线段和最小值问题--已经分类整理
两线段之和最短专题
一、数学模型
1、实际问题：
要在河边修建一个水泵站，分别向村、庄送水，修在河边什么地方可使所用的水管最短
2、数学问题：
已知：直线l和l的同侧两点A、B。求作：点C，使C在直线l上，并且AC＋CB最小。
二、构建“对称模型”实现转化
三、练习题
1题图 2题图 3题图
1、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD＝18cm，则△PMN 的周长为________。
2、已知，如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，且AC＝5，BC＝8，则△AEC 的周长为__________。
3、已知，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，
AC＝8，△ABE的周长为14，则AB的长。
4、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，若AC＝5cm，BC＝4cm，则△ BDC的周长为________．【正方形专区】
5、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，
DN＋MN的最小值为_____
4题图 5题图 6题图
6.（2013?）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是_________ ．
7.（2013?）如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为_________ ．
7题 8题 9题 10题
8.（2012?）如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为_________ ．
9.如图，正方形ABCD的边长为2，M、N分别为AB、AD的中点，在对角线BD上找一点P，使△MNP的周长最小，则此时PM+PN= _________ ．
10.（2010?越秀区二模）如图，正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD，在对角线AC上有一动点P，则PD+PE的最小值为_________ ．
【菱形矩形梯形专区】
11.（2013?江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= _________ ．
11题 12题 13题
12.（2008?）如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_________ ．
13.（2011?）如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为_________ ．
14.（2014?一模）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为CD边的中点，P为BC边上的任一点，那么，AP+EP的最小值为_________ ．
14题
15.（2011?）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是_________ ．
【三角形专区】
1.如图，在边长为1的等边三角形ABC中，点D是AC的中点，点P是BC边的中垂线MN上任一点，则PC+PD 的最小值为_________ ．
1题 2题 3题
2,（2010?滨州）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EM+CM的最小值为_________ ．
3.如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，点P是底边AC上一个动点，M，N分别是AB，BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长是_________ ．
4.如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为_________ cm．
4题 5题 6题 7题
5.（2009?）如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD 和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_________ ．
6.（2006?）如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED 的最小值是_________ ．
7.已知：如图Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=8，M在BC上，且BM=2，N是AC上一动点，则BN+MN的最小值为_________ ．
补充：较难考点一：几何图形中的最小值问题
例1.（2013?）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BE=2，AE=3BE ，P 是AC 上一动点，则PB+PE 的最小值是 _________ ．
图1 图2 图3
例2.（2009?）如图2，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 ．
例3.如图3，点P 是Rt△ABC 斜边AB 上的一点，PE⊥AC 于E ，PF⊥BC 于F ，BC=6，AC=8，则线段EF 长的最小值为 ；
例4.（2013?自主招生）如图，在Rt△ABC 中，AB=BC=6，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，AE=3，CF=1，P 是斜边AC 上的一个动点，则△PEF 周长的最小值为 .
图4 图5 例5.（2014?）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点A 的坐标为（9，0），点C 的坐标为（2，0），tan∠BOA=3
3 ，点P 为斜边OB 上的一个动点，则PA+PC 的最小值为（ ） A ．67 B ．
231 C. 6 D ．193 例6．（2013?模拟）如图6，等腰Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C 的半径为1，点P 在斜边AB 上，PQ 切⊙O 于点Q ，则切线长PQ 长度的最小值为（ ）
图6 图7 图8
例7.（2012?海门市一模）如图7，矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 上两个动点，且PQ=3，当CQ= _________ 时，四边形APQE 的周长最小．
考点二：几何图形中的最大值问题
例1.已知点A （1，2）、B （4，-4），P 为x 轴上一动点．
（1）若|PA |+|PB |有最小值时，求点P 的坐标；
（2）若|PB |-|PA |有最大值时，求点P 的坐标．
例2.如图8所示，已知A 11
(,y )2，B 2(2,y )为反比例函数1y x
图像上的两点，动点P (x,0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是 .
例3.(2014?)如图，在平面直角坐标系中，⊙M 过原点O ，与x 轴交于A （4，0），与y 轴交于B （0，3），点C 为劣弧AO 的中点，连接AC 并延长到D ，使DC=4CA ，连接BD ．
（1）求⊙M 的半径；
（2）证明：BD 为⊙M 的切线；
（3）在直线MC 上找一点P ，使|DP ﹣AP |最大．
1.如图1，正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD，在对角线AC上有一动点P，则PD+PE的最小值为_____ ．
图1 图2 图3 图4
2.（2014?一模）如图2，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为CD边的中点，P为BC边上的任一点，那么，AP+EP的最小值为_____ ．
3.（2012?萧山区模拟）如图3，直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点．PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为_______．
4.（2015?）如图4，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 .