反比例函数综合测试题.docx

反比例函数综合测试题

一、选择题 ( 每小题 3 分，共 24 分 )

1. 已知点 M (- 2 ， 3 ) 在反比例函数的图象上，下列各点也在该函数图象上的是 ( ).A

A. (3 ， - 2)

B. (- 2 ， - 3)

C. (2 ， 3)

D. (3

，2)

2. 反比例函数 y

k

( k 0) 的图象经过点 (- 4， 5) ，则该反比例函数的图象位于 ( ).B

x

A. 第一、三象限

B. 第二、四象限

C. 第二、三象限

D. 第一、二象限

3. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象的交点个数为 ( ). D

A. 3 个

B. 2 个

C. 1 个

D. 0 个

4. 如图 1，点 A 是 y 轴正半轴上的一个定点，点 B 是反比例函数 y = 2 x( x > 0) 图象上的

一个动点，当点 B 的纵坐标逐渐减小时，△ OAB 的面积将 ( ). A

A ．逐渐增大

B

．逐渐减小

C ．不变

D

．先增大后减小

y

A

B

12

y

x

O

x

12

图 1

图 2

5. (2009 年恩施市 ) 如图 2，一张正方形的纸片， 剪去两个一样的小矩形得到一个 “ E ”图案，

设小矩形的长和宽分别为 x ，y ，剪去部分的面积为

20，若 2 ≤ x ≤ 10 ，则 y 与 x 的函数

图象是 ( ). A

y

y

y y

10

10 5

5

2

O

10 x O

2

2

2 10 x O

2

10 x O 2 10 x

A

B

C

D

6. 已知点 A ( x 1，y 1) ，B ( x 2，y 2) 是反比例函数 ( k > 0) 的图象上的两点， 若 x 1 < 0 < x 2，则 ( ).A A. y 1 < 0 < y

2

B. y

< 0 < y

1 C. y 1 < y < 0

D. y < y < 0

2

2

2

1

7. 如图 3，反比例函数 y

3 y = x + 2 的图象交于 A ，B 两点，那么△

的图象与一次函数

x

的面积是 (

).C

AOB

y

A. 2

B. 3

C. 4

D. 6 C

A B

O 1

x

图 4

8. 如图 4，等腰直角三角形 ABC 位于第一象限， AB = AC = 2 ，直角顶点 A 在直线 y = x 上，

其中点 A 的横坐标为 1，且两条直角边

，

分别平行于 x 轴、 y 轴，若反比例函数

k

AB

AC

y

x

的图象与△

有交点，则 k 的取值范围是 ( ). C

ABC

< k < 2

≤ k ≤ 3

≤ k ≤ 4

≤ k < 4

二、填空题 ( 每小题 4 分，共 24 分 )

9. 已知反比例函数 y

k

的图象经过点 (2，3) ，则此函数的关系式是

． y

6

x

x

10. 在对物体做功一定的情况下，力

(N) 与此物体在

F

/ N

力的方向上移动的距离 s (m) 成反比例函数关系，其图

象如图 5 所示，点

(5 ， 1) 在图象上，则当力达到

10 N

P

时，物体在力的方向上移动的距离是 m. 0. 5 O

s / m

图 5

11. 反比例函数 y

k

(k

0) 的图象与经过原点的直线

x

l 相交于 A ， B 两点，若点 A 坐标为 (-2 ， 1) ，则点 B 的坐标

为

. (2，-1).

12. 一次函数 y = x + 1 与反比例函数

y

k

(1

， m

的图象都经过点

，则使这两个函数值都

x

)

小于 0 时 x 的取值范围是 ___________.

x < - 1

13. (2009 年兰州市 ) 如图 6，若正方形 OABC 的顶点 B 和正方形 ADEF 的顶点 E 都在函数 反

比例函数 y

1

( x > 0) 的图象上，则点

E 的坐标是 _________. (

5 1 ， 5 1 )

x

y

2

2

P 1

P 2

P

3

P

5

4

P

O

A A A A A

x

1

23

4

5

图 6

图 7

14. (2009 年莆田市 ) 如图 7，在

x 轴的正半轴上依次截取

1

=

1 2

=

2 3

=

3

4

= 4 5

，

OA

A A A A A A A A

过点 A 1，A 2，A 3，A 4 ，A 5，分别作 x 轴的垂线与反比例函数 y

2 x 0 的图象相交于点

1

P ，

x

P 2，P 3， P 4， P 5，得直角三角形 OP 1A 1，A 1P 2A 2， A 1P 2A 2，A 2P 3A 3， A 3P 4A 4，A 4P 5A 5，并设其面积分别

为 S 1， S 2， S 3， S 4，S 5，则 S 5 的值为

.

三、解答题 ( 共 30 分)

15.(6分)已知点P(2，2)在反比例函数y

k ( k≠0)的图象上.

x

（1）当x = - 3时，求y的值；

（2）当 1

16.(8分 ) 已知图8 中的曲线是反比例函数y m5( m为常数 ) 图象的一支 .若该函数的图

x

象与正比例函数

y = 2

x

的图象在第一象内限的交于点，过点

A

作

x

轴的垂线，垂足为点，

A B

当△的面积为 4 时，求点

A 的坐标及反比例函数的解析式 .

OAB

17.(8分 ) 如图 9，点P的坐标为3，过点P作x轴的平行线交y轴于点，交反比例函

2，A

2

数 y k

AN交反比例函数y

k

M，连接( x > 0) 于点点N，作PM⊥( x > 0) 的图象于点

x x

AM.若 PN= 4，求：

y （1）k的值 .M

（2）△APM的面积 .A

N P

O x

图 9

18.(8分)为预防“手足口病” ，某校对教室进行“药熏消毒”.已知药物燃烧阶段，室内每

立方米空气中的含药量y(mg)与燃烧时间x(min)成正比例；燃烧后，y 与 x 成反比例(如图

10 所示 ).现测得药物10 min 燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为8 mg.根据以上

信息，解答下列问题：

（ 1）求药物燃烧时 y 与 x 的函数关系式； （ 2）求药物燃烧后 y 与 x 的函数关系式；

（ 3）当每立方米空气中含药量低于 mg 时，对人体无毒害作用 . 那么从消毒开始，经多长时间学生才可以返回教室？

四、探究题 ( 共 22 分)

19.(10 分 ) 我们学习了利用函数图象求方程的近似解，例如，把方程 2x – 1 = 3 -

x 的

解看成函数 y = 2 x - 1

的图象与函数 y = 3 -

x 的图象交点的横坐标 .

如图 11，已画出反比例函数 y

1 在第一象限内的图象，请你按照上述方法，利用此图象

x

求方程 x 2 – x – 1 = 0

的正数解 ( 要求画出相应函数的图象，求出的解精确到）.

20.(12 分 ) 一次函数 y = ax + b 的图象分别与

x 轴、 y 轴交于点 M ， N ，与反比例函数 y k

x

的图象相交于点

， ．过点 A 分别作 ⊥ 轴， ⊥ y 轴，垂足分别为点 ， ；过点 B 分

A B

AC x

AE

C E

别作 ⊥ 轴， ⊥ 轴，垂足分别为点

， ，

与

相交于点

，连接

．

BF x BD y

F D AC

BC K CD

（1）如图 12，若点 A ， B 在反比例函数 y

k

的图象的同一分支上，试证明：

x

① S 四边形AEDK S 四边形CFBK ；② AN BM ．

k

（2）若点 A ， B 分别在反比例函数

y 的图象的不同分支上，如图 13，则 AN 与 BM 还 x

相等吗？试证明你的结论．

反比例函数综合测试题参考答案

一、选择题

1. A.

2. B.

3. D.

4. A.

5. A.

6. A.

7. C.

8. C.

二、填空题

9.

y

6 10. 0. 5.

11. (2 ， -1).

.

x

12.

x < - 1.

13. (

5 1 ， 5 1 ). 14. 1

.

2

2

5

三、解答题

15. （ 1） y

4

；（ 2） y 的取值范围为

4 y 4 ．

3

3

16. ∵第一象限内的点 A 在正比例函数 y = 2 x 的图象上，

∴设点

A 的坐标为 ( ， 2 )( > 0) ，则点 B

的坐标为 ( ，0).

m m m

m

∵S △ OAB = 4 ，∴ 1

m ? 2m = 4.

2

解得 m 1 = 2 ，m 2 = - 2(

不符合题意，舍去 ). ∴点 A 的坐标为 (2 ， 4).

又∵点 A 在反比例函数y m5m5

x的图象上，∴ 42，即 m –5 = 8.

∴反比例函数的解析式为

8 y.

x

17. （ 1）∵点P的坐标为

3

，∴ AP= 2

3 2，， OA=.

22

∵PN= 4，∴ AN= 6.

33k

中，得 k = 9.∴点 N的坐标为6，. 把点N6，代入y

22x

（2）由（ 1）知k = 9，∴ y 9

当 x = 2

9 .时， y. x2

93∴

S△AP M 1

2 3 3

.

∴

MP 3 .

2

22

18. （ 1）设药物燃烧阶段函数关系式为y =k1x( k1≠ 0).

根据题意，得8 = 10 k1，k1 =4

. ∴此阶段函数关系式为(0≤ x < 10). 5

（2）设药物燃烧结束后函数关系式为.

根据题意，得，.∴此阶段函数关系式为( x≥ 10).（3）当y <时，.∵，∴，.

∴从消毒开始经过50 min 学生才返可回教室.

四、探究题

19.方程 x2– x –1 = 0的正数解约为.

提示：∵ x ≠0，将 x2– 1 = 0 两边同除以x，得x111

x 1．

– x0．即

x x

把 x2– x –1 = 0的正根视为由函数y1与函数 y =x - 1的图象在第一象限交点的

x

横坐标．

20. （ 1）①Q AC⊥x轴，AE⊥y轴，四边形 AEOC 为矩形．

Q BF ⊥ x 轴， BD ⊥ y 轴，四边形 BDOF 为矩形．

Q AC ⊥ x 轴， BD ⊥ y 轴，四边形 AEDK， DOCK， CFBK 均为矩形．

Q OC x1， AC y1， x1 gy1 k ，S

矩形 AEOC OC gAC x1 gy1k

Q OF x2， FB y2， x22gyk，S矩形BD

OF OF gFB x22gy

k

．

S矩形AEOC S矩形BD OF

．

Q S S S，矩形

C FBK

矩形

BD OF

矩形

DOCK

，

矩形矩形

．

AED K C FBK

矩形AEDK矩形AEOC矩形DOCK

S S S S S

②由（1）知，

S矩形AEDK S矩形CF BK ．

AK gDK BK gCK ．

AK BK

CK

．

DK

Q AKB CK D 90°，△ AKB ∽△ CKD ．CDKABK ． AB∥ CD ．Q AC ∥ y 轴，四边形ACDN是平行四边形．AN CD ．

同理可得 BM CD ．AN BM ．

（2）AN与BM仍然相等．

Q S

矩形AE

DK S

矩形 AEOC

S

矩形 ODK C

，S

矩形 BKCF

S

矩形

BDOF

S

矩形ODK C

，

又Q S

矩形AE OC S

矩形BD

OF k ，

S

矩形

AEDK

S

矩形BK

CF

．

AK gDK BK gCK ．

CK DK

AK ．

BK

Q K K ，△CDK ∽△ ABK ．CDK ABK ． AB ∥ CD ．Q AC ∥ y 轴，四边形 ANDC 是平行四边形．AN CD ．

同理 BM CD ． AN BM

【教学标题】反比例函数

【教学目标】

1、提高学生对反比例函数的学习兴趣

2、使学生掌握反比例函数基础知识

3、让学生熟练地运用反比例知识

【重点难点】图像及性质

【教学内容】反比例函数一、基础知识

1. 定义：一般地，形如 y k

（ k 为常数， k o ）的函数称为反比例函数。y k x x

还可以写成 y kx 1

2.反比例函数解析式的特征：

⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做

比例系数 k ），分母中含有自变量x ，且指数为 1.

⑵比例系数 k0

⑶自变量 x 的取值为一切非零实数。

⑷函数 y 的取值是一切非零实数。

3.反比例函数的图像⑴图

像的画法：描点法

①列表（应以 O为中心，沿 O的两边分别取三对或以上互为相反的数）

② 描点（有小到大的顺序）

③ 连线（从左到右光滑的曲线）

⑵反比例函数的图像是双曲线，y k （k

为常数，k0 ）中自变量x0 ，函x

数值 y0 ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是y x 或 y x ）。

⑷反比例函数y k

（k0 ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线y

k x x

（ k0 ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。

4．反比例函数性质如下表：

k 的取值图像所在象限函数的增减性

k o一、三象限在每个象限内，y 值随x 的增大而减小

k o 二、四象限 在每个象限内， y 值随 x 的增大而增大

5. 反比例函数解析式的确定 ：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个

点的坐标即可求出 k ）

6．“反比例关系”与“反比例函数”

：成反比例的关系式不一定是反比例函数 ,

但是反比例函数 y

k

中的两个变量必成反比例关系。

x

7.

反比例函数的应用

二、例题

【例 1】如果函数 y kx 2k 2 k 2

的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值

是多少？

【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数

y

k

，（ k 0 ）即 y kx 1

x

（ k 0 ）又在第二，四象限内，则 k 0 可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义，得：

2k 2

k

2 1

解得 k

1或 k 1

2

k

k 0

k

1

1

k

1时函数 y kx 2k 2 k

2

为 y

x

【例 2】在反比例函数 y

1

的图像上有三点 x 1 ， y 1 ， x 2 ， y 2 ， x 3 ， y 3 。

x

若 x 1 x 2 0

x 3 则下列各式正确的是（

）

A ． y 3

y 1

y 2 B ． y 3 y 2 y 1 C ． y 1

y 2

y 3 D ． y 1 y 3 y 2

【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。

解法一：由题意得 y 1

1

， y 2

1

， y 3

1

x 1

x 2

x 3

x 1 x 2 0 x 3 ， y 3

y 1 y 2 所以选 A

解法二：用图像法，在直角坐标系中作出 y

1

的图像

x

描出三个点，满足 x1x20x3观察图像直接得到 y3y1y2选 A 解法三：用特殊值法

x1x20 x3 , 令 x12, x21, x3 1 y11

1, y31, y3y1 y2 , y2

2

【例3】如果一次函数y mx n m0 与反比例函数 y3n

m 的图像相交于点

（1

，2 ），那么该直线与双曲线的另一个交点为（

x

）

2

【解析】

直线 y mx n与双曲线 y3n

m

x相交于

1

，2

1

m n

m2

2

，2解得

1 x23n m1n

y2x1

直线为 y2x1, 双曲线为 y 1 解方程组

y 1

x x x11

得

1

y1

x21 2

y22

另一个点为1， 1

【例 4】如图，在Rt AOB 中，点A是直线 y x m 与双曲线 y m

在第一象限x

的交点，且 S AOB 2 ，则 m 的值是 _____.

图

解 : 因为直线y x m 与双曲线y m

过点 A ,设 A 点的坐标为 x A , y A. x

则有 y A x A m, y A m

. 所以m x A y A. x A

又点 A 在第一象限,所以 OB x A x A , AB y A y A.

所以 S AOB 1

OB ? AB

1

x A y A

1

m . 而已知 S AOB 2 . 222

所以 m 4 .

【过手练习】

1. 反比例函数 y

2 的图像位于（）

x

A．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限

2. 若 y 与 x 成反比例， x 与z成正比例，则y 是z的（）

A、正比例函数 B 、反比例函数 C 、一次函数D、不能确定

2

3. 如果矩形的面积为6cm，那么它的长y cm 与宽x cm之间的函数图象大致为（）

y y y y

o x o x o x o x

A B C D

4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，

气球内气体的气压P ( kPa )是气体体积V ( m3)

的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（）

A、不小于53

、小于

53

C 、不小于

43

D 、小于

43 4mB4m5m5m

5．如图， A、C 是函数y 1

的图象上的任意两点，过 A 作 x 轴的垂线，垂足为x

B，过 C 作 y 轴的垂线，垂足为 D，记 Rt AOB的面积为 S1，Rt COD的面积为S2则（）

A． S1＞ S2B． S 1

C． S =S D． S与 S 的大小关系不能确定

1212

7.如图所示，一次函数y＝ ax＋b 的图象与反比例函数y＝kx 的图象交于 A、

B 两点，与 x 轴交于点

C．已知点 A

的坐标为（－，），点m）．

21B 的坐标为（12，（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围．

A

O

C

B

3

8．某蓄水池的排水管每小时排水8m，6 小时可将满池水全部排空．（1）蓄水池的容积是多少？

3

（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到 Q（m），那么将满池水排空

所需的时间 t （h）将如何变化？

（3）写出 t 与 Q的关系式．

（4）如果准备在 5 小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？

3

（5）已知排水管的最大排水量为每小时 12m，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？

.9. 某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60 元，在营销中发现，该衬衣的日销售量 y（件）是日销售价 x 元的反比例函数，且当售价定为 100 元/ 件时，每日可售出 30 件 .

（ 1）请写出 y 关于 x 的函数关系式；

（ 2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800 元，则其售价应为多少元？

m 10．如图，在直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝ kx＋b 的图象与反比例函数y

x 的图象交于 A(-2 ，1) 、 B(1，n) 两点。

(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式；

(2)求△ AOB的面积。

【拓展训练】

☆反比例函数y k

（ k0 ）中比例系数k 的绝对值k 的几何意义。x

如图所示，过双曲线上任一点P（ x， y）分别作 x 轴、y 轴的垂线， E、 F 分别为垂足，

则 k xy x y PF PE S矩形OEPF

☆反比例函数 y k

（ k0）中， k 越大，双曲线 y

k

越远离坐标原点； k 越x x

小，双曲线 y k

越靠近坐标原点。x

☆ 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线 y=x 和直线 y=－x。

【课后作业】

1．对与反比例函数y 2

，下列说法不正确的是（）x

A．点（2, 1）在它的图像上

B．它的图像在第一、三象限C．当x0 时， y随 x的增大D．当x0 时， y随 x的增大

2. 已知反比例函数

k

0的图象经过点（ 1，-2 ），则这个函数的图象一定yk

x

经过（）

A、（2，1） B 、（2，-1 ） C 、（ 2， 4） D 、（-1 ，-2 ）

3．在同一直角坐标平面内，如果直线y k1 x 与双曲线y k

2没有交点，那么 k1 x

和 k2的关系一定是（）

A. k1 +k2 =0

B. k1·k2 <0

C. k1·k2 >0

D. k1 = k2

4.反比例函数 y＝kx 的图象过点 P（－， 2），则 k＝________．

5.点 P（2m－3，1）在反比例函数 y＝ 1x 的图象上，则 m＝__________．

6.已知反比例函数的图象经过点（ m，2）和（－ 2，3）则 m的值为 __________．

7. 已知反比例函数 y 1 2m

的图象上两点 A x1 , y1 , B x2 , y2，当 x10 x2时，x

有 y1y2，则m的取值范围是？

8.已知 y 与 x-1 成反比例，并且 x＝-2 时 y＝7，求：

(1)求 y 和 x 之间的函数关系式；

(2)(2)当x=8时，求y的值；

(3)y ＝-2 时， x 的值。

9. 已知b 3, 且反比例函数y1

b

的图象在每个象限内，y 随x的增大而增x

大, 如果点a,3 在双曲线上 y1

b

，求 a 是多少？x