Microsoft Mathematics求隐函数的导数-微积分上的应用
用Microsoft Mathematics求隐函数的导数
输入：-deriv(y-1+xe^y, y)/deriv(y-1+xe^y, x)
结果：
-deriv(x^y-y^x, x)/deriv(x^y-y^x, y)
求某一点的导数
解：当x=0时，y=1。
输入：solve({k=(-deriv(e^y+xy-e, x))/deriv(e^y+xy-e, y),x=0,y =1}, {k,x,y})
也可以先求导函数：(-deriv(e^y+xy-e, x))/deriv(e^y+xy-e, y)
再解出该点的导数：solve({k=-y/(x+e^y),x=0,y=1}, {k,x,y})
高等数学公式导数基本公式
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 222122an 11cos 12sin u du dx x t u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x x x x a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )cot (11 )(arctan 11 )(arccos 11 )(arcsin x x arc x x x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx x x )ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x a x a dx C x x xdx C x x xdx C x xdx C x xdx t +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln an 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高等数学常用导数和积分公式
高等数学常用导数和积分公式 导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： （一）含有的积分() 1.＝ 2.＝（） 3.＝ 4.＝ 5.＝ 6.＝ 7.＝ 8.＝ 9.＝ （二）含有的积分10.＝11.＝12.＝13.＝14.＝15.＝16.＝17.＝18.＝ （三）含有的积分19.=20.=21.= （四）含有的积分22.＝23.＝24.＝25.＝26.＝27.＝28.＝ （五）含有的积分29.＝30.＝ （六）含有的积分31.＝＝32.＝33.＝34.＝35.＝36.＝37.＝38.＝39.＝40.＝41.＝42.＝43.＝44.＝ （七）含有的积分45.＝=46.＝47.＝48.＝49.＝50.＝51.＝52.＝53.＝54.＝55.＝56.＝57.＝58.＝
（八）含有的积分59.＝60.＝61.＝62.＝63.＝64.＝65.＝66.＝67.＝68.＝69.＝70.＝71.＝72.＝（九）含有的积分73.＝74.＝75.＝76.＝77.＝78.＝（）含有或的积分79.＝80.＝81.＝82.＝（一）含有三角函数的积分83.＝84.＝85.＝86.＝87.＝＝88.＝＝89.＝90.＝91.＝92.＝93.＝94.＝95.＝96.＝97.＝98.＝99.＝＝100.＝101.＝102.＝103.＝104.＝105.＝106.＝107.＝108.＝109.＝110.＝111.＝112.＝（二）含有反三角函数的积分（其中）113.＝114.＝115.＝116.＝117.＝118.＝119.＝120.＝121. ＝（三）含有指数函数的积分122.＝123.＝124.＝125.＝126.＝127.＝128.＝129.＝130.＝131.＝（四）含有对数函数的积分132.＝133.＝134.＝135.＝136.＝（五）含有双曲函数的积分137.＝138.＝139.＝140.＝141.＝（六）定积分142.＝＝0143.＝0144.＝145.＝146.＝＝147. ＝＝＝（为大于1的正奇 数），＝1 （为正偶数），＝
隐函数的求导方法总结
河北地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(=οοy x F ，0),(≠οοy x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(οοx f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x
隐函数求导公式
第5节：隐函数的求导公式 教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数。 教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法。 教学难点：隐函数的高阶导函数的计算。 教学方法：讲授为主，互动为辅 教学课时：2 教学内容： 一、一个方程的情形 在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经显化直接由方程 ),(y x f =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式. 隐函数存在定理 1 设函数),(y x F 在点 ),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00=y x F ，, 0),(00≠y x F y ，则方程),(y x F =0在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有 y x F F dx dy -= （2） 公式（2）就是隐函数的求导公式 这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。 将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入，得恒等式 0))(,(≡x f x F , 其左端可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得 ,0=??+??dx dy y F x F
由于y F 连续，且0),(00≠y x F y ，所以存在(x 0,y 0)的一个邻域，在这个邻域内0≠y F ，于是得 .y x F F dx dy -= 如果),(y x F 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x 的复合函数而再一次求导，即得 dx dy F F y F F x dx y d y x y x ???? ??-??+???? ??-??= 22 .23 2222y x yy y x xy y xx y x y x yy y xy y x yz y xx F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F +--=???? ??-----= 例 1 验证方程012 2 =-+y x 在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =，并求这函数的一阶和二阶导数在x =0的值。 解 设=),(y x F 12 2-+y x ，则y F x F y x 2,2==,02)1,0(,0)1,0(≠==y F F .因此 由定理1可知，方程012 2 =-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =。 下面求这函数的一阶和二阶导数 y x F F dx dy -==y x -， 00 ==x dx dy ; 22dx y d =,1) (3 32222y y x y y y x x y y y x y -=+-=---='-- 10 2 2-==x dx y d 。 隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函
微积分公式大全
导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2222 212sin cos 1121u u x du x x u tg dx u u u -==== +++， ， ， 22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot ()ln ()(ln 1)1(log )ln x x x x a x x x x x x x x x x a a a x x x x x a '='=-'=?'=-?'='=+' = 2 2 2 (arcsin )(arccos )1 (arctan )11 (arc cot )11 ()x x x x x x thx ch '= '='= +'=- +' = 2 22 2sec tan cos csc cot sin sec tan sec csc cot csc ln ln(x x dx xdx x C x dx xdx x C x x xdx x C x xdx x C a a dx C a shxdx chx C chxdx shx C x C ==+==-+?=+?=-+=+=+=+=+????????? 222222tan ln cos cot ln sin sec ln sec tan csc ln csc cot 1arctan 1ln 21ln 2arcsin xdx x C xdx x C xdx x x C xdx x x C dx x C a x a a dx x a C x a a x a dx a x C a x a a x x C a =-+=+=++=-+=++-=+-++=+--=+???????? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高中数学导数及微积分练习题
1．求 导：（1）函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3 )---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)．5 4 (B)．5 2 (C)．5 1 (D)． 5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为 （ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，
底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程.
最新导数微积分公式
导数微积分公式
导数、微分、积分公式总结 【导数】 （1）（u ± v）′＝u′±v′ （2）（u v）′＝u′v＋ u v′（记忆方法：u v ＋ u v ，分别在“u”上、“v”上加′）（3）（c u）′＝ c u′（把常数提前） ╭ｕ╮′u′v－ u v′ （4）│——│＝———————（ v ≠ 0 ） ╰ｖ╯v2 【关于微分】 左边：d打头 右边：dx置后 再去掉导数符号′即可 【微分】 设函数ｕ＝u（x），ｖ＝v（x）皆可微，则有： （1）d（u ± v）＝ du ± dv （2）d（u v）＝ du·v ＋ u·dv ╭ｕ╮du·v － u·dv （3）d│——│＝———————（ v ≠ 0 ） ╰ｖ╯v2 （5）复合函数（由外至里的“链式法则”） dy ——＝f′（u）·φ′（x）
dx 其中y ＝ f（u），u ＝φ′（x） （6）反函数的导数： 1 [ fˉ1（y）]′＝————— f′（x） 其中，f′（x）≠ 0 【导数】 注：【】里面是次方的意思 （1）常数的导数： （c）′＝ 0 （2）x的α次幂： ╭【α】╮′【α － 1】 │ｘ│＝αｘ ╰╯ （3）指数类： ╭【x】╮′【x】 │ａ│＝ａ lna（其中a ＞ 0 ，a ≠ 1） ╰╯ ╭【x】╮′【x】 │ｅ│＝ｅ ╰╯ （4）对数类：
╭╮′ 1 1 │logｘ│＝——log ｅ＝———（其中a ＞ 0 ，a ≠ 1） ╰a╯ x a xlna 1 （lnx）′＝—— x （5）正弦余弦类： （sinx）′＝ cosx （cosx）′＝－sinx 【微分】 注：【】里面是次方的意思 （1）常数的微分： dC ＝ 0 （2）x的α次幂： 【α】【α － 1】 dｘ＝αｘdx （3）指数类： 【x】【x】 dａ＝ａ lnadx（其中a ＞ 0 ，a ≠ 1） 【x】【x】 dｅ＝ｅ dx
高等数学第2章 导数与微分
第二章 导数与微分 教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。 4、 会求分段函数的导数。 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 §2. 1 导数概念 一、引例 1．直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ), 求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值 000) ()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践 中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t 0→0, 取
比值 0) ()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 0) ()(lim t t t f t f v t t --=→, 这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2．切线问题 设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线. 设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0 000) ()(tan x x x f x f x x y y --= --= ?, 其中?为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存 在, 设为k , 即 00) ()(lim 0x x x f x f k x x --=→ 存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的 倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线. 二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: 00) ()(lim 0x x x f x f x x --→. 令?x =x -x 0, 则?y =f (x 0+?x )-f (x 0)= f (x )-f (x 0), x →x 0相当于?x →0, 于是0 0) ()(lim 0 x x x f x f x x --→ 成为 x y x ??→?0lim 或x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000. 定义 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量?x (点x 0+?x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量?y =f (x 0+?x )-f (x 0); 如果?y 与?x 之比当?x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000,
微积分公式与定积分计算练习大全
微积分公式与定积分计算练习（附加三角函数公式） 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼ ()x x e e '= ⑽ ()ln x x a a a '= ⑾ ()1 ln x x '= ⑿ () 1log ln x a x a '= ⒀ ( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂ ()21arctan 1x x '=+ ⒃() 21arccot 1x x '=-+⒄()1 x '= ⒅ '= 二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v ''' -??= ??? 三、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () () () n n n u x v x u x v x ±=±??? ? （2）()() ( ) ()n n cu x cu x =??? ? （3）()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+??? ? （4） ()()() ( ) ()() ()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1） ()() ! n n x n = （2） ()() n ax b n ax b e a e ++=? (3) ()() ln n x x n a a a = (4) ()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ??(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6) () () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则
隐函数的求导方法总结
百度文库- 让每个人平等地提升自我 河北地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x
常用微积分公式大全
常用微积分公式大全 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.
公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分.
高等数学导数与微分练习题
作业习题 1、求下列函数的导数。 （1）223)1(-=x x y ； （2）x x y sin = ； （3）bx e y ax sin =； （4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x x y )1(+=。 2、求下列隐函数的导数。 （1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程???-=-=) cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二阶导数 2 2dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。 （1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。 （1）)0(,>=x x y x ； （2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。 作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。 （2）解：2sin cos )sin ( x x x x x x y -='='。 （3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。
隐函数地求导方法总结材料
地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间确定 了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域具有连续偏导数， 且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x 故 1=x dx dy = ) 1,(!y x =1
最全高等数学导数和积分公式汇总表
高等数学导数及积分公式汇总表 一、导数公式 1．幂函数 0='c 1)(-='n n nu u 2．指数函数 a a a u u ln )(=' e e e u u ln )(=' 3．对数函数 a u a u ln 1 )(log =' u u 1)(ln = ' 4．三角函数 u u cos )(sin =' u u sin )(cos -=' u u 2sec )(tan =' u u 2csc )(cot -=' u u u tan sec )(sec =' u u u cot csc )(csc -=' 5．反三角函数 2 11)(arcsin u u -= ' 2 11)(arccos u u -- =' 11)(arctan u u +=' 11)cot (u u arc +-=' 6．其他 1='u 2 11)(u u -=' u u 21)(= ' 2 3 21 1 )( u u - =' 2 2 )(22a u u a u ±= '± 二、积分公式 1．幂函数 C du =?0 C u du u n n n += ++?11 1 2．指数函数 C e du e u u +=? C du a a a u u += ?ln 3．有关对数 C u du +=? ln 4．三角函数 C u udu +-=?cos sin C u udu +=?sin cos C u udu +=?tan sec 2 C u udu +-=?cot csc 2 C u udu u +=?sec tan sec C u udu u +-=?csc cot csc C u udu +-=?cos ln tan C u udu +=?sin ln cot C u u udu ++=?tan sec ln sec C u u udu +-=?cot csc ln csc 5．反三角函数 C a u u a u du +±+=? ±22ln 2 2 C a u u a du +=?-arcsin 2 2 C u a u a a u a du += -+-?ln 212 2 C a u a u a du +=? +arctan 12 2 6．其他 C u u du +-=? 12 C u du u +=? 23 3 2 C u du u +=? 2 1 21 C u u udu +-=? -222 2 C u u udu ++=? +2 2111ln 2
常用微积分公式大全
常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到,因此,导数运算的基础好坏直接影响积分的能力,应熟记一些常用的积分公式、 因为求不定积分就是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式、。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
对这些公式应正确熟记、可根据它们的特点分类来记、 公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数、 公式(2)、(3)为幂函数的积分,应分为与、 当时, , 积分后的函数仍就是幂函数,而且幂次升高一次、 特别当时,有、 当时, 公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍就是指数函数,因为,故( , )式右边的就是在分母,不在分子,应记清、当时,有、 就是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变、 应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数就是底为变量,幂为常数;指数函数就是底为常数,幂为变量、要加以区别,不要混淆、它们的不定积分所采用的公式不同、 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其她三角函数公式、 公式(10)就是一个关于无理函数的积分 公式(11)就是一个关于有理函数的积分
下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分、 例1 求不定积分、 分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式、 解: (为任意常数) 例2 求不定积分、 分析:先利用恒等变换“加一减一”,将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式、 解:由于,所以 (为任意常数) 例3 求不定积分、
分析:将按三次方公式展开,再利用幂函数求积公式、解: (为任意常数) 例4 求不定积分、 分析:用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次、 解: (为任意常数) 例5 求不定积分、 分析:基本积分公式表中只有 但我们知道有三角恒等式: 解:
高等数学考研大总结之四导数与微分知识讲解
第四章 导数与微分 第一讲 导数 一，导数的定义： 1函数在某一点0x 处的导数：设()x f y = 在某个()δ,0x U 内有定义,如果极限 ()()0 lim 00→??-?+x x x f x x f (其中()() x x f x x f ?-?+00称为函数()x f 在(0x ,0x +x ?)上的平均变化率(或差商)称此极限值为函数()x f 在0x 处的变化率)存在则称函数()x f 在0x 点可导.并称该极限值为()x f 在0x 点的导数记为()0/ x f ,若记()()00,x f x f y x x x -=?-=?则 ()0/ x f =()()0 00lim x x x x x f x f →--=0lim →???x x y 解析：⑴导数的实质是两个无穷小的比。 即：函数相对于自变量变化快慢的程度,其绝对值 越大,则函数在该点附近变化的速度越快。 ⑵导数就是平均变化率(或差商)的极限,常用记法: ()0/ x f ,0/x x y =,0x x dx dy =。 ⑶函数()x f 在某一点0x 处的导数是研究函数()x f 在点0x 处函数的性质。 ⑷导数定义给出了求函数()x f 在点0x 处的导数的具体方法,即：①对于点0x 处的自变量增量x ?,求出函数的增量（差分）y ?=()()00x f x x f -?+②求函数增量y ?与自变量增 量x ?之比x y ??③求极限0 lim →???x x y 若存在,则极限值就是函数()x f 在点0x 处的导数,若极限不 存在,则称函数()x f 在0x 处不可导。 ⑸在求极限的过程中, 0x 是常数, x ?是变量, 求出的极限值一般依赖于0x ⑹导数是由极限定义的但两者仍有不同，我们称当极限值为∞时通常叫做极限不存在，而导数则不同，因其具有实在的几何意义，故当在某点处左，右导数存在且为同一个广义实数值时我们称函数在某点可导。实质是给导数的定义做了一个推广。 ⑺注意: 若函数()x f 在点0x 处无定义,则函数在0x 点处必无导数,但若函数在点0x 处有定义,则函数在点0x 处未必可导。 2 单侧导数：设函数()x f 在某个(]00,x x δ-（或[)δ+00,x x ）有定义，并且极限
高数微积分公式大全
高等数学微积分公式大全 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μ μμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿( )1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= + ⒃()2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '=二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 三、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () ()()n n n u x v x u x v x ±=±???? （2）()() ()()n n cu x cu x =???? （3）()()() ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （4）()()() ()()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）() () !n n x n = （2）() () n ax b n ax b e a e ++=? (3)() () ln n x x n a a a = (4)()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ?? (5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ????? (6)() () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +??? =- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1 d x x dx μ μμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2 tan sec d x xdx = ⑹()2 cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻()csc csc cot d x x xdx =-?
隐函数的导数
1． 函数求导、参数方程求导 函数()x f y =表示两个变量y 与x 之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式
表达。前面我们遇到的函数，例如x y sin =，21ln x x y -+=等，这种函数表达方式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。用这种方式表达的函数叫做显函数。有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程013=-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-，内取值时，变量y 有确定的值与之对应。例如，当0=x 时，1=y ；当1-=x 时，32=y ，等等。这样的函数称为隐函数。 一般地，如果在方程()0=y x F ，中，当x 取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0=y x F ，在该区间内确定了一个隐函数。 把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。例如从方程013=-+y x 解出 31x y -=，就把隐函数化成了显函数。隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的。 但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来。下面通过具体例子来说明这种方法。 例1 求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数y 的导数 dx dy 。 解：我们把方程两边分别对x 求导数，注意y 是x 的函数。方程左边对x 求导得 () dx dy x y dx dy e e xy e dx d y y ++=-+， 方程右边对求导得 ()00=' 。 由于等式两边对x 的导数相等，所以 0=++dx dy x y dx dy e y ， 从而 () 0≠++-=y y e x e x y dx dy 。 在这个结果中，分式中的y 是由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数。 隐函数求导方法小结： （1）方程两端同时对x 求导数，注意把y 当作复合函数求导的中间变量来看待，例如 ()y y y x '='1ln 。 （2）从求导后的方程中解出y '来。 （3）隐函数求导允许其结果中含有y 。但求一点的导数时不但要把x 值代进去，还要把对应的y 值代进去。 例2 e e xy y =+，确定了y 是x 的函数，求()0y '。