初中数学竞赛辅导资料(62)绝对值

绝对值

内容提要

1. 绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.用式子表示如下：??

???=<->=)0(0)0()0(a a a a a a

2. 初中阶段学习含绝对值符号的代数式化简，方程、不等式的解法，以及函数作图等.解答时，一般是根据定义先化去绝对值符号，这时关健是按已知条件判断绝对值符号内的式子的值是正或是负，若含有变量的代数式，不能确定其正、负时，则采取零点分区讨论法. 例如：

（1）化简 )2(-x x

解：当x=0, x=2时, )2(-x x =0；

当x<0或x>2时, )2(-x x =x(x －2)=x 2－2x ；

当0

（2）解方程2-+x x =6.

解：当x<0时，x=－2；

当0≤x≤2时，方程无解；

当x>2时，x=4.

∴原方程的解是：x=－2， x=4..

（3）作函数y=2-+x x 的图象.

解：化去绝对值符号，得y=－2x+2 (x<0)；

y=2 (0≤x≤2) ；

y=2x －2 (x>2).

分别作出上述三个函数的图象（如图），就是函数y=2-+x x 的图象.

3. 绝对值的几何意义是：在数轴上一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离. 用这一定义，在解含绝对值符号的方程、不等式时，常可用观察法.

例如： ①解方程3=x ； ②解不等式3＋

x .

解：①∵3=x 的几何意义是：x 是数轴上到原点的距离等于3个单位的点所表示的数，

即3和－3， ∴方程3=x 的解是x=3, x=－3. ②∵3＋x 的几何意义是：x 是数轴上到点（－2）的距离大于3个单位的点所表示的数， ∴32>＋x 的解集是x<－5或x>1.（如下图）

4. 绝对值的简单性质：

①绝对值是非负数； ②两个互为相反数，它们的绝对值相等.

根据这些性质，可简化函数的作图步骤. 例如：

（1）对整个函数都在绝对值符号内时，可先作出不含绝对值符号的图象，再把横轴下方的

部份，绕x 轴向上翻折

作函数图象：①y=1-x ②y=22--x x

（2） 当f （－x ）=f(x),图象关于纵轴对称，这时可先作当x<0时函数图象，再画出关于纵

轴对称的图象.

例如：y=x 2－2x －3的图象，

可先作y=x 2+2x －3自变量x<0时的图象（左半图）

再画右半图（与左半图关于纵轴对称）.

（3） 把y=x 的图象向上平移a 个单位，所得图象解析式是y=a x +；

把y=x 的图象向右平移3个单位，所得图象解析式是y=3－x .

（4） 利用图象求函数最大值或最小值，判断方程解的个数都比较方便.

例题

例1. 已知方程x ＝ax+1有一个负根并且没有正根，求a 的值.

解：当x<0时，原方程为－x=ax+1, x=

011<+a －, ∴ a+1>0. ∴a>－1；

当x>0时，原方程为x=ax+1, x=

011>a

－, ∴1－a>0. ∴a<1.

∵方程有一个负根并且没有正根，

∴a>－1且a ≮1，

∴a 的取值范围是a≥1.

例2. 求函数y=2x x -3－的最小、最大值.

解：当x<0时， y=－x+6；

当0≤x<3时，y=－3x+6；

当x≥3时， y=x －6 .

根据图象有最低点而没有最高点

∴函数没有最大值只有最小值－3(当x=3时).

例3. 解方程：①x x -=+42； ②421=-++x x .

解：①∵点（x ）到点A （－2）和点B （4）的距离相等（如下图），

∴x=1.

②∵点（x ）到点A （－1）与到点B （2）的距离的和等于4，AB ＝3

∴x=2.5, x=-1.5.

例4. 解不等式: ①1≤2+x ≤3； ②121>--+x x .

解：①点（x ）到点A （－2）的距离大于或等于1而小于或等于3

在数轴上表示如图，

∴不等式的解集是： －5≤x≤－3 或－1≤x≤1

②点(x) 到点(-1)的距离，比到点(2)的距离大1个单位以上.

在数轴上表示，如图：

∴不等式的解集是x>1.

例5. a 取什么值时，方程a x =--12 有三个整数解？ 解：化去绝对值符号，得12--x =±a, 2-x =1±a , x －2=±(1±a)，

∴x=2±(1±a) .

当a=1时，x 恰好是三个解4，2，0.

用图象解答更直观；

（1）先作函数 y=12--x 图象，

（2）再作y=a(平行于横轴的直线 )与y=12--x 图象相交，

恰好是三个交点时，y=1,

即a=1.

本题若改为：

有四个解，则0

两个解，则 a=0 或a>1；

一个解，则a 不存在；

无解，则a<0.

练习

1. 方程3+x =4的解是＿＿＿＿＿＿＿.

2. 方程6-2-+x x =0的解是________.

3. 方程21-++x x =3的解是________.

4. 方程x x +-3=5的解是＿＿＿＿＿＿＿.

5. 不等式2≤3 -x ≤5的解集是___________________.

6. 不等式21-++x x <5的解集是_______________________.

7. 不等式21-++x x <3的解集是_______________________.

8. 不等式11-2-

9. 已知=-2)3(x 3-x, 那么 =+-x x 1_______________.

10. 关于x 的方程x =ax+2有根且只有负根，求a 取值范围.

11. a 取什么值时，方程a x =--12无解？有解？有最多解？

12. 作函数y=312-+-++x x x 的图象；并求在－3≤x≤3中函数的最大、最小值.

13. 解方程451=-+-x x .

14. 作函数y=12+-x x 的图象.

15. 选择题：

①.对于实数x ，不等式1≤｜x －2｜≤7等价于（ ）

（A ） x≤1或x≥3 （B ）1≤x≤3 （C ）－5≤x≤0

（D ）－5≤x≤1或3≤x≤9 （E ）－6≤x≤1或3≤x≤10

②不等式｜x －1｜+｜x+2｜<5的所有的实数解的集合是（ ）

（A ）{}23<<-x x ：

(B) {}21<<-x x ： (C) {}12<<-x x ： (D) {}5.35.1<<-x x ：

(E) φ（空集）