均值不等式测试题
3.2 均值不等式 测试题
一．选择题：
1．已知a 、b ∈（0，1）且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ）
Ａ．a 2+b 2
Ｂ．２ab Ｃ．2a b Ｄ．a +b 2．x ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ）
A ．x 2+1≥x
B ．1
12+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 3．已知x+3y-1=0，则关于y x 82+的说法正确的是（ ）
Ａ．有最大值8 Ｂ．有最小值22 Ｃ．有最小值8 Ｄ．有最大值22
4．Ａ设实数x ，y ，m ，n 满足x 2+y 2=1，m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是（ ）
Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．5 Ｄ．
210 5．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是（ ）
Ａ．（a+b ）(
b a 11+)≥4 Ｂ．a 3+b 3≥2ab 2 Ｃ．a 2+b 2+2≥2a+2b Ｄ．
b a b a -≥- 6．下列结论正确的是（ ）
A ．当x>0且x ≠1时，lgx+x lg 1≥2
B ．当x>0时，x +x
1≥2 C ．当x ≥2时，x ＋x 1 ≥2 D ．当0 1无最大值 7．若a 、b 、c>0且a(a+b+c)+bc=324-，则2a+b+c 的最小值为（ ） A ．13- B ．13+ C ．223+ D ．223- 二．填空题： 8．设x>0，则函数y=2－x 4－x 的最大值为 ；此时x 的值是 。 9．若x>1，则log x 2＋log 2x 的最小值为 ；此时x 的值是 。 10．函数y=1 42-+-x x x 在x>1的条件下的最小值为 ；此时x=_________． 11．函数f(x)=2 42 +x x (x ≠0)的最大值是 ；此时的x 值为 _______________． 三．解答题： 12．函数y=log a (x+3)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，求n m 11+的最小值为。 13．某公司一年购某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 为多少吨？ 14．已知x,y ∈（－3，3）且xy ＝－1，求s= 22121233y x -+-的最小值。 参考答案： 一．选择题： 1．D 解析：只需比较a 2+b 2与a +b 。由于a 、b ∈（0，1），∴a 2 2．B 3．B 解析：y x 82+＝2333222222y x y x y x +=≥+＝22 4。A 解法一：设x=sin α，y=cos α，m=3sin β，n=3cos β，其中α，β∈∈（0°，180°）其他略。 解法二、m 2+n 2=322)3()3(n m +?＝1∴2＝x 2+y 2＋22)3()3(n m + ≥)(32 ny mx +∴mx+ny ≤3。 5．B 解析： A 、C 由均值不等式易知成立；D 中，若a B 不成立。 6．B 解析： A 中lgx 不一定为正；C 中等号不成立；D 中函数为增函数，闭区间上有最值。故选 B 。 7．D 解析：(2a+b+c)2=4a 2+(b 2+c 2)+4ab+4ac+2bc ≥4a 2+2bc+4ab+4ac+2bc =4(a 2+bc+ac+ab)=4[a(a+b+c)+bc]=4(324-)＝4（13-）2 当且仅当b=c 时等号成立。∴最小值为223-。 二．填空题： 8．－2，2 9．2，2 10 。解析：y=1 42-+-x x x ＝14-+x x ＝114)1(+-+-x x ≥5，当且仅当x=3时等号成立。 11。解析：f(x)=242 +x x ＝422 21212 2=≤+x x ，此时x ＝42。 三．解答题： 12．解析：∵y=log a x 恒过定点（1，0），∴y=log a (x+3)－1恒过定点（－2，－1），∴-2m-n+1=0，即2m ＋n ＝1，∴n m 11+＝（n m 11+）（2m ＋n ）＝2＋2＋n m m n 4+≥8，∴最小值为8。 13．解析：设一年的总运费与总存储费用之和为y ，则x x x x y 41600244400?≥+?= ＝160，当且仅当x=20时等号成立。最小值为160。 14．解析：s=22121233y x -+-≥)912)3(36222y x --＝12)312(37122y x +-≥12 512362371=-。评注：两次等号成立的条件都一样。 基本不等式练习题及答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ． 均值不等式测试题 一、选择题 1．已知a 、b ∈（0，1）且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ） Ａ．a 2+b 2 Ｂ．２ab Ｃ．2a b Ｄ．a +b 2．x ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ） A ．x 2+1≥x B ．11 2+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 3．已知x+3y-1=0，则关于y x 82+的说法正确的是（ ） Ａ．有最大值8 Ｂ．有最小值22 Ｃ．有最小值8 Ｄ．有最大值22 4．Ａ设实数x ，y ，m ，n 满足x 2+y 2=1，m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是（ ） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．5 Ｄ．2 10 5．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是（ ） Ａ．（a+b ）(b a 1 1+)≥4 Ｂ．a 3+b 3≥2ab 2 Ｃ．a 2+b 2+2≥2a+2b Ｄ．b a b a -≥- 6．下列结论正确的是（ ） A ．当x>0且x ≠1时，lgx+x lg 1≥2 B ．当x>0时，x +x 1≥2 C ．当x ≥2时，x ＋ x 1 ≥2 D ．当0 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)函数y＝x＋1 x (x＞0)的值域为( )． A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋b ab ≤2；③x2＋ 1 x2＋1 ≥1，其中正确的个 数是 ( )．A．0 B．1 C．2 D．3 3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )． B．1 C．2 D．4 4．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋ 1 x－2 (x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝ ( )． A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．4 5．已知t＞0，则函数y＝t2－4t＋1 t 的最小值为________． 考向一利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则1 x ＋ 1 y 的最小值为________； (2)当x＞0时，则f(x)＝ 2x x2＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x＞1，则f(x)＝x＋ 1 x－1 的最小值为________． (2)已知0＜x＜2 5 ，则y＝2x－5x2的最大值为________． (3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________． 考向二利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：bc a ＋ ca b ＋ ab c ≥a＋b＋c. ． 【训练2】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1. 求证：1 a ＋ 1 b ＋ 1 c ≥9. 考向三利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】?(2010·山东)若对任意x＞0， x x2＋3x＋1 ≤a恒成立，则a的取值 范围是________． 【训练3】(2011·宿州模拟)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________． 考向三利用基本不等式解实际问题 【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低【训练3】(2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n 的关系是g(n)＝80 n＋1 .若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为 f(n)万元． (1)求出f(n)的表达式； (2)求从今年算起第几年利润最高最高利润为多少万元 【试一试】(2010·四川)设a＞b＞0，则a2＋ 1 ab ＋ 1 a a－b 的最小值是 ( )． A．1 B．2 C．3 D．4 双基自测 不等式练习题 一、 基本题型 1、若0x >，求31y x x =--的最大值。 2、若22l g l g 2o x o y +=，求14x y +的最大值。 3、若lg 2lg 42x y +=，且0,0x y >>，求lg lg x y +的最大值。 4、若0,0a b >>，且142a b +=，求ab 的最小值。 5、若1x >，求11 y x x =+-的最小值。 6、若302 x <<，求()32y x x =-的最大值。 7、若52x <，求1225 y x x =+-的最大值。 8、求2 y = 9、求4sin sin y x x =+在()0,x π∈上的最小值。 10、若0,0x y >>，且3xy x y =++，求xy 的范围。 11、求()2801 x y x x +=≥+的最值。 12、0,0x y >>，且21x y +=，求41x y +的最小值。 13、0t >，求241t t y t -+=的最小值。 二、选择题 1、,a b R ∈且0ab >，则下列不等式不正确的是（ ） .||A a b a b +>- .||||||B a b a b +<+ .||C a b ≤+ .2b a D a b +≥ 2、(),0,,1,22a b a b a b M ∈+∞+==+，则M 的整数部分是（ ） .1A .2B .3C .4D 3、(),0,x y ∈+∞且()19a x y x y ??++≥ ???恒成立，则正实数a 的最小值为() .2A .4B .6C .8D 4、 0,0a b >>则11a b ++() .2A B .4C .5D 5、 ,,1,1x y R a b ∈>>，若3,x y a b a b ==+=11x y +的最大值为() .2A 3.2B .1C 1.2D 6、 ()()1210f x x x x =+-<，则()f x 有() .A 最大值 .B 最小值 .C 增函数 .D 减函数 7、函数()21log 511y x x x ??=++> ?-??的最小值为() .3A - .3B .4C .4D - 8、 0,0a b >>3a 与3b 的等比中项，则11a b +的最小值为() .8A .4B .1C 1.4D 9、0,0,2a b a b ≥≥+=则() 1.2A a b ≤ 1.2B ab ≥ 2 2.2C a b +≥ 22.3D a b +≤ 10、若0,0x y >>且23x y +=则24x y +的最小值为() .A B C .4D 11、下列结论正确的是() 1 .01,l g 2 lg A x x x x >≠+≥当且 .2B x >≥ 1.22C x x ≥当时，+x 的最小值为 1.02,D x x x <<-无最大值 不等式经典题型专题练习（含答案） ：__________ 班级：___________ 一、解答题 1．解不等式组： ()13x 2x 11{ 25 233x x -+≤-+≥-，并在数轴上表示不等式组的解集． 2．若不等式组21{ 23x a x b -<->的解集为-1 5．解不等式组：并写出它的所有的整数解． 6．已知关于x、y的方程组 521118 23128 x y a x y a +=+ ? ? -=- ? 的解满足x＞0，y＞0，数a的取 值围． 6．求不等式组 x20 x 1x3 2 -> ? ? ? +≥- ?? 的最小整数解． 7．求适合不等式﹣11＜﹣2a﹣5≤3的a的整数解． 8．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，求a的取值围． 9．若二元一次方程组 2 { 24 x y k x y -= += 的解x y >，求k的取值围. 10．解不等式组5134122 x x x x ->-???--??≤并求它的整数解的和． 11．已知x ，y 均为负数且满足：232x y m x y m +=-?? -=?①②，求m 的取值围． 12．解不等式组?? ???<+-+≤+12312)2(352x x x x ，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数集. 14．若方程组2225 x y m x y m +=+??-=-?的解是一对正数，则： （1）求m 的取值围 （2）化简：42m m -++ 15．我市一山区学校为部分家远的学生安排住宿，将部分教室改造成若干间住房. 如果每间住5人，那么有12人安排不下；如果每间住8人，那么有一间房还余一些床位，问该校可能有几间住房可以安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？ 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2 ＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ． 【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1 c ≥9. 考向三 利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】?(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是 ________． 【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 考向三 利用基本不等式解实际问题 【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？ 【训练3】 (2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝ 80 n ＋1 .若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元． (1)求出f (n )的表达式； (2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？ 【试一试】 (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1 ab ＋1 a (a － b ) 的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 双基自测 D ．(2，＋∞) 答案 C 2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋ 1x 2＋1＝(x 2 ＋1)＋1x 2＋1 －1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤1 2.答案 A 不等式基本性质练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） １．若a >0, b >0,则)11)( (b a b a ++ 的最小值是 （ ） A ．2 B ．22 C ．24 D ．4 2．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的 （ ） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充要条件 D ．必要或充分条件 3．设a 、b 为正数，且a + b ≤4，则下列各式中正确的一个是 （ ） A ． 111<+ b a B ．111≥+b a C ． 211<+ b a D ． 211≥+b a 4．已知a 、b 均大于1，且log a C ·log b C=4，则下列各式中，一定正确的是 （ ） A ．a c ≥b B ．a b ≥c C ．bc ≥a D ．a b ≤c 5．设a =2，b=37- ，26- = c ，则a 、b 、c 间的大小关系是 （ ） A ．a >b>c B ．b>a >c C ．b>c>a D ．a >c>b 6．已知a 、b 、m 为正实数，则不等式 b a m b m a >++ （ ） A ．当a < b 时成立 B ．当a > b 时成立 C ．是否成立与m 无关 D ．一定成立 7．设x 为实数，P=e x +e -x ，Q=(sin x +cos x )2，则P 、Q 之间的大小关系是 （ ） A ．P ≥Q B ．P ≤Q C ．P>Q D ． P 《基本不等式》同步测试 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2 111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. 63 C. 46 D. 183 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 11123a b c + + ≥ D ．3a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ． 114x y ≤+ B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．1 1xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,, 2 a b ab ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b ab ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22 ab a b ab a b +≤≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< 均值不等式应用 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 集合、不等式测试卷 班级 姓名 得分 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1. 1、已知集},2|{N n n x x P ∈==，},4|{N n n x x T ∈==，则P T =U A. },4|{N n n x x ∈= B. },2|{N n n x x ∈= C. },|{N n n x x ∈= D. },4|{Z n n x x ∈= 2、01=-x 是012=-x 的 A ．充要条件 B. 必要而非充分条件 C ．充分而非必要条件 D. 既非充分也非必要条件] 3. 若a ＞b ＞0，c ∈R ，则下列不等式中不正确的是（ ） A . a ＞ b B . ab ＞b 2 C.a + c ＞b +c D. ac ＞bc 4. 已知集合{} 12≤-=x x A ，=B {}2>x x ，则=B A I A ．{}32≤ 基本不等式 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 111a b c + + ≥ D ．a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ．114x y ≤+ B ．11 1x y +≥ C 2≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,2 a b ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab a b ++ 22a b ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b a b ++ Ｄ．22 ab a b a b +≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+ 11. 函数y =的最大值为 . 课时作业15均值不等式 时间：45分钟满分：100分 课堂训练 5 3 1.已知-+-=l(.r>0,)>0),则小的最小值是( ) A V 【答案】 当且仅当3x=5y时取等号. 4 2?函数f(x)=x+~+3在(一8,一2］上( ) x A.无最大值，有最小值7 B.无最大值，有最小值一1 C.有最大值7,有最小值一1 D.有最大值一1,无最小值 【答案】D 4 【解析】Vx^-2, ：.f(x)=x+~+3 ?V = __(r)+(—羽+3W_2 寸(-弓+3 4 =—1,当且仅当一x=—即x=—2时，取等号, 有最大值一1，无最小值. 1 4 3?己知两个正实数小y 满足x+y=4,则使不等式三+^上加恒 兀y 成立的实数m 的取值范围是 _____________ . 【答案】(-8,計 【分析】 对于本题中的函数，可把x+1看成一个整体，然后 将函数用x+1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的 形式特点，从而能用均值定理来处理. 【解析】因为x>—1, 所以x+ l>0. “ r ?+7x+10 (X +1)2+5(X +1)+4 所以尸x+1 = 吊 4 / f+D+吊+5N2 屮 +1)?苗+5=9 4 当且仅当x+l= 勒，即X=1时，等号成立. mx+n = t,那么/(X )与g(x)都可以转化为关于t 的函数? 课后作业 一、选择题(每小题5分，共40分)???当x=\时， 工+7x+l° 灯仆-1 — $ 函数〉'一 丫+1 (x>—1),取侍取:小值为9. 【规律方法】 形如 f(x) — mx _^n (加工°, dHO)或者 g(x) — 【解析】 斤胃字E+芥沁+树+2胡畔 4. 求函数y= 以+7卄10 ~x+1 (Q-1)的最小值. mx+n 课后练习 一元一次不等式 一、选择题 1. 下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ）个. ①x>－3；②xy≥1；③32 均值不等式应用全面总结+题型总结（含详细解析） 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则 2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈ ，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正 所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设2 3 0< 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?，则不等式的解的各种情况 如下表： 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥?? ≠? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < ()f x 基本不等式 1．函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；② a ＋ b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ， ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． ` A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________． * 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1 x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . 》 【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. * 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9. } 利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】?(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是 ________． 【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． [ 考向三 利用基本不等式解实际问题 【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低 # (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1 ab ＋ 1 a a －b 的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ） a b ＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ） a 1 +a ≥2 (a ≠0) （C ）a 1＜b 1 (a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21, g (n ) = n 12 --n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n )基本不等式练习题及标准答案
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