高考真题函数与导数解答题文科教师版
高考真题：函数及导数解答题（文科）教师版 1．设函数()()2,,f x x ax b a b R =++∈.
（1）当2
14
a b =+时，求函数()f x 在[]1,1-上的最小值()g a 的表达式；
（2）已知函数()f x 在[]1,1-上存在零点， 021b a ≤-≤，求b 的取值范围.
【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷带解析）
试题解析：（1）当214a b =+时， ()2
12a f x x ??
=++ ???，故其对称轴为2
a
x =-
. 当2a ≤-时， ()()2
124a g a f a ==++.
当22a -<≤时， ()12
a g a f ??=-= ??
?
. 当2a >时， ()()2
124
a g a f a =-=-+.
综上， ()2
2
2,2,4
{1,22, 2,24
a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>
（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{ s t a st b
+=-=.
由于021b a ≤-≤，因此
()2121122
t t
s t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时， 222222
t t t b t t --≤≤++， 由于222032t t --≤
≤+
和212932
t t t --≤≤-+
所以293
b -≤≤-
当10t -≤≤时， 22
2222
t t t b t t --≤≤++， 由于22202t t --≤
<+和2
302
t t t --≤<+，所以30b -≤<. 综上可知， b
的取值范围是3,9?--?.
考点：1.函数的单调性及最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想.
视频
2．（本小题满分12分）设函数()2ln x f x e a x =-. （Ⅰ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （Ⅱ）证明：当0a >时()22ln f x a a a
≥+.
【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ带解析）
试题解析：（Ⅰ） ()f x 的定义域为()0+∞，， ()2=2(0)x a f x e x x
->'. 当0a ≤时, ()0f x '>， ()f x '没有零点；
当0a >时，因为2x e 单调递增， a x
-单调递增，所以()f x '在()0+∞，单调递增.又()0f a '>,当b 满足04
a
b <<且14
b <时， ()0f b '<,故当
0a >时， ()f x '存在唯一零点.
（Ⅱ）由（Ⅰ），可设()f x '在()0+∞，的唯一零点为0x ，当()00x x ∈，时， ()0f x '<;
当()0+x x ∈∞，时， ()0f x '>.
故()f x 在()00x ，单调递减，在()0+x ∞，单调递增，所以当0x x =时，
()f x 取得最小值，最小值为()0f x .
由于0
202=0x a e x -
，所以()00022
=2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a
++≥+.
故当0a >时， ()22ln f x a a a
≥+. 3．设函数， x R ∈，其中,a b R ∈.
（Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）若
存在极值点，且
，其中
，求证：
；
（Ⅲ）设
，函数
，求证：
在区间
上的最
大值不小于.
【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷精编版）
试题解析：（Ⅰ）解：由()3f x x ax b =--，可得()23f x x a ='-，下面分两种情况讨论：
（1）当0a ≤时，有()230f x x a '=-≥恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞.
（2）当0a >时，令()0f x '=
，解得3x =
或3
x =-. 当x 变化时， ()f x '， ()f x 的变化情况如下表：
所以()f x 的单调递减区间为?
?
?
，单调递增区间为
,?-∞ ??， ?+∞??
??
. （Ⅱ）证明：因为()f x 存在极值点，所以由（Ⅰ）知0a >且00x ≠.
由题意，得()20030f x x a '=-=，即2
03
a
x =， 进而()3000023
a
f x x ax b x b =--=-
-， 又
()()3
000000082282233
a a f x x ax
b x ax b x b f x -=-+-=-+-=--=，且
002x x -≠，
由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数1x 满足()()10f x f x =，且10x x ≠，因此102x x =-， 所以10+2=0x x . （Ⅲ）证明：设
在区间[]1,1-上的最大值为M ， {}max ,x y 表示
x ， y 两数的最大值，下面分三种情况讨论：
（1）当3a ≥时， 11≤-<≤，由（Ⅰ） 知， ()f x 在区间[]1,1-上单调递减，
所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为()()1,1f f ??-??，因此，
()(){}{}
max |1|,|1|max 1,1M f f a b a b =-=---+-
{}
max 1,1a b a b =-+-- 1+,0,
{
1,0,
a b b a b b -≥=--<所以12M a b =-+≥.
（2）当334a ≤<时， 11≤-<<<≤
由（Ⅰ）和（Ⅱ） 知
()1f f f ?-≥= ????
，
()1f f f ?≤= ???
?，
所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为,f
f ?
?
??? ????????
，
因此M= max ,max ,33f f b b ?
????????
-= ? ?
??? ? ??????????
231
max 944b b b ?==≥?=??.
（3）当304a <<时， 1133
-<-
<<，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，
()1f f f ?-<= ????， ()1f f f ?>= ???
?， 所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为()()1,1f f ??-??，因此，
()(){}{}
max |1|,|1|max 1,1M f f a b a b =-=-+---
{}
max 1,1a b a b =-+-- 1
14
a b =-+>
. 综上所述，当0a >时，
在区间[]1,1-上的最大值不小于14
.
2.由函数f （x ）在（a ，b ）上的单调性，求参数范围问题，可转化为()0f x '≥（或()0f x '≤）恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．
视频
4．设函数()32.f x x ax bx c =+++
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；
（Ⅱ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （Ⅲ）求证： 230a b -＞是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.
【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京
卷精编版）
试题解析：（Ⅰ）由()32f x x ax bx c =+++，得()232f x x ax b =++'． 因为()0f c =， ()0f b '=，
所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+． （Ⅱ）当4a b ==时， ()3244f x x x x c =+++， 所以()2384f x x x '=++．
令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或2
3
x =-．
()f x 及()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：
所以，当0c >且32027c -
<时，存在()14,2x ∈--， 222,3x ?
?∈-- ??
?，
32,03x ??
∈- ???
，使得()()()1230f x f x f x ===．
由()f x 的单调性知，当且仅当32
0,27c ??
∈ ???
时，函数
()3244f x x x x c =+++有三个不同零点．
（Ⅲ）当24120a b ?=-<时， ()2320f x x ax b =++>'， (),x ∈-∞+∞， 此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()f x 不可能有三个不同零点．
当24120a b ?=-=时， ()232f x x ax b =++'只有一个零点，记作0x ． 当()0,x x ∈-∞时， ()0f x '>， ()f x 在区间()0,x -∞上单调递增； 当()0,x x ∈+∞时， ()0f x '>， ()f x 在区间()0,x +∞上单调递增． 所以()f x 不可能有三个不同零点．
综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b ?=->． 故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．
当4a b ==， 0c =时， 230a b ->， ()()2
32442f x x x x x x =++=+只有两个不同零点，所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件．
因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件． 5．设函数()ln 1f x x x =-+． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）证明当(1,)x ∈+∞时，1
1ln x x x
-<
<； （Ⅲ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->.
【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版）
试题解析：（Ⅰ）由题设，()f x 的定义域为(0,)+∞，1
()1f x x
'=-，令
()0f x '=，解得1x =.
当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在1x =处取得最大值，最大值为(1)0f =. 所以当1x ≠时，ln 1x x <-.
故当(1,)x ∈+∞时，ln 1x x <-，11ln 1x
x
<-，即1
1ln x x x
-<
<.
（Ⅲ）由题设1c >，设()1(1)x g x c x c =+--，则()1ln x g'x c c c =--，令
()0g'x =，
解得01
ln
ln ln c c x c
-=.
当0x x <时，()0g'x >，()g x 单调递增；当0x x >时，()0g'x <，()g x 单调递减. 由（Ⅱ）知，1
1ln c c c
-<<，故001x <<，又(0)(1)0g g ==，故当01x <<时，()0g x >.
所以当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->. 6．已知函数()()()2
21x f x x e a x =-+-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.
【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版）
试题解析：（Ⅰ） ()()()()()'12112.x x f x x e a x x e a =-+-=-+
（Ⅰ）设0a ≥，则当(),1x ∈-∞时， ()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，
()'0f x >.
所以f （x ）在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增. （Ⅱ）设0a <，由()'0f x =得x=1或x=ln （-2a ）.
①若2e a =-，则()()()'1x f x x e e =--，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增.
②若2
e
a >-，则ln （-2a ）＜1,故当()()(),ln 21,x a ∈-∞-?+∞时，
()'0f x >；
当()()ln 2,1x a ∈-时， ()'0f x <，所以()f x 在()()(),ln 2,1,a -∞-+∞单调递增，在()()ln 2,1a -单调递减.
③若2
e
a <-，则()21ln a ->，故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞?-+∞时， ()'0f x >，当()()1,ln 2x a ∈-时， ()'0f x <，所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增，在()()1,ln 2a -单调递减.
（Ⅱ）（Ⅰ）设0a >，则由（Ⅰ）知， ()f x 在(),1-∞单调递减，在
()1,+∞单调递增.
又()()12f e f a =-=，，取b 满足b ＜0且ln 2
a
b <，
则()()()2
2
3
21022
a f
b b a b a b b ??>-+-=-> ???
，所以()f x 有两个零点.
（Ⅱ）设a=0，则()()2x f x x e =-，所以()f x 只有一个零点. （iii ）设a ＜0，若2
e
a ≥-，则由（Ⅰ）知， ()f x 在()1,+∞单调递增.
又当1x ≤时， ()f x ＜0，故()f x 不存在两个零点；若2
e a <-，则由（Ⅰ）知， ()
f x 在()()1,ln 2a -单调递减，在()()ln 2,a -+∞单调递增.又当1x ≤时()f x ＜0，故()f x 不存在两个零点. 综上，a 的取值范围为()0,+∞. 7．已知函数f(x)=(x +1)lnx ?a(x ?1).
（I ）当a =4时，求曲线y =f(x)在(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）若当x ∈(1,+∞)时，f(x)＞0，求a 的取值范围. 试题解析：（I ）f(x)的定义域为(0,+∞).当a =4时，
f(x)=(x +1)lnx ?4(x ?1),f ′(x)=lnx +1
x ?3，f ′(1)=?2,f(1)=0.
曲线y =f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x +y ?2=0. （II ）当x ∈(1,+∞)时，f(x)>0等价于lnx ?a(x?1)x+1>0. 设g(x)=lnx ?a(x?1)x+1
，则
g ′
(x)=1
x ?2a
(x+1)2=
x 2+2(1?a)x+1
x(x+1)2
,g(1)=0，
（i ）当a ≤2，x ∈(1,+∞)时，x 2+2(1?a)x +1≥x 2?2x +1>0，故g ′(x)>
0,g(x)在(1,+∞)上单调递增，因此g(x)>0；
（ii ）当a >2时，令g ′(x)=0得
x 1=a ?1?√(a ?1)2?1,x 2=a ?1+√(a ?1)2?1.
由x 2>1和x 1x 2=1得x 1<1，故当x ∈(1,x 2)时，g ′(x)<0，g(x)在(1,x 2)单调递减，因此g(x)<0. 综上，a 的取值范围是(?∞,2].
8．已知函数f(x)=e x cosx ?x ．
（Ⅰ）求曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,π2
]上的最大值和最小值． 【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版）
试题解析：（Ⅰ）因为f(x)=e x cosx ?x ，所以f ′(x)=e x (cosx ?sinx)?
1,f ′(0)=0.
又因为f(0)=1，所以曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y =1. （Ⅱ）设?(x)=e x (cosx ?sinx)?1，则?′(x)=e x (cosx ?sinx ?sinx ?cosx)=
?2e x sinx .
当x ∈(0,π2
)时，?′(x)<0，
所以?(x)在区间[0,π2
]上单调递减.
所以对任意x ∈(0,π2]有?(x)
]上单调递减.
因此f(x)在区间[0,π2]上的最大值为f(0)=1，最小值为f(π2)=?π
2
.9．已知函数()321
1,32
f x x ax a R =-∈.
(I)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；
(II)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,z.x.x.k 讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版）
试题解析：（Ⅰ）由题意()2f x x ax '=-， 所以，当2a =时， ()30f =， ()22f x x x '=-， 所以()33f '=，
因此，曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程是()33y x =-， 即390x y --=.
（Ⅱ）因为()()()cos sin g x f x x a x x =+--， 所以()()()cos sin cos g x f x x x a x x =+---''，
()()sin x x a x a x =--- ()()sin x a x x =--，
令()sin h x x x =-， 则()1cos 0h x x ='-≥， 所以()h x 在R 上单调递增， 因为()00h =，
所以，当0x >时， ()0h x >；当0x <时， ()0h x <. （1）当0a <时， ()()()sin g x x a x x -'=-，
当(),x a ∈-∞时， 0x a -<， ()0g x '>， ()g x 单调递增； 当(),0x a ∈时， 0x a ->， ()0g x '<， ()g x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时， 0x a ->， ()0g x '>， ()g x 单调递增. 所以当x a =时()g x 取到极大值，极大值是()31
sin 6
g a a a =--，
当0x =时()g x 取到极小值，极小值是()0g a =-. （2）当0a =时， ()()sin g x x x x -'=，
当(),x ∈-∞+∞时， ()0g x '≥， ()g x 单调递增；
所以()g x 在(),-∞+∞上单调递增， ()g x 无极大值也无极小值. （3）当0a >时， ()()()sin g x x a x x -'=-，
当(),0x ∈-∞时， 0x a -<， ()0g x '>， ()g x 单调递增； 当()0,x a ∈时， 0x a -<， ()0g x '<， ()g x 单调递减； 当(),x a ∈+∞时， 0x a ->， ()0g x '>， ()g x 单调递增. 所以当0x =时()g x 取到极大值，极大值是()0g a =-； 当x a =时()g x 取到极小值，极小值是()31
sin 6
g a a a =--. 综上所述：
当0a <时，函数()g x 在(),a -∞和()0,+∞上单调递增，在(),0a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是()31sin 6
g a a a =--，极小值是()0g a =-；
当0a =时，函数()g x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；
当0a >时，函数()g x 在(),0-∞和(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是()0g a =-，极小值是()31sin 6
g a a a =--.
10．设a,b ∈R ，|a|≤1.已知函数f(x)=x 3?6x 2?3a(a ?4)x +b ，g(x)=
e x f(x).
（Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）已知函数y =g(x)和y =e x 的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，
（i ）求证：f(x)在x =x 0处的导数等于0；