行化简．
4、分析此题求大棚砖墙的面积S，面积S包括两个梯形和两个矩形的面积，两个梯形的面
积和为2×
2)
(b
d
c+
，两个矩形的面积和为ac+ad．
解：（1）由题意知S=ac+ad+2×
2)
(b
d
c+
=ac+ad+bc+bd=a(c+d)+b(c+d)=(c+d)(a+b).
（2）把a＝6.6 m，b＝3.4 m，c＝0.5 m．d＝1.5 m代入上式，
得S=(0.5+1.5×(6.6+3.4)=2×10=20(m2).
答：砖墙的面积为20m2.
【解题策略】利用因式分解解决实际问题.
5、解：(1)原式n2-n＝n(n-1)．
把n＝0，1，2，3，4分别代人上式，得：
0×(0-1)＝0，1×(1-1) ＝0，2×(2-1) ＝2，3×(3-1)＝6，4×(4-1) ＝12．
(2)不可能．
(3)n2-n＝n(n-1)，因为n-1是相邻的两个自然数，其中必有一个为偶数，所以乘积必为偶数，即n2-n必为偶数．
【解题策略】解此题要运用由特殊到一般的思想．
体验中考
1、分析本题考查利用提公因式法分解因式，ax-ay＝a(x-y)，故填a(x-y).
2、分析本题考查分解因式及互为相反数的性质，∵互为相反数，∴m+n＝0，∴5m+5n-5＝5(m+n)-5＝-5.故填-5.
4.3运用公式法
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、提公因式法进行分解因式；
2、平方差公式，完全平方公式进行分解因式
【重点难点】
平方差公式，完全平方公式进行分解因式
知识概览图
分解因式
22222
:(),2()
a b a b a ab b a b
?
?
-=+±+=±
?
提公因式法
运用公式
新课导引
如右图所示，边长为a＝18.5cm的正方形铁皮，在其四角各剪去一个边长为b＝1.75 cm的正方形后折成一个无盖的长方体盒子，计算制作这样一个盒子需要铁皮多少平方厘米．
解：S＝a2-4b2＝18.52-4×1.752＝342.25-12.25＝330(cm2)．
【问题探究】上面问题的计算方法比较麻烦，你有简便的计算方法吗?
【解答】这个问题我们可以先把式子变形，再进行计算．S＝a2-4b2＝(a+2b)·(a-2b)＝(18.5+2×1.75)×(18.5-2×1.75)＝(18.5+3.5)×(18.5-3.5)＝22×15＝330(cm2)．这种方法是先利用因式分解，再进行计算．因式分解可使计算简便．
教材精华
知识点1 平方差公式
我们知道(a+2)(a-2)＝a2-4，(3x+y)(3x-y)＝9x2-y2是乘法运算；而反过来a2-4＝(a+2)(a-2)，
9x2-y2=(3x+y)(3x-y)就是运用平方差公式进行的多项式的因式分解．
事实上，把乘法公式(a+b)(a-b)＝a2-b2反过来．就得到a2-b2＝(a+b)(a-b)．这一公式称为分解因式中的平方差公式．
拓展根据平方差公式的形式我们可以观察出其特点：左边是两项的多项式，并且每项都是完全平方的形式，是平方差；右边是两个二项式的积，这两个二项式分别是左边两个底数的和与差．即两个数的平方差，等于这两个数的和乘以这两个数的差．
知识点2 完全平方公式
同平方差公式一样，把乘法公式(a+b)2＝a2+2ab+b2,(a-b)2＝a2-2ab+b2反过来，就得到a2+2ab+b2＝(a+b)2,a2-2ab+b2＝(a-b)2,这两个公式称为分解因式中的完全平方公式.
也就是说，两个数的平方和加上(或减去)它们积的2倍．等于这两个数的和(或差)的平方．满足这一公式的多项式可以直接利用这一公式进行分解因式．
例如：l-6a+9a2＝(1-3a)2,4x2+12xy+9y2＝(2x+3y)2，(m+n)2-4(m+n)+4＝(m+n-2)2.
拓展完全平方公式适合于分解三项的多项式，要掌握好这一公式的形式和特点．运用公式法分解因式的关键是弄清各公式的形式和特点．选择适当的公式进行分解因式．公式中的字母可以表示任何数、单项式或多项式．有些同学把公式中的字母看成一个数。要避免这种局限性．规律方法小结在分解因式时，我们应首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定要先提取公因式，再考虑应用公式法分解因式．
课堂检测
基本概念题
1、把下列各式分解因式.
1m2; （2）-(x+2)2+16(x-1)2
（1）16-
25
基础知识应用题
2、把下列各式分解因式.
1m2.
（1）1-25b2; （2）x2y2-z2；（3）1-m+
4
综合应用题
3、把下列多项分解因式.
（1）a4-16; （2）(x2+y2)2-4x2y2
（3）9x2(a-b)3+4y2(b-a)3; （4）4m2-3n(4m-3n).
探索创新题
4、试说明不论x，y为任何实数，代数式(x+y)2-2x-2y+2的值都不会小于1.
体验中考
1、分解因式x3-4x＝.
2、把多项式x3-2x2y+xy2分解因式，结果正确的是（）
A.x(x+y)(x-y)
B.x(x2-2xy+y2)
C.x(x+y)
D.x(x-y)2
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测
1、分析 这两个多项式都满足平方差公式，故可以运用平方差公式进行分解因式. 解：（1）16-251m 2＝42-(51m )2＝(4+51m ) (4-5
1
m ). （2）-(x +2)2+16(x -1)2
＝16(x -1)2-(x +2)2＝[4(x -1)]2-(x +2)2 ＝[4(x -1)+(x +2)][4(x -1)-(x +2)] ＝(5x -2)(3x -6) ＝3(5x -2)(x -2).
【解题策略】 运用平方差公式分解因式时，多项式应该有两项，这两项都是完全平方的形式，而且这两项的符号不同.
2、分析 把题目中各式化成公式的形式，然后再进行分解因式. 解：（1）1-25b 2＝(1+5b )(1-5b ). （2）x 2y 2-z 2＝(xy +z )(xy -z ). （3）1-m +4
1m 2＝(1-2
1m )2.
【解题策略】 掌握平方差公式、完全平方公式的特点.
3、分析 （1）用平方差公式；（2）先用平方差公式，再用完全平方公式；（3）先提公因式；再用平方差公式；（5）先整理，再用完全平方公式.
解：（1）a 4-16＝(a 2)-42＝(a 2+4)(a 2-4) ＝(a 2+4)(a +2)(a -2).
（2）(x 2+y 2)2-(2xy )2＝(x 2+y 2)2-（2xy ）2=(x 2+y 2+2x y )(x 2+y 2-2xy )＝(x+y )2(x -y )2. （3）9x 2(a -b )3+4y 2(b -a )3＝9x 2(a -b )3-4y 2(a -b )3=(a -b )3(9x 2-4y 2)＝(a -b )3(3x +2y )(3x -2y ). （4）4m 2-3n (4m -3n )＝4m 2-12mn +9n 2＝(2m -3n )2.
【解题策略】在分解因式时，有时需先提公因式，再运用公式；有时不止一次用公式；有时需将所给多项式进行整理，再进行分解因式，应注意分解因式要分解到每个因式都不能再分解为止.
4、分析此类问题一般都是先把这个代数式化成一个完全平方式加上某个数，再说明完全平方式大于等于零.
解：(x+y)2-2x-2y+2
＝(x+y)2-2(x+y)+1+1＝[(x+y)-1]2+1＝(x+y-1)2+1.
因为(x+y-1)2≥0，所以(x+y-1)2+1≥1，
所以代数式(x+y)2-2x-2y+2的值不会小于1.
【解题策略】解此类型题通常都是通过把代数式配成完全平方式，再加以说明.
体验中考
1、分析本题考查分解因式的方法.x3-4x＝x(x2-4) ＝x(x+2)(x-2).故填x(x+2)(x-2).
2、分析各项均有公因式x，提取x后，再运用公式法分解因式.故选D.