电磁场与电磁波课后习题及答案--第四章习题解答
习题解答
如题图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为
U ，求槽内的电位函数。
解 根据题意，电位(,)x y ?满足的边界条件为 ① (0,)(,)0y a y ??== ② (,0)0x ?= ③
0(,)x b U ?=
根据条件①和②，电位(,)x y ?的通解应取为
1
(,)sinh(
)sin()n n n y n x
x y A a a ππ?∞
==∑
由条件③，有
01
sinh(
)sin()n n n b n x
U A a a ππ∞
==∑
两边同乘以
sin(
)
n x a π，并从0到a 对x 积分，得到
002sin()d sinh()a
n U n x
A x a n b a a
ππ==?
02(1cos )sinh()U n n n b a πππ-=04,1,3,5,sinh()
02,4,6,U n n n b a n ππ?
=?
??
=
?，
故得到槽内的电位分布
1,3,5,
41(,)sinh()sin()
sinh()n U n y n x
x y n n b a a a
ππ?π
π==
∑
两平行无限大导体平面，距离为b ，其间有一极薄的导体片由d y =到b y =)(∞<<-∞x 。上板和薄片保持电位
U ，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从0=y 到
a
题图
d y =，电位线性变化，0(0,)y U y d ?=。
解 应用叠加原理，设板间的电位为
(,)x y ?=12(,)(,)x y x y ??+
其中，
1(,)x y ?为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为
U ）的电位，即
10(,)x y U y b ?=；2(,)x y ?是两个电位为零
的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为： ①
22(,0)(,)0x x b ??==
②
2(,)0()
x y x ?=→∞
③
002100(0)(0,)(0,)(0,)()
U U y y d b
y y y U U y y d y b d b ????-≤≤??=-=?
?-≤≤??
根据条件①和②，可设2(,)x y ?的通解为 21(,)sin()e
n x b
n n n y x y A b π
π?∞
-==∑
由条件③有
00100(0)sin()()
n n U U y y d n y b A U U b y y
d y b d b π∞
=?
-≤≤??=??-≤≤??∑
两边同乘以
sin(
)
n y
b π，并从0到b 对y 积分，得到
0002211(1)sin()d ()sin()d d
b
n d U U y n y n y A y y y b b b b d b b ππ=-+-=??022sin()
()U b n d n d b ππ
故得到 (,)x y ?=0022
121sin()sin()e n x b
n U bU n d n y y b d n b b π
πππ∞-=+∑
求在上题的解中，除开0U y b
一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按
20
2U W C e
f =
定
出边缘电容。
题 图
解 在导体板（0=y ）上，相应于
2(,)x y ?的电荷面密度
002
200
121sin()e n x b
y n U n d y
d n b πε?
πσεπ∞-==?=-=-?∑
则导体板上（沿z 方向单位长）相应的总电荷
2220d 2d q x x σσ∞∞
-∞===??001
022sin()e d n x b n U n d x n d b πεππ∞∞
-=-=∑?0022
141sin()n U b n d d n b εππ∞=-∑
相应的电场储能为 2002022
1211sin()2e n bU n d
W q U d n b εππ∞
===-∑
其边缘电容为 022210241sin()
e f n W b n d
C U d n b εππ∞===∑
如题图所示的导体槽，底面保持电位
U ，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。
解 根据题意，电位(,)x y ?满足的边界条件为 ① (0,)(,)0y a y ??==
② (,)0()x y y ?→→∞ ③
0(,0)x U ?=
根据条件①和②，电位(,)x y ?的通解应取为
1
(,)sin(
)n n n y a n x
x y A e a ππ?∞
-==∑
由条件③，有
01
sin(
)n n n x
U A a π∞
==∑
两边同乘以
sin(
)
n x
a π，并从0到a 对x 积分，得到
002sin()d a
n U n x A x a a π==?02(1cos )U n n ππ
-=0
4,1,3,5,02,4,6,
U n n n π?=?
??=
?，
题图
0U
a
故得到槽内的电位分布为
1,3,5,
41(,)sin()n y a n U n x x y e n a ππ?π
-==
∑
一长、宽、高分别为a 、b 、c 的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为
()sin(
)sin(
)
x
z
y y b a
c ππρ=-
的电荷。求体积内的电位?。 解 在体积内，电位?满足泊松方程
22222201()sin()sin()x z
y y b x y z a c ???ππε???++=--??? （1）
长方体表面S 上，电位?满足边界条件
S
?
=。由此设电位?的通解为
111
1
(,,)sin(
)sin()sin()mnp m n p m x n y p z
x y z A a b c πππ?ε∞∞∞
====
∑∑∑
代入泊松方程（1），可得
222111
[(
)()()]mnp m n p m n p A a b c πππ
∞∞∞
===++?∑∑∑
sin(
)sin()sin()m x n y p z a b c πππ=()sin()sin()x z y y b a c ππ-
由此可得
mnp A = (1m ≠或1)p ≠
22211
1
[()()()]sin()n p n n y A a b c b ππππ∞
=++=∑()y y b - （2） 由式（2），可得
2
221102[()()()]()sin()d b
n n n y
A y y b y a b c b b π
πππ++=-=?34()(cos 1)b n b n ππ-=
2
381,3,5,()02,4,6,
b n n n π?-=???=
?
故
2
532221,3,5,
81(,,)sin()sin()sin()
11[()()()]n b x n y z
x y z n a b c n a b c πππ?πε∞
==-
++∑
如题图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与z 轴平行的线电荷l
q ，其位置为),0(d 。
求板间的电位函数。
解 由于在(0,)d 处有一与z 轴平行的线电荷l
q ，以0x =为界将场空间分割为0x >和0x <两
个区域，则这两个区域中的电位1(,)x y ?和2(,)x y ?都满足拉普拉斯方程。而在0x =的分界面
上，可利用δ函数将线电荷l
q 表示成电荷面密度
0()()l y q y y σδ=-。
电位的边界条件为
①
11(,0)(,)0x x a ??==
22(,0)(,)0x x a ??==
②
1(,)0x y ?→()x →∞
2(,)0x y ?→()x →-∞
③
12(0,)(0,)y y ??=
21
(
)()
l
x q y d x x
??δε=??-=-
-??
由条件①和②，可设电位函数的通解为
11(,)sin(
)
n n n x n y x y A e a ππ?∞
=-=∑ (0)x >
21
(,)sin(
)
n n n x a n y
x y B e a ππ?∞
==∑ (0)x <
由条件③，有
1
sin()n
n n y A a π∞
==∑1
sin(
)
n n n y
B a π∞
=∑ （1）
题 图
1
sin()n n n n y
A a a ππ∞
=--
∑1
sin()n
n n n y
B a a ππ∞
=∑ 0
()l q y d δε=- （2）
由式（1），可得
n n
A B = （3）
将式（2）两边同乘以
sin(
)
m y
a π，并从0到a 对y 积分，有
n n
A B +0
2()sin(
)d a l
q n y y d y n a πδπε=
-=?
02sin()l q n d n a ππε （4）
由式（3）和（4）解得
sin(
)l n n q n d
A B n a ππε==
故
1101(,)sin()sin()l
n n x q n d n y x y e n a a πππ?πε∞
=-=
∑ (0)x > 2101(,)sin()sin()l
n n x a q n d n y
x y e n a a πππ?πε∞
==
∑ (0)x < 如题图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷
l
q 。求槽内的电位函数。
解 由于在
)
,(00y x 处有一与z 轴平行的线电荷
l
q ，以
x x =为界将
场空间分割为00x x <<和
0x x a
<<两个区域，则这两个区)
,(00y x 域中的电位
1(,)x y ?和2(,)x y ?都满足拉普拉斯方程。而在0x x =的
分界面上，可利用δ函数将线电荷l q
表示成电荷面密度
0()()
l y q y y σδ=-，电位的边界条件为
① 1(0,)0
y =?，
2(,)0
a y ?=
②
11(,0)(,)0x x b =??=
题图
22(,0)(,)0x x b =??= ③
1020(,)(,)x y x y ??=
21
00
(
)()
l
x x q y y x x
??δε=??-=-
-??
由条件①和②，可设电位函数的通解为
11(,)sin(
)sinh()n n n y n x
x y A b b ππ?∞
==∑ )0(0x x << 2(,)x y ?=
1
sin(
)sinh[()]
n n n y n B a x b b ππ∞
=-∑ )(0a x x <<
由条件③，有
0011sin()sinh()sin()sinh[()]n n n n n x n y n y n A B a x b b b b ππππ
∞
∞
===-∑∑ （1） 01sin()cosh()n
n n x n n y
A
b b b πππ∞
=-∑
01sin()cosh[()]n n n n y n B a x b b b πππ∞
=-∑ )(00y y q l -δε= （2）
由式（1），可得
00sinh(
)sinh[()]0n n n x n A B a x b b ππ
--= （3）
将式（2）两边同乘以
sin(
)
m y
b π，并从0到b 对y 积分，有
)]
(cosh[)cosh(00x a b
n B b x n A n n -π+π00
02()sin(
)d b l q n y
y y y n b
πδπε=-=?
02sin()l q n y n b
ππε （4）
由式（3）和（4）解得
00021sinh[()]sin()
sinh()l n q n y n A a x n a b n b b ππ
ππε=
-
00021
sinh()sin()
sinh()l n q n x n y B n a b n b b ππππε=
故
101021(,)sinh[()]sinh()l
n q n x y a x n n a b b π
?πεπ∞
==
-∑ 0sin(
)sinh()sin()n y n x n y
b b b πππ? )0(0x x <<
021021
(,)sinh()sinh()l
n q n x x y n n a b b π?πεπ∞
==
∑ 0sin(
)sinh[()]sin()n y n n y
a x
b b b πππ?- )(0a x x << 若以
y y =为界将场空间分割为
0y y <<和
0y y b
<<两个区域，则可类似地得到
101021(,)sinh[()]sinh()l
n q n x y b y n n b a a π
?πεπ∞
==
-∑ 0sin(
)sinh()sin()n x n y n x
a a a πππ? 0(0)y y <<
021021
(,)sinh()sinh()l
n q n y x y n n b a a π?πεπ∞
==
∑ 0sin(
)sinh[()]sin()n x n n x
b y a a a πππ?- 0()y y b <<
如题图所示，在均匀电场
00
x E E e =中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱的半径
为a 。求导体圆柱外的电位?和电场E 以及导体表面的感应电荷密度σ。 解 在外电场0
E 作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场
E 的电位
?与感应
电荷的电位
in
?的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量z 无关。在圆柱面坐标系中，
外电场的电位为000(,)cos r E x C E r C ?φφ=-+=-+（常数C 的值由参考点确定）
，而感应电
荷的电位
(,)in r ?φ应与0(,)r ?φ一样按cos φ变化，而且在无限远处为0。由于导体是等位体，
所以(,)r ?φ满足的边界条件为
① (,)a C ?φ= ②
0(,)cos ()r E r C r ?φφ→-+→∞
由此可设
101(,)cos cos r E r A r C
?φφφ-=-++ 由条件①，有
101cos cos E a A a C C
φφ--++=
于是得到
21E a A =
故圆柱外的电位为
210(,)()cos r r a r E C
?φφ-=-++
若选择导体圆柱表面为电位参考点，即(,)0a ?φ=，则0=C 。 导体圆柱外的电场则为
1(,)r r r r E e e φ???φφ??=-?=--=??220022(1)cos (1)sin r a a E E r r e e φφφ
-++-+
导体圆柱表面的电荷面密度为
00(,)
2cos r a
r E r
?φσεεφ
=?=-=?
在介电常数为ε的无限大的介质中，沿z 轴方向开一个半径为a 的圆柱形空腔。沿x 轴方向外加一均匀电场00
x E E e =，求空腔内和空腔外的电位函数。
解 在电场0
E 的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E 为外加
电场
E 与极化电荷的电场
p
E 的叠加。外电场的电位为
000(,)cos r E x E r ?φφ=-=-而感应电
荷的电位
(,)in r ?φ应与0(,)r ?φ一样按cos φ变化，则空腔内、外的电位分别为1(,)r ?φ和
2(,)
r ?φ的边界条件为
① ∞→r 时，20(,)cos r E r ?φφ
→-； ② 0=r 时，1(,)r ?φ为有限值；
③ a r =时， 12(,)(,)a a ?φ?φ=，
120
r r ??
εε??=??
E
题图
由条件①和②，可设
101(,)cos cos r E r A r ?φφφ=-+ ()r a ≤ 1202(,)cos cos r E r A r ?φφφ-=-+ ()r a ≥
带入条件③，有
1
12A a A a -=，
2000102
E A E a A εεεε--+=--
由此解得
0100A E εεεε-=-
+， 2
020
A a E εεεε-=-+
所以
10
02(,)cos r E r ε
?φφεε=-
+ ()r a ≤
2
0200(,)[1()]cos a r E r r εε?φφεε-=-+
+ ()r a ≥
一个半径为b 、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆柱面，如题图所示。第二象限
和第四象限的四分之一圆柱面接地，第一象限和第三象限分别保
持电位
U 和
U -。求圆柱面内部的电位函数。
解 由题意可知，圆柱面内部的电位函数满足边界条件为
① (0,)?φ为有限值；
②
002
02(,)320
322U b U φππφπ
?φπφππφπ<
=?
-<
由条件①可知，圆柱面内部的电位函数的通解为
1
(,)(sin cos )
n n n n r r A n B n ?φφφ∞
==+∑ ()r b ≤
代入条件②，有 1(sin cos )(,)
n
n n n b
A n
B n b φφ?φ∞
=+=∑
由此得到
-题图
20
1(,)sin d n n
A b n b π
?φφφπ
==?232
00
1
[sin d sin d ]n U n U n b πππ
φφφφπ-=??0(1cos )n U n b n ππ
-=
2,1,3,5,02,4,6,n
U n n b n π?=???=
?，
20
1(,)cos d n n
B b n b π
?φφφπ
==?2
32
1
[cos d cos d ]n
U
n U n b πππ
φφφφπ-
=
??
03(sin sin )22
n U n n b n ππ
π-=3
2
2(1),1,3,5,02,4,6,
n n U n n b n π+?-=???=
?，
故
3
21,3,5,
21(,)()[sin (1)cos ]n n
n U r r n n n b ?φφφπ
+∞
==
+-∑
()r b ≤
如题图所示，一无限长介质圆柱的半径为a 、介电常数为ε，在距离轴线)
(00a r r >处，有一
与圆柱平行的线电荷l
q ，计算空间各部分的电位。
解 在线电荷
l
q 作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位(,)r ?φ均为线电荷
l
q 的电位
(,)l r ?φ与极化电荷的电位(,)p r ?φ的叠加，即(,)(,)(,)l p r r r ?φ?φ?φ=+。线电荷l q 的电位
为
(,)ln 22l l l q q r R ?φπεπε=-
=-
（1）
而极化电荷的电位
(,)
p r ?φ满足拉普拉斯方程，且是φ的偶函数。
介质圆柱内外的电位
1(,)r ?φ和2(,)r ?φ满足的边界条件为分别为
① 1(0,)?φ为有限值；
②
2(,)(,)()l r r r ?φ?φ→→∞
③ a r =时，
12120,r r ??
??ε
ε??==??
由条件①和②可知，
1(,)
r ?φ和
2(,)
r ?φ的通解为
题图
11(,)(,)cos n l n n r r A r n ?φ?φφ
∞
==+∑ (0)r a ≤≤ （2）
21
(,)(,)cos n l n n r r B r n ?φ?φφ
∞
-==+∑ ()a r ≤<∞ （3）
将式（1）～（3）带入条件③，可得到
1
1
cos cos n
n n n n n A a
n B a n φφ
∞
∞
-===∑∑ （4）
11001
0ln ()cos ()
2n n l n n r a
n q R A na B na n r
εεφεεπε∞
---==?+=-?∑ （5）
当
r r <时，将R ln 展开为级数，有
010
1ln ln ()cos n n r
R r n n r φ
∞
==-∑ （6）
带入式（5），得 1
1
1001
100
0()()cos ()cos 2n n n l
n n n n q a A na
B na
n n r r εεεεφφπε∞
∞
----==-+=-
∑∑ （7）
由式（4）和（7），有
n
n n n a B a A -=
111
00000
()()
2n n n l n n q a A na B na r r εεεεπε-----+=-
由此解得 0000()12()l n n q A nr εεπεεε-=-+， 20000()2()n
l n n
q a B nr εεπεεε-=-+
故得到圆柱内、外的电位分别为
10(,)ln 2l
q r ?φπε=-01000
()1()cos 2()n
l n q r n n r εεφπεεε∞=-+∑ （8）
20(,)ln 2l
q r ?φπε=-201000()1()cos 2()n
l n q a n n r r εεφπεεε∞=-+∑ （9）
讨论：利用式（6），可将式（8）和（9）中得第二项分别写成为
000100000()()1()cos (ln ln )2()2()n l l n q q r n R r n r εεεεφπεεεπεεε∞=---=-++∑
200100000()()1()cos (ln ln )2()2()n l l n q q a n R r n r r εεεεφπεεεπεεε∞=--'-=-++∑
其中
R '=1(,)r ?φ和2(,)r ?φ分别写成为
0010
00002()
1
(,)ln ln 22()l l q q r R r εεε?φπεεεπεεε-=-
-++
0020
0000
()()11(,)ln ln ln 222l l l
q q q r R R r
εεεε?φπεπεεεπεεε---'=-
-
-++
由所得结果可知，介质圆柱内的电位与位于（,0r 0）的线电荷0
02l
q εεε+的电位相同，而介质圆
柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（,0r 0）的线电荷l q ；位于)
0,(02
r a 的
线电荷00l q εεεε--
+；位于0=r 的线电荷0
0l
q εεεε-+。
将上题的介质圆柱改为导体圆柱，重新计算。
解 导体圆柱内的电位为常数，导体圆柱外的电位(,)r ?φ均为线电荷l
q 的电位
(,)l r ?φ与感应
电荷的电位
(,)in r ?φ的叠加，即(,)(,)(,)l in r r r ?φ?φ?φ=+。线电荷l q 的电位为
(,)ln 22l l l q q r R ?φπεπε=-
=-
（1）
而感应电荷的电位
(,)in r ?φ满足拉普拉斯方程，且是φ的偶函数。
(,)r ?φ满足的边界条件为
①
(,)(,)l r r ?φ?φ→()r →∞；
② (,)a C ?φ=。
由于电位分布是φ的偶函数，并由条件①可知，(,)r ?φ的通解为
(,)(,)cos n l n n r r A r n ?φ?φφ
∞
-==+∑ （2）
将式（1）和（2）带入条件②，可得到
cos 2n
l n
n q A a
n C φπε∞
-==+
∑（3）
将
0101ln ()cos n n a
r n n r φ
∞
==-∑ （4）
带入式（3），得
00
1001cos [ln ()cos ]2n
n l
n n n q a
A a n C r n n r φφπε∞
∞
-===+
-∑∑ （5） 由此可得 000ln 2l
q A C r πε=+，
200()
2n
l
n q a A n r πε=- 故导体圆柱外的电为
(,)ln 2l q r ?φπε=-
00(ln )2l
q C r πε+-21001()cos 2n
l
n q a n n r r φπε∞
=∑ （6）
讨论：利用式（4），可将式（6）中的第二项写成为
21000
1()cos (ln ln )22n l
l n q q a n R r n r r φπεπε∞
='-=-∑
其中
R '=(,)r ?φ写成为
(,)ln ln ln 222l l l q q q r R R r ?φπεπεπε'=-+
-
ln 2l q C r πε++
由此可见，导体圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（
,
0r 0）的线电荷
l
q ；
位于)
0,(02
r a 的线电荷l q -；位于0=r 的线电荷l q 。
在均匀外电场
00
z E E e =中放入半径为a 的导体球，设（1）导体充电至
U ；（2）导体上充有
电荷Q 。试分别计算两种情况下球外的电位分布。 解 （1）这里导体充电至0
U 应理解为未加外电场
E 时导体球相对于无限远处的电位为
U ，此
时导体球面上的电荷密度00U a σε=，总电荷00
4q aU πε=。将导体球放入均匀外电场0E 中后，
在
E 的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷密度发生变化，但总电荷q 仍保持不变，导体
球仍为等位体。 设
0(,)(,)(,)in r r r ?θ?θ?θ=+，其中
000(,)cos r E z E r ?θθ=-=-
是均匀外电场
E 的电位，
(,)in r ?θ是导体球上的电荷产生的电位。
电位(,)r ?θ满足的边界条件为
① ∞→r 时，
0(,)cos r E r ?θθ→-；
② a r =时，
0(,)a C ?θ=，
0d S
S q r
?
ε?-=??
其中
C 为常数，若适当选择(,)r ?θ的参考点，可使
0U C =。
由条件①，可设
210111
(,)cos cos r E r A r B r C ?θθθ--=-+++
代入条件②，可得到 0
31E a A =，
1aU B =，
01U C C -=
若使
0U C =，可得到
321
000(,)cos cos r E r a E r aU r ?θθθ--=-++
（2）导体上充电荷Q 时，令
00
4Q aU πε=，有
004Q U a πε=
利用（1）的结果，得到
32000(,)cos cos 4Q r E r a E r r ?θθθπε-=-++
如题图所示，无限大的介质中外加均匀电场
00
z E =E e ，在介质中有一个半径为a 的球形
空腔。求空腔内、外的电场E 和空腔表面的极化电荷密度（介质的介电常数为ε）。
题图
解 在电场0
E 的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E 为外加
电场
E 与极化电荷的电场
p
E 的叠加。设空腔内、外的电位分别为
1(,)r ?θ和2(,)r ?θ，则边界
条件为
① ∞→r 时，2
0(,)cos r E r ?θθ→-；
② 0=r 时，1
(,)r ?θ为有限值；
③ a r =时， 1
2(,)(,)a a ?θ?θ=，
120
r r ??
εε??=??
由条件①和②，可设
101(,)cos cos r E r A r ?θθθ=-+ 2202(,)cos cos r E r A r ?θθθ
-=-+
带入条件③，有
221-=a A a A ，3
0001022E A E a A εεεε--+=--
由此解得
01002A E εεεε-=-
+，3
020
2A a E εεεε-=-+
所以
100
3(,)cos 2r E r ε
?θθεε=-
+
3
0200(,)[1()]cos 2a r E r r εε?θθεε-=-+
+
空腔内、外的电场为
110
3(,)2r E E ε
?θεε=-?=
+
22(,)r E ?θ=-?=
3
0000()([2cos sin ]
2r E a r E e e θεεθθεε--
++
空腔表面的极化电荷面密度为
题 图
2
02
()p r a
r r a
n P e E σεε===-?=--?=
0000
3()
cos 2E εεεθ
εε--
+
如题图所示，空心导体球壳的内、外半径分别为1r 和2r ，球的中心放置一个电偶极子p ，球
壳上的电荷量为Q 。试计算球内、外的电位分布和球壳上的电荷分布。 解 导体球壳将空间分割为内外两个区域，电偶极子
p 在球壳内表面上引起感应电荷分布，但
内表面上的感应电荷总量为零，因此球壳外表面上电荷总量为Q ，且均匀分布在外表面上。 球壳外的场可由高斯定理求得为
220()4r
Q r r E e πε=
20()4Q r r ?πε=
外表面上的电荷面密度为 2224Q r σπ=
设球内的电位为
1(,)(,)(,)
p in r r r ?θ?θ?θ=+，其中
1
2200cos (,)(cos )44p p p
r P r r θ?θθπεπε=
=
是电偶极子
p 的电位，(,)in r ?θ是球壳内表面上的感应电荷的电位。
(,)in r ?θ满足的边界条件为
① (0,)in ?θ为有限值；
②
1122(,)()r r ?θ?=，即1122(,)(,)()in p r r r ?θ?θ?+=，所以
112
02
01(,)(cos )
44in Q p r P r r ?θθπεπε=
-
由条件①可知
(,)in r ?θ的通解为
(,)(cos )
n in n n n r A r P ?θθ∞
==∑
由条件②，有 112
002
01(cos )(cos )
44n n n n Q p A r P P r r θθπεπε∞
==
-
∑
比较两端
(cos )
n P θ的系数，得到
0024Q A r πε=
，
13014p A r πε=-
，
0n A =(2)
n ≥
最后得到
123
02
11(,)(
)cos 44Q p r
r r r r ?θθπεπε=
+
-
球壳内表面上的感应电荷面密度为
111110
3
1
3cos 4r r r r p
n
r
r ??σεεθπ==??=-==-
??
感应电荷的总量为
2
111310
3d cos 2sin d 04S
p q S r r π
σθπθθπ==-?=??
欲在一个半径为a 的球上绕线圈使在球内产生均匀场，问线圈应如何绕
（即求绕线的密度）
解 设球内的均匀场为
10z H =H e ()
r a <，球外的场为2H ()r a >，如
题图所示。根据边界条件，球面上的电流面密度为
2120()()
S r a
r z r a
H ===?-=?-=
J n H H e H e
2
0sin r r a
H φθ
=?+e H e
若令
2
r r a
=?=e H ，则得到球面上的电流面密度为
0sin S H φθ
=J e
这表明球面上的绕线密度正比于sin θ，则将在球内产生均匀场。 一个半径为R 的介质球带有均匀极化强度P 。
（1）证明：球内的电场是均匀的，等于
0ε-
P
；
（2）证明：球外的电场与一个位于球心的偶极子τP 产生的电场相同，
343R πτ=
。 题 图
2
r
题 图
解 （1）当介质极化后，在介质中会形成极化电荷分布，本题中所求的电场即为极化电荷所产生的场。由于是均匀极化，介质球体内不存在极化电荷，仅在介质球面上有极化电荷面密度，球内、外的电位满足拉普拉斯方程，可用分离变量法求解。
建立如题图所示的坐标系，则介质球面上的极化电荷面密度为
cos p r P P n P e σθ
=?=?=
介质球内、外的电位1
?和2?满足的边界条件为
① 1(0,)?θ为有限值；
② 2(,)0()r r ?θ→→∞；
③
12(,)(,)R R ?θ?θ= 12
0(
cos r R
P r r
??εθ
=??-=??
因此，可设球内、外电位的通解为
11(,)cos r A r ?θθ=
1
22(,)cos B r r ?θθ=
由条件③，有
112B A R R =
，1
01
32()B A P R ε+=
解得
10
3P A ε=
，
3
103PR B ε=
于是得到球内的电位
100(,)cos 33P P r r z ?θθεε=
=
故球内的电场为 1100
33z
P P
E e ?εε=-?=-=-
（2）介质球外的电位为
332220014(,)cos cos 343PR R P r r r π?θθθεπε==20cos 4P r τ
θ
πε= 其中
3
43R πτ=
为介质球的体积。故介质球外的电场为 22
221(,)r r r r r E e e θ???θ??=-?=--=??3
0(2cos sin )4r P r e e θτθθπε+
可见介质球外的电场与一个位于球心的偶极子τP 产生的电场相同。
半径为a 的接地导体球，离球心)(11a r r >处放置一个点电荷q ，如题图所示。用分离变量法求电位分布。
解 球外的电位是点电荷的电位与球面上感应电荷产生的电位的叠加，感应电荷的电位满足拉普拉斯方程。用分离变量法求解电位分布时，将点电荷的电位在球面上按勒让德多项式展开，即可由边界条件确定通解中的系数。 设
0(,)(,)(,)in r r r ?θ?θ?θ=+，其中
00(,)4q r R
?θπε=
=
是点电荷q 的电位，
(,)in r ?θ是导体球上感应电荷产生的电位。
电位(,)r ?θ满足的边界条件为 ① ∞→r 时，(,)0r ?θ→； ② a r =时， (,)0a ?θ=。 由条件①，可得
(,)in r ?θ的通解为
10
(,)(cos )
n in n n n r A r P ?θθ∞
--==∑
为了确定系数
n
A ，利用R 1的球坐标展开式
题图
(完整版)电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方
一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ； （4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C g 和()?A B C g ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= ==-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11 （4）由 cos AB θ ===A B A B g ，得 1cos AB θ- =(135.5=o （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ ==A B B g （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 123041 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e
哈工大电磁场与电磁波实验报告
电磁场与电磁波实验报告 班级： 学号： 姓名： 同组人：
实验一电磁波的反射实验 1.实验目的： 任何波动现象（无论是机械波、光波、无线电波），在波前进的过程中如遇到障碍物，波就要发生反射。本实验就是要研究微波在金属平板上发生反射时所遵守的波的反射定律。 2.实验原理： 电磁波从某一入射角i射到两种不同介质的分界面上时，其反射波总是按照反射角等于入射角的规律反射回来。 如图（1-2）所示，微波由发射喇叭发出，以入射角i设到金属板M M',在反射方向的位置上，置一接收喇叭B，只有当B处在反射角i'约等于入射角i时，接收到的微波功率最大，这就证明了反射定律的正确性。 3.实验仪器： 本实验仪器包括三厘米固态信号发生器，微波分度计，反射金属铝制平板，微安表头。 4.实验步骤： 1）将发射喇叭的衰减器沿顺时针方向旋转，使它处于最大衰减位置； 2）打开信号源的开关，工作状态置于“等幅”旋转衰减器看微安表是否有显示，若有显示，则有微波发射； 3）将金属反射板置于分度计的水平台上，开始它的平面是与两喇叭的平面平行。 4）旋转分度计上的小平台，使金属反射板的法线方向与发射喇叭成任意角度i，然后将接收喇叭转到反射角等于入射角的位置，缓慢的调节衰减器，使微 μ）。 安表显示有足够大的示数（50A
5）熟悉入射角与反射角的读取方法，然后分别以入射角等于30、40、50、60、70度，测得相应的反射角的大小。 6）在反射板的另一侧，测出相应的反射角。 5.数据的记录预处理 记下相应的反射角，并取平均值，平均值为最后的结果。 5.实验结论：?的平均值与入射角0?大致相等，入射角等于反射角，验证了波的反射定律的成立。 6.问题讨论： 1.为什么要在反射板的左右两侧进行测量然后用其相应的反射角来求平均值？ 答：主要是为了消除离轴误差，圆盘上有360°的刻度，且外部包围圆盘的基座上相隔180°的两处有两个游标。，不可能使圆盘和基座严格同轴。 在两者略有不同轴的情况下，只读取一个游标的读数，应该引入离轴误差加以考虑——不同轴的时候，读取的角度差不完全等于实际角度差，圆盘半径偏小
电磁场与电磁波理论 概念归纳
A．电磁场理论B基本概念 1．什么是等值面？什么是矢量线？ 等值面——所有具有相同数值的点组成的面 ★空间中所有的点均有等值面通过； ★所有的等值面均互不相交； ★同一个常数值可以有多个互不相交的等值面。 矢量线（通量线）---- 一系列有方向的曲线。 线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向， 而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。 例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线。 2．什么是右手法则或右手螺旋法则？本课程中的应用有哪些？（图） 右手定则是指当食指指向矢量A的方向，中指指向矢量B的方向，则大拇指的指向就是矢量积C=A*B的方向。 右手法则又叫右手螺旋法则，即矢量积C=A*B的方向就是在右手螺旋从矢量A转到矢量B的前进方向。 本课程中的应用： ★无限长直的恒定线电流的方向与其所产生的磁场的方向。 ★平面电磁波的电场方向、磁场方向和传播方向。 3．什么是电偶极子？电偶极矩矢量是如何定义的？电偶极子的电磁场分布是怎样的？ 电偶极子——电介质中的分子在电场的作用下所形成的一对等值异号的点电荷。 电偶极矩矢量——大小等于点电荷的电量和间距的乘积，方向由负电荷指向正电荷。
4.麦克斯韦积分和微分方程组的瞬时形式和复数形式； 积分形式： 微分方式： （1）安培环路定律 （2）电磁感应定律 （3）磁通连续性定律 （4）高斯定律 5.结构方程
6.什么是电磁场边界条件？它们是如何得到的？（图） 边界条件——由麦克斯韦方程组的积分形式出发，得到的到场量在不同媒质交界面上应满足的关系式（近似式）。 边界条件是在无限大平面的情况得到的，但是它们适用于曲率半径足够大的光滑曲面。 7.不同媒质分界面上以及理想导体表面上电磁场边界条件及其物理意义； （1）导电媒质分界面的边界条件 ★ 导电媒质分界面上不存在传导面电流，但可以有面电荷。 在不同媒质分界面上，电场强度的切向分量、磁场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量永远是连续的 （2）理想导体表面的边界条件 ★ 理想导体内部，时变电磁场处处为零。导体表面可以存在时变的面电流和面电荷。
电磁场与电磁波习题及答案
. 1 麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+?u v u u v u v ,B E t ???=-?u v u v ,0B ?=u v g ,D ρ?=u v g 2静电场的基本方程积分形式为： 0C E dl =? u v u u v g ? S D ds ρ =?u v u u v g ? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为： 3.00n S n n n S e e e e J ρ??=??=???=???=?D B E H r r r r r r r r r 4线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 4.D E ε=u v u v ,B H μ=u v u u v ,J E σ=u v u v 5电流连续性方程的微分形式为： 5. J t ρ??=- ?r g 6电位满足的泊松方程为 2ρ?ε?=- ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。 12??= 1212n n εεεε??=?? 7应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理 论依据是: 唯一性定理。 8.电场强度E ?的单位是V/m ，电位移D ? 的单位是C/m2 。 9．静电场的两个基本方程的微分形式为 0E ??= ρ?=g D ； 10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A u v ，并令 B A =??u v u v 的依据是（ 0B ?=u v g ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ? ” 的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ )ln( 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω=r r 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?==-?r r r 其振幅值为：3 04510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510.dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S u u v u u v g ?S d q =?得2 4q D r π= 24D e e u u v v v r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e u u v u u v v r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r u u v u u v v u u v g g g r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞∞====??? 导体球的电容04q C a U πε==
电磁场与电磁波课后习题及答案六章习题解答
第六章 时变电磁场 6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场 5cos mT z e t ω=B 之中，如题6.1图所示。滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i. 解 穿过导体回路abcda 的磁通为 5cos 0.2(0.7) cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==?=?-=--=+? B S e e 故感应电流为 11 0.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mA in d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ = =-=-+-+E 6.2 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。设棒以角 速度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。 解 介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为 00z r r r B φωω=?=?=E v B e e B e 故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X 极化电荷体密度为 200 00 11()()2()P rP r B r r r r B ρεεωεεω?? =-??=- =--??=--P 极化电荷面密度为 0000()()P r r r a e r a B σεεωεεω==?=-?=-P n B e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为 220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=??=--=??=- 6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。设0.2a m =、0.1m b c d ===、7 1.0cos(210)A i t π=?，求回路中的感应电动势。
浙江大学-电磁场与电磁波实验(第二次).doc
本科实验报告 课程名称：电磁场与微波实验 姓名：wzh 学院：信息与电子工程学院 专业：信息工程 学号：xxxxxxxx 指导教师：王子立 选课时间：星期二9-10节 2017年 6月 17日 Copyright As one member of Information Science and Electronic Engineering Institute of Zhejiang University, I sincerely hope this will enable you to acquire more time to do whatever you like instead of struggling on useless homework. All the content you can use as you like. I wish you will have a meaningful journey on your college life. ——W z h 实验报告 课程名称：电磁场与微波实验指导老师：王子立成绩：__________________ 实验名称： CST仿真、喇叭天线辐射特性测量实验类型：仿真和测量 同组学生姓名： 矩形波导馈电角锥喇叭天线CST仿真 一、实验目的和要求 1. 了解矩形波导馈电角锥喇叭天线理论分析与增益理论值基本原理。 2．熟悉 CST 软件的基本使用方法。 3．利用 CST 软件进行矩形波导馈电角锥喇叭天线设计和仿真。 二、实验内容和原理 1. 喇叭天线概述 喇叭天线是一种应用广泛的微波天线,其优点是结构简单、频带宽、功率容量大、调整与使用方便。合理的选择喇叭尺寸,可以取得良好的辐射特性：相当尖锐的主瓣,较小副瓣和较高的增益。因此喇叭天线在军事和民用上应用都非常广泛,是一种常见的测试用天线。喇叭天线的基本形式是把矩形波导和圆波导的开口面逐渐扩展而形成的,由于是波导开口面的逐渐扩大,改善了波导与自由空间的匹配,使得波导中的反射系数小,即波导中传输的绝大部分能量由喇叭辐射出去,反
电磁场与电磁波理论基础自学指导书
电磁场与电磁波理论基础自学指导书 课程简介：电磁场理论是通信技术的理论基础，是通信专业本科学生必须具备的知识结构的重要组成部分之一。使学生掌握电磁场的有关定理、定律、麦克斯韦方程等的物理意义及数学表达式。使学生熟悉一些重要的电磁场问题的数学模型（如波动方程、拉氏方程等）的建立过程以及分析方法。培养学生正确的思维方法和分析问题的能力，使学生对"场"与"路"这两种既密切相关又相距甚远的理论有深刻的认识，并学会用"场"的观点去观察、分析和计算一些简单、典型的场的问题。为以后的学习和工作打下坚实的理论基础。 第一章矢量分析场论初步 1主要内容 本章从矢量分析入手，介绍了标量场和矢量场的基本概念，学习了矢量的通量、散度以及散度定理，矢量的环流、旋度以及斯托克斯定理，标量的梯度，以及上述的物理量在圆柱和球坐标系下的表达形式，最后介绍了亥姆霍兹定理，该定理说明了研究一个矢量场从它的散度和旋度两方面入手。通过本章的学习，使学生掌握场矢量的散度、旋度和标量的梯度的概念和数学计算为以后的电磁场分析打下基础。 2学习要求 深刻理解标量场和矢量场的概念；深刻理解散度、旋度和梯度的概念、物理意义及相关定理； 熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行矢量的微积分运算； 了解亥姆霍兹定理的内容。 3重点及难点 重点：在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积分、面积分和体积分。 难点：正确理解和掌握散度、旋度和梯度的概念及定理，可以借助流体的流量和涡旋等自然界中比较具体而形象的相似问题来理解。 4思考题合作业 1.4, 1.8, 1.9, 1.11, 1.14, 1.16, 1.24 第二章静电场 1主要内容 本章我们从点电荷的库仑定律发，推导出静电场的基本方程（微分表达及积分表达），该基本方程第一组与静电场的散度和通量有关（高斯定律），第二组有关静电场的环量和旋度，推导的过程运用了叠加原理。由静电场的基本方程中的环量和旋度的基本方程，我们引入了电位的概念，并给出了电场强度与电位之间的关系以及电位的计算公式。运用静电场的基本方程及电位可以解决静电场中的场源互求问题（已知源求场或已知场求源）。然后介绍了电偶极子的概念，推导了电偶极子的电场强度与电位的表达式。接着介绍了介质的极化，被极化的分子可等效为电偶极子，所以介质极化产生的电位就可以借用电偶极子的相关结论。由极化介质的电位公式我们推导了介质中的高斯定律，在该定律中引入了一个新的量—
电磁场与电磁波例题详解
电磁场与电磁波例题详解
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第1章 矢量分析 例1.1 求标量场z y x -+=2)(φ通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。 解：点M 的坐标是1,0,1000===z y x ，则该点的标量场值为 0)(0200=-+=z y x φ。其等值面方程为 ： 0)(2=-+=z y x φ 或 2)(y x z += 例1.2 求矢量场222zy a y x a xy a A z y x ++=的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为 ： z y dz y x dy xy dx 222== 从而有 ???????==z y dz xy dx y x dy xy dx 2222 解之即得矢量方程???=-=2 2 21c y x x c z ，c 1和c 2是积分常数。 例1.3 求函数xyz z xy -+=22?在点（1，1，2）处沿方向角 3 ,4 ,3 π γπ βπ α= = = 的方向导数。 解：由于 1) 2,1,1(2) 2,1,1(-=-=??==M M yz y x ?, 02) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xz xy y ?, 32) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xy z z ?, 2 1cos ,22cos ,21cos === γβα 所以
1cos cos cos =??+??+??= ??γ?β?α??z y x l M 例1.4 求函数xyz =?在点)2,1,5(处沿着点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向导数。 解：点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向矢量为 1734)219()14()59(z y x z y x a a a a a a l ++=-+-+-= 其单位矢量 3147 31433144cos cos cos z y x z y x a a a a a a l ++=++=γβα 5, 10, 2) 2,1,5()2,1,5()2,1,5() 2,1,5() 2,1,5() 2,1,5(==??==??==??xy z xz y yz x ? ?? 所求方向导数 314 123 cos cos cos = ??=??+??+??=?? l z y x l M ?γ?β?α?? 例1.5 已知z y x xy z y x 62332222--++++=?，求在点)0,0,0(和点)1,1,1( 处的梯度。 解：由于)66()24()32(-+-++++=?z a x y a y x a z y x ? 所以 623) 0,0,0(z y x a a a ---=?? ，36) 1,1,1(y x a a +=?? 例1.6 运用散度定理计算下列积分： ??++-+=S z y x S d z y xy a z y x a xz a I )]2()([2322 S 是0=z 和2 2 22y x a z --=所围成的半球区域的外表面。 解：设：)2()(2322z y xy a z y x a xz a A z y x ++-+= 则由散度定理???=??τ τs S d A d A 可得
电磁场与电磁波答案(无填空答案).
电磁场与电磁波复习材料 简答 1． 简述恒定磁场的性质，并写出其两个基本方程。 2． 试写出在理想导体表面电位所满足的边界条件。 3． 试简述静电平衡状态下带电导体的性质。 答：静电平衡状态下，带电导体是等位体，导体表面为等位面；（2分） 导体内部电场强度等于零，在导体表面只有电场的法向分量。（3分） 4． 什么是色散？色散将对信号产生什么影响？ 答：在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为色散。 （3分） 色散将使信号产生失真，从而影响通信质量。 （2分） 5．已知麦克斯韦第二方程为t B E ??- =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 6．试简述唯一性定理，并说明其意义。 7．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。
8．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 9．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 答：当一个矢量场的两类源(标量源和矢量源)在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。 （3分） 亥姆霍兹定理告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等），需要从散度和旋度两个方面去研究，或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究 10．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 答：其物理意义：随时间变化的磁场可以产生电场。 （3分） 方程的微分形式： 11．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。（2分） 极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。 12．已知麦克斯韦第一方程为 t D J H ??+ =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。
电磁场与电磁波点电荷模拟实验报告
重庆大学 电磁场与电磁波课程实践报告 题目：点电荷电场模拟实验 日期：2013 年12 月7 日 N=28
《电磁场与电磁波》课程实践 点电荷电场模拟实验 1.实验背景 电磁场与电磁波课程内容理论性强，概念抽象，较难理解。在电磁场教学中，各种点电荷的电场线成平面分布，等势面通常用等势线来表示。MATLAB 是一种广泛应用于工程、科研等计算和数值分析领域的高级计算机语言，以矩阵作为数据操作的基本单位，提供十分丰富的数值计算函数、符号计算功能和强大的绘图能力。为了更好地理解电场强度的概念，更直观更形象地理解电力线和等势线的物理意义，本实验将应用MATLAB 对点电荷的电场线和等势线进行模拟实验。 2.实验目的 应用MATLAB 模拟点电荷的电场线和等势线 3.实验原理 根据电磁场理论，若电荷在空间激发的电势分布为V ，则电场强度等于电势梯度的负值，即： E V =-? 真空中若以无穷远为电势零点，则在两个点电荷的电场中，空间的电势分布为： 1 212010244q q V V V R R πεπε=+=+ 本实验中，为便于数值计算，电势可取为
1212 q q V R R =+ 4.实验内容 应用MATLAB 计算并绘出以下电场线和等势线，其中q 1位于(-1,0,0)，q 2位于(1,0,0)，n 为个人在班级里的序号： (1) 电偶极子的电场线和等势线（等量异号点电荷对q 2:q 1 = 1，q 2为负电荷）； (2) 两个不等量异号电荷的电场线和等势线（q 2:q 1 = 1 + n /2，q 2为负电荷）； (3) 两个等量同号电荷的电场线和等势线； (4) 两个不等量同号电荷的电场线和等势线（q 2:q 1 = 1 + n /2）； (5) 三个电荷，q 1、q 2为(1)中的电偶极子，q 3为位于(0,0,0)的单位正电荷。、 n=28 （1） 电偶极子的电场线和等势线（等量异号点电荷对q 2:q 1 = 1，q 2为负电荷）； 程序1： clear all q=1; xm=2.5; ym=2; x=linspace(-xm,xm); y=linspace(-ym,ym); [X,Y]=meshgrid(x,y); R1=sqrt((X+1).^2+Y.^2); R2=sqrt((X-1).^2+Y.^2); U=1./R1-q./R2; u=-4:0.5:4; figure contour(X,Y,U,u,'--'); hold on plot(-1,0,'o','MarkerSize',12); plot(1,0,'o','MarkerSize',12); [Ex,Ey]=gradient(-U,x(2)-x(1),y(2)-y(1));
《电磁场与电磁波》经典例题
一、选择题 1、以下关于时变电磁场的叙述中，正确的是（ ） A 、电场是无旋场 B 、电场和磁场相互激发 C 、电场与磁场无关 2、区域V 全部用非导电媒质填充，当此区域中的电磁场能量减少时，一定是（ ） A 、能量流出了区域 B 、能量在区域中被消耗 C 、电磁场做了功 D 、同时选择A 、C 3、两个载流线圈之间存在互感，对互感没有影响的的是（ ） A 、线圈的尺寸 B 、两个线圈的相对位置 C 、线圈上的电流 D 、空间介质 4、导电介质中的恒定电场E 满足（ ） A 、0??=E B 、0??=E C 、??=E J 5、用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（ ） A 、镜像电荷是否对称 B 、电位方程和边界条件不改变 C 、同时选择A 和B 6、在静电场中，电场强度表达式为3(32)()y x z cy ε=+--+x y z E e e e ，试确定常数 ε的值是（ ） A 、ε=2 B 、ε=3 C 、ε=4 7、若矢量A 为磁感应强度B 的磁矢位，则下列表达式正确的是（ ） A 、=?B A B 、=??B A C 、=??B A D 、2=?B A 8、空气（介电常数10εε=）与电介质（介电常数204εε=）的分界面是0z =平面， 若已知空气中的电场强度124= +x z E e e 。则电介质中的电场强度应为（ ） A 、1216=+x z E e e B 、184=+x z E e e C 、12=+x z E e e 9、理想介质中的均匀平面波解是（ ） A 、TM 波 B 、TEM 波 C 、TE 波 10、以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是（ ） A 、不再是平面波 B 、电场和磁场不同相 C 、振幅不变 D 、以T E 波的形式传播 二、填空 1、一个半径为α的导体球作为电极深埋地下，土壤的电导率为 σ，略去地面的影响，则电极的接地电阻R = 2、 内外半径分别为a 、b 的无限长空心圆柱中均匀的分布着轴向电流I ，设空间离轴距离为()r r a <的某点处，B= 3、 自由空间中，某移动天线发射的电磁波的磁场强度
电磁场与电磁波(第三版)课后答案第1章
第一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）A B θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C 和()?A B C ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= = =e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （ 4 ） 由 c o s AB θ =1 1 2 3 8 = A B A B ， 得 1 c o s A B θ- =(135.5- = （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ = =- A B B （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 1 230 4 1 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502 x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。 （1）判断123P P P ?是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。
电磁场与电磁波实验实验六布拉格衍射实验
邮电大学 电磁场与微波测量实验报告
实验六布拉格衍射实验 一、实验目的 1、观察微波通过晶体模型的衍射现象。 2、验证电磁波的布拉格方程。 二、实验设备与仪器 DH926B型微波分光仪，喇叭天线，DH1121B型三厘米固态信号源，计算机 三、实验原理 1、晶体结构与密勒指数 固体物质可分成晶体和非晶体两类。任何的真实晶体，都具有自然外形和各向异性的性质，这和晶体的离子、原子或分子在空间按一定的几何规律排列密切相关。 晶体的离子、原子或分子占据着点阵的结构，两相邻结点的距离叫晶体的晶 10ｍ，与X射线的波长数量级相当。因此，格常数。晶体格点距离的数量级是-8 对X射线来说，晶体实际上是起着衍射光栅的作用，因此可以利用X射线在晶体点阵上的衍射现象来研究晶体点阵的间距和相互位置的排列，以达到对晶体结构的了解。 图4.1 立方晶格最简单的晶格是立方体结构。 如图6.1这种晶格只要用一个边长为ａ的正立方体沿3个直角坐标轴方向重复即可得到整个空间点阵，ａ就称做点阵常数。通过任一格点，可以画出全同的晶面和某一晶面平行，构成一组晶面，所有的格点都在一族平行的晶面上而无遗漏。这样一族晶面不仅平行，而且等距，各晶面上格点分布情况相同。
为了区分晶体中无限多族的平行晶面的方位，人们采用密勒指数标记法。先找出晶面在ｘ、ｙ、ｚ3个坐标轴上以点阵常量为单位的截距值，再取3截距值的倒数比化为最小整数比（ｈ∶ｋ∶ｌ），这个晶面的密勒指数就是（ｈｋｌ）。当然与该面平行的平面密勒指数也是（ｈｋｌ）。利用密勒指数可以很方便地求出一族平行晶面的间距。对于立方晶格，密勒指数为（ｈｋｌ）的晶面族，其面 间距 hkl d可按下式计算：2 2 2l k h a d hkl + + = 图6.2立方晶格在ｘ—ｙ平面上的投影 如图6.2，实线表示（100）面与ｘ—ｙ平面的交线，虚线与点画线分别表示（110）面和（120）面与ｘ—ｙ平面的交线。由图不难看出 2、微波布拉格衍射 根据用X射线在晶体原子平面族的反射来解释X射线衍射效应的理论，如有一单色平行于X射线束以掠射角θ入射于晶格点阵中的某平面族，例如图4.2所示之（100）晶面族产生反射，相邻平面间的波程差为 θ sin 2 100 d QR PQ= +（6.1） 式（6.1）中 100 d是（100）平面族的面间距。若程差是波长的整数倍，则二反射波有相长干涉，即因满足
《电磁场与电磁波》习题参考答案
《电磁场与电磁波》知识点及参考答案 第1章 矢量分析 1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所 产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。 2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无旋场，由散度源所 产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。 3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是： 散度（高斯）定理：S V FdV F dS ??=?? ?和 斯托克斯定理： s C F dS F dl ???=??? 。 4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。（ √ ） 5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（ √ ） 6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（ √ ） 7、梯度的方向是等值面的切线方向。（ × ） 8、标量场梯度的旋度恒等于0。（ √ ） 9、习题, 。
第2章 电磁场的基本规律 （电场部分） 1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。 2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。 3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是： V V s D dS dV Q ρ?==? ?和 0l E dl ?=?。 4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ??=和0E ??=。 5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。 6、在两种媒质分界面的两侧，电场→ E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→ B 的法向分量 B 1n －B 2n ＝0。 7、在介电常数为 的均匀各向同性介质中，电位函数为 22 11522 x y z ?= +-,则电场强度E =5x y z xe ye e --+。 8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。 9、电荷只能在分子或原子范围内作微小位移的物质称为( D )。 A.导体 B.固体 C.液体 D.电介质 10、相同的场源条件下，真空中的电场强度是电介质中的( C )倍。 A.ε0εr B. 1/ε0εr C. εr D. 1/εr 11、导体电容的大小( C )。 A.与导体的电势有关 B.与导体所带电荷有关 C.与导体的电势无关 D.与导体间电位差有关 12、z ＞0半空间中为ε=2ε0的电介质，z ＜0半空间中为空气，在介质表面无自由电荷分布。
电磁场与电磁波实验报告电磁波反射和折射实验
电磁场与微波测量实验报告 学院： 班级： 组员： 撰写人： 学号： 序号：
实验一电磁波反射和折射实验 一、实验目的 1、熟悉S426型分光仪的使用方法 2、掌握分光仪验证电磁波反射定律的方法 3、掌握分光仪验证电磁波折射定律的方法 二、实验设备与仪器 S426型分光仪 三、实验原理 电磁波在传播过程中如遇到障碍物，必定要发生反射，本处以一块大的金属板作为障碍物来研究当电磁波以某一入射角投射到此金属板上所遵循的反射定律，即反射线在入射线和通过入射点的法线所决定的平面上，反射线和入射线分居在法线两侧，反射角等于入射角。 四、实验内容与步骤 1、熟悉分光仪的结构和调整方法。 2、连接仪器，调整系统。 仪器连接时，两喇叭口面应相互正对，它们各自的轴线应在一条直线上，指示 两喇叭的位置的指针分别指于工作平台的90刻度处，将支座放在工作平台上， 并利用平台上的定位销和刻线对正支座，拉起平台上的四个压紧螺钉旋转一个 角度后放下，即可压紧支座。 3、测量入射角和反射角 反射金属板放到支座上时，应使金属板平面与支座下面的小圆盘上的某一对刻 线一致。而把带支座的金属反射板放到小平台上时，应使圆盘上的这对与金属 板平面一致的刻线与小平台上相应90度的一对刻线一致。这是小平台上的0刻 度就与金属板的法线方向一致。 转动小平台，使固定臂指针指在某一角度处，这角度读书就是入射角， 五、实验结果及分析 记录实验测得数据，验证电磁波的反射定律 表格分析： （1）、从总体上看，入射角与反射角相差较小，可以近似认为相等，验证了电磁波的反射定律。 （2）、由于仪器产生的系统误差无法避免，并且在测量的时候产生的随机误差，所以入射角
电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤,曹伟)第2章习题解答
第2章习题解答 2.2已知半径为a 、长为l 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度()0V a ρρρρ =， ()0a ρ≤≤。试求总电量Q 。 解：2π20000 2d d d d π3 l a V V Q V z la a ρρ ρρρ?ρ= ==? ? ?? 2.3 半径为0R 的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q 。当球以角速度ω绕某一直径(z 轴)旋转时，试求 其表面上的面电流密度。 解：面电荷密度为 2 04πS Q R ρ= 面电流密度为 002 00 sin sin sin 4π4πS S S Q Q J v R R R R ωθ ρρωθωθ=?== = 2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流0S S J e J ?=。已知导线的直径为d ，导线中的电流为0I ，试 求0S J 。 解：每根导线的体电流密度为 00 22 4π(/2)πI I J d d = = 由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 04πS I J Jd d == 因此，等效面电流密度为 04πS I J e d ?= 2.6 两个带电量分别为0q 和02q 的点电荷相距为d ，另有一带电量为0q 的点电荷位于其间。为使中间的 点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为-0q 时，结果又如何？ 解：设实验电荷0q 离02q 为x ，那么离0q 为x d -。由库仑定律，实验电荷受02q 的排斥力为 12 214πq F x ε= 实验电荷受0q 的排斥力为 022 1 4π()q F d x ε= - 要使实验电荷保持平衡，即21F F =，那么由0022 211 4π4π() q q x d x εε=-，可以解得 d d x 585.01 22=+= 如果实验电荷为0q -，那么平衡位置仍然为d d x 585.01 22=+=。只是这时实验电荷与0q 和02q 不 是排斥力，而是吸引力。 2.7 边长为a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为0q 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E 。 解：设点电荷的位置分别为()00,0,0q ，()0,0,0q a 和()00,,0q a ，由库仑定律可得点(),,0P a a 处的电 场为 ( ) ( 00 2 22 00001114π4π4π221x y y x x y q q q E e e e e a a q e e εεε? =+++ ?+=+
电磁场与电磁波复习题(含答案)
电磁场与电磁波复习题 一、填空题 1、矢量的通量物理含义是矢量穿过曲面的矢量线总数，散度的物理意义矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。散度与通量的关系是矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。 2、 散度 在直角坐标系的表达式 z A y A x A z y x A A ?? ????++=??= div ； 散度在圆柱坐 标系下的表达 ； 3、矢量函数的环量定义矢量A 沿空间有向闭合曲线C 的线积分， 旋度的定义 过点P 作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当S 点P 时,存在极限环量密度。 二者的关系 n dS dC e A ?=rot ； 旋度的物理意义点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值；点P 的旋度的方向是该点最 大环量密度的方向。
4.矢量的旋度在直角坐标系下的表达式 。 5、梯度的物理意义标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数。 梯度的大小为该点标量函数?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向等值面、方向导数与梯度的关系是梯度的大小为该点标量函数?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.； 6、用方向余弦cos ,cos ,cos αβγ写出直角坐标系中单位矢量l e 的表达 式 ； 7、直角坐标系下方向导数 u l ??的数学表达式是cos cos cos l αβγ????????ｕｕｕｕ＝＋＋ｘｙｚ ，梯度的表达式x y z G e e e grad x y z φφφφφ???=++=?=???； 8、亥姆霍兹定理的表述在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定，说明的问题是矢量场的散度应满足的关系及旋度应满足的关系决定了矢量场的基本性质。
电磁场与电磁波试题答案
《电磁场与电磁波》试题1 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为，则磁感应强度和磁场满足的方程为：。 2．设线性各向同性的均匀媒质中，称为方程。 3．时变电磁场中，数学表达式称为。 4．在理想导体的表面，的切向分量等于零。 5．矢量场穿过闭合曲面S的通量的表达式为：。 6．电磁波从一种媒质入射到理想表面时，电磁波将发生全反射。 7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。 8．如果两个不等于零的矢量的等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合关系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用函数的旋度来表示。 二、简述题（每小题5分，共20分） 11．已知麦克斯韦第二方程为，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 12．试简述唯一性定理，并说明其意义。 13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 三、计算题（每小题10分，共30分） 15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数是否是某区域的磁通量密度？ （2）如果是，求相应的电流分布。
16．矢量，，求 （1） （2） 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 （1）试写出其时间表达式； （2）说明电磁波的传播方向； 四、应用题（每小题10分，共30分） 18．均匀带电导体球，半径为，带电量为。试求 （1）球内任一点的电场强度 （2）球外任一点的电位移矢量。 19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示）， （1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）；（2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。 20．如图2所示的导体槽，底部保持电位为，其余两面电位为零，（1）写出电位满足的方程； （2）求槽内的电位分布
《电磁场与电磁波》仿真实验
《电磁场与电磁波》仿真实验 2016年11月 《电磁场与电磁波》仿真实验介绍 《电磁场与电磁波》课程属于电子信息工程专业基础课之一，仿真实验主要目的在于使学生更加深刻的理解电磁场理论的基本数学分析过程，通过仿真环节将课程中所学习到的理论加以应用。受目前实验室设备条件的限制，目前主要利用 MATLAB 仿真软件进行，通过仿真将理论分析与实际编程仿真相结合，以理论指导实践，提高学生的分析问题、解决问题等能力以及通过有目的的选择完成实验或示教项目，使学生进一步巩固理论基本知识，建立电磁场与电磁波理论完整的概念。 本课程仿真实验包含五个内容： 一、电磁场仿真软件——Matlab的使用入门 二、单电荷的场分布 三、点电荷电场线的图像 四、线电荷产生的电位 五、有限差分法处理电磁场问题 目录 一、电磁场仿真软件——Matlab的使用入门……………............................................... .4 二、单电荷的场分
布 (10) 三、点电荷电场线的图像 (12) 四、线电荷产生的电位 (14) 五、有限差分法处理电磁场问题 (17) 实验一电磁场仿真软件——Matlab的使用入门 一、实验目的 1. 掌握Matlab仿真的基本流程与步骤； 2. 掌握Matlab中帮助命令的使用。 二、实验原理 （一）MATLAB运算 1.算术运算 (1)．基本算术运算 MATLAB的基本算术运算有：＋(加)、－(减)、*(乘)、/(右除)、\(左除)、 ^(乘方)。
注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是 一种特例。 (2)．点运算 在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算。点运算符有.*、./、.\和.^。两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。 例1：用简短命令计算并绘制在0≤x≦6范围内的sin(2x)、sinx2、sin2x。 程序：x=linspace(0,6) y1=sin(2*x),y2=sin(x.^2),y3=(sin(x)).^2; plot(x,y1,x, y2,x, y3) （二）几个绘图命令 1. doc命令：显示在线帮助主题 调用格式：doc 函数名 例如：doc plot，则调用在线帮助，显示plot函数的使用方法。 2. plot函数：用来绘制线形图形 plot(y),当y是实向量时，以该向量元素的下标为横坐标，元素值为纵坐标画出一条连续曲线，这实际上是绘制折线图。 plot(x,y),其中x和y为长度相同的向量，分别用于存储x坐标和y 坐标数据。 plot(x,y,s)